Bondades de la Complejidad

Transcripción

1 Juan Pablo Cárdenas

2 Bondades de la Complejidad

3 Los pocos de mucho y los muchos de poco La Regla del 80/20! La distribución de ingresos sigue una ley de potencia unos pocos se llevan casi la totalidad de los ingresos y el resto (nosotros) tocamos sólo un poco. (80% del dinero es ganado sólo por un 20% de la población). Vilfredo Pareto! ( )! Gustav von Schmoller

4 Bondades de la Complejidad 80% de las arvejas eran producidas por el 20% de las plantas. 80% del territorio Italiano pertenecía al 20% de la población. 80% de los links en la web llegan a 15% de webpages. 80% de las citas son para el 38% de los científicos. 80% de los links en Hollywood llegan a 30% de los actores.

5 Bondades de la Complejidad

6 Bondades de la Complejidad

7 El origen del orden!?

8 El origen del orden Charles Darwin Stuart Kauffman Es la selección natural la única fuente de orden en los sistemas?!

9 Un artículo fundamental Metabolic stability and epigenesis in randomly constructed genetic nets! Kauffman S.A. J. Theor. Biol Mar. 22(3):

10 Random Boolean Networks K genes input gen (autómata) 2 posibles valores: 0 = inactivo 1 = activo Donde f es una función booleana de K argumentos booleanos. Ej. de RBN con K=3 y N=10 PARÁMETROS: N = nº autómatas ~ genes K = conectividad Autónomo Síncrono Quenched

11 RBN 0/1 Función Booleana On (1) Off (0) 0/1 0/1 0/1 0/1 Posibles Estados = 2 N = 2 4 = 16 Espacio de Estados = Posibles Estados = Espacio de Fases 2 N, Universo matemático en el cual el sistema es libre de explorar

12 Atractores Atractor es un conjunto al que tienden las trayectorias!

13 Punto fijo Cuando todas las trayectorias vecinas a un punto fijo convergen hacia él, se dice que el punto fijo es un atractor del sistema.! Logística!

14 Ciclo límite En este caso las trayectorias del sistema convergen en una curva cerrada y aislada que es el atractor.! Oscilador de Van der Pol! Logística!

15 Atractor extraño (fractal) Corresponde al caso de un atractor que exhibe una dependencia extrema a las condiciones iniciales. Es decir, que trayectorias que empiecen en uno de estos atractores se separan de forma exponencial y por tanto presentan comportamiento caótico. A este tipo de atractores originalmente se les denominó extraños porque a menudo presentaban una estructura fractal. Aparecen en sistemas caóticos cuando, por un lado, existe un atractor por el cual el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay fuerzas que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.! Lorenz!

16 Toro invariante Una trayectoria periódica de un sistema puede ser gobernada por más de una frecuencia. Si dos de estas frecuencias forman una fracción irracional (es decir, si son inconmensurables), la trayectoria no se cerrará y el ciclo límite se convertirá en un toro.!

17 Cuencas de atracción Fractales!

18 Dinámica de redes Atractores

19 Cuenca de atracción en RBN

20 Transición orden-caos Orden (K=1) K c =2 Desorden (K=3)

21 Transición orden-caos k<k c k=k c k>k c Orden Sin posibilidad de cambio (Cristalizado) Transición Autoorganización + Posibilidad de Cambio Caos Sin Autoorganización Gran posibilidad de cambio (no robusto)

22 Order for free

23 Order for free M. Aldana, Boolean Dynamics of Networks with scale-free topology. Physica D, 185 (2003):

24 Sobre las reglas Sesgo en las funciones boleanas! - p-bias determina la proporción de funciones booleanas que activan o inactivan a los nodos.! - Canalizing functions! - Boolean function is canalizing if, whenever one variable, the canalizing variable, takes a given value, the canalizing value, the function always yields the same output.!

25 Sobre las reglas

26 Sobre las reglas

27 Order for free Spontaneous order emerging from NT ~ Ng deep underlying structure.!

28 Topología de las RBN Random Boolean Network Scale-free Boolean Network M. Aldana, Boolean Dynamics of Networks with scale-free topology. Physica D, 185 (2003):

29 !

30 Cómo evaluar la dinámica de una red?!

31 Teoría de la Información C. Shannon! ( ) "A Mathematical Theory of Communication" R. Hamming! ( ) "Error detecting and error correcting codes". 1950

32 Hammimg Distance (H) T n! T n+i! Tiempo! H= 4/9 =0.44!

33 Propagación de un daño Distancia de Hamming

34 Derrida plot The Derrida plot, and Derrida coefficient, analogous to the Liapunov exponent in continuous dynamical systems, which measures how pairs of network trajectories diverge/converge in terms of their Hamming distance.!

35 Derrida plot!

36 Derrida plot!

37 Naturaleza al borde del Caos H i! Balleza E. et al. Critical dynamics in genetic regulatory networks: examples from four kingdoms. PLoS ONE. 2008; 3(6): e2456 H 0!

38 ?

