Problemas de Transformada de Fourier

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1 Transformada de Fourier AM-III-9-. Chapter 8 Problemas de Transformada de Fourier 8.. En lo sucesivo denotaremos por u(x) a la función de Heaviside (también llamada función escalón) por tri(x) a la función triángulo, definidas por: u(x) = por rect(x) = u(x + ) u(x ). { { si x > si x <, tri(x) = x si x si x >, Calcular las transformadas de Fourier de las siguientes funciones: a) f (x) = e ax u(x), con R(a) >. b) f (x) = e ax u( x), con R(a) >. c) f 3 (x) = xk k! e ax u(x), con R(a) > f 4 (x) = xk k! eax u( x), con R(a) >. d) f 5 (x) = e a x, con R(a) >. e) f 6 (x) = sgn(x)e a x, con R(a) >. f) f 7 (x) = tri(x) de f 7 (x). g) f 8 (x) = cos(ζ x) [u(x + x ) u(x x )]. 8.. Con la misma notación que en el problema anterior, calcular, utilizando las propiedades de la transformada de Fourier, las transformadas de las siguientes funciones: a) f(x) = {u(x + a + x ) u(x + a x ) + u(x a + x ) u(x a x )}. b) f(x) = cos (ζx) rect (x) Para cada número real a + calcular la trasformada de Fourier de χ [ a,a] Comprobar que las transformadas de Fourier de las funciones dadas son las indicadas

2 . Transformada de Fourier AM-III-9- a) (Distribución Normal) Si f(x) = π e x, entonces F (f)(t) = e t. b) (Distribución de Cauch) Si f(x) = π +t, entonces F (f)(t) = e t Demostrar que si f : CI es una función integrable Riemann sobre cualquier intervalo [a, b] f es absolutamente integrable sobre ( es decir, f(t) dt < + ), entonces F (f) es uniformemente continua Demostrar que si {f n } es una sucesión de funciones de L () que converge en la métrica de dicho espacio, entonces la sucesión F (f n ) converge uniformemente Sea f L (() ) a \ {} considerar g(t) = f(at). Comprobar que F (g)(ζ) = a F (f) ζ a. Sea f L () n Z + tal que la función t n f(t) es de L (). Comprobar que si g(t) = t n f(t) entonces F (g)(ζ) = i n dn dζ n (F (f)) (ζ) Probar que si f C () L () tal que f L () entonces f(x) cuando x Sea f C () L () tal que f, f L (), demostrar que a) f (x) cuando x +. b) lim + f()e ix existe para cada número real x que por tanto f() cuando +. c) Como consecuencia de a) b) demostrar que F (f )(ζ) = ζ F (f)(ζ) para cada ζ. 8.. Recordemos que dada una función f : CI un denotabamos por f la función f (x) = f(x ) que dada una función f L p () con p < + la aplicación Φ : L p () dada por Φ() = f es uniformemente continua. Utilizar este resultado para demostrar que F (f)(ζ) cuando ζ +. (Sugerencia: Comprobar que F (f)(ζ) = F ( f π/ζ ) (ζ) acotar F (f)(ζ) f f π/ζ utilizar el resultado dado). 8.. Calcular la transformada inversa de Fourier de las siguientes funciones: a) g(ζ) = b) g(ζ) = e ζ c) g(ζ) = sin(ζt ) (iζ+)(ζ +) (ζ i) d) g(ζ) = (iζ+)(iζ+3) e) g(ζ) = iζ ζ 3iζ 8.. Demostrar que si f, g L () ˆf, ĝ L (), entonces f g(t) = para todo t Sabemos que si f(x) = e αx entonces ˆf(x) = π fórmula de inversión se verifica para f, es decir, + π ˆf()e ix d = f(x), α e x 4α ( ˆf ĝ ) (t). Comprobar que la

