COSTO PERIÓDICO EQUIVALENTE Y COSTO MEDIO: ASPECTOS A CONSIDERAR EN SU UTILIZACIÓN

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1 COSTO PERIÓDICO EQUIVALENTE Y COSTO MEDIO: ASPECTOS A CONSIDERAR EN SU UTILIZACIÓN Por Coloma Ferrá y Claudia Botteon Para poder evaluar un proyecto una tarea fundamental es identificar, cuantificar y valorar los beneficios y costos atribuibles a cada momento de su vida. De ahí surge el flujo de beneficios y costos del proyecto 1, cuya información debe ser procesada con el objeto de determinar si la ejecución del proyecto es o no conveniente y, en caso afirmativo, elegir la mejor alternativa de proyecto y/o elegir los mejores, de entre varios proyectos. Este procesamiento de la información no es otra cosa que el cálculo de indicadores para determinar la conveniencia de ejecutar un proyecto. Algunos indicadores se calculan a partir del flujo de beneficios netos, como ocurre con el valor actual neto (VAN) y la tasa interna de retorno (TIR), mientras que otros requieren conocer los beneficios y los costos que dan lugar a esos beneficios netos, como la relación beneficio-costo, el costo periódico equivalente, el costo medio, etc. Este trabajo tiene por objetivo presentar dos de los indicadores utilizados en evaluación de proyectos: el costo periódico equivalente (CPE) y el costo medio (CMe). La elección se debe a que ellos no están suficientemente desarrollados en la bibliografía existente. El tratamiento de cada uno de ellos abarca los siguientes temas: su definición, la forma de cálculo, su significado, la regla de decisión y las aplicaciones y limitaciones. Los aspectos más significativos que merecen destacarse de este trabajo son: En el caso particular del costo periódico equivalente, se desarrolla un gran número de ejemplos que permiten mostrar cómo debe aplicarse este indicador para decidir en distintas situaciones: la inversión no es instantánea, la fase de inversión y/o la de operación no es la misma para todas las alternativas a comparar, algunas de las alternativas consideradas no son repetibles en el tiempo, etc. En el caso del costo medio, usualmente se calcula dividiendo el costo periódico equivalente por la cantidad producida por período En este trabajo se muestra que esta forma de cálculo sólo es correcta cuando la cantidad producida es uniforme a través del tiempo y ningún importe correspondiente a los rubros de costos depende del precio de venta del bien. Asimismo se desarrolla la forma correcta de calcularlo cuando alguno de estos dos aspectos no se cumple. Se presenta en forma simplificada, la relación que existe entre el costo medio calculado con las herramientas que provee la evaluación de proyectos y el considerado en la teoría microeconómica. 1 El flujo de beneficios y costos de un proyecto es la diferencia entre lo que se espera que ocurra en la situación con proyecto y lo que se espera que ocurra en la situación sin proyecto optimizada. Si se trata de una evaluación privada, es la diferencia entre los flujos de ingresos y egresos correspondientes a cada una de esas situaciones. El lector puede consultar al respecto Botteon, Claudia y Ferrá, Coloma, Costo de oportunidad y flujos de beneficios y costos para la evaluación de proyectos, en Serie Estudios-Sección Economía, Nº 48 (Mendoza, FCE-UNCuyo, 2006).

2 A. Costo periódico equivalente (CPE) 1. Definición, significado y regla de decisión El costo periódico equivalente es el costo relevante de un proyecto expresado por unidad de tiempo y resulta de transformar el flujo de todos los costos del proyecto en un flujo periódico uniforme a lo largo de la fase de operación del proyecto, utilizando la tasa de descuento relevante 2. Cuando los períodos son anuales, este indicador es el conocido costo anual equivalente (CAE). El CPE se calcula para compararlo con los beneficios (constantes) que se espera percibir en cada período, sean esos beneficios subjetivos o no. Esto implica que, para que la comparación tenga sentido, ese CPE debe corresponder exactamente a los momentos de la vida del proyecto en los cuales ocurren los beneficios operativos. Ese es el motivo por el cual el CPE es un flujo referido a la fase de operación del proyecto y como cada CPE está asociado a un beneficio, debe tenerse en cuenta si los beneficios se perciben en forma adelantada, vencida al final de cada período de la fase de operación, con mayor rezago, o con una periodicidad distinta de la de los costos operativos. Este indicador es especialmente útil en situaciones en las que, por alguna razón, se decide no hacer la estimación de los beneficios (o de algunos costos) del proyecto. También es de utilidad cuando se desea elegir la alternativa de mínimo costo para obtener ciertos resultados. A modo de ejemplo, se mencionan a continuación algunas de esas situaciones. Puede ocurrir que los beneficios o ciertos costos sean de tal naturaleza que resulte difícil o imposible realizar su valoración monetaria, en algunos casos porque son subjetivos, en otros porque no se conoce una metodología para su evaluación. Por ejemplo, es muy difícil prever y valorar todas las consecuencias de un cambio en el medio ambiente ocasionado por un proyecto. En la decisión respecto de ejecutar o no el proyecto que va a producir un daño ambiental, se pueden tener en cuenta los costos periódicos equivalentes de las distintas alternativas factibles para evitarlo (o mitigarlo) en parte o en su totalidad. Hay que tener en cuenta que para que la comparación sea válida, todas las alternativas deben evitar exactamente el mismo daño. Si no es así, se requiere un análisis adicional. Otro ejemplo es el siguiente. Si una persona ha decidido comprar un auto y debe elegir qué marca y modelo comprar, puede decidir en función de los costos de cada una de las alternativas, teniendo en cuenta los costos de inversión y los de operación. En realidad, probablemente no todas las alternativas brindan el mismo beneficio a su dueño. En este caso el CPE de cada alternativa puede ayudar a tomar la decisión. Así, si el auto A le cuesta $ por año y el auto B $ anuales, la persona puede decidir si las diferencias en comodidad, status, etc., justifican incurrir en un costo adicional de $ anuales. Un procedimiento similar se puede utilizar para seleccionar un equipo de computación. En otras ocasiones, los beneficios son tan grandes que no hay duda de que el proyecto debe ejecutarse. Por ejemplo, en nuestro país se ha establecido la obligatoriedad de la enseñanza general básica. Esto implica que los legisladores estimaron que los beneficios de esa enseñanza son tan grandes que todos los habitantes del país deben alcanzarla. El CPE puede ayudar a tomar la decisión respecto de la mejor alternativa para lograr ese objetivo. En todas las situaciones mencionadas, podría pensarse que basta con encontrar la alternativa de mínimo valor actual de los costos (VAC). Sin embargo, de esa manera 2 La fase de inversión abarca todas las acciones para dejar al proyecto en condiciones de producir los bienes y servicios que constituyen su objetivo. El final de la fase de inversión coincide con el inicio de la fase de operación. 2

