Las fórmulas de Cardano-Ferrari

Transcripción

1 Las fórmulas de Cardano-Ferrari Carlos Ivorra ( Los métodos de resolución por radicales de las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inútiles ue está feo ue un matemático no conozca. Como es bien sabido, si K es un cuerpo de característica distinta de y a, b, c K, con a 6= 0, las soluciones de la ecuación cuadrática ax + bx + c = 0 en una clausura algebraica de K vienen dadas por x = b ± b 4ac, a entendiendo ue la ecuación tiene una única raíz doble x = b/a cuando se anula el discriminante D = b 4ac. También es conocido ue Tartaglia y Cardano encontraron una fórmula análoga para ecuaciones cúbicas (en la ue aparecen raíces cúbicas además de raíces cuadradas) y ue Ferrari encontró otra más compleja para ecuaciones cuárticas. En realidad, más ue fórmulas, encontraron métodos de resolución ue pueden resumirse en sendas fórmulas, si bien, en el caso de las ecuaciones cuárticas, la fórmula es tan compleja ue resulta inmanejable, y es preferible describir el proceso de resolución como un algoritmo de varios pasos. Por último, Abel demostró ue, para n > 4, no existen fórmulas análogas ue expresen las raíces de la ecuación general de grado n en función de sus coeficientes a través de sumas, productos, cocientes y extracción de raíces, lo ue convierte a las fórmulas de Cardano-Ferrari en dos singularidades algebraicas. Los resultados de Cardano-Ferrari llevaron al descubrimiento y al estudio de los números complejos. En principio, los algebristas trataban de resolver ecuaciones con coeficientes reales (normalmente racionales), pero tales ecuaciones pueden tener soluciones imaginarias. Ciertamente, para encontrar ejemplos sencillos de esta situación no es necesario buscar entre ecuaciones cúbicas o cuárticas, sino ue modestas ecuaciones cuadráticas sirven igualmente. Ahora bien, las ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo no inducían a buscarles raíces imaginarias, ya ue lo más natural era concluir ue no tienen solución, y eso zanjaba el problema. En cambio, cuando una ecuación cúbica tiene tres raíces reales distintas ue pueden ser conocidas si uno se la construye para verificar la fórmula de Cardano resulta ue ésta proporciona expresiones para dichas 1

2 raíces en la ue aparecen raíces cuadradas de números negativos. Fue esto lo ue indujo a los matemáticos a plantearse ue tal vez fuera posible operar coherentemente con cantidades imaginarias de manera ue, simplificando las expresiones imaginarias ue proporciona la fórmula de Cardano, se pudiera llegar finalmente a las soluciones reales de la ecuación. Antes de entrar en materia puede ser ilustrativo recordar la forma en ue puede deducirse la fórmula para las ecuaciones cuadráticas. En primer lugar, podemos expresar la ecuación en la forma x + b a x + c a = 0. Esto hace ue no perdamos generalidad si suponemos a = 1, simplificación ue será útil en el caso cúbico y cuártico, pero ue, dada la sencillez del caso cuadrático, no vamos a hacer auí. Tenemos entonces ue b/a es la suma de las dos raíces de la ecuación, luego b/a es la media de las raíces. Si hacemos el cambio de variable x = t b/a, obtendremos una ecuación en t cuyas raíces serán las ue resultan de restarle a cada una de las dos raíces de la ecuación original la media de ambas, y esto hace ue la nueva ecuación tenga raíces con media (luego también con suma) igual a 0. Euivalentemente, la nueva ecuación debe tener nulo el monomio de primer grado. Comprobamos ue así es: t b! + b t b! + c a a a a = t b 4ac = 0. 4a Por lo tanto, las soluciones de esta ecuación son t = ± b 4ac/a. Deshaciendo el cambio de variables obtenemos la fórmula buscada. 1 Ecuaciones cúbicas Empezamos enunciando el resultado general: Teorema 1.1 (Fórmula de Cardano) Sea K un cuerpo de característica distinta de o y sean a, b, c K. Entonces, las raíces de la ecuación x + ax + bx + c = 0 (1) en una clausura algebraica de K vienen dadas por x = / + + / a/, donde µ b a p =, = a 9ab + 7c µ p, = +, 7 la raíz cuadrada de se escoge arbitrariamente y, fijada ésta, las raíces cúbicas u y v se escogen de modo ue p = uv (es decir, se escoge una arbitrariamente y la otra se calcula mediante esta relación).