3 Transformada de Fourier AM-III-9-3. para todo x, por tanto π π α e 4α e ix d = e αx, Demostrar que si definimos la función p α (α > ) por p α (x) := α π e xα entonces {p α } (α + ) es una identidad aproximada en L (). De la misma forma si β > p β (x) := (πβ) / e x β para todo x, entonces { p β } (β ) es una identidad aproximada. La función p β recibe el nombre de núcleo de Gauss de parámetro β Sea t > sea χ t (x) = para x t χ t (x) = para x > t. Mostrar que χ t (x) = sin(tx) x. Encontrar el conjunto de puntos para los cuales se verifica a lim χ t ()e ix d = χ t (x), a + π a comprobar que a lim a + a { sin(t) cos(x) π d = si x t si x > t. La función D t (x) = π χ t(x) = sin(tx) πx parámetro t. recibe el nombre de núcleo de Dirichlet de 8.5. Sea t > χ t la función característica ( ) del intervalo [ t, t] (como en el problema anterior). Considerar b t (x) := x t χ t (x). Demostrar χ t χ t = tb t (Observar que χ t b t son de L ()) que por tanto Comprobar además que t b t = ( χ t ) = 4 sin (tx) x, b t (x) = sin (tx/) t(x/). + b t ()e ix d = b t (x) π para todo x. La función F t (x) = π b t (x) se llama núcleo de Fejer de parámetro t. Para finalizar, comprobar que {F t } es una identidad aproximada Para completar la lista de núcleos mencionar que la función P t (x) := t π(t +x ) recibe el nombre de núcleo de Poisson de parámetro t (t > ). Notar que P t (t ) es una identidad aproximada. Notar también que P t (x) = e t x Sea f L () verificando que: i) Existe un número finito de reales a, a,..., a p tales que f es continuamente derivable en ], a [, ]a, a [,..., ]a p, a p [, ]a p, + [. ii) f L ().

4 4. Transformada de Fourier AM-III-9- Demostrar que, para cada x se tiene que: lim a + π a a f(λ)e ixλ dλ = {f(x+) + f(x )} donde f(x+) = lim f(t) f(x ) = lim f(t). t x + t x (Nota: Adaptar la demostración del teorema de la integral de Fourier) 8.8. Sabemos que g(λ) = sin λ λ es la transformada de Fourier de la función f(x) = χ [,](x). Calcular lim a + a g(λ)e ixλ dλ. π a 8.9. Sea f : [, + [ una función de L ([, + [). Definiremos la transformada en seno de Fourier de f, la denotaremos por F s f, como la función definida por Se pide: (F s f) (x) := a) Bajo las hipótesis necesarias, probar que π para cada x [, + [. (sin(x))f()d. (sin(x)) (F s f) ()d = f(x), (Sugerencia: aplicar la fórmula de inversión a la extensión impar de f) b) Probar que si f C ([, + [) L ([, + [), f L ([, + [) lim x + f(x) = lim x + f (x) =, se tiene que: ( Fs f ) () = f() (F s f) (). 8.. Sea f : [, + [ una función de L ([, + [). Definiremos la transformada en coseno de Fourier de f, la denotaremos por F c f, como la función definida por Se pide: (F c f) (x) := a) Bajo las hipótesis necesarias, probar que π para cada x [, + [. (cos(x))f()d. (cos(x)) (F c f) ()d = f(x), (Sugerencia: aplicar la fórmula de inversión a la extensión par de f) b) Probar que si f C ([, + [) L ([, + [), f L ([, + [) lim x + f(x) = lim x + f (x) =, se tiene que: ( Fc f ) () = f () (F c f) ().

5 Transformada de Fourier AM-III-9-5. c) Encontrar la transformada coseno de Fourier de la función f(x) = e kx, k >, usando la relación dada en b) utilizando la definición. 8.. Utilizando el producto de convolución la transformada de Fourier encontrar una función f(t) que verifique la ecuación integral para todo t. f(t) se s f(t s)ds = 4e t cos(t)u(t) 8.. Resolver, formalmente, las siguientes ecuaciones diferenciales, utilizando la transformada de Fourier: a) + x + =, b) x + x =, c) + f =, donde = (x) f es una función dada. Qué condiciones técnicas apropiadas se han de imponer a las funciones f para que todas las propiedades utilizadas queden justificadas? Considerar S() el espacio de las funciones de Schwartz. Demostrar que dicho espacio es estable por la multiplicación por un polinomio por derivación. Comprobar que la función f(x) = e ax, a >, es un elemento de S() Se dice que la sucesión {f n } de elementos de S() tiende hacia cuando, n tiende a +, si { } para todos p, q IN {}, lim sup x p f (q) n + n (x), x =. Si la sucesión {f n } de elementos de S() tiende hacia en S(), demostrar que: i) f n en S(). ii) Para todo polinomio P, P f n en S(). iii) f n en L (). iv) f n en S() Sea f S() sea F (f) su transformada de Fourier ( que sabemos que es un elemento de S()). Pongamos para abreviar F (f) = F (F (f)) F 3 (f) = F (F (f)). Probar que para cualquier función f S() la función g = f + F (f) + F (f) + (π) F 3 (f), que también pertenece a S(), es invariante por la transformada de Fourier, es decir, F (g) = g Sea f C () tal que f, f, f L (). demostrar que f(u) f u (u ), que para alguna constante positiva A (dependiendo de f) f(u) A ( + u ), para todo u.

