GUÍAS DE TRABAJO. Matemáticas. Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 7. Preparado por: Héctor Muñoz

Transcripción

1 GUÍAS DE TRAAJO Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 7 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 GUÍA DE TRAAJO Nº 1 (TRAAJO INDIVIDUAL) El ÁREA DE UADRADOS Y RETÁNGULOS 1 Los cuadrados ayudan a definir unidades de área. Por ejemplo, un cuadrado de 1 metro de lado tiene un área de 1 metro cuadrado. De igual forma, un cuadrado de 1 centímetro de lado tiene un área de 1 centímetro cuadrado. a. Qué características debería tener un cuadrado para que su área fuera de 1 milímetro cuadrado? b. Qué características debería tener un cuadrado para que su área fuera de 1 kilómetro cuadrado? c. La tabla muestra los símbolos que se utilizan para escribir abreviadamente algunas unidades de área. ompleta la tabla escribiendo los símbolos que faltan. UNIDAD milímetro cuadrado centímetro cuadrado metro kilómetro cuadrado SÍMOLO mm cm Para determinar el área de un rectángulo, habrá que establecer con cuántas unidades de área se cubre completamente su superficie. a. La figura muestra un rectángulo en el que se ha dibujado un cuadriculado. La separación de las líneas del cuadriculado es de 1 cm. uánto mide el lado mayor del rectángulo? b. uánto mide el lado menor del rectángulo? c. uántos cuadraditos de 1 cm por lado hay al interior del rectángulo? d. uánto es el área del rectángulo? 3 a. Luisa afirma que podemos calcular el área de un rectángulo multiplicando la longitud de un lado por la longitud del otro. Estás de acuerdo con ella? Refuerza tu respuesta con ayuda de la actividad anterior. b. uánto medirían los lados y en qué unidades resultaría el área del rectángulo de la actividad si las líneas del cuadriculado estuvieran separadas 1 m? c. Y si las líneas del cuadriculado estuvieran separadas 1 mm? FUNDAIÓN HILE - Educación - Mejor Escuela. 1

3 4 4 a. El recuadro muestra una fórmula para calcular el área de un rectángulo. Qué representa cada una de las letras que aparecen en esta fórmula? b. ómo se puede saber en qué unidad de medida resultará el área del rectángulo si aplicamos esta fórmula? ÁREA DE UN RETÁNGULO S = a. b c. Es aplicable esta fórmula para calcular el área de un cuadrado? Explica tu respuesta. 5 La figura muestra una cinta de forma rectangular. Se indica la longitud de sus lados. 0 cm 8 mm a. Qué habría que hacer con los datos si quisiéramos calcular el área de la cinta de modo que el resultado quedara expresado en mm? b. Y si quisiéramos calcular el área de la cinta de modo que el resultado quedara expresado en cm? c. alcula el área expresando el resultado en cualquiera de esas unidades. 4 6 a. Un salón tiene forma rectangular y mide 16 m de largo y 1 m de ancho. uánto es el área del piso? b. La altura de este salón es de 3,5 m. uánto es el área de cada una de sus paredes? Y cuánto es el área del cielo raso? 4 7 De acuerdo con el reglamento, la cancha de fútbol debe tener forma rectangular con un largo entre 100 m y 110 m y un ancho entre 64 m y 75 m. uál es el área mínima y cuál es el área máxima que puede tener una cancha de fútbol reglamentaria? 4 8 De cuántas formas diferentes puedes calcular el área de esta figura? ompara tus procedimientos con los de tus compañeros y compañeras FUNDAIÓN HILE - Educación - Mejor Escuela.

4 GUÍA DE TRAAJO Nº (TRAAJO INDIVIDUAL) EQUIVALENIAS ENTRE UNIDADES DE ÁREA 1 Sabemos que 1 metro equivale a 100 cm. Pero 1 m no equivale a 100 cm, como veremos a continuación. Pensemos en un cuadrado de 1 m de lado. Hemos visto que el área de este cuadrado es 1 m. El área puede quedar expresada en cm si expresamos a longitud del lado en cm. a. alcula el área del cuadrado en cm. b. De acuerdo con esto, A cuántos cm equivale 1 m? c. Utiliza un razonamiento similar para determinar la equivalencia entre 1 cm y 1 mm. 1 m d. Determina la equivalencia entre 1 m y 1 km. 100 cm En terrenos agrícolas se suela utilizar la hectárea como unidad de área. Una hectárea equivale a m. a. uánto debería medir cada lado de un terreno cuadrado para que su área fuera de 1 hectárea? b. En la guía anterior calculaste el área de una cancha de fútbol. La cancha mide más o mide menos de 1 hectárea? Mide más o mide menos de media hectárea? 3 En estudios de geografía, incluso la hectárea resulta ser una unidad demasiado pequeña. Por tal razón se prefiere utilizar el kilómetro cuadrado. Ya hemos visto la equivalencia entre 1 m y 1 km. Determina ahora a cuántas hectáreas equivale un kilómetro cuadrado. 4 Varias regiones de hile presentan una forma que tiene cierto parecido a un rectángulo. Por ejemplo, la Región de Atacama puede aproximarse a un rectángulo de unos 400 km de largo y unos 00 km de ancho. a. De acuerdo con esto, cuánto sería aproximadamente la superficie de la Región de Atacama? b. ompara el valor obtenido con el que entrega algún atlas o mapa de hile. Es mucha la diferencia? A qué atribuyes esta diferencia? FUNDAIÓN HILE - Educación - Mejor Escuela. 3