3 pueden cometerse graves errores, puesto que para que ese procedimiento sea válido se requiere que los beneficios sean exactamente iguales para todas las alternativas, y no siempre es así. Esto es evidente en el caso de comparar una alternativa que dura 10 años con otra que dura 20: es muy probable que el VAC de la primera sea menor que el de la segunda, pero no se puede concluir que esa sea la mejor decisión, puesto que la de mayor duración permite prestar el servicio durante el doble de años. El costo periódico equivalente indica el costo que en promedio se debe incurrir para obtener los beneficios periódicos equivalentes (BPE) del proyecto. Si se conocen los beneficios del proyecto, la regla de decisión es: CPE < BPE es mejor ejecutarlo que no ejecutarlo, CPE = BPE es indiferente ejecutarlo o no ejecutarlo, CPE > BPE es mejor no ejecutarlo que ejecutarlo. Si se dispone de varias alternativas para obtener un mismo beneficio periódico equivalente, se elige la de menor costo periódico equivalente, si el BPE es mayor que el CPE de la alternativa elegida. De forma similar, si existen varias alternativas para evitar un daño, se elige la de menor costo periódico equivalente, siempre que éste sea menor que el daño que se tendría por unidad de tiempo. 2. Forma de cálculo Para calcular el CPE de un proyecto o de una alternativa de proyecto, se siguen los siguientes pasos: Se calcula el valor actual de los costos, tomando en consideración todos los costos relevantes de inversión (teniendo en cuenta los valores residuales de los bienes que la componen) y de operación. Se transforma el VAC en un flujo de valores constantes de tal manera que la distribución en el tiempo de cada costo así calculado coincida exactamente con la distribución de los beneficios. Si los beneficios constantes están uniformemente distribuidos, se debe cumplir que: VAC CPE 1 (1 + r) 1 + n h 1 CPE n h =, (1) h n h r = h 1 2 donde h es el momento correspondiente a un período antes del momento en que se obtiene el primer beneficio del proyecto; n es el momento final de la vida del proyecto; (n-h) es la cantidad de períodos en los que se perciben beneficios operativos; y r es la tasa de descuento. De (1) surge: CPE = VAC (1+ r) h n (1+ r) n h h r. (2) 1 3

4 Es importante notar que para aplicar esta fórmula es preciso definir los períodos como el intervalo (constante) entre un beneficio y el siguiente. Por supuesto, la tasa de descuento a utilizar debe corresponder a la unidad de tiempo elegida como período. Así, cuando se calcula un costo anual equivalente, los períodos son años y la tasa de descuento es la anual; cuando se calcula un costo mensual equivalente, los períodos son meses y la tasa es mensual. La racionalidad de la fórmula (2) surge del hecho que para que se cubran todos los costos es necesario que el valor actual de los beneficios sea igual al valor actual de los costos, es decir que el VAN sea igual a cero. Por ejemplo, si la fase de inversión de un proyecto dura dos años y los bienes que la componen tienen un valor residual (VR) al final de la vida del proyecto, la fase de operación dura seis años, los costos operativos (C t ) se pagan por adelantado y los beneficios operativos constantes (B) ocurren al final de cada año, se tiene el siguiente esquema anual de beneficios y costos: Concepto Inversión -I 0 -I 1 -I 2 VR 8 Costos operativos -C 2 -C 3 -C 4 -C 5 -C 6 -C 7 Beneficios operativos B B B B B B En tal caso, para que los beneficios cubran exactamente todos los costos, debe cumplirse: VAN = - VAI - VACO + VAB = 0, donde VAI es el valor actual de los costos de inversión (neto de valor residual); VACO es el valor actual de los costos operativos; y VAB es el valor actual de los beneficios operativos. Reemplazando el valor actual de los beneficios por su equivalente en función de los beneficios periódicos (en este caso, anuales), debe cumplirse: B 1 VAC = VAI + VACO =. 2 6 r Despejando B: 2 (1+ r) r B = VAC (1+ r), 6 (1+ r) que es igual al costo periódico (en este caso, anual) equivalente, dado que B es el beneficio periódico que permite cubrir todos los costos. En este caso, h = 2 años y (n-h) = 6 años. Por otra parte, si los beneficios no están uniformemente distribuidos en el tiempo, simplemente hay que plantear la ecuación del VAN y encontrar el valor del beneficio periódico que hace el VAN igual a cero. Ese valor del beneficio es el costo periódico equivalente. Por ejemplo, si los beneficios de un proyecto ocurren en los momentos 5, 7 y 13 de un esquema mensual, se debe cumplir que: CPE CPE CPE VAC = + +,