3 Notemos ante todo ue la relación entre las raíces cúbicas es correcta, es decir, ue si u = / + es una raíz cúbica arbitraria del radicando y definimos v mediante p = uv, entonces v = /. En efecto, elevando al cubo vemos ue p = 7( / + )v, luego v = (p/) ( / ) (/) = /, como ueríamos probar. Demostración: El primer paso es el análogo al ue hemos empleado en el caso de la ecuación cuadrática: tenemos ue a es la suma de las raíces de la ecuación, luego a/ es su media, luego el cambio de variable x = t a () ha de llevarnos necesariamente a una ecuación cuyas raíces tengan media (luego suma) igual a 0, por lo ue tendrá nulo su monomio de grado. En efecto, una comprobación rutinaria muestra ue el cambio () reduce la ecuación (1) a la forma incompleta t + pt + = 0, () donde p y son los valores indicados en el enunciado. Por consiguiente, basta resolver (), ya ue la relación () nos proporciona las soluciones de (1) a partir de las de (). Vamos a deducir la fórmula de Cardano bajo la hipótesis adicional p 6= 0, y luego veremos ue es válida incluso si p = 0. Partimos del desarrollo ue nos da la identidad (u + v) = u + v + u v + uv = u + v + uv(u + v), (u + v) uv(u + v) u v = 0. (4) Por lo tanto, si encontramos valores de u, v tales ue p = uv, = u v, (5) tendremos ue una solución de () será t = u + v. Podemos expresar (5) en términos de u despejando v = p/u. (Notemos ue ha de ser u 6= 0, ya ue suponemos p 6= 0.)

4 Concluimos ue una condición suficiente para ue t sea solución de () es ue sea de la forma t = u p (6) u para un u ue cumpla la ecuación o, euivalentemente (multiplicando por u ): u + (p/u) = 0 (7) u 6 + u (p/) = 0. (8) Veamos ahora ue la condición es necesaria, es decir, ue toda raíz t de () es de la forma (6), para un cierto u ue cumple (8). En primer lugar, dado cualuier valor de t, siempre existe un valor de u 6= 0 ue cumple (6). Basta tomar una raíz de la ecuación u tu p/ = 0. (9) Llamando v = p/u, tenemos ue t = u + v, p = uv. Si t cumple (), entonces (u + v) uv(u + v) + = 0 y, comparando con la identidad (4), vemos ue se cumple (5), lo cual implica ue u cumple (7) y, por consiguiente, (8). Así pues, concluimos ue resolver () es euivalente a resolver (8), en el sentido de ue las soluciones de () son las ue se obtienen a partir de las de (8) a través de (6). Ahora bien, las ecuación (8) es cuadrática en u, luego sus soluciones son o, más sencillamente: u = ± + 4(p/) = ± (/) + (p/) u = / ±. (10) Combinando las dos raíces cuadradas de con las tres raíces cúbicas, nos salen las seis raíces de (8), pero () sólo puede tener tres raíces. Ello se debe a ue, para cada valor de t, hay dos valores de u ue cumplen (6). Dado uno de ellos, el otro está determinado por la relación uu 0 = p/, (11) ue se deduce de ue u y u 0 son las dos raíces de (9). Fijemos un u + ue cumpla (10) con signo positivo y una raíz cuadrada prefijada, y sea u una raíz de (10) con signo negativo (y la misma raíz cuadrada). Entonces, (u + u ) = (/) (/) (p/) = (p/), luego u + u = (p/)ω, donde ω es una cierta raíz cúbica de la unidad. Por consiguiente, u + (ω u ) = (p/). Cambiando u por ω u (ue también cumple (10) con el signo 4

