CAPÍTULO 6. EL V POSTULADO DE EUCLIDES Y SUS CONSECUENCIAS

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1 CAPÍTULO 6. EL V POSTULADO DE EUCLIDES Y SUS CONSECUENCIAS Introducción Posiblemente ninguna proposición suscitó jamás una polémica tan grande, en la Geometría Euclidiana, como el conocido V Postulado de Euclides sobre las rectas paralelas. Las críticas surgieron desde la misma noción original que Euclides presentó sobre la definición de rectas paralelas. Muchos matemáticos en distintas épocas y culturas presentaron demostraciones de este Axioma y en consecuencia lo clasificaban como un teorema más de la teoría. De éstas muchas presentaban problemas en la estructura lógica que en su época no fue posible identificar y otras, con mejor suerte, resultaron ser proposiciones lógicamente equivalentes a dicho Postulado. Este hecho se presentó desde la misma época de Euclides entre los griegos, en los matemáticos de la cultura árabe, alcanzó el renacimiento y finalizó en el Siglo XVIII. Se requirió de los avances en la consolidación de las teorías formales del método axiomático, de la aceptación de los teoremas de existencia y de otras estructuras abstractas para resolver este problema hacia mediados del siglo XIX. Siendo muchos los matemáticos que en diferentes formas participaron en este problema, quedaron finalmente en la memoria de este evento histórico, los nombres y las obras de Gauss, Lobachevsky y Riemann, los cuales trabajando sobre los estudios de Jerónimo Saccheri y de la equivalencia probada por Playfair del V Postulado de Euclides con el Postulado de la existencia única de la paralela por un punto exterior a una recta, establecen la existencia de nuevos sistemas geométricos consistentes. La original polémica se salda con resultados invaluables en la construcción del conocimiento matemático como lo son entre otros: La demostración de la imposibilidad de demostrar el V Postulado de Euclides como un teorema más de la teoría por cuanto es realmente un Axioma de la misma. El establecimiento de la generación de nuevas geometrías perfectamente consistentes, cambiando el V Postulado, las que se conocen como Geometrías no Euclidianas o también como

2 la relatividad de éste Postulado, han permitido el desarrollo de modelos de aplicación fundamentales en la Física. Objetivos Específicos. 1. Presentar el V Postulado de Euclides en su versión original y demostrar su equivalencia con el Postulado planteado por Playfair. 2. Destacar la importancia histórica y el alcance en la matemática generada por la proposición original de Euclides y el surgimiento de las Geometrías no Euclidianas. 3. Retomar el problema planteado en el objetivo 4 del capítulo anterior y como esta pregunta se relaciona con el problema central de la existencia del V Postulado como un Axioma. 4. Llamar la atención sobre la grandeza y el genio imperecedero de Euclides quien, con los elementos disponibles en su época, pudo garantizar la existencia de este Axioma y construir un sistema dentro de la Geometría que, posteriormente con los refinamientos necesarios, ha sido adoptado por la Matemática como elemento vital en su estructura. 5. Mostrar los recíprocos del Teorema de los ángulos alternos internos y de sus corolarios y precisar como resultados tan conocidos como, la suma de los ángulos interiores de un triángulo, y otros igualmente importantes dependen del V Postulado. 6. Señalar como el Postulado de Playfair ha pasado en la práctica a ser identificado como el Axioma de paralelismo en la Geometría Euclidiana por su sencillez y relación directa con la relación de paralelismo. 7. Concluir que completados en su presentación todos los Axiomas en la Geometría Euclidiana, ya es posible obtener todos los resultados conocidos en esta teoría, los cuales se continuarán construyendo. 8. En el Anexo 2 del texto presento algunos modelos de las Geometrías no Euclidianas para ser analizados por el estudiante.

3 6.1 V POSTULADO DE EUCLIDES (V.P.E.) Si dos rectas l y r se intersectan con una secante t y determinan con ella en el semiplano t, dos ángulos colaterales interiores cuya suma sea menor que 180º, entonces las dos rectas se intersectan en algún punto del semiplano. (Figura 94). O sea: Si 180, l y r se intersectan en. Figura 94. t El quinto postulado de Euclides (V.P.E.) tiene y entre muchas proposiciones equivalentes, una de fundamental importancia, conocida como El Postulado de la Paralela única de Playfair. t

4 6.2 EL POSTULADO DE LA PARALELA ÚNICA DE PLAYFAIR. Por un punto exterior una recta pasa una paralela a la recta y sólo una.