5 de donde se puede despejar el CPE. Este tipo de situaciones se pueden presentar, por ejemplo, en proyectos de producción agrícola o en emprendimientos apícolas, donde la producción se obtiene sólo en algunos meses del año. 3. Ventajas y limitaciones Ventajas Dado que el CPE de un proyecto repetido es exactamente igual al del proyecto sin repetir, el cálculo del CPE suele ser más simple que el del valor actual de los costos del proyecto repetido. Así, en los casos en que no es necesario conocer con precisión la magnitud de los beneficios periódicos para tomar la decisión, habría que estimar el valor actual de los costos de las diversas alternativas para un lapso común a todas ellas, de tal manera que la distribución de los beneficios periódicos sea la misma. Esto implica que en muchos casos hay que repetir las alternativas a través del tiempo. Esto se evita con el uso del CPE. Por otra parte, el CPE permite calcular el costo medio por unidad producida. Si la cantidad producida es constante a través del tiempo y todos los costos son independientes del precio de venta del bien, el costo medio se obtiene simplemente dividiendo el CPE por la cantidad de unidades a producir en cada período. Limitaciones Es importante tener siempre presente las condiciones en las cuales este indicador es válido cuando se trata de elegir entre proyectos o entre alternativas: Que los beneficios de cada período sean exactamente iguales para todas las alternativas. Que la distribución temporal de los beneficios sea la misma para todas alternativas o bien, si el lapso durante el cual se obtienen los beneficios es diferente, se requiere que las alternativas sean repetibles a través del tiempo y que ellas serán las mismas en el futuro. Sin embargo, aun cuando no se cumplan esos supuestos, en algunos casos sigue siendo posible utilizar este indicador. A través de distintos ejemplos se mostrará qué cambios hay que hacer para que ello sea válido. 4. Relación entre el CPE y la tasa de descuento Es interesante notar la relación que existe entre el CPE y la tasa de descuento. Para ello se analizarán los distintos componentes de ese costo. Para cada uno de los costos que ocurren en la fase de inversión del proyecto, anterior a la fase de operación, no hay duda de que la relación entre CPE y tasa de descuento es directa, o sea que cuanto mayor sea la tasa, mayor será el CPE. En efecto, el valor futuro al momento h de la inversión correspondiente al momento k de la fase de inversión (I k ) es: 5

6 VF h k h (Ik ) Ik =, y el costo periódico equivalente correspondiente a la inversión I k es: CPE k h k Ik (1+ r) = (1+ r) (1+ r) n h Dado que los I k ocurren en la fase de inversión, k h. De lo anterior surge claramente que cuanto mayor es r, mayor es el CPE k. Lo mismo es cierto para cada componente de la inversión. En el caso de los costos correspondientes a la fase de operación que ocurren con la misma periodicidad que los beneficios, se pueden presentar tres situaciones distintas: Para los costos que ocurren en forma concomitante con los beneficios, su costo periódico equivalente no se ve afectado por la tasa de descuento. Para los costos C k que ocurren m períodos antes que los respectivos beneficios, su costo periódico equivalente será: m k Ck (1 r) CPE = +, de donde surge que la relación entre CPE y r es directa. Para los costos C k que ocurren m períodos después que los respectivos beneficios, su costo periódico equivalente será: Ck CPEk =, m (1+ r) de donde surge que la relación entre CPE y r es inversa. Dado que la mayoría de los costos operativos ocurren antes o simultáneamente con los beneficios, se puede afirmar que normalmente existe una relación directa entre el CPE y la tasa de descuento. 5. Aplicación del CPE en diversas situaciones Se analizarán ahora varios ejemplos donde se consideran alternativas en las cuales la inversión no es instantánea, la fase de inversión y/o la de operación no es la misma para todas las alternativas, etc. Ejemplo 1: Central hidroeléctrica con una sola alternativa e inversión no instantánea Una empresa del Estado, distribuidora de energía, debe decidir si construir o no una central hidroeléctrica. En la situación sin proyecto, la empresa compra en el mercado mayorista la energía que luego distribuye a sus clientes. Dado que la cantidad que la empresa compra es mayor que la que se producirá con la nueva central, en caso de construirla seguirá comprando energía pero dejará de comprar una cantidad igual a la producción del proyecto. 6

7 Se supone que como consecuencia del proyecto no se modificará el precio de venta de la energía a los clientes de la empresa, por lo cual ese precio no es relevante para esta decisión. 3 Los datos del proyecto son los siguientes: Concepto Valores Unidades Cantidad producida megawatts hora (Mwh) por mes Inversión total miles $ Valor residual de la inversión 0 Fase de inversión 36 meses Inversión mensual 580 miles de $ adelantados Fase de operación 600 meses Costos de operación 8 miles $ por mes adelantado Modalidad de pago de la energía comprada pago mensual vencido Momento del primer beneficio por no compra de energía 37 Tasa de descuento 1% mensual El VAC es igual a: (1,01) VAC = 580 (1,01) (1,01) (1,01) + 8 0,01 (1,01) ,01 (1,01) 35 = $18.200,27 miles. Ese valor actual de los costos se transforma en un costo mensual equivalente (CME) durante 600 meses: 36 (1,01) 0,01 CME = $18.200,27 (1,01) = $ 261,07 miles. 600 (1,01) También es posible hacer los cálculos por separado para los costos de inversión y los de operación. En tal caso los resultados son (en miles de pesos): Concepto Costos de inversión Costos de operación Costos totales VAC ,98 563, ,27 CME 252,99 8,08 261,07 Es interesante observar que el costo mensual equivalente de los costos de operación es igual al costo mensual adelantado llevado a fin de cada mes, es decir: CME (operación) = 8 (1,01) = $ 8,08 miles. Dado que se ha estimado el costo mensual equivalente, expresado en valores de los momentos en que la empresa dejará de comprar la energía debido al proyecto, y que la cantidad producida es constante, es posible calcular el costo medio por unidad de energía producida como sigue: 3 Este supuesto es bastante razonable debido a que la ejecución del proyecto no modifica el costo marginal de obtener energía para la empresa en el tramo relevante. 7

