INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO

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1 Capítulo 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO Problema 4.. Calcula las integrales a) ) t i dt, b) /6 e it dt, c) e t dt Re < ). Solución: a) ) t i dt = dt i t t dt dt = t = + i ln = i ln4. i ln t b) /6 e it dt = i eit π/6 = i eiπ/ ) = eiπ/6 e iπ/6 e iπ/6 ) = e iπ/6 senπ/6) = i 4 + i 4. c) e t dt = et =. Problema 4.. Prueba que si m, n Z, e inθ e imθ dθ = { si m n, π si m = n. Solución: e inθ e imθ dθ = e in m)θ dθ.

2 46 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO Si n = m, entonces el integrando es y la integral vale π. Si n m, e in m)θ dθ = n m ein m)π }{{} ) =. = Problema 4.. A partir de la integral calcula las integrales e x cos x dx, e +i)x dx, e x sen x dx. Solución: Si denotamos entonces Pero I vale con lo que I = e x cos x dx = Re I, e +i)x dx, e x sen x dx = Im I. I = ) e +i)π = i + i eπ ) = eπ + e x cos x dx = eπ +, + i eπ +, e x sen x dx = eπ +. Problema 4.4. Demuestra que si x y n =,,,..., la función satisface la desigualdad P n x). P n x) = π x + i x cos θ) n dθ Solución: Vamos a acotar el módulo del integrando: x + i x cos θ = x + x )cos θ = cos θ + x sen θ cos θ + sen θ =, o sea que x + i x cos θ. Entonces, P n x) π x + i x cos θ n dθ π dθ =. Problema 4.5. Sea wt) = e it, una función continua y derivable en R. Tomemos el intervalo [, π]. Comprueba que esta función no verifica el teorema del valor medio; es decir, que no hay ningún c, π) tal que wπ) w) = w c)π.

3 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 47 Solución: Si hubiera un c, π) que verificase el teorema del valor medio, como wπ) w) = e iπ = =, eso significaría que w c) =. Pero w c) = ie ic para todo c R. Problema 4.6. Calcula las integrales: a) x, donde es el segmento que va de a + i. b) c) d) e) f) x, donde es la circunferencia = r orientada positivamente., donde está parametriada como t) = + eit, con t π., donde A = { C :, Im }., donde A = { C : Re, Im }., donde A = { C : r}. a AYUDA: En f) escribe el integrando como ) r a = a) a) = a) a y distingue los casos a > r y a < r. Solución: a) Una parametriación de es t) = + i)t, donde t. Entonces, x = xt) t)dt = t + i)dt = + i. b) Parametriamos como θ) = re iθ, con θ π. Entonces, x = r cos θ ire iθ dθ = ir cos θ + i cos θ sen θ)dθ = ir = iπr. cos θ + i senθ)dθ = ir π cos θ dθ } {{ } = ) r senθ dθ } {{ } = c) Hay tres formas de hacer esta integral. Las dos primeras emplean directamente la paramtriación. Tenemos que t) = + e it ) = e it + e it, luego π I = = ie it e it dt = i dt. + eit + eit Llegados a este punto, la mejor manera de hacer esta integral es utiliando el desarrollo en serie + e it = + eit = n= neint = n= n+eint,

4 48 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO con el cual la integral se convierte en I = i n= π n+ e int dt, gracias a la convergencia uniforme de las series de potencias. La integral del segundo miembro se anula si n y vale π si n = véase el problema 4.), así que I = i π = πi. Una forma alternativa de hacer la integral es escribirla como I = i dt = i + eit ya que una primitiva del integrando es, entonces, Ft) = i log + e it). e it dt, + e it El problema es que esta primitiva no es holomorfa en el corte del logaritmo, que podemos elegir a conveniencia. Como la integral empiea en t = y termina en t = π, que corresponden a +e it =, la mejor elección de la determinación del logaritmo es la [, π). La curva wt) = + e it, con t π, es una circunferencia de radio, centrada en = y orientada negativamente, que comiena en = y termina en ese mismo punto. Denotamos = e iπ y + = e i ; entonces, I = log + π e it ) = log+ ) + log ) = i arg arg + ) = πi. La tercera forma de hacer la integral es descomponer el integrando en fracciones elementales como = ) ; + entonces I = +, y como es la circunferencia de radio centrada en, por la fórmula de Cauchy la primera integral vale πi y la segunda, con lo que de nuevo obtenemos que I = πi. d) = +, donde es la semicircunferencia θ) = e iθ, con θ π, y el segmento x) = x, con x. Entonces, = + = e iθ ie iθ dθ + x x dx = iπ. }{{} = por simetría e) El contorno es un cuadrado formado por los cuatro segmentos : x) = x, x, : y) = + iy, y, : x) = x + i, x, 4 : y) = iy, y,

