EDUCACIÓN SECUNDARIA 1 MATEMÁTICAS UNIDAD 5 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

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1 EDUCACIÓN SECUNDARIA 1 MATEMÁTICAS UNIDAD 5 INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA Cuándo llegaré? a) Presentación b) Evaluación Inicial c) Contenidos d) Actividades e) Autoevaluación f) Otros recursos: bibliografía y recursos en red g) Refuerzos Educativos h) Ampliaciones / Propuesta de investigación Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 5 1

2 A/ PRESENTACIÓN Las leyes de la física, las relaciones financieras, las condiciones de las estructuras para la construcción de obras públicas, industriales o bien arquitectónicas y un largo etcétera de los hechos de los humanos se puede expresar matemáticamente mediante expresiones algebraicas. Conocemos buena parte de los adelantos matemáticos a la civilización egipcia gracias a los escritos encontrados en papiros, como el papiro del *Rhind. Este papiro contiene 87 problemas. Para poder solucionar algunos, se tiene que resolver una ecuación de primer grado con una incógnita. En el problema 21, en términos modernos, se pide encontrar un número x que x = Para resolver la ecuación los egipcios la multiplicaron por 15 y 3 15 obtuvieron la ecuación auxiliar roja x = 15, denominada así porque la que lo escribió lo hizo con tinta roja. La solución de la ecuación roja es 15 4, de forma que la solución de la ecuación original es la misma, puesto que todas las dos son equivalentes. 4 B/ EVALUACIÓN INICIAL Pedro compra 4 cuadernos de 2,50 cada uno, 3 bolígrafos de 1,20, 2 lápiz de 0,70 y 2 gomas de borrar de 0,30. Si paga con 20, cuánto dinero le tienen que volver? Escribe de manera algebraica y calcula el valor: a) El doble de 15 menos 3. b) La mitad de 20 más el doble de 30. c) Lo triple de la diferencia entre 8 y 5. d) La tercera parte de la suma de 5 y 4, más la cuarta parte de la suma del doble de 6, 7 y 5 El recibo del teléfono es bimensual y está formado por los conceptos siguientes: una cuota fija de 12 mensuales, otra por el alquiler del aparato de 3 mensuales y una última que marca los pasos realizados, a 0,03 cada ud. A cuánto sube la factura si he realizado 253 pasos? Efectúa los cálculos siguientes: a) 5 (7-3) + 4 [ (5 2) (3 5 8) ] [6 + (4 + 7)] = b) (5 2) + [ - ( + ) ] = Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 5 2

3 C/CONTENIDOS 1. Lenguaje algebraico 2. Expresiones algebraicas 3. Monomios 4. Ecuaciones 5. Elementos de una ecuación 6. Ecuaciones equivalentes 7. Resolución de ecuaciones de primer grado 8. Resolución de problemas D/ACTIVIDADES Tienes que copiar los enunciados, numerar las páginas y tener cura de la presentación Lenguaje algebraico El álgebra es una parte de la matemática en la cual se utilizan símbolos para designar cantidades y números desconocidos. La expresión de estos constituye el lenguaje algebraico. El lenguaje algebraico expresa la información mediante operaciones en las cuales intervienen números y letras. Sergio usa el lenguaje numérico Número... 5 Triple Suma Rosa usa el lenguaje algebraico Número... x Triple... 3 x Suma... 4 x Actividad 1. Expresa en lenguaje numérico. a) El triple de 7. b) La tercera parte de sesenta. c) La mitad de ocho. d) La mitad de ocho más cuatro. Actividad 2. Expresa en lenguaje algebraico. a) El triple de un número. b) La mitad de un número. c) La tercera parte de un número. d) El cuadrado de un número. e) La suma de dos números. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 5 3