8 CME $ 261,07 miles / año Costo medio = = = $ 21,76 por Mwh, X 12 miles Mwh / año donde X es la cantidad de unidades producidas mensualmente. Ese costo medio debe compararse con el precio que la empresa debe pagar en el mercado por cada unidad de energía que compra. Si, por ejemplo, el precio de mercado es inferior a $ 21,76 por Mwh, lo recomendable es rechazar el proyecto, al menos mientras no se prevea que los costos del proyecto sean inferiores o que el precio de la energía aumente. En el siguiente cuadro se muestran los VAC y costos mensuales equivalentes (CME) para tres tasas de descuento diferentes: Tasa mensual Costos de inversión VAC CME Costos de operación VAC CME 0,50% ,52 120, ,32 8,04 1,00% ,98 252,99 563,29 8,08 1,50% ,84 417,53 316,69 8,12 Se puede observar que los costos mensuales equivalentes de la inversión se ven significativamente más afectados por la tasa de descuento que los de operación. Ejemplo 2: Central hidroeléctrica con una sola alternativa y cobro con un mes de rezago Se muestra ahora un caso levemente diferente del anterior. Si la energía que se compra se paga con un mes de rezago respecto del caso presentado, el primer beneficio por no compra de energía ocurre dos meses después de iniciada la fase de operación, en el momento 38, con lo cual h es igual a 37 y el CME es: 8 37 (1,01) 0,01 CME = ,27 (1,01) = $ 263,68 miles, 600 (1,01) o sea que al CME obtenido en el caso anterior hay que agregarle el interés de un mes, y lo mismo puede decirse respecto del costo medio por unidad producida: CME Costo medio = = $ 21,97 por Mwh. X Éste es ahora el relevante para comparar con el precio a pagar por cada unidad de energía que compra en el mercado mayorista. Ejemplo 3: Central hidroeléctrica con dos alternativas de construcción y operación A partir del mismo Ejemplo 1 de página 6, en el cual la energía se paga al final del mes en el que se compra, se supone ahora que el Estado tiene también la opción de hacer una concesión de obra pública, que consiste en lo siguiente: el concesionario hace la inversión, produce energía, la vende a la empresa distribuidora durante una cierta cantidad de años y luego los bienes de capital pasan a ser propiedad de la empresa estatal, que seguirá produciendo energía en forma directa hasta completar los 50 años de operación. Los datos adicionales son:

9 Concepto Valores Unidades Precio de compra al concesionario 48 $/Mwh Duración de la operación del concesionario 192 meses Duración de la operación directa 408 meses Precio de la energía en mercado mayorista 35 $/Mwh Se supone que todos los datos de costos de la construcción por concesión de obra pública son iguales a los de la construcción directa por parte de la empresa distribuidora de energía y que el concesionario cobra la energía que vende en forma mensual vencida. Aparte de la compra de la energía en el mercado mayorista, existen ahora dos alternativas para obtener Mwh mensuales a través de la construcción de la central hidroeléctrica. Dado que ambas alternativas tienen la misma duración, tanto en la fase de inversión como en la de operación, no hay duda que los beneficios son exactamente iguales en ambos casos. Para elegir la mejor opción desde el punto de vista de la empresa distribuidora de energía, se pueden seguir varios procedimientos: Calcular el costo mensual equivalente de cada alternativa, elegir el menor y luego compararlo con el costo mensual de comprar la energía. Calcular el costo mensual equivalente de las tres opciones: compra de energía, producción en forma directa y a través de la concesión de obra pública, y elegir el menor. Los flujos de costos en un esquema mensual para cada alternativa son, en miles de pesos: Concepto 0 a a a Compra de energía Construcción directa Inversión 580 Operación Concesión de obra pública Compra al concesionario Operación directa 8 8 Se debe notar que en los tres flujos de costos se consideran los costos de obtener Mwh de energía durante 600 meses, entre los momentos 37 y Los resultados son: Alternativa VAC CME Costo medio, En miles de pesos en pesos Compra de energía ,88 420,00 35,000 Construcción directa ,27 261,07 21,756 Concesión de obra pública ,55 493,18 41,098 4 También sería correcto hacer el flujo de costos de obtener esa cantidad de energía durante 636 meses, entre el momento 1 y el 636, colocando el costo de compra en el mercado mayorista de $ 420 desde el momento 1 al momento 6 en las tres opciones. Los valores actuales de los costos y los costos mensuales equivalentes serían distintos a los obtenidos en el texto, pero llevarían también a la decisión correcta si se sigue el mismo criterio para todas las alternativas. 9

10 En este caso particular es posible tomar la decisión respecto de cuál es la opción más conveniente, con cualquiera de los tres indicadores del cuadro: valor actual de los costos, costo mensual equivalente y costo medio. El lector puede comprobar que con cualquiera de los tres indicadores la relación entre una alternativa y otra es exactamente la misma. Por ejemplo, el VAC de la compra de energía es 1,60876 veces más alto que el de la construcción directa y esa relación es la misma para los otros indicadores. Esto es así porque en las tres alternativas los beneficios son exactamente los mismos, tanto en su monto mensual como en su distribución en el tiempo. En efecto, los beneficios de disponer de esos Mwh de energía para distribuirla entre los clientes de la empresa no dependen de la alternativa elegida y en los tres casos su distribución en el tiempo es idéntica. Como no podría ser de otra manera, el costo medio de la alternativa de compra de energía es exactamente igual al precio de mercado. Si en una situación similar no se conociera ese precio, podría afirmarse que la construcción directa se justifica si el precio de compra de cada Mwh es mayor o igual a $ 21,76. Ejemplo 4: Central hidroeléctrica con dos alternativas con distinta fase de inversión Supóngase ahora que las fases de inversión de las dos alternativas de construcción (directa y por concesión) son diferentes: Alternativa Construcción directa Concesión de obra pública Fase de operación 36 meses 30 meses El resto de la información es la correspondiente al Ejemplo 3 de página 8. En la nueva situación, los beneficios de ambas alternativas coinciden en cuanto a su dimensión mensual, pero no en su distribución en el tiempo: si se hace la construcción directa, ocurren entre el momento 37 y el 636, mientras que si se opta por la concesión de obra pública, ocurren entre el 31 y el 630. Esto implica que para que la comparación de los costos sea correcta, debe buscarse la forma en que la distribución de los beneficios en el tiempo sea la misma en todas las alternativas. Obviamente, la alternativa de compra de energía es totalmente flexible en el sentido de que es posible recurrir a ella en cualquier momento, de modo que la forma más simple de solucionar el problema es analizar los costos de obtener los Mwh mensuales durante un período que abarque las fases de operación de las dos alternativas de construcción, por ejemplo entre el momento 31 y el 636. En tal caso, las dos alternativas de construcción requieren ser complementadas con la compra de energía en el mercado mayorista: si se opta por la construcción directa, se deberán comprar los Mwh de energía entre los momentos 31 y 36, mientras que en el caso de concesión de obra pública, la compra debe efectuarse entre los momentos 631 y 636. Los flujos de costos en un esquema mensual para cada alternativa son, en miles de pesos: 10