5 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 49 de tal manera que + 4. Entonces = + 4 f) En primer lugar, si a =, = = x dx + I = dx + i + y )i dy dy = + i. + x )dx a = = r =, y i dy por ser el integrando una constante holomorfa en todo C). Ahora bien, cuando a, gracias a la descomposición, válida sobre la circunferencia = r, ) r a = a) a) = a) a, podemos escribir la integral como I = a = a)r a) = a a) r /a). Para continuar descomponemos el integrando en fracciones elementales de donde a) r /a) = A a + B r /a = A r /a) + B a) a) r, /a) = A r /a) + B a). Haciendo = a obtenemos ) a = A a r = A a r a a haciendo = r /a obtenemos r ) r a = B a a = B r a a Así pues, I = A a a B a = A = a a r ; = B = r /a. Si a > r, entonces la primera integral vale. En cuanto a la segunda, como r a = r a < r r = r, por la fórmula de Cauchy el valor de la integral es πi, con lo que I = B a πi = πr i a a r ). r r a.

6 5 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO Si, por el contrario, a < r, entonces la primera integral vale πi, y como r a = r a > r r = r, la segunda vale. Entonces Resumiendo, donde I = A a πi = πai r a. πai I = r a Fa, r), { si a < r, Fa, r) = r si a > r. a Problema 4.7. Calcula, siendo a) t) = e iπ t), con t π, b) t) = e it, con π t π. Implica la respuesta de estos dos apartados que existe una función holomorfa f) tal que f ) = /? Solución: a) Como t) = e iπ t) = e it, y, por tanto, t) = e it, t) = ie it, entonces, π = i e it dt = π e it = ) =. b) Como t) = e it y t) = ie it, π = i e it dt = π π eit = ) ) = π. Que las integrales a lo largo de estos dos contornos sean iguales no implica nada acerca de la existencia de una primitiva de /. De hecho, tal primitiva no puede existir porque esta función no es holomorfa en ningún punto de C. Problema 4.8. Regla de integración por partes) Si f, g son dos funciones holomorfas en Ω y es un contorno de Ω que une el punto con el, prueba que f)g ) = f)g) f )g).

7 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 5 Solución: De la regla de derivación del producto de funciones holomorfas, [ f)g) ] = f )g) + f)g ), deducimos, integrando sobre, f )g) + f)g [ ] ) = f)g) = f)g), de donde se obtiene la regla de integración por partes. Problema 4.9. Calcula la integral log ) +, donde tomamos la rama principal del logaritmo y donde es a) la circunferencia = orientada positivamente, b) la circunferencia = orientada positivamente. Solución: En primer lugar, veamos dónde es holomorfa la función del integrando. Sabemos que el logaritmo que aparece está tomado sobre la rama principal. Eso significa que el corte es el conjunto A = { C : Im =, Re }. Así que cualquier punto del corte es de la forma = r, con r. Veamos ahora qué valores de hacen que el argumento del logaritmo caiga sobre el corte: + r = r + = r + r + r) = r = r +. La función = r )/r + ) es creciente para r ; su valor mínimo está en r = y vale =, y su supremo se alcana para r y vale =. Así pues, el subconjunto de C cuya imagen por la función + )/ ) cae en el corte A es B = { C : Im =, Re }, esto es, el intervalo [, ] sobre el eje real. Obsérvese que la curva del apartado a) rodea el conjunto B, y la curva del apartado B crua el conjunto B, lo que hace que las correspondientes integrales no valgan trivialmente. Hallemos ahora primitivas del integrando que nos ayuden a hacer las integrales. Para ello recurriremos a la integración por partes: Ahora bien, log ) + = + log + = log ) ) + = + + +, + = + +, + ) ). +