5 GUÍA DE TRAAJO Nº 3 (TRAAJO INDIVIDUAL) EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO RETÁNGULO 1 A partir de la fórmula para calcular el área de un rectángulo es relativamente fácil encontrar una fórmula para calcular el área de un triángulo rectángulo. Es lo que conoceremos en esta guía. Pero antes conviene recordar algunos conocimientos relativos al triángulo rectángulo. a. Qué puedes decir acerca de los ángulos de un triángulo rectángulo? b. Qué nombre reciben los lados que forman el ángulo recto en un triángulo rectángulo? Y el tercer lado? c. uál es siempre el mayor de los lados en un triángulo rectángulo? a. Toma dos triángulos rectángulos de papel o plástico que sean iguales entre sí. Es posible formar con ellos un rectángulo? b. De acuerdo con esto qué puedes decir acerca del área de uno de estos triángulos en comparación con el área del rectángulo que se formó? c. La figura de la derecha muestra un triángulo rectángulo. on líneas de puntos se ha formado un rectángulo. Qué puedes decir acerca del área del triángulo en comparación con el área del rectángulo que se formó? d. Si los lados del rectángulo miden 5 cm y 8 cm respectivamente, cuánto es su área? e. Y cuánto será el área del triángulo rectángulo? 3 a. Pablo afirma que para calcular el área de un triángulo rectángulo podemos aplicar la fórmula que muestra el recuadro. Estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta. b. Rita dibujó un triángulo rectángulo cuyos lados miden 15 cm, 0 cm y 5 cm respectivamente. Podrías calcular el área de este triángulo? c. En tu cuaderno dibuja un triángulo rectángulo que tenga un área de 1 cm. Hay más de una posibilidad? ÁREA DE UN TRIÁNGULO RETÁNGULO S = a. b a y b son los catetos FUNDAIÓN HILE - Educación - Mejor Escuela. 4

6 GUÍA DE TRAAJO Nº 4 (TRAAJO INDIVIDUAL) LA ALTURA DE UN TRIÁNGULO 1 Antes de continuar con nuestro tema relativo al área de triángulos, debemos hacer una pequeña pausa para referirnos a la altura de un triángulo. En Geometría llamamos altura de un triángulo al trazo que va desde un vértice hasta el lado opuesto o a su prolongación y que es perpendicular a ese lado. D a. Observa el recuadro 1. Qué características debería tener el trazo AD para ser una altura del triángulo A? b. uántas alturas tiene en total este triángulo? Explica tu respuesta. A a. En tu cuaderno dibuja un triángulo acutángulo. Ahora dibuja sus alturas. Si lo haces con cuidado encontrarás una pequeña sorpresa. ompara tu dibujo con el de tus compañeros y compañeras. b. Ahora dibuja un triángulo rectángulo. Dos de sus alturas tienen características especiales. En qué consisten estas características especiales? c. Podemos afirmar que en un triángulo rectángulo las 3 alturas tienen un punto en común? Explica tu respuesta. d. Dibuja ahora un triángulo obtusángulo. Dibuja la altura correspondiente al ángulo obtuso. e. Qué característica especial tienen las otras dos alturas? 3 Si en un triángulo trazamos una de sus alturas, se forman triángulos rectángulos. omo sabemos calcular el área de un triángulo rectángulo, podemos utilizar este hecho para calcular el área del triángulo completo. a. En el triángulo A de la figura, efectúa las mediciones que sean necesarias y calcula el área de cada uno de los triángulos rectángulos formados. b. on esos datos, calcula ahora el área del triángulo entero. A D FUNDAIÓN HILE - Educación - Mejor Escuela. 5

