ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. 1 Junio 99

Transcripción

1 ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Tengo dos urnas, dos bolas blancas y dos bolas negras. Se desea saber como he de distribuir las bolas en las urnas para que al elegir una urna al azar y extraer de ella una bola al azar sea máxima la probabilidad de obtener bola blanca. La única condición exigida es que cada urna tenga al menos una bola. Se estima que tan sólo un 20 % de los que compran acciones de Bolsa tienen conocimientos bursátiles. De ellos el 80% obtienen beneficios. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles sólo un 10 % obtienen beneficios. Se desea saber: a) El tanto por ciento de los que compran acciones en Bolsa que obtienen beneficios b) Si se escoge al azar una persona que ha comprado acciones en la Bolsa y resulta que ha obtenido beneficios, cuál es la probabilidad de tenga conocimientos bursátiles? Dos amigos escriben al azar una vocal, cada uno en un papel. Obtener razonadamente la probabilidad de que los dos escriban la misma vocal. Cuál sería la probabilidad que tres amigos escriban al azar la misma vocal en un papel? Un 40 % de los alumnos aprobaron las Matemáticas, y un 90 % de estos alumnos aprobaron la Física. De los alumnos que suspendieron Matemáticas sólo un 20 % aprobaron la física. Determinar razonadamente: a) Cuál es el tanto por cien de alumnos que aprobaron la Física? b) Probabilidad que al elegir un alumno al azar, haya suspendido las Matemáticas. c) Probabilidad que al elegir un alumno al azar, entre los que han aprobado la Física, haya suspendido las Matemáticas. Una urna contiene dos monedas de plata y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de plata y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar cuál es la probabilidad de que la moneda extraída sea de plata? Un dado trucado de manera que son iguales las probabilidades de obtener 2, 4 o 6, también son iguales las probabilidades de sacar 1, 3 o 5 y la probabilidad de obtener 2 es el doble que la probabilidad de obtener 1. Deduce razonadamente cuál es la probabilidad de que al lanzar el dado dos veces, se obtenga una suma de puntos igual a 7. La probabilidad de obtener sobresaliente en un examen es del 0,9 si se estudia mucho. Un alumno estudia mucho 4 exámenes. Calcular la probabilidad de no obtener ningún sobresaliente. En una clase estudian bastante el 60 % y el resto estudian muy poco. De los alumnos que estudian bastante aprueban el 80 % y de los alumnos que estudian poco tan solo aprueban el 10 %. Después de hacer un examen se escogió al azar un alumno y resultó que había suspendido. Determinar la probabilidad de que hubiera estudiado bastante.

2 La ciudad A tiene el doble de habitantes que la ciudad B, pero un 30 % de ciudadanos de B lee literatura, mientras que solo un 10 % de ciudadanos de A lee literatura. a) De un ciudadano solo sabemos que vive en A o en B. Calcular de forma razonada la probabilidad de que lea literatura. b) Si nos presentan un ciudadano que vive en A o en B, pero del que sabemos que lee literatura, calcular razonadamente la probabilidad que sea de B. La baraja española consta de 10 cartas de oros, 10 de copas, 10 de espadas y 10 de bastos. Se extraen tres cartas. Razonar cual es la probabilidad que al menos una de las cartas sea de oros en los supuestos siguientes: a) No se devuelven las cartas después de cada extracción. b) Después de cada extracción se devuelve la carta a la baraja. Escribo tres cartas y los tres sobres correspondientes. Introduzco cada carta en un sobre al azar. Encontrar razonadamente cuál es la probabilidad de que haya introducido solo una carta en el sobre correcto. La ciudad A tiene el triple de habitantes que la ciudad B. Un 10 % de habitantes de la ciudad A son alérgicos y un 30 % de la ciudad B son alérgicos. Se selecciona un ciudadano sin saber de que ciudad es. Deducir razonadamente cuál es la probabilidad de que sea alérgico. Entre todos los habitantes alérgicos de las dos ciudades se selecciona un ciudadano. Cuál es la probabilidad de que sea de la ciudad A? En un aparato de radio hay presintonizadas tres emisoras A, B y C que emiten durante todo el día. La emisora A siempre ofrece música, mientras que la B y la C lo hacen la mitad del tiempo de emisión. Al encender la radio se sintoniza indistintamente cualquiera de las tres emisoras. a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que al encender la radio escuchemos música. b) Si al poner la radio no escuchamos música, calcular de forma razonada cuál es la probabilidad de que esté sintonizada la emisora B. Un alumno realiza un examen tipo test que consta de 4 preguntas. Cada una de las preguntas tiene tres posibles respuestas, de las que sólo una es correcta. Si un alumno aprueba contestando correctamente dos o más preguntas, obtener de forma razonada la probabilidad de que apruebe si escoge las repuestas de cada una de las preguntas completamente al azar. El 60 % de los alumnos de Bachillerato de un instituto son chicas y el 40 % son chicos. La mitad de los chicos leen asiduamente la revista COMIC, mientras que solamente el 30 % de las chicas la leen. a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que un alumno elegido al azar lea esta revista. b) Si un alumno elegido al azar nos dice que no lee la revista, obtener de forma razonada la probabilidad de que sea chica. En una bolsa de caramelos variados hay 10 caramelos de naranja, 5 de limón y 3 de fresa. Todos son de igual tamaño y hasta que no se sacan de la bolsa se desconoce de que sabor son. Se sacan tres caramelos al azar a) Calcular de forma razonada la probabilidad de sacar el primero de sabor naranja, después uno de fresa y finalmente, uno de limón. b) Calcular de forma razonada la probabilidad de que sean los tres de sabor distinto.