5 6.3 NOTA HISTORICA El quinto postulado causó un trastorno considerable desde la época de los griegos. Muchos geómetras pensaron que tal vez podría deducirse como teorema a partir de los restantes axiomas o postulados. Euclides mismo trató de evitarlo mientras pudo, pues no lo utilizó en sus demostraciones sino hasta que llegó a la proposición 120. Durante más de años fueron ofrecidas diferentes demostraciones del postulado, pero cada una se basaba en una suposición equivalente al mismo. Los esfuerzos realizados, sin embargo, condujeron a que en la primera mitad del siglo XIX, se inventara una geometría que difería radicalmente de la de Euclides. Antes de este hecho se pensaba que existía solo una geometría posible, puesto que se daba por sentado que la coherencia de la geometría estaba asegurada por el espacio físico al que interpretaba plenamente y cuyo fundamento se encontraba en el mundo tal como se percibe y en el cual se asumía que no pueden darse contradicciones. Fue después de Riemann que empezó a plantearse la posible falta de coherencia de los sistemas de verdades contenidos en la geometría. La independencia del postulado de las paralelas quedó establecida cuando fué demostrada la compatibilidad de las otras geometrías donde el V Postulado se negaba o cambiaba por otro. Cualquier geometría cuyos axiomas contradicen alguno de los de Euclídes, es llamada no Euclidiana. La primera de ellas que se creó es la llamada Geometría Lobachvsquiana. Gauss ( ) en Alemania, Bolyai ( ) en Hungría y Lobachevsky ( ) en Rusia, plantearon independientemente la forma de Playfair ( ) del postulado, considerando tres posibilidades: Por un punto exterior a una recta, pueden trazarse más de una, únicamente una, o ninguna paralela a la recta. Suponiendo la infinidad de la recta el tercer caso fue eliminado. Estableciendo una geometría compatible con la primera hipótesis, los tres matemáticos realizaron extensos desarrollos geométricos y trigonométricos. Debido a la prioridad de Lobachevsky en la publicación, la geometría así construida recibió su nombre. En 1854 Riemann ( ) demostró que si se descarta la infinitud de la recta, entonces, con algunas ligeras modificaciones de los postulados restantes, se podría desarrollar una geometría compatible con la tercera hipótesis. Al trabajo de Riemann se debe una

6 generalización considerable del concepto de espacio, que ha encontrado aplicaciones en la teoría física de la relatividad. Aunque Gauss y Riemann tenían la plena convicción de que estas nuevas geometrías eran tan coherentes como la euclidiana, fue en el año de 1868 que el matemático italiano Eugenio Beltrami ( ) demostró la plena consistencia de una geometría no euclidiana utilizando los modelos de curvatura constante, de la seudoesfera y del interior de una esfera unitaria n-dimensional, llamado también modelo de Beltrami-Klein. En el año 1900 David Hilbert logra reducir la coherencia lógica de la geometría euclidiana a la de la aritmética. Nace el formalismo y la teoría de los sistemas formales con una clara herencia en el procedimiento como se ha desarrollado la fundamentación de las geometrías. El hecho de lograr que la geometría se independizara de la física, trajo como consecuencia la independencia también de la matemática. Desde los griegos, en el Medioevo, pasando por Kant e incluyendo al mismo Gauss, el concepto de verdad de la matemática, se fundamentaba en el concepto de verdad del mundo real. La existencia de las geometrías no euclidianas obligó a explorar la coherencia interna o consistencia de las matemáticas en unos fundamentos más profundos y totalmente abstractos. En síntesis el descubrimiento de las geometrías no euclidianas no solo liberó a la geometría de su molde tradicional, sino que modificó considerablemente los conceptos de la matemática en general y condujo a un estudio profundo de los fundamentos de esta materia y a un desarrollo más amplio del método axiomático. El desarrollo de la geometría Euclidiana, con el quinto postulado suprimido, recibe el nombre de Geometría Absoluta, contiene las proposiciones que son comunes a las geometrías de Euclides y de Lobachevsky. En el anexo N 2 se describen algunos modelos de geometrías no euclidianas e invito al lector a profundizar en este apasionante tema. En la proposición que sigue, se demuestra la equivalencia del V.P.E. con el postulado de la paralela única de Playfair.

7 6.4 EQUIVALENCIA ENTRE EL V.P.E Y EL POSTULADO DE PLAYFAIR TEOREMA 31. El V.P.E. es equivalente al postulado de la paralela única de Playfair. Demostración. Asumamos que se cumple el postulado de la paralela única de Playfair, es decir, que para toda recta l y todo P l! r tal que: P r y r // l. Sean l y m dos rectas dadas y t una secante tal que: 180 º. Vamos a probar, para tener el V.P.E., que l y m se cortan en el semiplano. (Ver Figura 95). Es claro que 180º Figura 95 Como 180º, entonces. Luego por el axioma de construcción del ángulo,!bc tal que: B' BC ˆ B' B, m ˆ. Por tanto, m // BC. 2 t

8 Ahora B está en l; B r y r // m. Pero por el postulado de Playfair, por B solo pasa una paralela a m. Por tanto, toda recta r que pase por B corta a m. Como l pasa por B y es distinta a r corta a m. t 1 Veamos ahora que se cortan en. Supongamos que se cortan en. (Ver Figura 96). En el triángulo B B', es ángulo exterior del triángulo AB B', luego, por T..E., 2 3. A 2 Contradicción, ya que teníamos que. Por lo tanto l y m se cortan en el semiplano. 2 3 Figura 96. Supongamos ahora que es valido el V.P.E. Sea l una recta dada y P l. Sea t la perpendicular por P a l y r la perpendicular por P a la recta t. t Figura 97.