7 GUÍA DE TRAAJO Nº 5 (TRAAJO GRUPAL) EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO UALQUIERA 1 A partir de la fórmula para calcular el área de un triángulo rectángulo podemos encontrar una fórmula para calcular el área de un triángulo cualquiera. En el triángulo de la figura, D es la altura correspondiente al lado A. La altura D mide 8 cm, el trazo D mide cm y el trazo DA mide 5 cm. omo D es perpendicular a A, se han formado triángulos rectángulos: el triángulo AD y el triángulo D. cm D 5 cm 8 cm A a. uáles son los catetos del triángulo AD? Y del triángulo D? b. alcula el área del triángulo AD y el área del triángulo D. c. De acuerdo con esto, uánto es el área del triángulo total? a. El recuadro 1 muestra una serie de transformaciones a los cálculos de la actividad anterior. Explica cada uno 1. de los pasos seguidos. b. Qué representa el 8 en la última expresión? c. Qué representa el 7? d. De acuerdo con la última expresión del recuadro, cómo se puede calcular el área de un triángulo acutángulo como el de la actividad anterior? S A = S AD + S D = = = 8. (5 + ) = a. Mediante un razonamiento similar al del recuadro1 verifica si la relación encontrada en la actividad también se cumple para este nuevo triángulo. 6 cm A 10 cm D 4 cm FUNDAIÓN HILE - Educación - Mejor Escuela. 6

8 4 La figura muestra ahora un triángulo obtusángulo. Se ha trazado una de las alturas que cae fuera del triángulo.. S A = S D + S DA 16 cm D 10 cm A 5 cm a. Explica cada uno de los pasos seguidos en el recuadro. = = = 16. (5-10) = b. De acuerdo con el recuadro, Podríamos afirmar que en este caso también es aplicable la fórmula que encontramos para el área de un triángulo acutángulo? 5 a. En tu cuaderno dibuja un triángulo acutángulo. Llama A, y a sus vértices. b. Traza la altura correspondiente al lado A, efectúa las mediciones que consideres necesarias y calcula el área de tu triángulo A. c. Traza las otras alturas y en cada caso calcula el área considerando cada altura y su correspondiente lado. Obtienes valores diferentes? Te parece razonable? 6 a. Repite la actividad anterior con un triángulo rectángulo y también con un triángulo obtusángulo. b. Qué conclusión general podemos sacar en relación con el cálculo del área de un triángulo cualquiera? 7 En la figura, el lado A del triángulo A mide 16 cm. D es el punto medio del lado A. E es la altura correspondiente a ese lado y mide 18 cm. a. Demuestra que el trazo D dividió al triángulo A exactamente en triángulos de igual área. b. Sucederá en cualquier triángulo que el trazo que une uno de sus vértices con el punto medio del lado opuesto siempre divide al triangulo en triángulos de igual área? Explica tu respuesta. A E D FUNDAIÓN HILE - Educación - Mejor Escuela. 7

9 GUÍA DE TRAAJO Nº 6 (TRAAJO GRUPAL) ÁLULO DE ÁREAS EN DIFERENTES ONTEXTOS 1 Una fábrica de muebles ha diseñado un tipo de escritorio escolar que tiene la forma que muestra la figura de la derecha. Las longitudes están dadas en centímetros. a. Podrías calcular el área de este escritorio? 35 b. Efectúa las mediciones que consideres necesarias y calcula el área de tu escritorio. ompara el valor encontrado con el área del escritorio de la figura La figura de la derecha muestra un rectángulo. En él se han trazado las diagonales de modo que se han formado 4 triángulos rectángulos, triángulos acutángulos y triángulos obtusángulos. a. alcula el área de cada uno de estos triángulos. b. Hay triángulos que tengan la misma área? 16 cm 10 cm c. Qué relación existe entre el área de cada uno de los triángulos y el área del rectángulo? 3 a. La Isla de Pascua tienen una forma que se asemeja a un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 16 km y 18 km. De acuerdo con estos datos, cuánto mide aproximadamente su área? b. Por su parte, la Isla Grande de hiloé se asemeja a un rectángulo de unos 50 km de ancho y 180 km de largo. De acuerdo con estos datos, cuánto mide aproximadamente su área? c. Aproximadamente cuántas veces mayor es la Isla Grande de hiloé que la Isla de Pascua? 4 a. En el recuadro se muestra un cuadrado al que se le ha hecho un corte en uno de sus vértices. uánto es el área de la figura que resultó? 10 cm 5 cm b. Propón por lo menos dos formas distintas de resolver este problema. 5 cm FUNDAIÓN HILE - Educación - Mejor Escuela. 8