11 Concepto 0 a a a a a 635 Compra de energía Construcción directa Inversión Operación Compra en mercado mayorista Concesión de obra pública Compra al concesionario Operación directa 8 8 Compra en mercado mayorista Los resultados son los siguientes 5 : Alternativas VAC CME Costo medio, En miles de pesos en pesos Compra de energía ,80 420,00 35,000 Construcción directa ,18 270,30 22,525 Concesión de obra pública ,32 493,17 41,097 Dado que los flujos de costos de las tres alternativas corresponden a beneficios a obtener entre los momentos 31 y 636 inclusive, para calcular los costos mensuales equivalentes se tiene en cuenta que la cantidad de beneficios (n-h) es 606 y el momento h es 30. Al igual que ocurre en el ejemplo anterior, y por las mismas razones, la decisión puede hacerse a partir de los resultados de cualquiera de los tres indicadores. Si se comparan los costos medios de este ejemplo con el anterior, en el cual las fases de inversión eran las mismas para las dos alternativas de construcción, se observa lo siguiente: En el caso de compra de energía es de $ 35 en ambos casos. En el caso de construcción directa, es mayor que en el caso anterior, lo cual es razonable porque durante 6 meses se compra energía a un costo mayor que el implícito en la construcción directa. En el caso de concesión, el costo medio es inferior que en el caso anterior, debido a que ahora se compra energía durante 6 meses a un costo inferior al costo medio implícito en esta alternativa. La diferencia es muy pequeña debido a que estos 6 meses se ubican dentro de 52 años y fracción. Ejemplo 5: Servicio de educación general básica con dos alternativas, ambas con inversión instantánea Supóngase que en una zona existe una cierta cantidad de niños a los cuales no se les imparte la enseñanza general básica y se trata de determinar la mejor forma de prestar el servicio, de manera de ser eficiente en el uso de los recursos de la comunidad. Dada una determinada calidad de enseñanza, indudablemente hay muchas formas de prestar ese servicio a un conjunto determinado de niños y cada una tiene sus costos para la comunidad. Debiera elegirse aquella que, para una cierta calidad de servicio, represente el menor costo social Nuevamente, también sería válido hacer los cálculos a partir de los flujos de costos de obtener energía entre los momentos 1 y

12 A los efectos de simplificar el caso, se supone aquí que existen solamente dos formas de prestar el servicio: Crear una nueva escuela. Trasladar a los niños a una escuela existente con capacidad ociosa. Los datos básicos del ejemplo son los siguientes: Concepto Valores Unidades A. Escuela nueva Inversión en edificio y terreno $ Duración del edificio 50 años Valor residual del edificio y terreno $ Inversión en mobiliario $ Valor residual del mobiliario 0 $ Duración del mobiliario 10 años Costos operativos $/año vencido Cantidad alumnos a atender 150 por año B. Traslado de niños a una escuela existente Inversión en vehículos $ Duración de los vehículos 5 años Valor residual de los vehículos $ Costos operativos de los vehículos $/año vencido Costos operativos adicionales de la escuela $/año vencido Cantidad de alumnos a atender 150 por año Los costos operativos de la escuela incluyen conceptos tales como costos del personal (maestros, director y personal de apoyo), del material didáctico y de los servicios (electricidad, gas, etc.). Los costos operativos de los vehículos incluyen al conductor, el combustible, etc. Se supone lo siguiente: La inversión es instantánea. La escuela existente puede ser utilizada durante 50 años y el mobiliario puede volver a comprarse en el futuro tantas veces como sea necesario. En el cuadro siguiente se presenta, para cada alternativa y distintas tasas sociales de descuento 6, los valores del VAC, el CAE y el costo medio por alumno, calculado como CAE dividido por la cantidad de alumnos a atender anualmente. En el caso del VAC, es de cada alternativa sin repetir (se indica entre paréntesis la cantidad de años de operación considerada). 6 Por tratarse de un proyecto que debe evaluarse desde el punto de vista de la sociedad en su conjunto, debe utilizarse una tasa de descuento que refleje el costo de oportunidad social de los fondos para invertir, es decir, la tasa social de descuento. 12