9 Por el teorema de los ángulos alternos internos, ya tenemos que que toda otra recta que pase por P corta a l. r //l. Bastará con demostrar Sea pues n otra recta que pasa por P, n distinta a r. Llamemos al ángulo agudo que hace n con t. Por tanto ángulo agudo. 1 90º 90º 90º 180 º y por el V.P.E. n y l se cortan del lado en que se forma el Vamos a estudiar ahora algunas consecuencias del V.P.E. o de su equivalente, el postulado de la paralela única de Playfair. TEOREMA 32. Teorema de Proclo. Si dos rectas distintas son paralelas, toda secante que intersecta a una de ellas intersecta a la otra, siempre y cuando las tres sean coplanarias. Demostración. Supongamos l //r y que S corta a la recta l en un punto A. Por tanto la recta S es distinta a la recta l. Veamos que S corta a r. En efecto, sí S no cortara a r se tendría S //r, con S pasando por A. En conclusión tendríamos dos rectas pasando por A (S y l) ambas paralelas a r. Luego, por el Postulado de Playfair se tendrá que S l. Contradicción, ya que S es distinta a l. TEOREMA 33. El paralelismo entre las rectas es una relación de equivalencia, o sea que es: Reflexiva, simétrica y transitiva. Demostración. 1. Reflexiva: Es claro que l //l. 2. Simétrica: También es claro que si l // r, entonces r // l.

10 3. Transitiva: Supongamos que l // r y r // s con l, r y s todas distintas. Veamos que l // s. Razonemos por reducción al absurdo. Figura 98. Si l // s, l y s se cortarán en A (Figura 98) y por A se tendrían dos paralelas distintas l y s a r, lo que contradice el axioma de la paralela única. Por tanto, l // s. TEOREMA 34. Si dos rectas distintas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas lo es a la otra siempre y cuando las tres sean coplanarias. Demostración. Figura 99.

11 Supongamos l // r y sea n l en A A l. Es claro que n corta a l en A. Luego por el teorema 32, n corta a r. Llamemos B el punto donde n corta a r. (Figura 99). Veamos que CBA ˆ CBA ˆ no es recto. es recto. Razonemos por reducción al absurdo, esto es, supongamos que 1. Si CBA ˆ es agudo, entonces r y l harían con la secante n una pareja de ángulos colaterales interiores de un mismo lado cuya suma sería menor que 180º y por el V.P.E. r y l se cortarían, contradicción ya que por hipótesis l //r. 2. Si CBA ˆ es obtuso, entonces C' B ˆ A es agudo y las dos rectas se cortarían del lado de C' llegándose de nuevo a una contradicción. Por lo tanto, CB ˆ A es recto. COROLARIO. Las rectas perpendiculares a dos rectas que se intersectan, todas ellas coplanarias también se intersectan. Demostración. Figura 100. Sean x, y dos rectas que se cortan en O. Tomemos A OX y B OY. Sean n OX por A y m OY absurdo. por B. (Figura 100). Demostremos que m y n se cortan. Razonemos por reducción al

12 Si m y n no se cortaran, serían paralelas; es decir, m// n. Pero OX n, entonces OX m (por teorema anterior). (1). Ahora, por hipótesis OY m. (2). En (1 ) y (2) se tienen dos rectas perpendiculares a una tercera, luego se concluye que OX //OY, lo que es una contradicción. Recuérdese que habíamos demostrado en el teorema 25 que "si dos rectas determinan con una secante una pareja de ángulos A.I. congruentes, las rectas son paralelas". El reciproco de este enunciado lo daremos en la siguiente proposición.