5 negativo), concluimos ue, para cada u + elegido arbitrariamente, existe un u elegido adecuadamente tal ue u + y u determinan la misma raíz t de (). En definitiva, vemos ue las soluciones de () son de la forma (6), con u = / +, donde en esta expresión hay ue entender ue la raíz cuadrada de es fija (elegida arbitrariamente de entre las dos posibilidades) y ue al variar la elección de la raíz cúbica recorremos las distintas raíces de (). Finalmente observamos ue, de la segunda ecuación de (5), se sigue ue v = /, luego podemos escribir v = /, si bien es crucial tener presente ue las elecciones de las raíces cúbicas u y v no pueden hacerse de forma independiente, lo cual nos daría 9 raíces para (), sino ue u y v han de cumplir la relación p = uv. Con esto hemos probado la fórmula de Cardano bajo el supuesto de ue p 6= 0. Ahora bien, en caso contrario = (/), luego = ±/. Al sustituir cualuiera de las dos elecciones del signo en los radicandos de las raíces cúbicas obtenemos ue una de las dos se anula y la otra se reduce a y, ciertamente, las tres elecciones de la raíz cúbica nos dan las tres raíces de () en este caso. Además, la relación p = uv se cumple trivialmente. Conviene destacar algunos casos particulares: Caso de una raíz triple (p = = 0) La ecuación (1) tiene una raíz triple α (en una clausura algebraica de K) si y sólo si es de la forma (x α) = x αx + α x α = 0, con lo ue a = α y la ecuación () se reduce a t = 0, es decir, se cumple ue p = = 0. Recíprocamente, si p = = 0, entonces () tiene una raíz triple y (1) también. En resumen: La ecuación (1) tiene una raíz triple si y sólo si p = = 0, en cuyo caso, dicha raíz es x = a/. Es claro ue la fórmula de Cardano se reduce a x = a/ en este caso. Caso p = 0 Ya hemos observado ue si p = 0 (y 6= 0) la ecuación () tiene tres raíces distintas, dadas por t = y ue la fórmula de Cardano se reduce, ciertamente, a x = a/. 5

6 Caso = 0 En este caso () se reduce a t + pt = t(t + p) = 0, con lo ue (si p 6= 0) tiene tres raíces simples, dadas por t = 0, t = p. Si aplicamos la fórmula de Cardano llegamos al mismo resultado. En efecto, ahora tenemos ue = (p/), luego podemos tomar = ( p/ ), donde la raíz cuadrada se elige arbitrariamente. Entonces, una de p/, y la ecuación p = uv implica ue v = u, con lo las posibilidades para u es u = cual obtenemos la raíz t = u + v = 0. Las otras elecciones posibles para u son ωu y ω u, donde ω es una raíz cúbica primitiva de la unidad. Los valores de v correspondientes son ω u y ωu, respectivamente, luego las raíces de () son t = ±(ω ω )u. Teniendo en cuenta ue ω + ω + 1 = 0, porue ω es raíz del polinomio ciclotómico tercero, vemos ue luego t = p, como tenía ue ser. t = (ω + ω )p/ = p, Caso = 0 Vamos a probar ue (1) tiene una raíz doble (sin excluir ue sea triple) si y sólo si 1 = 0. Es obvio ue (1) tiene una raíz doble si y sólo si la tiene (), luego podemos trabajar con la ecuación incompleta. Ya hemos visto ue si p = = 0 se cumple = 0 y la raíz es triple, mientras ue si sólo una de las dos cantidades p, es nula, entonces 6= 0 y las raíces son simples. Por consiguiente, sólo falta estudiar el caso en ue p 6= 0. Una raíz t es múltiple si y sólo si anula a la derivada de (), es decir, si y sólo si cumple Ahora bien: t + pt + = 0, t + p = 0. (1) (t + pt + ) t(t + p) = pt +, (1) luego (1) implica ue t = /p. Sustituyendo en la segunda ecuación de (1) ueda + p = 0, (14) p ue claramente euivale a = 0. Recíprocamente, si = 0, tenemos (14), lo ue implica ue t = /p es raíz de la derivada de () y, por (1), también lo es de (), luego t es una raíz doble. Con esto casi tenemos probado lo siguiente: La ecuación (1) tiene una raíz doble si y sólo si = 0. Si p 6= 0, tiene también una raíz simple y, en tal caso, la raíz doble y la simple son, respectivamente x = p a, y x = 4p 9 a. 1 Esto se debe a ue es, salvo una constante, el discriminante de (). Concretamente, el discriminante de (), al igual ue el de (1), es D =. 6