13 Tasa anual VAC (50 años) Alternativa A CAE Costo medio VAC (5 años) Alternativa B CAE Costo medio 6% , ,92 661, , ,99 737,81 8% , ,94 743, , ,81 764,85 10% , ,95 828, , ,29 792,42 12% , ,99 915, , ,72 820,50 Se puede observar que, para cada alternativa, la duración de las inversiones es distinta: en el caso A la vida del edificio es de 50 años y la del mobiliario de 10; en el B, los vehículos duran 5 años. Esto implica que no es válido elegir la alternativa de menor VAC, puesto que los beneficios no son iguales para ambas. En efecto, aunque la cantidad de niños a atender por año es la misma, en un caso se atiende a 150 niños por año durante 50 años, mientras que en otro se atiende a 150 por año durante 5 años. Una forma de solucionar este problema es igualar los horizontes de evaluación y calcular el VAC; otra es calcular el CAE. Los costos anuales equivalentes de ambas alternativas son comparables puesto que ambas atienden anualmente la misma cantidad de niños. En este caso corresponde elegir la alternativa de mínimo costo anual equivalente. Obsérvese que el resultado es el mismo que si se elige la de mínimo costo medio por alumno, debido a que el costo medio es igual al costo anual equivalente dividido por la cantidad de alumnos atendidos anualmente, que es la misma para ambas alternativas. Para la tasa de descuento del 6% anual, el menor CAE corresponde a la alternativa A, mientras que para las otras tasas consideradas, la alternativa que tiene el menor CAE es la B. Lo mismo ocurre con los costos medios. Otro tema que vale la pena mencionar es que para las tasas de descuento más altas se tiende a elegir alternativas que implican menor inversión inicial. Esto tiene su explicación en el hecho de que cuanto más alta es la tasa de descuento, mayor es el costo de mantener inmovilizados los fondos en el proyecto. Ejemplo 6: Servicio de educación general básica con inversión no instantánea Se supone ahora algo distinto para la alternativa A del Ejemplo 5: la fase de inversión es de dos años, tiempo que se requiere para construir el nuevo edificio escolar; el 50% de la inversión en edificio corresponde al momento 0 y el otro 50% al 1; el mobiliario se compra en el momento 2. Los datos de la alternativa B no se modifican. En este caso, el CAE de cada alternativa no puede tomarse como un indicador correcto puesto que si bien los alumnos atendidos anualmente son los mismos con ambas alternativas, la prestación del servicio es diferente: en el caso de B los beneficios comienzan en el primer año mientras que en el A comienzan recién en el tercero. Entonces es necesario buscar formas de prestar el servicio durante la misma cantidad de años para que las alternativas sean comparables. Por ejemplo, se puede pensar en: Alquilar un edificio donde funcione la nueva escuela mientras se construye el edificio nuevo. Alquilar un edificio donde funcione la nueva escuela y no construir el edificio. Comprar los vehículos, usarlos durante 5 años y mientras tanto construir la escuela. 13

14 Comprar los vehículos, usarlos durante 2 años y mientras tanto construir la escuela. En este caso es necesario conocer el valor residual de los vehículos al cabo de dos años. Los datos adicionales son: El alquiler a pagar por el uso del edificio es de $ por año vencido. Puede alquilarse por la cantidad de años que se desee. Los costos de mobiliario y los operativos coinciden con los del caso de construcción. Se supone que todas las alternativas permiten brindar la misma calidad de servicio. En primer lugar, en el cuadro siguiente se presentan, para varias tasas sociales de descuento, los VAC y CAE que surgen de considerar cada alternativa pura, es decir, sin combinar con otra: construcción nueva, traslado de los niños y alquiler. En la alternativa de alquiler se consideran 10 años de operación por razones de practicidad: coincide con la duración del mobiliario. Tasa anual A. Construcción nueva B. Vehículos C. Alquiler VAC VAC VAC CAE CAE CAE (50 años) (5 años) (10 años) 6% , , , , , ,78 8% , , , , , ,51 10% , , , , , ,36 12% , , , , , ,65 Si la tasa es del 8% o del 10% anual, no hay dudas de que lo mejor es comprar los vehículos y trasladar a los niños a otra escuela. Si la tasa es del 12% anual, conviene la alternativa de alquiler. En estos dos casos, el servicio se presta desde el primer año durante todo el tiempo que se desee. Si la tasa de descuento es del 6% anual, la alternativa A es la de menor costo anual equivalente, pero no presta el servicio desde el primer año. Entonces, en esta situación hay que considerar la combinación de la alternativa de creación de la nueva escuela y construcción del edificio con otras alternativas para los primeros años. Por simplicidad, se consideran solamente algunas de las combinaciones posibles. En el siguiente cuadro, para la tasa del 6% anual, se presentan los flujos anuales de los CAE a fin de cada año, en miles de pesos, el VAC para infinitos años y el CAE promedio correspondiente a infinitos años. Alternativas combinadas a VAC CAE promedio Dos años de alquiler + construcción 118,55 118,55 102,77 102,77 102,77 102, ,69 104,50 Cinco años vehículos + construcción 110,67 110,67 110,67 110,67 110,67 102, ,06 104,76 En el caso de la combinación de dos años de alquiler y el comienzo inmediato de la construcción del edificio nuevo, los dos primeros años se tiene el CAE de alquilar y luego el CAE de la escuela nueva con edificio propio. Estos cálculos suponen que el mismo mobiliario se utiliza primero en el edificio alquilado y luego en el propio. 14

15 La otra opción que se analiza es la de trasladar a los niños a la otra escuela durante cinco años y dentro de tres años iniciar la construcción del nuevo edificio que será utilizado a partir del sexto año. Si se observan los flujos de CAE, no es posible elegir la mejor de las dos opciones sin hacer algunos cálculos adicionales. En efecto, desde el sexto año hasta infinito el CAE de ambas es el mismo, pero en los cinco primeros años la segunda opción implica un costo de $ 110,67 por año, mientras que la primera alternativa tiene un costo superior durante dos años y uno inferior en los tres restantes. Una forma de trabajar con la información para tomar la decisión es calcular el VAC hasta infinito para cada opción combinada (a efectos de igualar los horizontes de evaluación) y a partir de allí calcular los respectivos CAE. Se puede observar que la opción combinada de menor CAE promedio es la de alquilar un edificio durante dos años mientras se construye el nuevo edificio, y a su vez ese CAE promedio es menor que los de las dos opciones puras que también permiten prestar el servicio educativo desde hoy (vehículos y alquiler). Ejemplo 7: Cambio de una máquina vieja por una nueva Este ejemplo corresponde a una empresa en marcha que está estudiando la conveniencia de cambiar una máquina con alto costo de mantenimiento por otra nueva, para lo cual existen dos opciones. Se supone que las funciones que cumplen todas las máquinas son idénticas en cuanto a cantidad producida, calidad, etc. y que la empresa durará para siempre. Los datos son los siguientes. Concepto Tasa de descuento Valores Unidades 1% mensual Máquina vieja A Precio hoy $ Duración adicional 36 meses Valor residual 800 $ Costo de mantenimiento 360 $/mes vencido Máquina nueva B Precio de compra $ Duración en operación 120 meses Valor residual $ Tiempo de instalación 3 meses Costo de mantenimiento 150 $/mes vencido Máquina nueva C Precio de compra $ Duración en operación 96 meses Valor residual $ Tiempo de instalación 6 meses Costo de mantenimiento 200 $/mes vencido Las máquinas B y C deben pagarse en el momento de su compra, pero en ambos casos su instalación requiere algunos meses, por lo cual su operación no comienza en forma inmediata. Por otra parte, la compra de estas máquinas puede repetirse en el tiempo y se supone que se puede hacer en las mismas condiciones. 15