13 6.5 TEOREMA RECÍPROCO DEL TEOREMA DE LOS ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS TEOREMA 35. Recíproco del teorema de los ángulos alternos internos. Dadas dos rectas distintas y paralelas, los ángulos alternos internos, que determinan con cualquier secante común son congruentes. Demostración. Sean y t una secante cualquiera que corta a l en B y a r en A. (Figura 101). Sea O punto medio de Bajemos desde O, OH l. Como OH l y l // r, entonces, OH r. Figura 101. Así que si llamamos Q al punto de encuentro de OH con r, se tendrá que OQ ˆ A es recto. Ahora: O B H OQ A (Hip ángulo agudo). Luego OBH ˆ OAˆ Q lo que demuestra el teorema. AB

14 Presento ahora dos proposiciones cuya demostración la dejo al lector. COROLARIOS. 1. Dadas dos rectas distintas y paralelas los ángulos correspondientes que determinan con cualquier secante común son congruentes. 2. Dadas dos rectas distintas y paralelas los ángulos alternos externos que determinan con cualquier secante común son congruentes. TEOREMA Dos ángulos que tengan sus lados respectivamente paralelos, o son congruentes o son suplementarios. 2. Dos ángulos que tengan sus lados respectivamente perpendiculares, o son congruentes o son suplementarios.

15 6.6 CONGRUENCIA DE LOS SEGMENTOS OPUESTOS, DETERMINADOS POR LA INTERSECCIÓN DE DOS PARALELAS, CON OTRAS DOS PARALELAS. TEOREMA 37. Si dos rectas distintas y paralelas son intersectadas por otras dos rectas distintas y paralelas, los segmentos opuestos que se determinan son respectivamente congruentes (Figura 102). Demostración. Figura 102 Determínese el segmento AC y demuéstrese que ABC ADC. COROLARIO 1. Si l //r constante. entonces, para todo punto P perteneciente a l, la distancia del punto P a r es El valor de la constante establecida en el Corolario 1 se llama la distancia entre las rectas paralelas l y r y se designa por d(l,r).

16 COROLARIO 2. Si tres o más rectas distintas y paralelas determinan segmentos congruentes en una secante común, determinaran segmentos congruentes en cualquier otra secante común.

17 6.7 SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES EN UN TRIÁNGULO TEOREMA 38. La suma de los ángulos interiores de todo triángulo vale 180º. Demostración. Sea l // AB trazada por C. Como l // AB y BC secante, entonces: 2. Como l // AB y AC secante, entonces: 1. Figura 103. Además es claro 180. Luego: 180º. 1 2 A C 2 B l

18 6.8 TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR (SEGUNDA VERSIÓN) COROLARIO 1. Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a el. Demostración. A De (1) y (2) se tiene que:. COROLARIO º 180º B C Figura 104. (1) (2) En todo triángulo rectángulo los ángulos agudos suman 90º COROLARIO 3. En un triángulo equilátero cada ángulo mide 60. COROLARIO 4. Si dos triángulos tienen dos pares, de ángulos respectivamente congruentes entonces los otros dos ángulos son respectivamente congruentes.

19 6.9 TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA EN UN TRIÁNGULO Demostración. TEOREMA 39. Paralela media de un triángulo. i) El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es ii) paralelo al tercer lado y tiene por medida su mitad. Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a un lado, dicha paralela biseca al tercer lado. Figura 105. i) Sean M y N puntos medios de AC y CB respectivamente. 1 Demostremos que: MN // AB y que MN AB. 2 Prolonguemos MN tal que: MN NT. Los triángulos N C y N B son congruentes por L-A-L. M T Luego los ángulos: 1 (1) 1 (2) CM BT (3)

20 Pero de (1), las rectas TB y CA son paralelos por hacer ángulos alternos congruentes con la secante MT. Determinemos AT, entonces ˆ ˆ ' por el teorema recíprocos de los ángulos alternos internos; y por lo tanto AMT TAB. En consecuencia: MT AB (4) MTA ˆ TAB ˆ Y así como N es un punto medio de MT entonces de (4) se concluye que 1 MN AB y de 2 (5) por el T. A. I. se concluye que MN // AB. ii) Sea el triángulo ABC, M punto medio de AC. MN // AB, por N tracemos una paralela a AC. Tenemos: M N C T B N ya que: CMN ˆ NTˆ B, ACB ˆ BNˆ T (por (5) correspondientes) y AM NT MC. Entonces, CN NB. COROLARIO. Figura 106. En todo triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la hipotenusa. Demostración. AM mediana del triángulo rectángulo AC, con ángulo recto CA ˆ B. B

21 Sea D el punto medio de AB, entonces por teorema anterior MDB ˆ es recto. MD //CA y por lo tanto Figura 107. Luego el triángulo M B es isósceles. MAB ˆ MBˆ A. De aquí concluimos que: AM MB y como M es punto medio de BC se tiene que: AM BM MC. Demostración. Figura 108. Sea AM la mediana relativa a BC y además BM MC AM. Demostremos que el ángulo A es recto. A TEOREMA 40. Si el pie de una mediana de un triángulo equidista de los vértices, el triángulo es rectángulo. Como BM AM, M B es isósceles y por lo tanto:. A 1