3 17 03 El 75 % de los alumnos acude a clase en algún tipo de transporte y el resto andando. Llega puntual a clase el 60 % de los que utilizan transporte y el 90 % de los que acuden andando. Calcular de forma razonada: a) Si se elige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, la probabilidad de que haya acudido andando, y b) si se elige un alumno al azar, la probabilidad de que no haya llegado puntual En una pequeña ciudad hay dos bibliotecas. En la primera, el 50 % de los libros son novelas mientras que en la segunda lo son el 70 %. Un lector elige al azar una biblioteca siguiendo un método que implica que la probabilidad de elegir la primera biblioteca es el triple que la de elegir la segunda. Una vez llega a la biblioteca seleccionada, elige al azar un libro, novela o no. a) Calcular razonadamente la probabilidad de que elija una novela b) Sabiendo que el libro seleccionado es una novela, obtener razonadamente la probabilidad de que haya acudido a la primera biblioteca. Un ordinador personal té carregats dos programes antivirus A 1 i A 2 que actuen simultàniament e independentment. Davant la presencia d'un virus, el programa A 1 el detecta amb una probabilitat de 0,9 i el programa A 2 el detecta amb una probabilitat de 0,8. Calculeu de forma raonada: a) La probabilitat que un virus qualsevol siga detectat. b) La probabilitat que un virus siga detectat pel programa A 1 i no per A 2. El 75 % dels jovents que tenen vídeo consola ha rebut propaganda d'un determinat vídeo joc i el 25 % restant no. El 30 % dels qui reberen la propaganda ha utilitzat desprès l'esmentat vídeo joc i també ho ha fet el 5 % dels qui no la reberen. Calculeu de forma raonada: a) La probabilitat que un jove amb vídeo consola seleccionat a l'atzar haja utilitzat aquest vídeo joc. b) La probabilitat que un jove amb vídeo consola seleccionat a l'atzar haja rebut propaganda i no haja utilitzat el vídeo joc. El 60% de les persones que visitaren un museu durant el mes de maig eren espanyoles. D'aquestes, el 40% eren menors de 20 anys. En canvi, de les que no eren espanyoles, tenien menys de 20 anys el 30%. Calculeu: a) La probabilitat que un visitant elegit a l atzar tinga menys de 20 anys. b) Si elegim un visitant a l atzar, la probabilitat que no siga espanyol i tinga 20 anys o més Les màquines A i B produeixen 50 i 250 peces per hora, amb un percentatge d'errades del 1% i del 10%, respectivament. Tenim barrejades les peces fabricades en una hora 1 elegim una peça a l atzar. Calculeu: a) La probabilitat que siga una peça no defectuosa fabricada en la màquina B. b) La probabilitat que estiga fabricada en la màquina A, si sabem que és defectuosa.