8 5 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO de modo que + = Como + + ) = + log ), + una primitiva del integrando será log ) ) + = + log + + log ). No es la única posible: algunas manipulaciones de los logaritmos nos dan otras primitivas. Por ejemplo, podemos escribir log ) = log ) + log + ), con lo que log ) ) + = + log + + log ) + log + ) es otra primitiva. También con lo que log ) + log + ) = log ) + log log es otra primitiva. O también con lo que ) +, ) ) + = + + log + + log ) log ) + log + ) = log + ) log log ) +, ) ) + = + log + + log + ) es otra primitiva. Para que estas cuatro funciones sean primitivas, es necesario que el primer logaritmo esté definido sobre la determinación principal, como en el integrando. Respecto a los demás logaritmos, la elección de la determinación es arbitraria y queda a nuestra elección. Eso es lo que diferencia las cuatro primitivas que hemos obtenido y otras que puedan obtenerse por métodos similares): son holomorfas en conjuntos distintos. Por ejemplo, una primitiva cómoda de utiliar es F) = log ) log + ), tomando para el segundo logaritmo también la determinación principal. Esta función no es holomorfa ni en B ni en el intervalo, ] del eje real; es decir, es holomorfa en C salvo en el intervalo, ] del eje real. Usaremos esta primitiva para hacer las integrales.

9 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 5 a) La curva = corta el eje real negativo en =. Denotando = e iπ y + = e iπ, log ) + = F + ) F ). Todos los términos de F) son continuos sobre la curva, a excepción de log + ), ya que log + ) = ln + +i arg + ) = πi, }{{ }}{{ } = =π luego log ) + = 4 πi. b) La curva = corta el eje real en = y en =. Este último punto no da problemas, pero = crua el intervalo [, ], donde el primer logaritmo no es holomorfo. Así que todos los términos de F) son continuos excepto el primero. Para saber cuánto vale log ) + + = ln + + }{{ } = = i ) + + arg + }{{} = / i arg ) + + tenemos que ver cómo es la curva wθ) = θ) + θ) cuando θ) = + e iθ, con π θ π. Sustituyendo, wθ) = + eiθ e iθ = + e iθ, que no es sino la circunferencia w = orientada negativamente. Entonces arg ) + + = π, con lo cual y, por lo tanto, log log ) + + = πi ) + = πi.

10 54 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO Problema 4.. a) Prueba que si f) es holomorfa en el interior y sobre el contorno, cerrado, simple, orientado positivamente y que rodea el punto =, entonces f )log = f c ) f), πi siendo c el cruce de con el corte del logaritmo. b) Calcula la integral n log, n N, siendo la circunferencia = orientada positivamente, tomando la rama del logaritmo correspondiente a la determinación ) arg < π, ) π < arg π. c) Halla la integral anterior cuando n es un entero negativo distinto de. d) Halla la integral cuando n =. Solución: a) Tomemos la determinación [α, α + π) y denotemos c = c e iα y c + = c e iα+π). Entonces, integrando por partes, El primer término vale el segundo f )log = f)log f)log por la fórmula de Cauchy; entonces, πi b) Aplicando el apartado anterior, + c c + c c = if c )arg f) + c c = πif), f). = πif c ); f )log = f c ) f). f) = n+ n +, de manera que para la determinación ), en que c =, la integral vale n log = πi n +, mientras que para la determinación ), en que c =, la integral vale n log = )n+ πi. n +

11 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 55 c) Retomando del primer apartado la fórmula f )log = πif c ) en el caso en que n es un entero negativo distinto de, la integral del miembro derecho vale n =, n + f) de modo que de nuevo obtenemos el mismo resultado que en el apartado anterior. d) Cuando f) = log, la integración por partes da log + = log ) c c, log, lo que proporciona una fórmula para el caso con n = : I = log = + c log ) c = ππ + α) + iπ ln c. = log + c log c ) log + c + log c = πiln c + αi + πi) Para la determinación ) α = y c =, luego I = π. Para la determinación ) α = π y c =, luego I =. Problema 4.. Calcula la integral ) a, C R donde C R es la circunferencia = R orientada en sentido positivo. Solución: Supongamos que adoptamos la rama del logaritmo [α, α + π); entonces, como una primitiva de ) a es ) a /a, con la misma determinación, entonces ) a = C R a ) a +Re iα+π) +Re iα = Ra a eiaα+π) i sen πa. = a R a e iaα+π) R a e iaα) = Ra e iaα e iaπ ) a Problema 4.. Halla la integral i, donde i se toma sobre la rama principal, y es un contorno que parte de y llega a a través de Im >.