4 Actividad 3. Realiza las actividades 4 y 5 de la página 112 de tu libro de texto. HOMO FABER El origen del álgebra se encuentra en el ahorro de energía y de tiempo y de tiempo que supone la realización de operaciones con números simbolizados con letras, porque permite hacer de una sola vez aquello que, hecho de otro modo, comportaría muchas repeticiones. Antes había que emplear una gran cantidad de palabras para describir operaciones: Se dobla la cosa y se disminuye de dos; entonces la cosa vale ; esta manera de escribir decimos álgebra retórica. Despacio, se usó una modalidad más cómoda: Dos veces la cosa menos dos, es igual a la cosa ; de esta modalidad decimos álgebra *sincopada. Hacia el siglo XVI, se empezaron a usar símbolos, y nació así el álgebra simbólica. En esta modalidad, la expresión anterior se escribe así: 2x 2 =x 1. Expresiones algebraicas Se denominan expresiones algebraicas aquellas que se representan por medio de letras y números unidos por los signos de las operaciones matemáticas. Actividad4. Expresa los enunciados siguientes en lenguaje algebraico: a. La mitad de un número menos la cuarta parte de su cuadrado b. La mitad de un número más su quinta parte c. El cuadrado de un número disminuido en 25 unidades d. El cuadrado de x más el cuadrado de y más el cubo de z Actividad 5. Si x es la edad de Anna, expresa en lenguaje algebraico: a. La edad que tenía hace 5 años b. La edad que tendrá de aquí a 5 años c. Los años que faltan porque haga 70 años d. Los años que tendrá cuando hayan pasado el doble de años que tiene ahora APRÈNDE: El valor numérico de una expresión algebrica es el resultado que se obtiene al hacer las operaciones que se indican después de sustituir cada letra por el valor que se le otorgue Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 5 4

5 Actividad 6. Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas dadas por los valores que se indican. a. 4x + 5, per a x = 5 b. X 2 + 5x 3, per a x = 2 c. 5x 6, per a x = 10 d. 4b 5b, per a b = 4 Actividad 7. Haz la actividad 8 de la página 113 de tu libro de texto. SALUD Y EDUCACIÓN SOCIAL Un coche va a una velocidad de 120 k/h choca contra un objeto rígido. Calcula v2 la letra desconocida en la fórmula h= y comprueba que el efecto que se 2 9,8 produce es como si se cayera desde una altura de 56 metros aproximadamente. 2. Monomios APRÈNDE: Los monomios son expresiones formadas por productos de números y letras. Del número decimos coeficiente De la letra o letras que lo acompañan decimos parte literal Se denomina grado del monomio a la suma de los exponentes de las letras que lo forman Ejemplo: 5 a 2 5 = coeficiente, a 2 = parte literal, 2 = grado del monomio Actividad 8. Indica en los monomios siguientes el coeficiente, la parte literal y el grado. a) 2x 3 b) 5a 2 c) 8x 5 d) -5x 3 Monomios parecidos son los que tienen la misma parte literal. Actividad 9. Reúne los monomios parecidos: 3x, 6x, 5x2, 6x, -9x 2, 8a 2, 7x, -4a 2 Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 5 5

6 La suma o resta de dos o más monomios parecidos monomios se hace sumándose o restándose los coeficientes y dejando la misma parte literal. Actividad 10. Calcula: a) 3x + 5x + 3x b) 4a a c) 4x 2 + 3x 2-2x 2 d) 4x 7x SALUD Y EDUCACIÓN SOCIAL Emmy Noether ( ) Nacida en Alemania, hija de padres judíos, heredó de su padre, que era catedrático de matemáticas a la universidad, la pasión por las matemáticas. Pero en aquella época la universidad no admitía que las mujeres hicieran estudios científicos, de forma que tuvo que conseguir un permiso especial porque la dejaran asistir a las clases, a pesar de que sin el derecho de examinarse. Unos años más tarde, las leyes cambiaron y se pudo doctorar. Trabajó con los matemáticos alemanes más eminentes y desarrolló un teorema esencial para la teoría de la relatividad, en el cual estaba trabajando entonces Albert Einstein. Ante la situación política de Alemania, tuvo que exiliarse en los Estados Unidos, donde coincidió con Einstein, que le dedicó estas palabras: En opinión de los matemáticos más competentes todavía vivos, de acá que las mujeres empezaron a recibir enseñanza superior, Emmy Noether ha sido el genio creativo más destacado hasta el día de hoy en el campo de las matemáticas Expresa tu opinión sobre el texto que has leído. 3. Ecuaciones Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. La solución de la ecuación es el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta. Actividad 11. Identifica las ecuaciones: a) 3x +3 5x b) 2x 6 = 4x c) 7x 8x x Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 5 6

