Seminario de problemas-eso. Curso Hoja 3

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Carmen Pérez Fidalgo
hace 7 años
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Seminario de problemas-eso. Curso 202-3. Hoja 3 7.

1 Seminario de problemas-eso. Curso Hoja 3 7. En una circunferencia de centro O y de m de radio tenemos un cuadrado con dos vértices consecutivos en la circunferencia y el lado opuesto tangente a la misma. Halla su área. En la figura anterior, por el teorema de Pitágoras en el triángulo OBC, se tiene que x 2 + (x + 2 = 5x 2 + 2x 3 = 0, cuya solución positiva es x = 3/5. De este modo, el área del cuadrado es ( + 3/5 2 = 2,56 m Noé quería instalar a los animales de su arcá repartidos por el mundo. Por esta razón, cuando llegó el buen tiempo, paró en el monte Ararat y desembarcó a la mitad más uno de los animales. Luego fue al Everest y desembarcó a la mitad más uno de los que quedaban. Lo mismo hizo en el Popocatépetl y en el Kilimanjaro y al final llegó al Mont Blanc en el que desembarcó los últimos 0 animales. Cuántos animales llevaba Noé? Sea x el número de animales. Tras desembarcar en el Ararat, quedan x 2.

Tras desembarcar en el Everest, quedan ( x 2 2 = x 2. Tras desembarcar en el Popocatépetl, quedan ( x 2 = x 6. 2 8 Tras desembarcar en el Kilimanjaro, quedan ( x 6 = x.

2 Tras desembarcar en el Everest, quedan ( x 2 2 = x 2. Tras desembarcar en el Popocatépetl, quedan ( x 2 = x Tras desembarcar en el Kilimanjaro, quedan ( x 6 = x Finalmente, esta cantidad de animales es la que desembarca en el Mont Blanc, con lo cual x 6 = 0 x = En la figura vemos bloques de casas. Hay calles entre ellos. De cuantas maneras distintas podemos ir de A a C, si sólo recorremos las calles hacia arriba y hacia la derecha? Para llegar desde A hasta C, tenemos que hacer 3 movimientos hacia la derecha y 3 movimientos hacia arriba en total. Esto es equivalente a pensar que tenemos las letras DDDAAA, y hay que pensar cuántas palabras diferentes podemos hacer con ellas. Empezamos con un problema más sencillo. Supongamos que queremos formar todas las palabras posibles con las letras a, b, c y d. Cuántas palabras pueden formarse? Solución: observar que hay maneras de fijar la primera letra. Fijada la a letra, hay 3 maneras de fijar la 2 a. Fijadas la a y la 2 a hay 2 maneras de fijar la 3 a. Fijadas las 3 primeras hay una sola manera de fijar la a. En total habrá 3 2 = 60 maneras de fijar el orden de las cuatro letras. Se pueden comprobar las palabras mediante un diagrama de árbol. Como generalización, razonando de forma análoga llegamos fácilmente a la siguiente conclusión: Un conjunto de n elementos puede ordenarse de n (n (n maneras. 2

Cada una de estas ordenaciones se llama PERMUTACIÓN de esos n elementos. Su número se denota por P n o por n! (se lee factorial de n, siendo Por convenio, 0! =. P n = n! = 2 3 n.