12 56 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO Solución: i = i+ e i i + = ei+)iπ e i + iπ = + e π i + = + e π i). Problema 4.. Demuestra que donde r es la curva t) = re it, con t π. e lím r r i =, AYUDA: Acota la integral y usa la desigualdad sen t t/π, válida para todo t [, π/]. Solución: Primero acotaremos el integrando sobre la curva: e i e Im e r sen t = = e rt/π, t π r r ; ahora acotamos la integral: e r i = e it) t) ireit dt r / e it) t) dt r e rt/π dt = π π/ r e rt/π = π r e r ). Evidentemente, la última expresión tiende a cuando r. e r sen t dt = r / e r sen t dt Problema 4.4. Si es un contorno cerrado y a /, se define el índice de respecto de a como n, a) = πi a. Calcula n,) para el contorno t) = { + t)e it si t kπ, + 4kπ t si kπ t 4kπ, k N. Basándote en el resultado, puedes dar una interpretación geométrica de n, a)? AYUDA: Dibuja. Solución: Como entonces πin,) = = kπ kπ t) = { + i + it)e it si t kπ, 4kπ si kπ t 4kπ, + i + it)e it + t)e it dt kπ + 4kπ t dt ) + t + i 4kπ dt + ln + 4kπ t = ln + t kπ = ln + kπ) + ikπ ln + kπ) = kπi, k N, kπ + ikπ ln + kπ)

13 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 57 luego n,) = k. La curva consiste en una espiral que da k vueltas completas en torno a, con amplitud cada ve mayor, más un tramo recto que une el final de la espiral con el punto inicial. El significado de n, a) parece ser el número de vueltas que la curva da en torno al punto a. De hecho es así, si uno tiene en cuenta que las vueltas que se dan en sentido positivo cuentan negativamente en el saldo de vueltas. Problema 4.5. a) Calcula para cualquier n Z los valores de a) n, siendo una circunferencia cualquiera, orientada positivamente, que no pasa por a. b) Prueba que no existe ninguna función holomorfa en C {} tal que f ) = /. c) Si A = { C : }, calcula empleando el índice definido en el problema 4.4. d) Si A = { C : }, calcula Solución: a) Si no rodea el punto a, entonces la función es holomorfa dentro de y sobre el contorno, y por lo tanto la integral se anula. Si rodea el punto a pero n, de nuevo vale por el mismo argumento. Si rodea el punto a y n =, la integral vale πi por la fórmula de Cauchy, y si n <, la integral vale por la fórmula de las derivadas. Así pues, { a) n πi si rodea a y n =, = en caso contrario. b) Hay dos maneras de hacer esta integral. La primera es descomponiendo el integrando en fracciones elementales como = ), + con lo que = = πi πi =. + La segunda forma consiste en tomar dos curvas, y, contenidas dentro de y tales que la primera rodea el punto = y la segunda el punto = ; entonces = + = f ) + f ) +, donde f ) = / + ), holomorfa dentro de y sobre, y f ) = / ), holomorfa dentro de y sobre. Por tanto, aplicando la fórmula de Cauchy, = πi[ f ) + f ) ] = πi ) =.

14 58 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO c) El denominador tiene la raí =, de modo que dividiendo por Ruffini, obtenemos la factoriación Así pues, donde la función = ) 8 + 6) = ) 4) = 5 + ) 4) = f) = πif), f) = 5 + 4) es holomorfa sobre y dentro de la curva. Como f) =, la integral vale 5 + = 4πi. + Problema 4.6. Obtén las siguientes acotaciones: a) e πe, cuando está parametriada por t) = eit, con t π. b) sen πe, cuando es la circunferencia = orientada positivamente. Solución: a) e = }{{} cos t e t) e it ieit dt = edt = πe. e t) π dt e t) dt = e Re t) dt = e cos t dt b) sen π = sen t) e it ie it π sen t) dt = = ) e it) + e it) dt = = coshsen t)dt e sen t + e sen t) dt e it) e it) dt coshdt = π cosh = πe + e ) πe.

15 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 59 Problema 4.7. Empleando la fórmula integral de Cauchy, obtén las integrales las curvas están todas orientadas positivamente): cos e a), e h), ñ) /) 5, b) c) d) e) f) g) = = = = = = = sen sen,, e +,, +, +, i) j) k) l) m) n) = = = =/ = = =r i, + 6), senh 5 + ), e, e, o) p) q) r) s) = senh + )cos ), = = = = =, ), e t +, e t + ), e t +. Solución: a) Usando la fórmula integral de Cauchy, cos = πi cos = πi. = b) Usando la fórmula de las derivadas, sen = πisen ) = = πi cos = πi. = c) Usando la fórmula integral de Cauchy, = sen = πi sen =. De otro modo: la función sen / es holomorfa en todo el plano, así que la integral sobre cualquier curva cerrada da. d) Usando la fórmula integral de Cauchy, = e + = πie + ).