7 En efecto, sólo nos falta calcular la raíz simple, ue podemos obtener del hecho de ue el producto de las raíces de () es igual a, luego la raíz simple ha de cumplir t! =, p y al despejar ueda t = 4p /9. Naturalmente, con la fórmula de Cardano se llega al mismo resultado. Ahora tenemos ue µ = µ p, con lo ue u = p/ cumple (u ) = (/). Por consiguiente, (±u) = /. Esto significa ue, eligiendo adecuadamente la raíz cuadrada ue define a u, se cumple ue u = / es una elección posible, a la ue corresponde v = u y t = u. Las otras elecciones posibles son ωu y ω u, donde ω es una raíz cúbica primitiva de la unidad, y los valores de v correspondientes son ω u y ωu, respectivamente, y ambos dan lugar al mismo valor de t = (ω + ω )u = u. Notemos ue t = u = p/ cumple la segunda ecuación de (1), luego se trata de la raíz doble de (). Así pues, la raíz ue aparece repetida al aplicar la fórmula de Cardano es precisamente la raíz doble de la ecuación. Cúbicas en el caso clásico Todo lo dicho en la sección anterior era válido para ecuaciones sobre cualuier cuerpo de característica distinta de o. Ahora vamos a considerar específicamente el caso en ue K es el cuerpo de los números reales (o, más en general, uno de sus subcuerpos). Así podemos distinguir entre raíces reales o imaginarias. Como las raíces imaginarias han de aparecer en parejas de números conjugados, las únicas posibilidades para una cúbica son ue tenga tres raíces simples, de las cuales una sea real y dos sean imaginarias conjugadas, o bien ue tenga tres raíces reales (simples o no). Vamos a probar ue el signo de determina completamente la situación: Teorema.1 Consideremos una ecuación (1) con coeficientes reales. Entonces: 1. Si = 0 todas sus raíces son reales, y al menos dos de ellas son iguales.. Si > 0 la ecuación tiene una raíz real y dos raíces imaginarias.. Si < 0 la ecuación tiene tres raíces reales simples. Demostraremos este teorema desglosándolo en tres teoremas independientes ue nos den formas específicas para las soluciones en cada uno de los casos. El caso = 0 lo tenemos completamente tratado en la sección anterior, pero lo repetimos auí por completitud: 7

8 Teorema. Si = 0 hay dos posibilidades: 1. Si p = = 0, entonces la ecuación tiene una raíz triple x = a/.. Si p 6= 0, entonces la ecuación tiene una raíz doble y una raíz simple, dadas respectivamente por x = p a, y x = 4p 9 a. Observemos ue, en este caso, las raíces de la ecuación pertenecen al mismo cuerpo K al ue pertenecen sus coeficientes (y no a una cierta extensión algebraica, como en el caso general). Teorema. Si > 0, una raíz real viene dada por x = / + + / a/, donde las raíces cúbicas u y v son reales. Las otras dos raíces son imaginarias, y vienen dadas por x = u + v a ± (u v) i. Así pues, para alguien (como Cardano) ue desconozca los números complejos, la fórmula de Cardano proporciona la única solución (real) ue tiene la ecuación en este caso exclusivamente en términos de operaciones con números reales. Demostración: El radicando de u es un número real, por lo ue la única raíz cúbica real es una elección posible para u. La relación p = uv, implica ue la raíz cúbica v correspondiente es también la raíz cúbica real, luego t = u + v es una raíz real. Las otras elecciones para u son ωu y ω u, donde ω = 1 + i, es una raíz cúbica de la unidad, y el valor de v correspondiente es, respectivamente, ω v y ωv. Por lo tanto, una raíz imaginaria de () es t = ωu + ω v = u + v + (u v) i (y la otra ha de ser su conjugada), de donde se sigue inmediatamente la expresión dada para las raíces de (1) en este caso. 8

9 Ejemplo Vamos a resolver la ecuación x x + 9x 5 = 0. El cambio de variable x = t + 1 la transforma en t + 6t + = 0. Por consiguiente, = 1 + = 9 > 0. La raíz real es x = = = 4 + 1, y las raíces imaginarias son 4 x = + 1 ± ( + 4) i. Ejemplo El problema siguiente fue planteado en el siglo XIII por el matemático chino Qin Jinshao: Una ciudad está rodeada por una muralla circular con dos puertas, una al norte y otra al sur. Saliendo por la puerta norte y caminando li hacia el norte se llega hasta un árbol. Saliendo por la puerta sur, hay ue caminar 9 li hacia el este para ver el mismo árbol. Calcular el diámetro de la ciudad. r r 6r + 9 r 9 Los dos triángulos ue muestra la figura son semejantes, de modo ue se ha de cumplir r + (r + ) =. 9 r Elevando al cuadrado, simplificando un factor r + y operando llegamos a la ecuación r + r 4 = 0. El cambio r = t 1/ la reduce a t 4 t 485 = 0. Como = 940/8 > 0, sólo tiene 4 una raíz real, ue viene dada por s 485 t = s = 1 µ = 5. Por lo tanto, concluimos ue r = 4.5 y ue el diámetro de la ciudad es de 9 li. Antes de estudiar en teoría el caso < 0 veamos con un ejemplo ué es lo ue sucede en la práctica: El resultado t = 5 puede obtenerse de forma exacta observando ue α = = 1, lo ue significa ue es una unidad en el anillo de enteros algebraicos Z[ 6], y ue una unidad fundamental de este anillo es = (Véase la tabla 1. de mi libro de Álgebra.) Por consiguiente, α ha de ser una potencia de y, concretamente, se comprueba ue α =. Por lo tanto, las raíces cúbicas ue hemos de calcular son 5/ ± 6, y su suma es igual a 5. 9