7 d) 8x = 4 + 7x 4. Elementos de una ecuación Los elementos de una ecuación son: Incógnitas. Letras diferentes que intervienen en la ecuación Grado. es el exponente más grande de la incógnita Miembros. Expresiones algebraicas que hay a cada lado del signo igual. Términos. Son los sumandos que forman los miembros Actividad 12. Identifica los elementos de las ecuaciones: a) 2x 6 = 4x b) 2x 3 = 4x 5 c) x 9 = 7x + 3 d) x 1 = x + 5x Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución Actividad 13. Escribe dos ejemplos de ecuaciones equivalentes. Transposición de términos Si a los dos miembros de una ecuación los sumamos o restamos un mismo número o expresión algebraica, obtenemos una ecuación equivalente. Si los dos miembros de una ecuación los multiplicamos o dividimos por un mismo número diferente de cero, obtenemos otra ecuación equivalente. Actividad 14. Haz la actividad 20 de la página 117 de tu libro de texto. 6. Resolución de ecuaciones de primer grado En la página 118 de tu libro de texto encontrarás las normas básicas para resolver ecuaciones de primer grado. Aprovecha los ejemplos para ver su aplicación. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 5 7

8 Actividad 15. Resuelve estas ecuaciones: a) 2x 3 = 4x 5 b) 2x 3 = x c) x 2 = 2x -6 d) 3x 2 = x + 15 e) 5x 4 = x f) 5x x + 1 = 2x + 11 Actividad 16. Haz la actividad 25 de la página 118 de tu libro de texto y las actividades 27, 28 y 29 de la página Resolución de problemas Estrategia: En la resolución de un problema mediante ecuaciones, conviene seguir los cuatro pasos indicados: comprender el enunciado, plantear el problema con una ecuación, resolver la ecuación y comprobar que la solución cumple las condiciones del problema. Actividad 17. Piensa un número. Suma 12 y multiplica la suma por 2. Resta 20 y divide el resultado por 2. Si el resultado final es 35, el número que habías pensado es 33. Encuentra el truco. (Sugerencia: Escribe previamente la secuencia de operaciones). Actividad 18. Piensa un número. Multiplícalo por 10 y, del producto, resta el número que has pensado. Después, divide el resultado por 9. El resultado que has obtenido es el número que habías pensado! Encuentra el truco. Actividad 19. Hemos comprado 8 libros iguales y los hemos pagado con un billete de 50. Si nos han vuelto 10, cuál es el precio de cada libro? Actividad 20. Si al monedero hay 16 monedas de 10 céntimos y de 20 céntimos y en total suman 2, cuántas monedas de cada clase tenemos? COMUNITAD Y SERVICIO Las actividades anteriores hablan de compras y de intercambio de dinero. En nuestra sociedad se están generando problemas graves debidos al consumo irresponsable. Sabes alguna cosa? Qué opinas? Actividad 21. El doble de un número, menos 3, es igual a 7. Cuál es este número? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 5 8