4 23 04 S'ha realitzat una enquesta a un grup d'estudiants d informàtica. Entre les seues Conclusions està que un 40% ha rebut algun curs de LINUX. A més, el 20% d'aquells que reberen algun curs de LINUX tenen ordinador a casa. Si un 10% d estudiants d informàtica tenen ordinador a casa i no han rebut cap curs de LINUX, calculeu: a) La probabilitat que un estudiant d informàtica tinga ordinador a casa i haja rebut un curs de LINUX. b) La probabilitat que un estudiant d informàtica tinga ordinador a casa. c) Si un estudiant d informàtica té ordinador a casa, la probabilitat que haja rebut un curs de LINUX En una població hi ha el doble de dones que d'homes. El 25 % de les dones són rosses i el 10 % dels homes també són rossos. Calculeu: a) Si es tria a l'atzar una persona i resulta ser rossa, quina es la probabilitat que siga una dona? b) Quina és la probabilitat que una persona elegida a l'atzar siga home i no siga ros? Siguen A i B dos esdeveniments amb P( A) = 0,5; P( B) = 0,3 i P( A B) = 0,1. Calculeu les probabilitats següents: P( A B), P( A ), P( A A B) i P( A A B) B. Tenim dues bosses de caramels, la primera conté 15 caramels de taronja i 10 de llima i la segona 20 de taronja i 25 de llima. Triem una de les bosses a l atzar i n extraiem un caramel. Calculeu: a) La probabilitat que el caramel siga de taronja. b) Si el caramel triat és de llima, quina és la probabilitat que l hagem extret de la segona bossa? En un centre escolar, 22 de cada 100 xiques i 5 de cada 10 xics porten ulleres. Si el nombre de xiques és tres vegades superior al de xics, trobeu la probabilitat que un estudiant triat a l atzar: a) No porte ulleres. b) Siga xica i porte ulleres. c) Siga xica, sabent que porta ulleres. En un grup de 2n de batxillerat el 15% estudia Matemàtiques, el 30% estudia Economia i el 10% ambdós matèries. Es demana: a) Són independents els successos Estudiar Matemàtiques i Estudiar Economia? b) Si es tria a l atzar un estudiant del grup, calculeu la probabilitat que no estudie ni Matemàtiques ni Economia.

5 Siguen A i B dos successos tals que P ( A B) = 0, 9 ; P ( A) = 0, 4, on A denota el succés contrari o complementari del succés A, i P ( A B) = 0, 2. Calcula les probabilitats següents: P( B), P( A / B), P( A B) i P( A B). El volum de producció diari en tres fàbriques diferents d una mateixa empresa és de unitats en la primera fàbrica, unitats en la segona i en la tercera. Per certs desajustos, algunes unitats ixen defectuoses. En concret, ho són l,l% de les unitats produïdes en les dues primeres fàbriques i el 3% de les produïdes en la tercera. a) Quina proporció d unitats fabricades són correctes? b) Si es té una unitat defectuosa, quina és la probabilitat que haja estat fabricada en la tercera fàbrica? Un estudi revela que el 10% dels oients de ràdio sintonitza diàriament les cadenes Music i Rhythm, que un 35% sintonitza diàriament Music i que el 55% dels oients no escolta cap de les dues emissores. Obtén a) La probabilitat que un oient triat a l atzar sintonitze la cadena Rhythm. b) La probabilitat que un oient triat a l atzar sintonitze la cadena Rhythm però no la Music. c) La probabilitat que un oient, del que sabem que escolta Rhythm, escolte Music. Donats dos successos aleatoris independents se sap que la probabilitat que ocórreguen els dos simultàniament és 3/25 i la que ocórrega almenys un dels dos és 17/25. Calcula la probabilitat de cadascun dels dos successos. La probabilitat que hi haja un incident en una fàbrica que disposa d'alarma és 0,1. La probabilitat que sone aquesta si s'ha produït algun incident és 0,97 i la probabilitat que sone si no ha succeït cap incident és 0,02. a) Calcula la probabilitat que no sone l alarma. b) En el cas que haja funcionat l alarma, quina és la probabilitat que no hi haja hagut cap incident? Un test per a detectar si una persona és portadora del virus de la grip aviar dóna positiu en el 96% dels pacients que la pateixen i dóna negatiu en el 94% dels pacients que no la pateixen. Si una de cada cent quaranta-cinc persones és portadora del virus i una persona se sotmet al test, calcula: a) La probabilitat que el test done positiu. b) La probabilitat que siga portadora del virus, si el resultat del test és positiu. c) La probabilitat que el test siga negatiu i no siga portadora del virus. p A B = 0, Sabem que p(a) = 0,4, p(b) = 0,6 i ( ) 7 a) Són independents els successos A i B? Per què? b) Calcula p ( A B), on B. c) Calcula p ( A B ). B representa el succés complementari o contrari de

