Triángulo de las Bermudas

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Asunción Benítez Moreno
hace 7 años
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1 Triángulo de las Bermudas Modelización n matemática tica de un problema utilizando sistemas de inecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y DERIVE Metodología a Matemática tica Facultad de Ciencias Matemáticas ticas UCM

2 Introducción Triángulo de las Bermudas Situado en el Océano Atlántico 1,2 millones de km² Islas que lo rodean: Bermudas Puerto Rico Fort Lauderdale (Florida) Triángulo casi equilátero Muchas desapariciones 2

3 Planteamiento Problema Encontrar barco dentro del Triángulo Las matemáticas ticas ofrecen un conjunto de soluciones para los problemas en la vida real Modelizaremos matemáticamente ticamente el problema utilizando: sistemas de inecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y DERIVE, un programa comercial de cálculo c simbólico 3

4 Fundamentación n teórica para la modelización Sistemas de Inecuaciones Una inecuación: expresión matemática que se caracteriza por tener una desigualdad. El conjunto de soluciones de una inecuación constituye una región del espacio: acotada, no acotada o vacía. Varias inecuaciones: sistema de inecuaciones. La solución del mismo será la intersección de las regiones solución de cada inecuación. 4

5 Fundamentación n teórica para la modelización Ejemplos de Sistemas de Inecuaciones x 1 y x² x y x y x 1 x -1 5

6 Fundamentación n teórica para la modelización Sistemas de Ecuaciones Una ecuación: igualdad entre dos expresiones matemáticas. El conjunto de soluciones de una ecuación constituye una región del espacio: acotada (puede constar de un único punto), no acotada o vacía. Varias ecuaciones: sistema de ecuaciones. El sistema puede ser: compatible determinado (cuando tiene exactamente una solución), compatible indeterminado (cuando tiene infinitas soluciones) o incompatible (si no tiene ninguna solución). 6

7 Fundamentación n teórica para la modelización Ejemplos de Sistemas de Ecuaciones y = x²+1 y = -x² 2x+y = 3 4x+2y = 6 Sistema Lineal, una solución (0, 0): x = y x = -y 7

8 Enunciado del problema Nuestro objetivo es encontrar el barco Witchcraft que se hundió en Modelizamos el Triángulo de las Bermudas para facilitar la resolución n del problema. Suponemos que es un triángulo rectángulo, y utilizaremos los ejes cartesianos como dos de sus lados. Área aproximada de 1.2 millones de km²,, lo hacemos a escala. Para dibujarlo: El triángulo tiene dos lados iguales de longitud 3 (los lados que coinciden con los ejes). 8

9 Enunciado del problema Sabemos con certeza que en algunas zonas del Triángulo no está el buque que buscamos. Centramos la búsqueda en la zona donde todavía a no ha buscado nadie. Esta región n viene dada por el siguiente sistema de inecuaciones: Utiliza el Derive para dibujar la región. (y 2) -2x x y y < (2x + 2) y (-2x + 4) Sabemos que el punto exacto donde se hundió es a 1600 metros de Miami (Florida), y ese punto en nuestra representación n en el Derive corresponde con el (1/2, 2). 9

10 El buque va a estar seguro en la región n que hemos acotado anteriormente. El movimiento del mar es consecuencia principalmente de la fuerza de la corriente marina y de los huracanes. Las ecuaciones que relacionan el movimiento del barco con el número n de huracanes y la fuerza de la corriente marina son: Desde 1967 ha habido 3 huracanes, y la fuerza media de la corriente marina es 5. y = 7x-h 12y=2x+c Utilizar el Derive para hallar el punto exacto donde está, y dibujarlo. 10

11 Solución n del problema Dibujamos el Triángulo con la ecuación n y=3-x x y usamos los ejes cartesianos como dos de sus lados. 11

12 Solución n del problema Para acotar la zona usamos el siguiente sistema de inecuaciones: (y 2) -2x x y y < (2x + 2) y (-2x + 4) Debemos recordar a los alumnos que el símbolo s para intersecar las expresiones con el programa DERIVE es: ^ La zona acotada nos queda así: 12

13 Solución n del problema Para hallar el punto exacto donde está el barco debemos resolver el sistema de ecuaciones Como tenemos los datos del número n de huracanes que ha habido y la fuerza media de la corriente marina, el sistema que tenemos que resolver es: y=7x-h 12y=2x+c Las dos incógnitas no son la solución n del problema. Para hallar las coordenadas actuales bastará con sumar la variación n a la posición inicial, y ya tendremos las coordenadas. 13

14 Ejemplo para hallar el punto final: si nos dan un punto inicial, tendremos 4 posibles valores para el punto final. 14

15 Solución n del problema Es la distancia en valor absoluto no siempre vamos a tener que sumar, sino restar. Nos van a salir 4 puntos posibles: 1/2+1/2 =1, 2+1/2=5/2 (1,5/2) 1/2+1/2=1, 2-1/2=3/22 (1,3/2) 1/2-1/2=0, 2-1/2=3/22 (0,3/2) 1/2-1/2=0, 1/2=0, 2+1/2=5/2 (0,5/2) Si dibujamos en el DERIVE los cuatro puntos (para dibujar puntos hay que ponerlo entre corchetes), vemos que sólo s uno de ellos está dentro del recinto que habíamos amos delimitado. 15

16 Solución n del problema El único punto que está dentro de nuestra zona es el punto D=(1,3/2), por tanto, es el punto que estamos buscando. En nuestro mapa el barco está ahí: 16

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