22 Como MC AM, M C es isósceles y por lo tanto:. A Luego: m A ˆ maˆ. Pero 1 2. Por tanto: m Aˆ 180 m Aˆ. A º y m A ˆ 90. Sea BC con CA ˆ B recto y m AC ˆB 60. Ver figura 109. A Designemos por M el punto medio de la hipotenusa BC y determinemos la mediana AM, luego AM MC por el corolario del teorema de la Paralela Media y en el triángulo isósceles ABC,. m º ˆ macˆ B 60 m MAC TEOREMA 41. Relación en un triángulo rectángulo. Luego por la suma de los ángulos interiores en el AMC, se tiene que m AM ˆC 60, esto equivale a afirmar que este triángulo es equilátero y en consecuencia AM MC AC, 1 concluyéndose que AC BC. 2 Un triángulo rectángulo tiene un ángulo con medida 60 (respectivamente 30 ) sí y sólo si uno de los catetos es igual a la mitad de la hipotenusa. Demostración 2 A B M Figura 109. C

23 6.10 PROPIEDADES DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO. TEOREMA 42. Puntos notables del triángulo. En todo triángulo se cumple: 1. Las bisectrices se intersectan en un punto interior del triángulo que se denomina Incentro, este punto equidista de los lados del triángulo. (Incentro: Centro de la circunferencia inscrita en el triángulo). 2. Las medianas se intersectan en un punto interior del triángulo que se denomina Baricentro (o centroide); este punto se encuentra sobre cada mediana a una distancia de 2 del vértice y a 1 sobre el extremo de ésta sobre el lado 3 3 respectivo. 3. Las mediatrices se intersectan en un punto (no necesariamente al interior del triángulo) que se denomina Circuncentro; este punto equidista de los vértices del triángulo. (Circuncentro: centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo). 4. Las rectas que contienen las alturas de un triángulo se intersectan en un punto (no necesariamente al interior del triángulo) que se denomina Ortocentro. (Posteriormente se estudiarán las propiedades asociadas a este punto como lugar geométrico y respecto a la proporcionalidad). Demostración de 1 Sean ABC, AK bisectriz de BA ˆ C, BS bisectriz de AB ˆ C. (Ver figura 110). intersecta al Int BC en el punto T, AK por el Teorema de la barra transversal. (1). intersecta al Int AT en el punto P, AS por el Teorema de la barra transversal. (2). Figura 110. Determinemos PH 1 AC, PH AB, PH BC 3 Teorema perpendicular única 2

24 bajada desde un punto exterior. (3). PH 1 PH 2 AT. (4). PH2 PH 3 propiedad de la bisectriz propiedad de la bisectriz En consecuencia Figura 111. equidistan de los tres lados. Demostración de 3. P Int ABC BS. (5). PH transitividad de (4) y (5). (6). CP es bisectriz de AC ˆ B, de (6) propiedad de la bisectriz., corresponde a la intersección de las tres bisectrices y Sean ABC, MK mediatriz de AB, NS mediatriz de BC (Ver figura 112). MK intercepta a NS en un punto P. corolario del Teorema 34. Figura PH 3 Determinemos los segmentos PA, PB y PC. (Ver figura 113). PA PB propiedad de la bisectriz PM. (1). PB PC propiedad de la bisectriz PN. (2).

25 PA PC transitividad de (1) y (2). (3). P está sobre la mediatriz de AC de (3) propiedad de la mediatriz. Figura 113. En consecuencia P corresponde a la intersección de las tres mediatrices y equidista de los tres vértices.

26 6.11 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: Consecuencias del V.P.E.. Problemas generales. l En la figura t es secante a y a l respectivamente. Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo adecuado. 1.1 Si ˆ y ˆ son suplementarios entonces l 1 //l Si 180 entonces l 1 //l. 1.3 Si l1 //l 2 entonces ˆ ˆ. 1.4 Si ˆ ˆ entonces l 1 //l Si l1 //l 2 entonces ˆ ˆ. 1.6 Si l1 //l 2 entonces ˆ ˆ. 1.7 Si l1 //l 2 y ˆ ˆ entonces. 1.8 Si l 1 //l 2 y ' ' entonces l 1 t. 2. En cada una de las figuras siguientes determinar el valor de x, si es posible en función de las hipótesis dadas. Tenga presente la coherencia y consistencia de sus argumentaciones.