9 Actividad 22. Un triángulo equilátero tiene un perímetro de 36 cm. Cuánto mide el lado? Actividad 23. Juan tiene 3 años más que Antonio; Helena tiene el doble de edad que Juan; Felipe tiene 5 años menos que Helena; Laura tiene la mitad de la edad que Antonio. Si la edad de Antonio es x, indica por medio de expresiones algebraicas las edades de los otros amigos. Actividad 24. Carlos ha comprado 25 cuadernos, los ha pagado con un billete de 20 y le han devuelto12. Escribe una ecuación que permita calcular el precio de cada cuaderno. Actividad 25. El resultado de multiplicar un número por 5 y de sumar 12 al producto, es 62. Qué número es? Actividad 26. Una botella y un tapón valen 1. La botella cuesta 90 céntimos más que el tapón. Cuánto cuesta la botella? Cuánto cuesta el tapón? Actividad 27. El perímetro de un cuadrado es 28 cm. Cuál es la longitud del lado? Actividad 28. Haz las actividades 33, 34 y 35 de la página 121 de tu libro de texto. Actividad 29. La suma de un número más su doble es doce. Cuál es ese número? Actividad 30. En un examen de 20 preguntas, para cada pregunta acertada dan 3 puntos y para cada pregunta fallada (equivocada o no contestada) sacan 2. Cuantas preguntas ha acertado y cuantas ha fallado un alumno que ha obtenido un resultado de 15 puntos? E/AUTOAVALUACIÓN 1. Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de cada monomio: Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 5 9

10 a) 5 x 3 b) 24 x 2 y 2. Determina la incógnita, el grado y los términos de las ecuaciones siguientes: a) 4 x 2-2 = 5 b) 2 x 3 4 x 6 = 5 x c) x 1 = x + 5x + 9 d) 5 x 3 = x Resuelve las ecuaciones siguientes: a) 2 ( x + 3 ) = 10 b) 2 ( x + 5 ) + ( x 2 ) = 24 c) 5x x + 1 = 2x + 11 d) 4x 5 = 3( x 5 ) + 3x 4. Un bosque tiene el doble de árboles que otro y entre los dos tienen árboles. Cuántos árboles tiene cada uno? 5. Un número más el doble del anterior es igual a 19. Cuáles son los números?. F/OTROS RECURSOS: BIBLIOGRAFIA I RECURSOS EN RED a. básicas Matemáticas 1r ESO. Grup Promotor Santillana. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 5 10

11 b. complementarias Números y operaciones. Matemáticas 1 r ESO. Ed. Mc Graw-Hill. Cálculo y mesura. Matemáticas 1 r ESO. Ed. Santillana. G/REFUERZOS EDUCATIVOS 1. Escribe usando el lenguaje algebraico. a) El número anterior a x. b) El número siguiente a x. c) El doble de un número más su triple. d) El cubo de un número más su triple. 2. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) 2x + 8 = x + 11 b) 2(x + 3) = 10 c) 3 (x 2) = 2x 3. Un transportista carga en la furgoneta 4 televisores y 3minicadenes musicales. Si cada televisor pesa como 3 minicadenes y en total ha cargado 75 kg, cuánto pesa cada televisor? 4. Tengo en el bolsillo 25 monedas. Todas son de 0,50 y de 0,20. En total tengo 8. Cuántas monedes tienes de cada tipo? 5. Estás al lado de una fuente y dispones de una jarra de 5 litros y de otra de 3 litros. Cómo lo harás para medir un litro de agua? 6. Comprueba y responde: a) La solución de 3x 5 = x 1; es x = 2? b) La solución de 2 x 4 = 3x 3 ; es x = -1? c) La solución de - 5 x + 3 = - x + 5 ; es x = - 2? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 5 11

12 H/AMPLIACIÓN 1. Resuelve las ecuaciones siguientes: a) x x x x = b) 3(x 7) 2(x 3) = - 18 c) 4 (x 2) = 2 (x + 2) 2. Si al triple de un número le restas el número resulta 30. Cuál es este número?. 3. En un bolsillo tengo una cuantidad de dinero y en la otra tengo el doble. En total, tengo 600 euros. Cuánto dinero tengo en cada bolsillo?. 4. Escribe el enunciado de un problema el planteamiento del cual sea el siguiente: x + 2 x = En la página 128 de tu libro de texto puedes encontrar ejercicios para ampliar tus conocimientos. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemáticas, Unidad 5 12