Ejemplo 1 Resolver la siguiente inecuación

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Ángel García Franco
hace 6 años
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2 Ejemplo 1 Resolver la siguiente inecuación <+2 Para resolver inecuaciones, procederemos a resolverla como si fuese una ecuación normal y corriente, es decir primero operamos las fracciones (si las hubiera) después los paréntesis, después las multiplicaciones/divisiones, y por último las sumas y restas, agrupando las x a un lado y los términos independientes en el otro < <2+2 2 < 2 Atención cuando nos encontremos un signo negativo en las x en las inecuaciones. Hay que cambiar de signo al término en x, al término independiente y al signo de la inecuación. 2 >2 >1 Esta sería nuestra solución a nuestra inecuación. También lo podemos poner en forma de intervalo. Como en la x tiene que ser solo mayor que 1 (no mayor o igual) tenemos que ponerlo abierto. 1, Ejemplo 2 Resolver la siguiente inecuación

3 Y si lo queremos poner en función de intervalo [3, En este caso el 3 con corchete (cerrado) porque en la inecuación nos dicen que es mayor o igual. Ejemplo 3 resolver la siguiente inecuación Cuando tenemos inecuaciones de segundo grado como esta, lo primero que tenemos que hacer es resolver dicha ecuación, con la formula que se utiliza para resolver ecuaciones de segundo grado. ± 4 2 Las soluciones son: =1 = 2 Después de calcular las soluciones tenemos que ponerlas en una recta de números reales, y ver como es la ecuación inicial (o positiva o negativa). Lógicamente nuestra solución será el intervalo donde la ecuación sea negativa (o menor que 0)

4 Para saber si la inecuación es positiva o negativa en cada intervalo lo único que tenemos que hacer es coger un número que este en dicho intervalo y sustituir en la ecuación inicial. Por ejemplo: A la derecha del 1 cogemos x=2 y sustituimos: =4>0 Entre el 1 y el -2 cogemos x=0 y sustituimos: = 2<0 A la izquierda del -2 cogemos x=-3 y sustituimos: =4>0 Como hemos dicho anteriormente, el intervalo que tenemos que coger es el que sea negativo, por lo tanto: [ 2,1 Ambos cerrados porque en la inecuación inicial nos dicen que tienen que ser menor o igual a 0. Ejemplo 4 Resolver la siguiente inecuación +2> > >0 3 4>0 Al ser una inecuación de segundo grado hemos agrupado todo en el lado izquierdo de la inecuación. Ahora como hemos hecho en el ejemplo anterior tenemos que resolverla

5 Las soluciones son =4 = En este ejemplo nos piden calcular el intervalo cuando es mayor que 0, es decir cuando son solo mayores que 0, por lo tanto en los extremos del intervalo tendrán que ser abiertos. El intervalo es:, 1 4, Ejemplo 5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones >2+3+5 Para resolver un sistema de inecuaciones, tenemos que resolver cada una por separado, y luego ver que intervalo se cumple en ambas inecuaciones. Empezamos a resolver la primera inecuación Recordar que cuando en una inecuación tenemos la x con signo negativo tenemos que cambiar de signo a la x al signo de la inecuación y al término independiente.

6 Ahora pasamos a resolver la segunda inecuación: > > >10 >2 Ahora ambas soluciones la dibujamos en una recta para ver que intervalo cumple ambas inecuaciones. 2 3 Ambas inecuaciones se cumplen desde 3 hasta infinito. Fijaros que desde 2 a 3 no se cumple la primera inecuación (porque tiene que ser mayor que 3). El 3 tiene que estar cerrado porque en la primera inecuación vemos que tiene que ser mayor o igual. Por lo tanto el intervalo que buscamos es: [3, Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de inecuaciones >

7 Como es un sistema de inecuaciones, lo tenemos que resolver cada uno por separado y luego dibujar las soluciones de cada uno de ellos en la misma recta. Para la primera, tenemos que sacar el mínimo común múltiplo (que en este caso es ) y luego operaremos > > > > Para resolver la segunda inecuación operamos las identidades notables correspondientes Como podemos ver los términos en se van, por lo tanto agrupamos los términos en x a un lado de la inecuación, y los términos independientes Recordamos que cuando tenemos la x con signo negativo, tenemos que cambiar el signo del término en x, del término independiente y de la inecuación. Por lo tanto:

8 Pasamos a dibujara ambas soluciones en una recta de números reales.!! Vemos como no hay ningún intervalo donde se cumplan los dos intervalos, por lo tanto, este sistema de inecuaciones no tiene solución. Ejemplo 7. Resolver la siguiente inecuación Al ser una ecuación de segundo grado, lo primero que tenemos que hacer es resolver dicha ecuación. 1± = 1± 7 2 Como la raíz cuadrada de un número negativo no existe, podemos decir que esta ecuación no tiene soluciones. Que no tenga soluciones quiere decir que esta expresión va ser siempre positiva o negativa. Para saber si es positiva o negativa solamente tenemos que coger cualquier valor de x. Para =0 la expresión es positiva, por lo tanto va ser positiva siempre (podéis comprobarlo para cualquier número, dicha expresión nos va a dar un número positivo siempre) Por lo tanto las soluciones de esta inecuación son todos los números reales.

9 Ejemplo 8. Resolver la siguiente inecuación 2 1+ >2 1 2 Para resolver esta inecuación, vamos operando, empezando por los paréntesis > >0 Resolvemos esta ecuación de segundo grado. Sus soluciones son: = 1 = f(-2)<0 f(0)>0 f(3)<0 Por lo tanto en el intervalo donde se cumple donde que la expresión sea positiva es en: 1,2 Ambos van abiertos porque en la inecuación no aparece que sea igual a 0 Ejemplo 9. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones > 5

10 Como siempre que tenemos un sistema de inecuaciones, la resolvemos por separado cada una de ellas, y luego dibujamos las dos soluciones en la misma recta, y vemos en que intervalo se cumplen ambas. Empezamos con la primera: Ahora pasamos a resolver la segunda inecuación > 5 3 > 9 <3 Ahora dibujamos ambas soluciones obtenidas en una misma recta de números reales. 3 8 Por lo tanto en el intervalo en el que se cumple ambas inecuaciones son:,3

11 El 3 lo ponemos abierto porque en la segunda inecuación nos dice que x tiene que ser solo menor (no menor o igual)

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