10 Ejemplo Vamos a resolver la ecuación x 6x 4 = 0. Ya está en forma incompleta, y = = 4 < 0 luego, según demostraremos luego, ha de tener tres raíces reales. Sin embargo, si aplicamos la fórmula de Cardano obtenemos ue las raíces son de la forma x = Cardano no supo ué hacer con este tipo de expresiones. Fue Bombelli el primero ue calculó una raíz cúbica compleja (sin saber muy bien lo ue hacía) similar a éstas ue nos acabamos de encontrar. En nuestro caso, si llamamos U = + i, tenemos ue el módulo de U es U = 8 y su argumento es θ = π/4, luego las raíces cúbicas u = + i son los números complejos de módulo u = y argumento θ = π/1 + kπ/, para k = 0, 1,. Explícitamente: u 1 = µ cos π 1 + i sen π, 1 u = µ cos π 4 + i sen π, 4 u = µ cos 17π 17π + i sen. 1 1 Centrémonos en la segunda, ue es la más sencilla de las tres : u =! + i = 1 + i. El valor v correspondiente viene dado por la ecuación u v = p, de modo ue v = 6 ( 1 i) = = 1 i. ( 1 + i) (Luego veremos ue este cálculo no era necesario, porue v tenía ue ser el conjugado de u, precisamente porue la raíz x = u + v ha de ser real.) En total, vemos ue una raíz de la ecuación es x = = ( 1 + i) + ( 1 i) =. Otra forma, puramente algebraica, de calcular la raíz cúbica de + i es suponer ue ha de ser de la forma a + bi con a, b Z, teniendo en cuenta además ue ha de cumplir a + b =, lo ue sólo deja las opciones a = ±1, b = ±1. Así fue como razonó Bombelli en un caso ligeramente más complicado. El lector familiarizado con la aritmética de los enteros de Gauss puede demostrar ue todo elemento de Z[i] de norma 8 n tiene raíz cúbica en Z[i]. 10

11 Las otras raíces pueden calcularse del mismo modo, pero, una vez tenemos una de ellas, es más fácil dividir x 6x 4 = (x + )(x x ) = 0, con lo ue las otras dos raíces resultan ser x = ± 1 = 1 ±. Ejercicio: Usar las fórmulas trigonométricas del ángulo mitad para calcular u 1 y u, y obtener a partir de ellas las raíces correspondientes de la ecuación. Ejercicio: Alternativamente calcular u 1 y u usando ue han de ser de la forma ωu, donde ω es una raíz cúbica de la unidad. Vamos a demostrar ue el ejemplo anterior es completamente típico (salvo por la suerte ue hemos tenido de encontrar un ángulo con razones trigonométricas calculables fácilmente): Teorema.4 Si < 0 la ecuación tiene tres raíces reales simples, ue vienen dadas por r x = p θ + kπ cos a, donde k = 0, 1, y el ángulo 0 < θ < π está determinado por cos θ = / (p/). (15) Demostración: Para aplicar la fórmula de Cardano podemos elegir = i = (/) (p/) i, es decir, nos uedamos con la raíz cuadrada con parte imaginaria positiva. El módulo de / + es ρ = (/) (/) (p/) = (p/), y su argumento es el ángulo 0 < θ < π ue cumple (15). Por consiguiente, los valores posibles de u son los dados por r u = p cos θ + kπ + i sen θ + kπ!. La ecuación p = uv nos da ue r v = p cos θ + kπ i sen θ + kπ!, y al calcular x = u + v a/ obtenemos la expresión anunciada. En particular vemos ue las raíces son reales. Veamos otro ejemplo un poco menos amañado ue el precedente: 11

12 Ejemplo Vamos a resolver la ecuación El cambio x = t 5/ la convierte en x + 5x 8x 4 = 0. t 49 t 54 7 = 0. Ahora = 605/9 < 0. Tenemos, pues, ue cos θ = 54/54 (49/9) = luego Aplicando la fórmula x = 14 para k = 0, 1, obtenemos los valores θ = 0, cos θ + kπ 5 x = , ,. Comprobamos ue x = es realmente una raíz entera de la ecuación (y no un error de redondeo), dividimos x + 5x 8x 4 = (x + )(x + x 14) y, resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos expresiones algebraicas para las otras dos raíces: x = 1 ± 15. Ecuaciones cuárticas El caso de los polinomios de cuarto grado es más complicado: Teorema (Ferrari) Sea K un cuerpo de característica distinta de o y sean a, b, c, d K. Entonces, las raíces de la ecuación x 4 + ax + bx + cx + d = 0. (16) en una clausura algebraica de K vienen dadas por x = Q ± Q 4(P R) a 4, x = Q ± Q 4(P + R) a 4, 1