6 De dos tiradors se sap que un d ells fa 2 dianes de cada 3 tirs, i l altre aconsegueix 3 dianes de cada 4 tirs. Si els dos disparen simultàniament, calcula: a) La probabilitat que els dos encerten. b) La probabilitat que un encerte i l altre no. c) La probabilitat que cap encerte. d) La probabilitat que algun encerte. e) Sumar les probabilitats de a), b) i c), justificant la suma obtinguda. Donats dos successos A i B, sabem que P ( A B) = 0, 1, P ( A B) = 0, 7 i P ( A/ B) = 0,2. a) Calcula P(A) i P(B). b) Són independents els successos A i B? Per què? e) Calcula P( A B), on A representa el succés complementari o contrari de A. El 60% dels alumnes de certa assignatura aprova al juny. El 80% dels presentats al setembre també aprova l assignatura. Sabent que els alumnes que es van presentar al setembre són tots els que no aprovaren al juny, determina: a) La probabilitat que un alumne seleccionat a l atzar haja aprovat l assignatura. b) Si sabem que un estudiant ha aprovat l assignatura, la probabilitat que haja estat al juny. Una empresa automobilística fabrica el seu model Assegurat en quatre factories distintes, A, B, C i D. La factoria A produeix el 40% dels cotxes d aquest model amb un 5% de defectuosos, la B produeix el 30% amb un 4% de defectuosos, la C el 20% amb un 3% de defectuosos i, finalment, la factoria D el 10% restant amb un 2% de defectuosos. Si elegim un cotxe del model Assegurat a l atzar, calcula: a) La probabilitat que siga defectuós. b) Si no és defectuós, la probabilitat que haja sigut fabricat en la factoria C. Siguen A i B dos successos aleatoris tals que P(A) = 0,7, P(B) = 0,2 i P(A/B) =1. a) Calcula les probabilitats següents: P(A B), P(A B) i P(B/A). b) Són els successos A i B independents? Al 20% dels alumnes de 2n de batxillerat els agrada un grup musical A, mentre que al 80% restant no els agrada aquest grup. En canvi, un altre grup musical B agrada a la meitat i no a l altra meitat. Hi ha un 30% d alumnes de 2n de batxillerat a qui no agrada cap dels dos grups. Si es tria un estudiant de 2n de batxillerat a l atzar: a) Quina és la probabilitat que li agraden els dos grups? b) Quina és la probabilitat que li agrade algun dels dos grups? c) Quina és la probabilitat que li agrade el grup B i no el grup A?

7 El 52% dels habitants en edat de votar d un cert municipi són homes. Els resultats d un sondeig electoral determinen que el 70% de les dones opina que guanyarà el candidat A, mentre que el 35% dels homes creu que guanyarà el candidat B. Si tots els habitants han optat per un candidat, respon a les preguntes següents: a) Si hem preguntat a una persona que creu que guanyarà B. Quina és la probabilitat que siga dona? b) Quina és la probabilitat que una persona seleccionada a l atzar siga dona o crega que guanyaré el candidat A? Un cert estudi de mercat revela que el 50% dels entrevistats consumeix el producte A, el 40% consumeix el B i el 25% no consumeix cap d aquests. Si seleccionem a l atzar un individu dels entrevistats, expressa els successos següents en funció dels successos simples A={Consumir A} i B={Consumir B}, i calcula la probabilitat: a) Que consumisca els dos productes. b) Que només consumisca un dels productes. c) Si sabem que consumeix el producte A, que consumisca també el B. Es realitza un estudi de mercat sobre la venda de turismes i cotxes tot terreny, i s observa que el 20% de les compres de tot terrenys corresponen a persones que adquireixen un cotxe per primera vegada, mentre que aquest percentatge es duplica en el cas dels turismes. A més, el 75% de les vendes de cotxes correspon a turismes. a) Quina és la probabilitat de triar una persona que ha comprat un cotxe i que aquest no siga el primer cotxe que compra? b) Quina és la probabilitat que el primer cotxe adquirit per una persona siga un turisme? c) Quina és la probabilitat de triar una persona que ha comprat un cotxe i que aquest no siga el primer cotxe que compra i, a més, siga un tot terreny? Se sap que p ( B / A) = 0, 9, p ( A/ B) = 0, 2 i p( A) = 0, 1 a) Calcula p( A B) i p(b) b) Són independents els successos A i B? Per què? c) Calcula p ( A B), on B. representa el succés complementari o contrari de B.