6 6. Transformada de Fourier AM-III Probar que si {f n } es una sucesión de elementos de S() tal que lim n f n = f en L (), además f L (), entonces f = lim n fn (en L ()) Sea f una función continua suave a trozos tal que f, f L (). Demostrar que f L () Demostrar que si H es un espacio de Hilbert <, > representa su producto escalar, se verifica que: 4 < x, >= x + x + i x + i i x i, identidad que recibe el nombre de identidad polar. Si consideramos en L () su producto escalar dado por: < f, g >= f(x)g(x)dx, utilizando la identidad polar el teorema de Plancherel demostrar que 8.3. < Jf, Jg >= π < f, g >. a) Sea a > f(x) = e x x a, para x > f(x) = para x. demostrar que J(f)(ζ) = Γ(a)( + iζ) a. b) Utilizando el teorema de los residuos comprobar que ( ) J x 4 (ζ) = π e ζ (cos ζ + sin ζ ) Siendo a b números reales positivos, utilizar el teorema de Plancherel para probar las fórmulas indicadas: a) sin(at) sin(bt) dt = π min{a, b}. t b) t (t +a )(t +b ) dt = π a+b. c) ( + it) a ( it) b dt = a b πγ(a+b ) Γ(a)Γ(b), donde a, b > / (usar el problema anterior apartado a.) 8.3. a) Para t >, probar que ( sin(t) ) 4 d = t3 π 3 (Nota: Utilizar la transformada de Fourier del prob. 4 la identidad de Parseval).

7 Transformada de Fourier AM-III-9-7. b) Para t >, calcular la integral ( ) sin(t) 3 d (Nota: Utilizar la transformada de Fourier de χ t el ejemplo visto en clase). c) Para t >, evaluar la integral para 5 n. ( ) sin(t) n d Estudiar la relación de la transformada de Fourier-Plancherel, J : L () L (), con las aplicaciones f a f σ Considerando el siguiente resultado: x α e x+ixt dx = Γ(α)( it) α para t α >, con la convención para z α con Re(z) >. Calcular las transformadas de Fourier-Plancherel de las siguientes funciones: a) x α e x u(x). b) x α e x u( x). c) x α e x. d) isgn(x) x α e x. e) (x a ib) n con n IN, a b reales b f) b(x + b ). g) x(x + b ). h) f(x), donde f(x) es una función racional sin polos reales sin parte entera Calcular las transformadas de Fourier-Plancherel de las siguientes funciones: a) sin(x) x b) sin (x) x. c) ( x ) +, donde a + = max{, a} Se sabe que si f L () g L () entonces f g L () f g f g. Demostrar que si h = f g entonces ĥ = ĝ f, donde ĝ es la transformada de Fourier de g L () f, ĥ son las transformadas de Fourier-Plancherel en L () Sea g b (x) = isgn(x)e b x para b > sea J gb su transformada de Fourier- Plancherel en L () sea M gb el operador de L () dado por M gb f(x) := g b (x)f(x). Considerando se pide: H b = J M gb J,

8 8. Transformada de Fourier AM-III-9- a) Demostrar que H b f(x) = π para casi todo x, si f L () b >. b) Si f L (), mostrar que f(x )d + b + H f(x) = lim b π f(x )d + b existe en L () calcular su transformada de Fourier-Plancherel. también H f. (Nota: H f recibe el nombre de transformada de Hilbert de f.) Calcular Sea H n el n-ésimo polinomio de Hermite dado por Se pide: H n (x) := ( ) n e x dn ( dx n e x). a) Calcular los 4 primeros polinomios de Hermite. b) Si consideramos la n-ésima función de Hermite, h n (x), dada por h n (x) := e x Hn (x) demostrar que se verifican las relaciones: xh n (x) + h n(x) = nh n (x) (). xh n (x) h n(x) = h n+ (x) (). h n(x) x h n (x) + (n + )h n (x) = (3). c) Demostrar que ĥn(ξ) = π( i) n h n (ξ) (Sugerencia: Usar inducción sobre n. Demostrarlo primero para h utilizando la transformada de Fourier de e ax. Considerando el resultado cierto para n, demostrarlo para n + aplicando la transformada de Fourier a la ecuación ().) Dada una función f L () se define la función autocorrelación F como Comprobar que: F (x) := a) F (x) f, para cada x. b) F es uniformemente continua sobre. Si consideramos f σ (x) = f( x), entonces: f(x + )f()d.