13 donde, llamando p = 8b a, = 8 P es una raíz de la ecuación 8c 4ab + a 8, r = 56d 64ac + 16a b a 4, (17) 56 P p P rp + y Q, R se determinan mediante las ecuaciones 4pr 8 = 0, (18) p = P Q, = QR, r = P R. (19) En la prueba veremos, más concretamente, ue, si 6= 0, la primera ecuación de (19) es redundante, de modo ue, a partir de una solución P de (18), la tercera ecuación de (19) nos da un valor para R, necesariamente no nulo, y la segunda ecuación nos da un valor para Q ue necesariamente cumplirá la primera ecuación. Si = 0 el sistema (19) tiene también una solución fácil de calcular, pero enseguida veremos ue en este caso hay un procedimiento más rápido para encontrar las raíces de la ecuación. En efecto, el cambio de variable x = t a 4 nos lleva a la ecuación incompleta t 4 + pt + t + r = 0, (0) donde p,, r son los dados por (17). Así, si = 0, tenemos lo ue se conoce como una ecuación bicuadrada, cuyas raíces cumplen: luego las cuatro raíces de (16) son x = ± t = p ± p r, s p ± p r a 4. Demostración: Ya hemos visto ue basta resolver la ecuación incompleta (0). Para ello observamos ue (t + P ) (Qt + R) = t 4 + (P Q )t QRt + P R Por lo tanto, si encontramos valores P, Q, R ue cumplan (19), las soluciones de (0) serán las mismas ue las de la ecuación (t + P ) = (Qt + R). 1

14 Ésta puede descomponerse en dos ecuaciones cuadráticas: Euivalentemente, t + P = ±(Qt + R). t Qt + P R = 0, t + Qt + P + R = 0, y las raíces de estas ecuaciones son las indicadas en el enunciado. Así pues, sólo hemos de encontrar una solución de (19). Para ello despejamos Q = R, Q = 4R = 4(P r), con lo ue la primera ecuación se convierte en o, euivalentemente, en la cúbica p = P 4(P r) 4(P r)(p p) = (1) ue se simplifica hasta (18). De este modo, podemos tomar una raíz cualuiera P de (18), luego una raíz cualuiera R de r = P R y, por último, si R 6= 0, hacemos Q = /R. Así, las dos últimas ecuaciones de (19) se cumplen por las elecciones de Q y R, mientras ue la primera se cumple porue es euivalente a (18). Si nos encontramos con R = 0 es porue P r = 0 y, a la vista de (1), para ue esto pueda suceder ha de ser = 0. Más aún, en tal caso, esta misma ecuación muestra ue las raíces de (18) son P = r o bien P = p/ y, tomando R = 0 en el primer caso o Q = 0 en el segundo, encontramos igualmente una solución de (19). En cualuier caso, vemos ue cualuier raíz P de (18) se puede completar (fácilmente) hasta una solución (P, Q, R) del sistema (19). Nota Si en (18) hacemos el cambio de variable P = T/, obtenemos el polinomio T pt 4rT + 4pr. Este polinomio se llama resolvente cúbica de (0) y tiene una interpretación algebraica: si las raíces de (0) son α 1, α, α, α 4, las de la resolvente cúbica son α 1 α + α α 4, α 1 α + α α 4, α 1 α 4 + α α. Ejercicio: Reformular el teorema anterior usando la resolvente cúbica en lugar de (18), es decir, sustituyendo P = P 0. Las fórmulas uedan más sencillas si también se sustituye R = R 0. 14

15 Ejemplo (Euler) Vamos a resolver la ecuación x 4 8x + 14x + 4x 8 = 0. El cambio de variable x = t + la reduce a La cúbica auxiliar es t 4 10t 4t + 8 = 0. P + 5P 8P 4 = 0. Esta ecuación la hemos resuelto en un ejemplo anterior, en el ue hemos visto ue una raíz es P =, y ahora hemos de resolver 4 = QR, 8 = 9 R. Tomamos R = 1, Q =. Por consiguiente, las cuatro raíces de la ecuación original son: x = ± 4( 1) 8 4 = ± 5, x = ± 4( + 1) 8 4 = 1 ±. Ejemplo Vamos a resolver la ecuación x 4 + x + x + x + 1 = 0, cuyas raíces son las raíces uintas no triviales de la unidad. El cambio x = t 1/4 la reduce a t t t = 0. La cúbica auxiliar es P 5 P 05 4 P + 85 = 0, 8 1 El cambio P = T + 5/( 4 ) la reduce a T 5 6 T = 0. Podemos simplificarla aún más con el cambio T = T 0 /6, pues entonces se ueda en T 0 0 T = 0, 15