16 6 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO e) Usando la fórmula integral de Cauchy, = f) Descomponiendo en fracciones elementales = πi = πi. + = i i ), + i la integral queda + = i = i i = + i = πi i) + ) =. = g) Como + = ) + ), + = = h) Usando la fórmula de las derivadas, e = = = = ) + ) = πi + = π i. e = πie ) = = 4πie = 4πi. i) Tenemos que i = i) + + i). De las dos raíces, + i está en el interior de la curva = ya que + i = i = <, pero i está fuera porque i = + i = 5 >, así que = i = = i) + + i) = πi = πi i) = π + i). + + i = πi =+i + i j) Usando la fórmula de las derivadas = + 6) = πi = πi + 6) = + 6) =. = k) Las raíces del denominador son =, ±i, las tres dentro de la curva = /. Si, i y i son tres contornos cerrados, simples, orientados en sentido positivo, que rodean los tres puntos, i, i respectivamente, =/ senh 5 + ) = f ) + i f i ) i + i f i ) + i,

17 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 6 donde Entonces, =/ f ) = senh5 +, f i) = senh 5 + i), senh 5 + ) = πi f ) + f i i) + f i i) ) 5 cosh5 + ) senh5 = πi + ) + = = πi5 sen 5). f i) = senh5 i). senh 5i i + senh5i ) i l) Como el integrando es una función holomorfa sobre y dentro de la curva =, = e =. m) Por la fórmula integral de Cauchy, = e = πie = πi. n) Podemos descomponer =r senh + )cos senh cos ) = =r ) + =r = πi cosh + cos ) = 4πi cosh + cos ) = 4πi senh + cos ) ñ) Por la fórmula de las derivadas, = e πi = /) 5 e ) =/ 4! = 7πi 4 e/. o) El denominador se descompone como = ) w) w ), siendo w = e iπ/ y, por tanto, w =. Entonces, si, w y w son tres contornos cerrados, simples, orientados positivamente, que están en el interior de = y rodean, respectivamente, los puntos =, w, w, entonces siendo f ) = = = f ) + f w ) w w + w w) w ), f w) = = πi f ) + f w w) + f w w ) ), f w ) w ) w ), f w ) = ) w).

18 6 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO Evaluando las funciones y teniendo en cuenta que w = w) + w) y que w 4 = w w = w, f ) + f w w) + f w w ) = = Por lo tanto, w) w ) + w w )w w + ) }{{} =w w) w) + w) w w) + w) + w) = w) = w w w) + w) = w w w) w ) = w w w w =. p) Por la fórmula de las derivadas, = = = πi. πi = )! ) = = πi. w 4 w )w w) }{{} + w w =ww ) q) El contorno rodea las dos raíces del denominador = ±i, de modo que si llamamos i y i a dos contornos cerrados, simples, orientados positivamente, en el interior de = y que rodean, respectivamente, cada una de las dos raíces, siendo Entonces, = e t + = = r) Por la fórmula de las derivadas, Como entonces, f i ) i i + f i ) = et + i, i f i ) + i = πi[ f i i) + f i i) ], f i) = et i. e t ) e it = πi + i + e it = πi sen t. i = e t πi = + )! e t ). = e t ) = [ + t)e t ] = t + t)e t, = e t + ) = πit t)e t. s) Las tres raíces del denominador son =, e ±iπ/. Como las tres raíces están dentro del contorno, si y ± son tres contornos cerrados, simples, orientados positivamente, del interior de =, y que rodean, respectivamente, las tres raíces, entonces, = e t + = f ) + + = πi + f + ) + eiπ/ [ f ) + f + e iπ/ ) + f e iπ/ ) f ) e ], iπ/ )

19 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 6 siendo Así pues, teniendo en cuenta que tendremos f ) = f + ) = f ) = e t e iπ/ ) e iπ/ ), e t + ) e iπ/ ), e t + ) e iπ/ ). + e iπ/ = e iπ/ = + + i = + i = ) i + i = e iπ/6, f ) = e t + e iπ/ ) + e iπ/ ) = e t, / f + e iπ/ e iπ/ e t/ e it / ) = + e iπ/ )e iπ/ e iπ/ ) = e t/ e it + e iπ/ ) e iπ/ ) = et/ e it / f e iπ/ e iπ/ e t/ e it / ) = + e iπ/ )e iπ/ e iπ/ ) = e t/ e it + e iπ/ ) e iπ/ ) = et/ e it / π/), / π/), y por consiguiente, = e t πi ) = e t/ cos + t π ) e t. Problema 4.8. Demuestra, sin calcular la integral, que lím R C R log =, donde C R es la circunferencia = R con cualquier orientación) y el logaritmo se toma en la rama principal. Solución: Puesto que el logaritmo está en la rama principal, sobre C R tendremos log = lnr + iθ, con π < θ π. Entonces, log lnr + iθ lnr + θ = R R lnr + π R, y en consecuencia, que tiende a cuando R. log C R lnr + π R πr = πlnr + π), R