27 PQ // BC 2.4 C está entre B y D. AD=AC=BC C está entre B y D. BC=AC.

28 2.7 AB=AC, AE=AD, D está entre B y C. E está entre A y C. 2.8 D es punto medio de BC 3. En el ABC, D está entre B y C, E está entre B y D; los ángulos así definidos. A B De acuerdo con esto, la única relación verdadera es: E D 4. Demuestre que si dos rectas y una transversal forman ángulos colaterales interiores suplementarios, dichas rectas son paralelas. Demuestre el recíproco. C

29 5. Sobre los lados de un ángulo agudo XOY ˆ se toman segmentos OA OB. Desde A se baja una perpendicular AP sobre OB en P, desde B se traza BQ OA en Q. Esas rectas se cortan en l. Demostrar: 5.1 AP BQ. 5.2 OP OQ. 5.3 Compara los segmentos la, lb, lq y lp. 5.4 Demostrar que el punto l está sobre la bisectriz del ángulo XOY ˆ y que en su punto medio. 6. Demuestre que si las mediatrices de los lados de un triángulo, se intersectan en un punto del tercer lado, el triángulo es rectángulo. Demuestre además, el recíproco de esta proposición. 7. Demostrar que las alturas correspondientes a los lados congruentes de un triángulo isósceles, son congruentes y que el segmento que une los pies de dichas alturas es paralelo a la base. 8. Demuestre que las medianas de un triángulo concurren en un punto que divide cada mediana en dos segmentos, uno de los cuales mide el doble del otro. 9. Demuestre que las rectas que contienen las alturas de un triángulo, se interceptan en un punto. Ol AB 10. Si un triángulo tiene dos medianas congruentes, entonces es isósceles. 11. Demostrar que el segmento que une los pies de las medianas correspondientes a los lados congruentes de un triángulo isósceles, es paralelo a la base. 12. Hipótesis: A, B, C, D son colineales. AM BN ; CM DN ; AB CD.

30 CM BN 0. Tesis: a. AMO ˆ MON ˆ. b. AM // BN ; MN // AD. 13. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo, determinan cuatro triángulos congruentes. 14. Demostrar que si uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 30, el cateto opuesto a este ángulo tiene por medida la mitad de la medida de la hipotenusa. Demuestre además el recíproco de este enunciado. 15. Se tiene que: OA=OB; P AB, PC OA ; PD OB ; AM OB. Demuestre que: PC PD AM. Sugerencia: Trace por P la recta paralela a OB. 16. Demostrar que en todo triángulo equilátero, la suma de las distancias de un punto interior a los tres lados del triángulo, es constante. Sugerencia: Utilice el problema anterior. 17. Las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles forman al intersectarse un ángulo cuya medida es tres veces la medida del ángulo del vértice. Calcular la medida de cada ángulo del triángulo. 18. En el problema anterior considere las alturas correspondientes a los lados congruentes del triángulo, en vez de las bisectrices.

31 19. Considere: AB AC ; P BC. M y N son puntos medios de BP y PC respectivamente. DM BP; EN PC ; D AB; E AC. Demuestre que: DP // AC ; PE // AB ; DAP ˆ DPˆ E. 20. Dado un triángulo equilátero ABC, sobre los lados AB, BC y CA se toman los puntos A, B, C respectivamente, de tal manera que: 1 AA' BB' CC' AB. Demuestre que el 3 triángulo A B C es equilátero y que los lados de este triángulo son perpendiculares a los lados del triángulo ABC. 21. Dado el triángulo ABC cualquiera, se construyen los triángulos equiláteros ABC, ACB, BCA, estando los puntos A, B, C en el exterior del triángulo ABC. Demostrar que AA' BB' CC'. 22. En un triángulo ABC se une al punto medio M de BC con los pies de las alturas H y H bajadas desde B y desde C, respectivamente. Demostrar: 22.1 Si MHH' es isósceles Calcular sus ángulos en función de los ángulos del triángulo ABC AH ' H Cˆ y AHH ˆ ' B ˆ Considerando el triángulo AHH' demuestre que el segmento que une los pies de las alturas bajadas desde H y H es paralela a BC. 23. En un triángulo ABC rectángulo en A se traza la altura AH relativa a la hipotenusa y desde H se llevan HD AB y HE AC. Se une D con E y se llama M el punto medio de la hipotenusa Demostrar que DE AM.

32 23.2 Sea P el punto medio de AB. Demostrar que PM y la paralela a DE por B se cortan sobre la recta AH. 24. Las bisectrices exteriores del triángulo ABC se cortan formando el triángulo EFG Calcule los ángulos del triángulo EFG en términos de los ángulos del triángulo ABC Demostrar que las bisectrices interiores del triángulo ABC pasan por E, F y G respectivamente Demostrar que las bisectrices interiores del triángulo ABC son las alturas del triángulo EFG. 25. En la figura se tiene CBX ˆ y BC ˆ Y son exteriores al ABC. BN y CN son sus bisectrices respectivas. NH AX ; NP AY. Demostrar: 25.1 ˆ m BNC AB BH AC CP N está sobre la bisectriz de BAC ˆ. 26. Problema general de aplicación. En el diagrama se muestra la ubicación de dos predios (1) y (2) demarcados por dos líneas de fronteras CA y DB respectivamente. Estas líneas se cortan en un punto O situado sobre la laguna. Los propietarios de estos predios se disputan la propiedad del predio (3), situado entre ambas líneas. Después de largas discusiones han acordado como línea demarcadora o limítrofe sobre el predio (3), aquella formada por los puntos que equidistan de CA y DB.