16 El resumen de los resultados para cada alternativa en forma pura (sin combinarla con otra) se presenta en el siguiente cuadro. Los VAC y los costos mensuales equivalentes (CME) son los correspondientes a las alternativas sin repetir. 7 Alternativa VAC CME Orden Máquina vieja A ,56 507,50 1º Máquina nueva B ,84 997,79 3º Máquina nueva C ,52 877,60 2º En este caso no corresponde utilizar el VAC como indicador porque cada alternativa tiene distinta duración. Es una situación en la cual es conveniente utilizar el costo mensual equivalente. En el cuadro se ha indicado el orden de las alternativas, comenzando con la de menor CME. Sin embargo, en esta situación no es posible optar por las alternativas puras, porque ninguna de ellas permite obtener la producción mensual de la empresa en forma permanente. En efecto, la alternativa A presta el servicio durante 36 meses a partir de ahora y no puede repetirse, la B con repetición puede prestar el servicio desde el mes 4 hasta infinito y la alternativa C con repetición puede prestarlo desde el mes 7 hasta infinito. Si bien la alternativa A (continuar usando la máquina vieja) no es repetible, ella ocurre necesariamente al comienzo del horizonte de evaluación, y se puede combinar con la B o la C, que sí se pueden repetir. En el cuadro siguiente se indican las combinaciones relevantes de las tres alternativas puras con sus respectivos flujos de costo mensual equivalente. Alternativas combinadas 1 a 3 4 a 6 7 a a Máquina A 36 meses + B repetida 507,50 507,50 507,50 997,79 Máquina A 36 meses + C repetida 507,50 507,50 507,50 877,60 Máquina A 3 meses + B repetida 507,50 997,79 997,79 997,79 Máquina A 6 meses + C repetida 507,50 507,50 877,60 877,60 Por razones de simplicidad, aquí se está utilizando para todos los casos el mismo costo mensual equivalente de la máquina vieja calculado para el caso de utilizarla durante los próximos 36 meses 8. En una situación real habría que calcular nuevamente ese costo para 7 Se debe notar que el CME, para las alternativas repetibles, puede calcularse también a partir del VAC hasta infinito y que el resultado será exactamente el mismo. Se debe ser cuidadoso en el armado del flujo de costos hasta infinito, porque evidentemente no hay que esperar a que se acabe la vida de la máquina para comprar la siguiente, dado que su instalación requiere un tiempo. 8 Esto implica suponer que la máquina vieja pierde mensualmente un valor igual a su costo mensual equivalente, que es igual a $ 147,50 (sin costos de mantenimiento). Esto implica que se está considerando que el valor residual de la máquina al cabo de 3 meses es igual a $ 4.704,57. En efecto, el VAC correspondiente a 3 meses es igual al valor hoy menos el valor actual del valor residual (VR) y también es igual al valor actual del CME: VAC 3 VR 3 3 (1,01) 1 = 5000 = 147,50, 3 3 (1,01) (1,01) 0,01 3 (1,01) 1 3 de donde surge: VR3 = ,50 (1,01) = $ 4.704, (1,01) 0,01 16

17 las últimas dos alternativas combinadas, en las cuales se utiliza durante 3 y 6 meses, respectivamente. A simple vista se puede determinar que la mejor opción es continuar usando la máquina A durante 36 meses y luego continuar con la C hasta infinito. Esto surge de comparar los CME de cada período para las diversas alternativas combinadas. Dado que en algunos meses los costos coinciden, basta comparar los que no coinciden. Así, entre las dos primeras, lo único diferente es el CME desde el momento 37 hasta infinito, y el de la segunda alternativa es menor. La tercera alternativa es peor que la segunda porque tiene CME más altos desde el momento 4 hasta infinito. También la cuarta es peor que la segunda, porque sus costos son más altos desde el momento 7 al 36. Lo que se ha mostrado con este ejemplo es que si bien una de las alternativas no es repetible en el tiempo, se puede igualmente utilizar el costo periódico equivalente (en este caso, mensual) para elegir el curso de acción más conveniente. En cambio, si las alternativas de comprar máquinas nuevas (B y C) no fueran repetibles, la utilización de este indicador no sería posible. Todo este análisis tiene la limitación de que a través del tiempo normalmente aparecen nuevas tecnologías que pueden ser más convenientes, por lo que el supuesto de que esas son las únicas alternativas disponibles no es estrictamente adecuado. Sin embargo, el resultado suele ser una buena aproximación en la elección entre las alternativas disponibles al momento de tomar la decisión. B. Costo medio (CMe) 1. Definición, significado y regla de decisión El costo medio es lo que en promedio cuesta producir una unidad de un bien. Para calcularlo es necesario tener en cuenta todos los costos relevantes para la decisión que se está evaluando. El resultado queda expresado en pesos por unidad producida. Para interpretar el número resultante es importante tener en cuenta que los costos relevantes (al igual que los beneficios) dependen de la decisión que está en juego. Si la decisión que se evalúa es de crear o no una empresa para producir un determinado bien, todos los costos son evitables y, en consecuencia, aparecen en el flujo de beneficios y costos. Entonces, el costo medio incluye todos los costos de producir el bien, incluidos por ejemplo los correspondientes al edificio donde va a funcionar la fábrica. En cambio, si la decisión es si producir o no en el corriente año, dado que no se está considerando la opción de cerrar la empresa, el costo medio resultante no incluye el costo del edificio. Dado que el costo medio abarca todos los costos relevantes para tomar la decisión que se está evaluando, si coincide con el precio de venta, con los ingresos por ventas se cubren exactamente todos los costos del proyecto y por lo tanto, en esa situación, el VAN del proyecto es igual a cero. De lo anterior surge la regla de decisión: Costo medio < Precio de venta es mejor ejecutarlo que no ejecutarlo, Costo medio = Precio de venta es indiferente ejecutarlo o no ejecutarlo, Costo medio > Precio de venta es mejor no ejecutarlo que ejecutarlo. Cuando se trata de elegir entre proyectos o entre alternativas de un mismo proyecto, este indicador tiene algunas limitaciones, tal como se muestra más adelante. 17