20 64 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO Problema 4.9. Calcula en función r el valor de la integral la curva está orientada positivamente) =r senπ ) + cosπ ) ) ). Solución: Si denotamos el contorno C r y utiliamos los índices nc r, ) y nc r, ), que valen teniendo en cuenta que =r nc r, ) = tendremos senπ ) + cosπ ) ) ) = { si r <, si r >, nc r, ) = ) ) =, =r senπ ) + cosπ ) { si r <, si r >, =r senπ ) + cosπ ) = πi [ nc r, )sen 4π + cos 4π) nc r, )sen π + cos π) ] = πi [ nc r, ) + nc r, ) ] si r <, = πi si < r <, 4πi si < r. Problema 4.. Calcula la integral si es un contorno con los siguientes índices: a) n,) =, n,) =, b) n,) =, n,) =, c) n,) =, n,) =, d) n,) =, n,) =. e ) Solución: a) La curva sólo rodea el, luego b) La curva sólo rodea el, luego e πi = )! e ) = πi e ) = πi. = e ) = = πi + )e = = eπi.

21 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 65 c) Tomando dos contornos cerrados, simples, orientados positivamente, cada uno rodeando uno de los dos puntos = y =, la integral se descompone en la suma de las dos integrales de los apartados anteriores. Por tanto, e = e )πi. ) d) Evidentemente, en este caso e =. ) Problema 4.. a) Dado el contorno, cerrado, simple, orientado positivamente y que rodea el origen, calcula + ) n, n N. b) A partir de este resultado, obtén el valor de / cos θ) n dθ, / sen θ) n dθ. AYUDA: En a) emplea la fórmula del binomio de Newton; en b) elige como la circunferencia =. Solución: a) Por la fórmula del binomio, luego Ahora bien, por lo que + ) n = n k= + n = ) ) n n k k = k n k= n k) = n k= ) n n k). k { πi si k = n, + ) n = πi si k n, n n ) n n k), k b) Tomando la curva, parametriada por θ) = e iθ, con θ π, tendremos ). θ) + = cos θ, θ) θ) θ) = i, así que y como + ) n π = i n cos n θ dθ = πi cos n θ dθ = 4 / cos n θ dθ, n n ),

22 66 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO entonces, / cos n θ dθ = / sen n θ dθ = π ) n n+. n Problema 4.. Aplica el teorema del valor medio de Gauss para hallar las integrales: a) b) c) π e eiθ dθ, coscos θ + i sen θ)dθ, coscos θ) coshsen θ) dθ, d) e) f) π a + cos nθ a dθ, a >, n Z, + + acos nθ ln [ a ++acosnθ ] dθ, a >, n Z, lna + b cos θ)dθ, a > b. AYUDA: En d) usa la función f) = / n + a); en e) usa la identidad a + + acos nθ = a + e inθ ; f) busca α > β tales que a + b cos θ = α + βe iθ. Solución: a) Definiendo f) = e, b) Definiendo f) = cos, e eiθ dθ = coscos θ + i sen θ }{{} =e iθ )dθ = c) Definiendo ux, y) = Re cos = cos xcosh y, d) Como coscos θ)coshsen θ)dθ = f) = n + a = fe iθ )dθ = πf) = π. entonces, definiendo ux, y) = Re f), tendremos Por lo tanto, a + cos nθ a + + acos nθ dθ = π fe iθ )dθ = πf) = π. ucos θ, sen θ)dθ = πu, ) = π. n + a a + n )a + n ) = a + n a + n + are n ), ucos θ, senθ) = Re fe iθ ) = e) Definiendo f) = loga + n ) y ux, y) = Re f), π ln [ a + + acos nθ ] dθ = a + cos nθ a + + acos nθ. ucos θ, senθ)dθ = πu, ) = π Re f) = π a. ln a + e inθ dθ = = 4πu, ) = 4π Re f) = 4π lna. ucos θ, sen θ)dθ