16 y es fácil ver ue una solución es T 0 = 5, luego T = 5/6, luego P = 15/16. Esto nos lleva a las ecuaciones µ 5 8 = QR, = R, 16 ue nos dan R = 5/8, Q = 5/. Finalmente, las raíces de la ecuación dada son x = 5/ ± 5/4 4(15/16 5/8) 1 4 = 1 5 ± i 10 5, 4 5/ ± 5/4 4(15/16 + 5/8) x = 1 4 = ± i Por otra parte, las raíces uintas de la unidad son de la forma x = cos kπ 5 de donde se sigue inmediatamente 4 ue + i sen kπ 5, cos π 5 = Ejercicio: Nicolaus Bernoulli afirmó ue no era cierta la conjetura según la cual todo polinomio (con coeficientes reales) puede descomponerse en producto de polinomios de grados 1 y, y presentó como contraejemplo el polinomio x 4 4x + x + 4x + 4. Sin embargo, Euler demostró ue dicho polinomio factoriza como µ µ x x µ µ 7 x x Demostrar esta factorización (sin hacer uso de ella, es decir, ue no vale limitarse a multiplicar y ver ue el resultado es correcto). 4 Resolución de cúbicas mediante raíces reales Hemos visto ue, cuando una cúbica tiene tres raíces reales simples, la fórmula de Cardano las expresa como suma de dos raíces cúbicas imaginarias conjugadas. Sin embargo, en los ejemplos ue hemos presentado, al final hemos expresado dichas raíces en términos de raíces cuadradas reales, pero ello ha sido gracias a ue en dichos ejemplos siempre había al menos una raíz entera (hubiera servido igualmente ue fuera racional) lo cual nos permitía factorizar la ecuación y aplicar la fórmula de las ecuaciones cuadráticas. En 4 Hay caminos mucho más cortos para llegar a este resultado y, por consiguiente, para resolver la ecuación. Por ejemplo, si llamamos ω = cos(π/5)+i sen(π/5), η = ω +ω 4 = cos(π/5) y η 0 = ω +ω, se comprueba fácilmente ue η + η 0 = ηη 0 = 1, con lo ue η y η 0 son las raíces del polinomio x + x 1. 16

17 general, al aplicar el teorema.4 sólo obtenemos aproximaciones decimales de las raíces (salvo ue podamos calcular algebraicamente los cosenos involucrados). Cabe preguntarse si es posible obtener en general expresiones para las raíces en términos de raíces cúbicas y raíces cuadradas de números positivos, pero sucede ue la respuesta es negativa salvo en el caso trivial ue hemos considerado en los ejemplos, es decir, cuando al menos una de las raíces es racional (si partimos de un polinomio con coeficientes racionales). Concretamente, vamos a demostrar el teorema siguiente: Teorema 4.1 Sea K un subcuerpo del cuerpo de los números reales, y consideremos una cúbica con coeficientes en K ue cumpla < 0 y ue no tenga raíces en K. Entonces no es posible expresar (ninguna de) sus raíces en función de sus coeficientes mediante sumas, productos, cocientes y raíces ue sean números reales (es decir, con radicando positivo cuando el índice sea par). Demostración: Observemos ue un número real α se puede expresar en función de elementos de K mediante sumas, productos, cocientes y raíces reales si y sólo si existe una cadena de cuerpos K = K 0 K 1 K n R tales ue α K n y cada cuerpo intermedio es de la forma K i = K i 1 (α i ), para un cierto α i K i tal ue existe un número natural m i tal ue α m i i K i 1. Por ejemplo, si K = Q y α = 1 +, 5 una cadena de cuerpos sería la determinada por α 1 = 4 7, α =, α = 5, α 4 = + α 1 α, α 5 = + α. En general, pongamos ue la ecuación es la definida por el polinomio f(x) = (x α 1 )(x α )(x α ), donde α i / K, y supongamos ue existe una cadena de cuerpos K = K 0 K 1 K n R en las condiciones anteriores y tal ue un α i K n. Vamos a llegar a una contradicción. Podemos suponer ue α 1 < α < α, con lo ue D = (α α 1 )(α α )(α α 1 ) > 0. Como f(x) tiene grado, el hecho de ue no tenga raíces en K euivale a ue sea irreducible en K[x]. Por lo tanto, K(α i ) : K =. 17

