HABLEMOS DE PROBABILIDAD JORGE MARTINEZ COLLANTES PROFESOR PENSIONADO UNIVERSIDAD NACIONAL

Transcripción

1 HABLEMOS DE PROBABILIDAD JORGE MARTINEZ COLLANTES PROFESOR PENSIONADO UNIVERSIDAD NACIONAL

2 Ganaremos el partido con Bolivia el próximo viernes? Cree que vamos a ganar el partido con Bolivia el viernes? Qué tan probable es ganemos el partido con Bolivia el próximo viernes? Cuál es la probabilidad de que ganemos el partido con Bolivia el próximo viernes?

3 CONTENIDO Aproximaciones al concepto de probabilidad Enfoque subjetivo Enfoque frecuentista Enfoque axiomático Definiciones básicas Propiedades de una probabilidad Cálculo de una probabilidad

4 DETERMINISTICO - ALEATORIO OBSERVACION O EXPERIMENTO Resultado (Suceso) Determinístico Aleatorio

5 ENFOQUE SUBJETIVO Medida de la incertidumbre de un suceso basada en experiencias previas Personal Depende de la información disponible No generalizable No definible en suceso no repetibles Es interpretable

6 ENFOQUE FRECUENTISTA Experiento (E) Resultado (A) Se repite n veces A ocurre n A veces (Frecuencia de A) f A = n A n Frecuencia relativa de A lim n f A = p Probabilidad de A Bernoulli (1713) P A = p

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8 ENFOQUE FRECUENTISTA Problemas Si no es posible la repetición infinita del experimento Sucesos inciertos que solo ocurrirán una vez Falta de homogeneidad en el sistema observado Círculo vicioso en las demostraciones formales

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10 ENFOQUE AXIOMATICO Bohlman (1901) Kolmogorov(1933) Espacio muestral S conjunto de todos los resultados de un experimento aleatotio Evento A un subconjunto del espacio muestral S (Subconjunto de resultados) Se dice que un evento A ocurre si al realizar el experimento E se obtiene un resultado a y ocurre que este resultado es elemento de A. Si el resultado a no es elemento de A se dice que no ocurre A. Lo que ocurre es A el complemento de A Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si no tienen resultados del experimento en común, es decir A B =.

11 EJEMPLO Día del mes Dia par Un día cualquiera S = 1,2,., 31 A = 2,4,6,8,, Ocurre A A = 1,2,3,, 31

12 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD La probabilidad de un evento A, de un espacio muestral S, es un número P(A) que cumple las siguientes condiciones: P A 0 P S = 1 Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra A o B es P A B = P A + P(B)

13 PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD P = 0 Si A y B son dos eventos tales que A está contenido en B, A B, P(A) P(B) Como A S entonces 0 P(A) 1 Si P A = 0 el evento es imposible y si P A = 1 el evento es seguro P A = 1 P(A) Si A y B son dos eventos cualquiera P A B = P A + P B P(A B)

14 P(A) 0 0,5 1

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16 GENERALIZACION Sean A 1, A 2,., A k eventos tales que son mutuamente excluyentes de dos en dos (dos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo) la probabilidad de ocurra alguno de ellos es P A 1 A 2 A k = P A 1 + P A P(A k )

17 CALCULO DE UNA PROBABILIDAD Espacio muestral finito S = s 1, s 2,, s m S = s 1 s 2 s m P S = P s 1 + P s P s m P s 1 + P s P s m = 1 Si todos los resultados tienen igual probabilidad p, se tiene que mp = 1 p = 1 m

18 CALCULO DE UNA PROBABILIDAD A= s 1, s 2,, s k P A = P s 1 + P s P s k P A = kp P A = k m P A = Numero de resultados del evento A Número de resultados del espacio muestral S

19 CALCULO DE UNA PROBABILIDAD Si alguien considera que es tres veces más probable que Colombia le gane a Bolivia y dos veces más probable que queden empatados, cuáles son las probabilidades de cada resultado? S = Colombia, Bolivia, Empate P Colombia = p P Bolivia = p 3 P Empate = p 2 Entonces P Colombia + P Bolivia + P Empate = 1. p + p 3 + p 2 = p = 1 p = 6 11 P Colombia = 0,55 P Bolivia = 0,18 P Empate = 0,27

20 CALCULO DE UNA PROBABILIDAD Cuál es la probabilidad de ganarse el Baloto? m = 45 5 = ( )(1 = ) = 1.221,759 k = 1 P BALOTO!!!!! = 1 1,221,759 = 0, ??????

21 CALCULO DE UNA PROBABILIDAD Cual es la probabilidad de que al seleccionar un punto en un círculo este quede más cerca del la circunferencia que del centro? Evento C (Más cerca del borde que del centro) P C = Area(C) Area(S)

22 R

23 CALCULO DE UNA PROBABILIDAD Area S = πr 2 Area C = πr 2 π R 2 P C = 3 4 πr2 3 4 πr2 = = 3 4 πr2

24 ESTIMACION DE UNA PROBABILIDAD Se repite n veces el Experimento Se cuenta cuantas veces ocurre A n A p = n A n Esta estimación tiene variabilidad Esta mide con la desviación estándar p(1 p) n La estimación con una confibiliadad del 95% es aproximadamente p ± 2 p(1 p) n

25 ESTIMACION DE UNA PROBABILIDAD n = 100 n = 200 n = 400 n A = 60 n A = 120 n A = 240 p = 0,6 p = 0,6 p = 0,6 Estimación 0,6 ± 2 0,049 = 0,6 ± ,6 ± 0,069 0,6 ± 0,049

26 ESTIMACION DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA n = z 2 p(1 p) e 2

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29 PROBABILIDAD CONDICIONADA Sea B un evento tal que P B > 0 P A dado B = P(A y B) P(B) P A y B = P A dado B P(B)

30 EVENTOS INDEPENDIETES Dos eventos A y B son independientes si P A dado B = P A P A y B = P A P B

31 Rural Urbano Total Alto Bajo Total P ALTO = P(ALTO y RURAL)= P ALTO dado RURAL =

32 CALCULO DE PROBABILIDADES P(ALTO)= = 0,40 P ALTO y RURAL = = 0,187 P RURAL = =0,576 P(ALTO dado RURAL)= 0,187 0,576 = = 0,325 P(ALTO)*P(RURAL)=0,40*0,576=0,23

33 MUCHAS GRACIAS