18 2. Forma de cálculo Hasta este momento se ha calculado el costo medio o promedio por unidad producida dividiendo el costo periódico equivalente por la cantidad producida por período: CPE CMe =. X Sin embargo, esta fórmula no es correcta en las siguientes situaciones: Las cantidades producidas y vendidas no son constantes a lo largo de toda la fase de operación del proyecto. Esto puede ocurrir por diversos motivos, como por ejemplo: o Proyectos agrícolas en los cuales la cantidad producida varía acorde con los años de antigüedad de la planta. o Proyectos en los cuales se va ganando mercado a través del tiempo. Algunos costos dependen del precio de venta por unidad. Esto ocurre, por ejemplo: o Proyectos que deben pagar impuestos que dependen de los ingresos por ventas, como el impuesto sobre los ingresos brutos, el impuesto al consumo o a la producción del bien. o Proyectos que pagan regalías por la explotación de recursos naturales que son propiedad del Estado (petróleo, minas, etc.). o Proyectos que pagan franquicias por la utilización de una marca. Algunos costos dependen de los ingresos y del resto de los costos del proyecto, como es el caso del impuesto a las ganancias o a la renta. A los efectos de encontrar la fórmula correcta para cada situación se debe tener en cuenta que el costo medio debe cumplir la siguiente condición: si coincide con el precio de venta del bien, el VAN del proyecto es igual a cero. Las demostraciones que siguen se basan es este concepto. Se analizan a continuación dos casos: uno en el cual todos los costos son independientes del precio de venta y otro en el cual algunos costos dependen del precio de venta. En ambas situaciones, el planteo se realiza suponiendo que las cantidades son variables, y luego se analiza cómo se simplifica el resultado si son constantes. a) Todos los costos son independientes del precio de venta La condición que debe cumplirse para obtener el costo medio es: P Xh VAN = VAC + (1+ r) + 1 h+ 1 P Xh h P X h+ (n h) h+ (n h) = 0, (3) donde VAC es el valor actual de los costos; P es el precio de venta por unidad; X h+j es la cantidad vendida en el momento h+j; r es la tasa de descuento; h es el momento correspondiente a un período antes del momento en que se obtiene el primer beneficio del proyecto; n es el momento final de la vida del proyecto; y (n-h) es la cantidad de períodos en los que se perciben beneficios. En la fórmula (3) se despeja P: 18

19 P = X h+ 1 h+ 1 VAC X + (1+ r) h+ 2 h X n n. El denominador de esta fórmula es igual al valor actual de las cantidades (VAQ), de modo que también se puede escribir como: VAC P =. (4) VAQ Por otra parte, se debe recordar la relación que existe entre el VAC y el costo periódico equivalente (CPE): CPE VAC = h (1+ r) n h n h 1. (5) r Esta misma fórmula puede utilizarse para encontrar la relación entre el VAQ y una cantidad periódica equivalente (QPE): QPE VAQ = h (1+ r) n h n h 1. (6) r Reemplazando (5) y (6) en (4), y teniendo en cuenta que el costo medio es el precio que hace el VAN igual a cero, se llega a: VAC CPE CMe = =. (7) VAQ QPE Es decir que el costo medio puede calcularse a partir del valor actual de los costos o a partir del costo periódico equivalente. Esta fórmula es general para el caso en que ninguno de los costos depende del precio de venta, sin importar si las cantidades son o no constantes a través del tiempo. Si son constantes, X h+1 = X h+2 =... = X n, y por lo tanto el valor actual de las cantidades es: 1 VAQ = X h (1+ r) h n X = h n h n h 1. r Reemplazando este resultado en (6), se obtiene: QPE = X. (8) Entonces, si la cantidad vendida es constante, la fórmula (7) se puede escribir como sigue: VAC CPE CMe = =, (9) VAQ X que coincide con la que se ha utilizado al analizar el costo periódico equivalente. 19

20 Es importante notar que un error bastante común consiste en aplicar la fórmula (9) a casos en los cuales las cantidades no son constantes, reemplazando X por el promedio simple de las cantidades de cada período para toda la vida del proyecto. Si las cantidades son siempre crecientes, la utilización de la cantidad promedio conduce a una subestimación del costo medio. La razón es la siguiente: en el cálculo del valor actual de las cantidades, las que están más alejadas en el tiempo pierden importancia relativa, por lo cual el valor actual de las cantidades promedio es mayor que el valor actual de las cantidades crecientes, con lo cual la cantidad periódica equivalente también lo es. Al dividir por una cantidad mayor, el costo medio es menor. Lo contrario ocurre si las cantidades son decrecientes. A continuación se presentan dos ejemplos: uno para cantidades constantes y otro para cantidades crecientes. Ejemplo 8: Cantidades constantes Supóngase que se está analizando la creación de una empresa que producirá un bien X. Los datos básicos son: Concepto Valores Unidades Inversión total $ En el momento $ En el momento $ Valor residual $ Duración fase de inversión 1 año Duración fase de operación 4 años Costos fijos $ por año vencido Costos variables 23 $ por unidad, adelantados Cantidad producida unidades por año Precio de venta 90 $ por unidad, vencido Tasa de descuento 10% anual El flujo de beneficios y costos del proyecto es el siguiente: Concepto Inversión Costos fijos Costos variables Ingresos por ventas Beneficios netos Los resultados son los siguientes: Concepto Valores VAC ,64 CAE ,13 VAQ 2.881,70 QAE 1.000,00 X 1.000,00 CMe = VAC/VAQ 59,59 CMe = CAE/QAE 59,59 20