23 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 67 f) Siguiendo la indicación, α + βe iθ = α + βe iθ )α + βe iθ ) = α + β + αβ cos θ = a + b cos θ, de donde { a = α + β, b = αβ. De la segunda se deduce que β = b/α, que insertada en la primera conduce a Las soluciones de esta ecuación son de donde α + b 4α = a α4 aα + b 4 =. α = a ± a b, β = b 4α = b a ± a b ) = b a a b ) a a + b ) = a Como exigimos que α > β, la única solución es a + a α = b a a, β = b. Ahora definimos f) = logα + β) y ux, y) = Re f), con lo que a b. lna + b cos θ)dθ = ln α + βe iθ dθ = ucos θ, sen θ)dθ = 4πu, ) a + ) a = 4π Re f) = 4π lnα = π ln b. Problema 4.. Sean f, g dos funciones holomorfas en el dominio Ω C y supongamos que g es inyectiva en Ω y que g ) para todo Ω. Sea Ω un contorno cerrado simple orientado positivamente que rodea ; entonces, prueba que f) = g ) πi fζ) gζ) g) dζ. AYUDA: Aplica la fórmula integral de Cauchy a la función holomorfa fζ)ζ ) si ζ, gζ) g) hζ) = f) g si ζ =. )

24 68 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO Solución: Dado Ω, definamos la función fζ)ζ ) gζ) g) hζ) = f) g ) si ζ, si ζ =. Esta función es holomorfa en Ω porque f y g lo son, porque por ser g inyectiva en Ω el denominador sólo se anula en ζ = y porque en ese punto está definida de manera continua. Entonces, por el teorema de Cauchy, h) = hζ) πi ζ dζ, y sustituyendo la expresión de h, de donde se sigue el resultado. f) g ) = fζ) πi gζ) g) dζ, Problema 4.4. a) Sea f) una función holomorfa en el disco D, R ). Prueba que si a < R < R y es la circunferencia = R orientada positivamente, entonces fa) = R a πi a)r a) f). b) Del apartado anterior deduce la fórmula de Poisson para funciones holomorfas, siendo r < R y θ < π: f re iθ) = R r π R Rr cosθ ϕ) + r f Re iϕ) dϕ. c) A partir del apartado anterior, deduce la fórmula de Poisson para funciones armónicas ux, y) en el círculo x + y < R : ur cos θ, r sen θ) = R r π R Rr cosθ ϕ) + rur cos ϕ, R sen ϕ)dϕ. Solución: a) El denominador del integrando tiene dos raíces: = a y = R /a. El módulo de esta última es R a = R a > R R = R, ya que a < R. Por lo tanto, la función R a R a f) es holomorfa sobre y en su interior. Por la fórmula de Cauchy, R a πi a)r a) f) = R a R fa) = fa). aa

25 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 69 b) Escribimos a = re iθ y parametriamos como ϕ) = Re iϕ, con ϕ π, con lo que la integral queda f re iθ) = R a π Re iϕ re iθ )R Rre iϕ θ) ) freiϕ )Re iϕ dϕ = π = π R a R re iϕ θ) )R re iϕ θ) ) freiϕ )dϕ R a R + r Rr cosϕ θ) freiϕ )dϕ, que, gracias a la paridad del coseno, coincide con la fórmula de Poisson. c) Basta tomar la parte real en los dos miembros de la fórmula de Poisson. Problema 4.5. Sea f) una función holomorfa en un dominio Ω que contiene el disco D, ), y sea = D, ). a) Prueba que se verifica + + ) f) = πi f) + f ) ). b) Usando el apartado anterior prueba que f e iθ) cos θ/)dθ = πf) + π f ). Solución: a) + + ) f) = f) }{{} =πif) + f) } {{ } = + f) = πi f) + f ) ). } {{ } =πif ) b) Parametriando como θ) = e iθ con θ π, tenemos + + = + eiθ + e iθ = + cos θ) = 4 cos θ/) luego y despejando, + + ) f) π = i 4 cos θ/) e iθ) dθ = πi f) + f ) ) f e iθ) cos θ/)dθ = πf) + π f ).