33 Un estudiante de geometría propone la siguiente construcción para determinar la línea de demarcación acordada entre los propietarios. i. T DB. ii. TK //CA. iii. TS TS ' y se determina SS'. iv. SS' CA P. v. LM : Mediatriz de PS. El estudiante afirma que línea de demarcación. LM satisface las condiciones pactadas por los propietarios para la Pregunta: Justifique si esta construcción propuesta por el estudiante es o no adecuada.

34 6.12 EJERCICIOS RESUELTOS Ilustración N 1 En cada una de las dos figuras siguientes determinar el valor de X, en función de los términos dados: a) Uno de los procedimientos a seguir es: 1. Determinemos CB y designemos CB AD = {k} 2. X = α + m (AkB ; Teorema desigualdad triangular (2 versión) en ABk 3. m (AkB = θ + Ω; por qué? 4. X = α + β + Ω; sustitución de 3 en 2. b) Información dada: i. ABC, ii. iii. iv. ) ) C está entre B y D A está entre T y B BC AC AD ) v. m (B =50 Calcular m(tad) 1. m (CAB) =50 ; de iv. consecuencia del triángulo isósceles. D 2. ACD ; de iv. consecuencia del triángulo isósceles.

35 3. m (ACD) =100 ; Teorema suma ángulos interiores en ABC, de v. y 1. ) 4. m (D =100 ; de 2 y 3 propiedad de la medida. 5. X = 150 ; Teorema suma ángulos interiores en ABD, de v. y 4. Observación: Aunque se tiene aparentemente la solución para la m (TAD) ; este problema con la información suministrada conlleva a una contradicción; esto es, en su estructura hay una inconsistencia. Obsérvese que a pesar de que el procedimiento aplicado es coherente, si se suman las medias de los ángulos interiores en el ACD, sin CAD, ésta es mayor que 180 y en consecuencia esto es absurdo. Quiero con este tipo de problema en particular, llamar la atención en el sentido de que el hecho de obtener una solución no es condición suficiente para considerar que un problema ha sido resuelto; es necesario además garantizar que la coherencia de los argumentos de soporte está a la par con la consistencia de todos los resultados parciales, y en consecuencia con el resultado final que se generan durante el proceso demostrativo. Ilustración N 2 Demuestre el siguiente teorema: Una recta secante determina con las dos rectas intersectadas ángulos interiores suplementarios si y solo si las rectas intersectadas son paralelas. Procedo a demostrar la implicación de izquierda a derecha. colaterales

36 i. t secante a 1 y a 2 Hipótesis ii. y colaterales interiores. iii. α + β = 180 Tesis: 1 // 2. Demostración 1. Determinemos, tal que y son alternos internos, definición de ángulos alternos internos. 2. θ + β = 180 ; medida de ángulos suplementarios. 3. α + β = θ + β ; transitividad de iii. y α = θ; ley cancelativa en la suma, en // 2; de 4 y 1, Teorema A.I. Nota: Este resultado que corresponde a un corolario del teorema de los ángulos alternos internos, tiene múltiples aplicaciones, en particular en el Capitulo 8, específicamente en las propiedades por equivalencia de los cuadriláteros convexos especiales. Ilustración N 3 Demuestre el siguiente teorema. En todo triángulo las mediatrices se intersectan en un punto, no necesariamente en el interior al triángulo. Este punto equidista de los vértices del triángulo y se denomina circuncentro.

37 Hipótesis Nota: i. ABC ii. iii. M 1 K mediatriz de AB. M 2 W mediatriz de BC. Demostraré inicialmente que las dos mediatrices se intersectan posteriormente que la tercera mediatriz pasa por el punto de intersección de las dos primeras. Demostración 1. M 1 kab ; punto medio de AB, con M 1 k π A,B,C ; de ii. definición mediatriz. 2. M 1 kbc ; punto medio de BC, con M 2 w π A,B,C ; de iii. definición mediatriz. 3. M 1 k M 2 w = {0}; de i. 1 y 2 Corolario Si dos rectas se intersectan y cada una de ellas es perpendicular a otra recta, todas ellas coplanarias, entonces las dos últimas también se intersectan. 4. Determinemos OA, OB y ; OC definición segmentos. 5. OA OB ; de ii. propiedad de la mediatriz. 6. OB OC ; de iii. propiedad de la mediatriz. 7. OA OC ; de 5 y 6 transitividad. 8. OAC es isósceles; de 7, definición triángulo isósceles.