9 Transformada de Fourier AM-III-9-9. c) F (x) = (f (f) σ )(x). d) Comprobar que F (x) = f(x) por tanto que F L () Dada una función f se define la dispersión de f alrededor del punto a como a f = (x a) f(x) dx, f(x) dx siendo a f una medida de la concentración de f alrededor del punto a. Sea F (x) = e iαx f(x + a). Se pide: a) Demostrar que a f = F. b) Ver que F (ξ) = e ia(ξ+α) f(ξ + α) por tanto α f = F. c) Si f es una función que satisface las hipótesis del principio de incertidumbre demostrar que ( a f)( α f) para cada a, α. 4 d) Demostrar que ( f)( f) 4 es una igualdad si solo si f (x) + cxf(x) =, donde c es una constante real por tanto observar que las funciones que cx minimizan el producto ( f)( f) son de la forma f(x) = Ce, para alguna constante c >. Que funciones minimizan el producto ( a f)( α f) en el caso general dado en c)? Sea f L ( n ), se define la transformada de Fourier de f por f(ξ) = F (f)(ξ) := e i<ξ,x> f(x)dx. n Dada f L (), comprobar que: a) Si a n, F (f(x a))(ξ) = e i<ξ,a> f(ξ), F ( e i<a,x> f(x) ) (ξ) = f(ξ a). b) Si δ > f δ (x) = δ n f(δ x), entonces F (f δ )(ξ) = f(δξ), ( ) F (f(δx))(ξ) = f (ξ). δ c) Si D j f existe es de L ( n ) entonces Si además x j f(x) L ( n ), entonces F (D j f)(ξ) = iξ j f(ξ). F (x j f(x)) = i f ξ j. d) Si g L ( n ), entonces f g L ( n ) F (f g) = fĝ. e) La transformada de Fourier commuta con rotaciones: si R es una rotación de n, entonces F (f(rx)) (ξ) = f(rξ).

10 . Transformada de Fourier AM-III-9- f) Calcular la transformada de Fourier de la función Nota: Si dada f L ( n ) definimos f(x) = e a x, x n a >. f (x) := (π) n n e i<ξ,x> f(ξ)dξ. Entonces se puede demostrar que si f L ( n ) C( n ) si f L ( n ) se tiene que f(x) = ( ) (π) n e i<ξ,x> f(ξ)dξ = f (x), n en todo punto x, siguiendo los mismos pasos que en el caso unidimensional. De la misma forma el teorema de Plancherel se verifica en n, con una demostración mu similar, quedando la identidad de Parseval de la forma < f, ĝ >= (π) n < f, g >, f = (π) n f Sea T una transformación lineal invertible en n. Demostrar que (f T ) = dett f (T ) t Se dice que una función f en n es radial si f(rx) = f(x) para toda rotación R, esto es, si f(x) depende solo de x (f(x) = f ( x )). a) Comprobar que si f es radial, entonces f es radial ( f(ξ) = f ( ξ ). b) Si consideramos f L ( ) considerando x = (r cos θ, r sin θ) ξ = (ρ cos φ, ρ sin φ), entonces π f(ξ) = f(x)e i<x,ξ> dξ = f (r)e irρ cos(θ φ) rdθdr. c) Si consideramos la fórmula integral de Bessel dada por J n (x) = π π π e ix sin θ inθ dθ = π π cos(x sin θ nθ)dθ utilizando la transformación θ θ + φ + π, comprobar que la θ-integral, del apartado b), es independiente de φ como se obtiene que π f (ρ) = π e irρ sin θ dθ = πj (rρ), f (r)j (rρ)rdr. (Nota : La integral de la derecha en c) sin el factor π recibe el nombre de transformada de Hankel de orden cero de f.) Sea f L ( ) tal que f(re iθ ) = f (r)e ikθ para algún entero k. Entonces:

11 Transformada de Fourier AM-III-9-. a) Demostrar que: f(ρe iφ ) = πi k g (ρ)e ikφ donde g (ρ) = (H k f ) (ρ) = f (r)j k (ρr)rdr es la transformada de Hankel de orden k de f. b) Deducir, usando la foŕmula de inversión el teorema de Plancherel que en L r([, + [). H k (H k (f)) = f f(r) rdr = H k f(r) rdr. c) Suponer que f(r) C ([, + [) que rf(r), rf (r) rf (r) son de L ([, + [) tienden a cero cuando r +. Demostrar que H k [f (r) + r f (r) ( ) k f(r)] = ρ H k f(ρ). r a) Encontrar las fórmulas de Parseval para F s (f) F c (f) cuando f L ([, + [). b) Comprobar que si f, g L ([, + [) entonces se verifican las relaciones: b.) F c (f)f c (g) = F c (h), donde h(x) = b.) F s (f)f c (g) = F s (h), donde h(x) = b.3) F s (f)f s (g) = F c (H), donde H(x) = f() f() [g(x + ) + g( x )] d. f() g( x ) g(x + ) d. sgn(x )g( x ) g(x + ) d. c) Si f es continua suave a trozos f, f L ([, + [) entonces c.) F c (f )(ξ) = ξf s (f)(ξ) f(), c.) F s (f )(ξ) = ξf c (f)(ξ).