26 7 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO Problema 4.6. Sean,,..., n contornos cerrados simples con orientación positiva tales que,..., n están en el interior de y los interiores de dos cualesquiera de ellos tienen interesección vacía. Sea f) una función holomorfa en Ω, siendo Ω la región comprendida entre el contorno y los contornos,..., n. Prueba la fórmula integral de Cauchy para dominios múltiplemente conexos fa) = πi f) n a k= πi k f), a Ω. a Concluye que si A es una región cerrada de C con o sin agujeros) y a es un punto del interior de A, la fórmula integral de Cauchy se expresa como fa) = f) πi a. AYUDA: Aplica el teorema de Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos a la función [f) fa)]/ a). Solución: Definamos la función f) fa) si a, g) = a f a) si = a. Esta función es holomorfa en Ω. Entonces, el teorema de Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos afirma que n g) = g). k Sustituyendo la función nótese que a /, k ), f) fa) = a k= n k= Ahora bien, el miembro de la iquierda se transforma en f) fa) f) = fa) a a y el de la derecha, así que sustituyendo, de donde f) fa) k a = k f) fa) k a a }{{} =πi f) fa) a f) n a πifa) = k= fa) = f) n πi a k= k = a } {{ } = k k. f) πifa), a = f) a, f) a. k f) a,

27 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO 7 Problema 4.7. Demuestra que si f) es holomorfa en D, R) {} y < r < R, la integral es independiente de r. f re iθ) dθ AYUDA: Aplica el teorema de Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos. Solución: Definiendo el contorno θ) = re iθ con θ π, para la cual θ)/θ) = i, f re iθ) dθ = f). i =r Por el teorema de Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos, f) = f) i =r i =r para cualquier < r < R, una integral que es, evidentemente, independiente de r. Problema 4.8. Sea f) una función holomorfa en todo C. A partir del teorema de Liouville demuestra que a) si f, entonces f es contante; b) si Re f, entonces f es contante; c) si Im f, entonces f es contante; d) si Re f no tiene ceros, entonces f es contante; e) si existe una recta que no corta a fc), entonces f es constante. AYUDA: En cada caso estudia a) /f, b) e f, c) e if ), d) la imagen de e f, e) encuentra una transformación de f que reduca el problema al caso d). Solución: a) Como f entonces f y, por tanto, /f es holomorfa en C. Su módulo f = f, por lo que está acotada. Entonces, por el teorema de Liouville, f = const. b) La función e f es holomorfa en C. Su módulo e f = e Re f, por lo que por está acotada. Así que, según el teorema de Liouville, e f = const. y, por consiguiente, f = const. c) La función e if es holomorfa en C. Su módulo e if = e Im f e, por lo que por está acotada. Así que, según el teorema de Liouville, e if = const. y, por consiguiente, f = const.

28 7 4 INTEGRACIÓN EN EL PLANO COMPLEJO d) Si Re f entonces o bien Re f > o bien Re f <. En el primer caso e f <, lo que hemos visto que implica f = const. En el segundo caso e f < lo que de nuevo implica f = const. e) Sea y = tanθx + b la recta; si fc) no corta la recta nunca, eso significa que Imf tanθ Re f + b Im f b tanθ Re f tan θ Re f Im f b). Multiplicando por sen θ, tan θ Re f Im f b) cos θ Re f sen θim f b) Re [ ] e iθ f ib). La función g = e iθ f ib) es holomorfa en C, y como Re g no tiene ceros, según hemos visto eso implica que g = const., es decir, que f = const. Problema 4.9. Prueba que una función holomorfa en C que verifique f) M m para suficientemente grande, donde m N, es necesariamente un polinomio de grado a lo más m. AYUDA: Usa un argumento similar a la demostración del teorema de Liouville para probar que f m+) ) = en C. Solución: Según la desigualdad de Cauchy, f m+) ) m + )!M R R m+, siendo M R el máximo de f) sobre la circunferencia = R. Si R es suficientemetne grande, digamos mayor que R, entonces M R MR m, con lo que f m+) ) m + )!M. R Evidentemente, f m+) ) está acotada en R por ser holomorfa. Entonces tenemos una función holomorfa en C y acotada, de manera que debe ser constante, f m+) ) = c. De la desigualdad se sigue que m + )!M c R para todo R > R, así que c =. Si f m+) ) = entonces f) es un polinomio de grado a lo sumo m. Problema 4.. Prueba que si una función no constante f) es doblemente periódica en la forma f + a) = f), f + ib) = f), a, b >, no puede ser holomorfa en el rectángulo { C : Re a, Im b}. AYUDA: Usa el teorema de Liouville. Solución: Si fuera holomorfa, f estaría acotada en el rectángulo; por la periodicidad, f estaría acotada en todo C, y sería, pues, constante. Luego no puede ser holomorfa en el rectángulo.