3 Cada una de estas ordenaciones se llama PERMUTACIÓN de esos n elementos. Su número se denota por P n o por n! (se lee factorial de n, siendo Por convenio, 0! =. P n = n! = 2 3 n. En nuestro problema, queremos encontrar todas las posibles ordenaciones para las letras de la palabra DDDAAA. Si distinguiéramos las letras repetidas (escribiendo por ejemplo dddaaa habría 6! posibles ordenaciones. Al no distinguir los símbolos d, d y D, ordenaciones como DdadaA y ddadaa aparecerán como repetidas (3! veces. Por tanto sólo habrá 6!/3! ordenaciones posibles en las que las d s sean indistinguibles. Si ahora dejamos de hacer distinguibles las aes, ordenaciones como DdadaA, DdadaA y DdadAa serán la misma. Luego todas las ordenaciones estarían repetidas 3! veces a causa de las aes. Por tanto, habrá 6! = 20 ordenaciones. 3! 3! Generalizando, el número de ordenaciones que admite una secuencia formada por n elementos a, a,..., a, b, b,..., b, c,... donde uno se repite α veces, otro β veces, otro γ veces,..., etc. es: P α,β,γ... n = n! α! β! γ!. Cada una de estas ordenaciones se llama PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN de esos n elementos con repeticiones de α, β, γ..., etc. Los superíndices indican el número de veces que aparece cada elemento en la secuencia. Se conviene en no consignar entre los superíndices los correspondientes a elementos que sólo aparecen una vez. Por ejemplo, las letras de la palabra HORROR admiten P 3,2 6 = 6! 3! 2! = 60 ordenaciones. 20. Juan hace una construcción con cubos. La figura muestra como se ve de frente y la figura 2 como se ve desde arriba.. Dibujar un posible alzado lateral de la construcción. 2. Halla el máximo y el mínimo número de cubos necesario para hacer la construcción. Apartado. Hay varias soluciones posibles. Una posibilidad para el alzado lateral es un dibujo como la figura. Apartado 2. Máximo número de cubos: 2. Número mínimo: 3. 3

4 2. Dividimos los números, 2,..., 00 en 6 grupos. Probar que siempre existe al menos un grupo en el que hay dos números distintos uno múltiplo de otro. Consideramos los números 2, 2 2, 2 3, 2, 2 5, 2 6, todos ellos menores que 00. Para cada dos de estos números, se tiene siempre que uno es múltiplo de otro. Los separamos uno en cada uno de los 6 grupos. Pero el número estará en uno de esos 6 grupos, con lo cual siempre existirá al menos un grupo en el que hay dos números distintos uno múltiplo de otro. 22. Tres personas, digamos A, B y C, mantienen una conversación. A dice que B está mintiendo. B dice que C está mintiendo. C dice que A y B están mintiendo. Quién miente? Quién dice la verdad? Puede suceder que A mienta o que A diga la verdad. Supongamos primero que A dice la verdad. Esto implica que B miente, y esto implica que C dice la verdad. Por tanto, según C, que dice la verdad, A está mintiendo, lo que contradice a la suposición de que A dice la verdad. Supongamos que A miente. Esto implica que B dice la verdad, y esto implica que C miente, lo cual es cierto, porque B dice la verdad. Por tanto, A y C mienten y B dice la verdad. 23. En una carrera de caballos de 0 Km de longitud, los caballos van a velocidad constante. Cuando el vencedor termina la carrera, al segundo caballo le faltan 2 Km y al tercero Km. Cúanto le falta al tercero cuando termina el segundo? Llamamos T al tiempo que ha tardado el primer caballo en llegar a la meta, y v, v 2 y v 3 a las velocidades, expresadas en las unidades adecuadas, de los caballos que llegan en primer, segundo y tercer lugar, respectivamente. Se tiene: 0 = v T 8 = v 2 T 6 = v 3 T. Observando las dos últimas relaciones, se deduce que v 3 v 2 = 3. Es decir, la velocidad del tercer caballo es 3/ la velocidad del segundo caballo. Por tanto, en el tiempo en que el segundo caballo cubre los dos kilómetros que le quedan, el tercer caballo habrá avanzado 2 =,5 Km, por tanto, le faltarán 2,5 kilómetros Los números de teléfono de un pueblo pequeño consisten en números de dos cifras entre 00 y 99. Posiblemente no se usan todos los números. Si el número de un suscriptor se lee en orden inverso se obtiene o un número no utilizado o un número utilizado por el mismo suscriptor. Hallar el mayor número de suscriptores de teléfono del pueblo. En primer lugar, puede haber hasta 0 suscriptores con los números 00,,..., 99.

5 Puede haber hasta 9 suscriptores distintos de los anteriores con los números 0, 02,..., 09. Los números que resultan de invertir las cifras de estos, o no son utilizados, o son utilizados por los mismos suscriptores. Puede haber hasta 8 suscriptores distintos de los anteriores con los números 2, 3,..., 9. Y razonamos igual que antes con los números invertidos. Puede haber hasta 7 suscriptores distintos de los anteriores con los números 23, 2,..., 29. Razonando sucesivamente de la misma manera, concluimos que el número máximo de suscriptores es, en total, = 0 2 = 55. 5

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