18 Sea L = K(α 1, α, α ) el cuerpo de escisión de f(x) sobre K, ue es una extensión finita de Galois de K. Es claro ue D = (α α 1 ) (α α ) (α α 1 ) es invariante por los automorfismos de G(L/K), luego D K. Si D / K, entonces la extensión K(D)/K tiene grado, luego α i / K(D). Así pues, f(x) tampoco tiene raíces en K y, cambiando K por K(D), podemos suponer ue D K. Cada σ G(L/K) permuta las raíces α i, pero σ no puede inducir una permutación impar, ya ue entonces sería σ(d) = D, en contradicción con ue D K. Así pues, G(L/K), identificado con un subgrupo del grupo de permutaciones Σ 6, tiene ue ser el grupo alternado A, ue tiene orden, lo cual implica ue L : K =, luego L = K(α i ) para cualuier i. Consecuentemente, aunue estábamos suponiendo ue un α i K n, ahora podemos afirmar ue K n contiene a todas las raíces de f(x) o, euivalentemente, ue L K n. Podemos suponer ue n es el mínimo natural tal ue K n contiene a un α i (o, euivalentemente, a todos los α i ), con lo ue f(x) no tiene raíces en K n 1 y, cambiando K por K n 1, podemos suponer ue n = 1. En definitiva, tenemos ue K L K(α), donde α m K, para cierto m. Podemos suponer ue el número natural m es el mínimo posible ue cumple esto. Sea p un divisor primo de m. Entonces K(α m/p ) K(α), luego, por la minimalidad de m, tenemos ue f(x) no tiene raíces en este subcuerpo y, cambiando K por K(α m/p ), podemos suponer ue α p K. Sea ω una raíz p-ésima primitiva de la unidad. Entonces α / K(ω), porue la extensión K(ω)/K es abeliana, luego, si K(α) K(ω), tendríamos ue K(α)/K sería de Galois, lo cual es absurdo, porue los conjugados de α son imaginarios. Por consiguiente, la extensión K(ω, α)/k(ω) no es trivial y, de hecho, 5 tiene grado p. Así pues, p divide al grado K(ω, α) : K = K(α, ω) : K(α) K(α) : K, pero el primer factor tiene grado p 1, luego p K(α) : K luego K(α) : K = p. Como = L : K K(α) : K, de hecho, ha de ser p = y K(α) = L, pero esto es absurdo, porue L/K es una extensión de Galois y K(α)/K no lo es. Ejemplo Consideremos una raíz séptima de la unidad: ω = cos(π/7) + i sen(π/7) y sean η 1 = ω + ω 6, η = ω + ω 5, η = ω + ω 4. Notemos ue η 1 = cos(π/7). Teniendo en cuenta ue 1 + ω + ω + ω + ω 4 + ω 5 + ω 6 = 0, es fácil ver ue η 1 + η + η = 1, η 1 η + η 1 η + η η =, η 1 η η = 1. 5 Véase el teorema 17. de mi libro de Álgebra. 18

19 Por consiguiente, η 1, η, η son las raíces de la ecuación u + u u 1 = 0. Haciendo u = x concluimos ue cos(π/7) es una de las raíces de la ecuación La fórmula de Cardano nos da ue x + 1 x 1 x 1 8 = 0. cos π s µ = s µ 7 1 i i 1 6, para cierta elección de las raíces cúbicas. (Las otras dos elecciones nos dan cos(4π/7) y cos(8π/7).) Ahora bien, el teorema anterior nos asegura ue esta expresión es esencialmente imaginaria, en el sentido de ue es imposible obtener el resultado cos π 7 = con una calculadora pulsando únicamente las teclas numéricas y las de las operaciones de suma, resta, producto, división y extracción de raíces. 6 Por supuesto, podemos llegar a este resultado usando el teorema.4, pero, puestos a calcular funciones trascendentes, es más sencillo calcular directamente cos(π/7). 6 El hecho de ue no sea posible construir con regla y compás un heptágono regular es euivalente al hecho de ue cos(π/7) no puede calcularse a partir de números racionales mediante sumas, productos, cocientes y extracción de raíces cuadradas. Auí hemos probado ue tampoco es posible calcularlo mediante raíces de índices superiores, ue es algo más fuerte. 19