38 9. Existe OZ 10. OZ 11. OM OM 3 única, OZ AC ; Teorema perpendicular única bajada. AC = {M 3 }; de 9, designación. es altura en AOC ; de 10 definición de altura. es mediatriz de AC ; de 11 y 8; propiedades de los segmentos notables en el triángulo isósceles. 13. Las tres mediatrices se intersectan en un mismo punto; de 3 y OA = OB = OC; de 5 y 6 propiedad de la medida. Ilustración N 4 En un triángulo isósceles, la suma de las distancias desde un punto cualquiera del tercer lado, a los lados congruentes, es igual a la medida de la altura asociada a uno cualquiera de los lados congruentes. Hipótesis i) ABC isósceles ii) AB AC iii) Pε BC iv) PQ AB v) PS AC vi) BH AC vii) PQ BH = {T} Tesis: BH = PQ + PS Demostración. 1. Tracemos PK AC. V P.E. 2. PK intercepta a BH en un punto único. Por qué? 3. Designemos el punto anterior por F. 4. BH PS, teorema de los ángulos alternos internos de las hipótesis v) y vi).

39 5. PK PS y PK. BH Teorema: toda perpendicular a una de dos paralelas, es perpendicular a la otra, de 1) y las hipótesis v) y vi). 6. FH = PS Teorema: segmentos de paralelas entre paralelas. 7. FPB C Teorema: Recíproco de los ángulos alternos internos; (ángulos correspondientes entre paralelas). 8. C ABPPropiedad de triángulo isósceles, de la hipótesis ii). 9. FPB ABPtransitividad entre 7 y QBP FPB Por qué? 10' BF PQ de 10. Por qué? 11. BH = BF + FH Postulado de adición en la medida de segmentos. 12. BH = PQ + PS Sustitución de 6 y 10' en 11. Problema derivado: Utilice el resultado anterior para demostrar el teorema siguiente que establece una propiedad importante del triángulo equilátero. "En todo triángulo equilátero, la suma de las distancia de un punto interior a los tres lados del triángulo es constante." Ilustración N 5 En el ABC de la figura se tiene: Demuestre: i) M punto medio de BC. ii) BH AC, CH AB (Alturas). 1. MHH es isósceles. 2. Calcule los ángulos interiores del MH H en función de los ángulos interiores del ABC.

40 H 3. Demuestre que AH' BCA y AHH' ABC. 4. Considerando el AHH demuestre que el segmento que une los pies de las alturas bajadas desde H y H es paralela a. BC Demostración. 1. BH C es rectángulo, de la hipótesis ii). 2. H M BM MC ; de 1) y la hipótesis i). Corolario, propiedad de la mediana asociada a la hipotenusa. 3. BHC es rectángulo, de la hipótesis ii). 4. HM BM MC de 3) y la hipótesis i). (Razones análogas a 2). 5. H M HM transitividad de 2) a 4) y en consecuencia, MHHes isósceles. 6. MHH' MH' H, propiedad del triángulo isósceles de 5) 7. Designemos: BAC ABC, ACB, 8. Por la suma de los ángulos interiores en el HMH y de 6) se tiene: m ( HMH' ) = 180 m ( H' MB ) m ( CMH ) = 2β + 2γ 180 = 2β + 2γ 180 = 2β + 2γ (α + β + γ) Por qué? m ( HMH' ) = β + γ α

41 H 9. m ( MHH' ) = m ( MH' ) de 6) 10. 2m ( MHH' ) + m ( HMH' ) = 180 suma de ángulos interiores en el HMH 11. m ( MHH' ) = m ( MH' ) = α+β+γ (β+γ α) = α Por qué? Esto es: m ( MHH' ) = m ( MH' ) = m ( BAC ) H 12. m ( AH' ) = 180 m ( MH' ) β = 180 α β = γ Por qué? H 13. m ( AH' ) = 180 (α + γ) = β Por qué? H Esto es: m ( AH' ) = γ y m ( AHH' ) = β. H H H α2 Es importante observar cómo se expresan estos ángulos, en términos de los ángulos interiores del ABC y su distribución relativa porque podemos utilizar el problema resuelto hasta este punto, para dar solución a la cuarta tesis. Es una forma recursiva que hace muy interesante este problema. Centremos la atención en el AHH. 14. Sean: H T y HT alturas en el AHH, Si tomamos a M como el punto medio de HH, puede observarse que se tienen las condiciones del problema inicial en el ABC

42 y podemos, en consecuencia, utilizar los resultados ya probados, lo que nos permite concluir: 15. AT'T AHH' Por qué? 16. AT'T Por qué? 17. T T BC Corolario teorema de los ángulos alternos internos de 16.