8 46 10 Al 80% dels membres duna societat gastronòmica els agrada el vi Raïm Negre. Entre aquests, al 75% li agrada el formatge de cabra. A més, a un 4% dels membres d aquesta societat no li agrada el vi Ram Negre ni el formatge de cabra. a) A quin percentatge li agrada tant el vi Raïm Negre com el formatge de cabra? b) A quin percentatge no li agrada el formatge de cabra? c) Si a un membre de la societat li agrada el formatge de cabra, quina és la probabilitat que li agrade el vi Raïm Negre? d) A quin percentatge li agrada el vi Raïm Negre entre aquells a qui no agrada el formatge de cabra? En un col legi es farà una excursió a una estació d esquí amb tres autobusos: un de gran, un de mitjà i un de xicotet. La quarta part dels alumnes apuntats a l excursió anirà en l autobús menut, la tercera part en el mitjà i la resta en el gran. Saben esquiar el 80% dels alumnes que viatjaran en l autobús petit, el 60% dels que aniran en el mitjà i el 40% dels de l autobús gran. a) Calcula la probabilitat que un alumne de l excursió, triat a l atzar, sàpia esquiar. b) Elegim un alumne de l excursió a l atzar i s observa que no sap esquiar. Quina és la probabilitat que viatge en l autobús mitjà? c) Es pren un alumne de l excursió a l atzar i s observa que sap esquiar. Quina és la probabilitat que viatge en l autobús gran o el menut? Es tenen deu monedes en una bossa. Sis monedes són legals mentre que les restants tenen dues cares. Es tria a l atzar una moneda. a) Calcula la probabilitat d obtenir cara en llançar-la. b) Si en llançar-la s ha obtingut cara, quina és la probabilitat que la moneda siga de curs legal? Si s agafen dues monedes a l atzar successivament i sense reemplaçament c) Quina és la probabilitat que una siga legal i l altra no ho siga? En un institut s estudien tres modalitats de Batxillerat: Tecnologia, Humanitats i Arts. El curs passat, el 25% deis alumnes va estudiar Tecnologia, el 60% Humanitats i el 15% Arts. En la convocatòria de juny va aprovar totes les assignatures el 70% dels estudiants de Tecnologia, el 80% dels d Humanitats i el 90% dels d Arts. Si triem un estudiant a l atzar del curs passat d aquest institut: a) Quina és la probabilitat que no haja aprovat totes les assignatures en la convocatòria de juny? b) Si ens diu que ha aprovat totes les assignatures en la convocatòria de juny, quina és la probabilitat que haja estudiat Humanitats?

9 50 11 Es fa una anàlisi de mercat per a estudiar l acceptació de les revistes A i B. Aquesta reflecteix que del total d entrevistats que coneixen les dues revistes, al 75% els agrada la revista A, al 30% no els agrada la revista B i sí que els agrada la revista A, i al 15% no els agrada cap de les dues. Suposant que aquestes dades són representatives de tota la població i que hem triat a l atzar un individu que coneix les dues revistes, es demana: a) La probabilitat que li agraden les dues revistes. b) La probabilitat que li agrade la revista B. e) Si sabem que li agrada la revista A, la probabilitat que no li agrade la revista B En una certa empresa d exportació, el 62,5% dels empleats parla anglès. D altra banda, entre els empleats que parlen anglès, el 80% parla també alemany. Sabem que només la tercera part dels empleats que no parlen anglès sí que parlen alemany. a) Quin percentatge d empleats parla les dues llengües? b) Quin percentatge d empleats parla alemany? c) Si un empleat no parla alemany, quina és la probabilitat que parle anglès? En un institut hi ha dos grups de segon de Batxillerat. En el grup A hi ha 10 xiques i 15 xics, dels quals 2 xiques i 2 xics cursen francès. En el gruo B hi ha 12 xiques i 13 xics, dels quals 2 xiques i 3 xics cursen francès. a) Es tria una persona de segon de Batxillerat a l atzar. Quina és la probabilitat que no curse francès? b) Sabem que una determinada persona matriculada en segon de Batxillerat cursa francès. Quina és la probabilitat que pertanyia al grup B? c) Es tria a l atzar una persona de segon de Batxillerat del grup A. Quina és la probabilitat que siga un xic i no curse francès?