39 El camino

40 El camino

41 Un posible mecanismo Adyacente posible

42 El adyacente posible S. A. Kauffman. Investigaciones: complejidad, autoorganización y nuevas leyes para una biología general. Tusquets Editores

43 Una contradicción?!"#$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$% Arthur Eddington Stuart Kauffman

44 Flecha del tiempo Dibujemos una flecha del tiempo arbitrariamente. Si al seguir su curso encontramos más y más elementos aleatorios en el estado del universo, en tal caso la flecha está apuntando al futuro; si, por el contrario, el elemento aleatorio disminuye, la flecha apuntará al pasado. He aquí la única distinción admitida por la física. Esto se sigue necesariamente de nuestra argumentación principal: la introducción de aleatoriedad es la única cosa que no puede ser deshecha. Emplearé la expresión flecha del tiempo para describir esta propiedad unidireccional del tiempo que no tiene su par en el espacio.! Eddington, A. The Nature of the Physical World

45 Flecha del tiempo Es vívidamente reconocida por la conciencia.! Es igualmente exigida por la razón, que nos informa de que una flecha reversible sería un absurdo.! La flecha del tiempo indica la dirección del incremento progresivo del elemento aleatorio.! La flecha del tiempo es una propiedad exclusiva de la entropía.!

46 Termodinámica Primera ley de la termodinámica! También conocida como principio de conservación de la energía, establece que si se realiza trabajo sobre un sistema o bien éste intercambia calor con otro, la energía interna del sistema cambiará. Visto de otra forma, esta ley permite definir el calor como la energía necesaria que debe intercambiar el sistema para compensar las diferencias entre trabajo y energía interna.! E entra " E sale =!E sistema! Carnot, N. Reflexiones sobre la potencia motriz del fuego y sobre las máquinas adecuadas para desarrollar esta potencia Segunda ley de la termodinámica! Esta ley regula la dirección en la que deben llevarse a cabo los procesos termodinámicos y, por lo tanto, la imposibilidad de que ocurran en el sentido contrario. Esta ley apoya todo su contenido aceptando la existencia de una magnitud física llamada entropía que es una medida del grado de desorden de un sistema.!

47 Entropía Microestado (n i )! Macroestado!..... V macroestado = log N microestados

48 Entropía! Todo macroestado tiene una probabilidad de ser ocupado por el sistema (partículas).! Si se multiplica el número de microestados que componen un macroestado por dicha probabilidad y se suma el resultado para todos los microestados del sistema se obtiene la entropía total de éste.! S =! k " P i log P i i Si un sistema parte de una configuración improbable, su entropía inicial será baja, pues la mayoría de los microestados están sin ocupar. Sin embargo, conforme transcurre el tiempo, el sistema tenderá a desplegar todas sus posibilidades y la suma de las probabilidades de ocupación multiplicadas por el volumen de los microestados crecerá hacia el valor de equilibrio. Kauffman, 2003.

49 Implicacncias de la segunda ley En un sistema aislado, la entropía sólo puede incrementarse con el tiempo, y nunca disminuir.! El tiempo es asimétrico con respecto a la cantidad de orden en un sistema aislado: a medida que el tiempo pasa, todo sistema se vuelve más desordenado.! Esta asimetría puede servir empíricamente para distinguir entre pasado y futuro.!

50 Ejemplos Pelota! Tinta!

51 Ejemplos

52 Equilibrio Trabajo: La necesidad de estar fuera del equilibrio! Fuera del equilibrio La suma de pequeños incrementos consistentes en una fuerza actuando sobre una masa y acelerándola durante un cierto recorrido.! Lineración restringida de energía.! (P.W. Atkins. The 2 nd law. Energy, Chaos and Form. W. H. Freeman )

53 Cómo obtener trabajo de un sistema en equilibro? (el demonio de Maxwell) Leo Szilard ( )

54 Es la vida una violación a la segunda ley de la termodiámica? Organización (C estructural)! CO 2 CO 2 CO 2 CO 2 Trabajo! Tiempo!

55 De dónde sale este orden? Transición de Fase Emerge el orden desde el desorden Order for free (Stuart Kauffman) Gas (desorden) Transición Orden-Caos Líquido 0ºC Sólido (orden) En la vecindad del punto crítico debemos dejar de mirar a las moléculas por separado, debemos pensar en comunidades actuando al unísono. Leo Kadanoff

56 Order for free

57 Transiciones de fase Cerca del punto crítico las leyes de la física operan a todas las escalas, desde átomos a conjuntos de todos los tamaños de estos. Idea de la invarianza de escala. Kennet Wilson 1971: Teoría de la Renormalización.

58 Un posible mecanismo En Física, la Criticalidad Autoorganizada es una propiedad (clases de) los sistemas dinámicos los cuales tienen un punto crítico como atractor. Su comportamiento macroscópico manifiesta invarianza de escala temporal y/o espacial, una característica de los puntos críticos de las transiciones de fase, perpo sin la necesidad de tunear un parámetro a un valor preciso (ej. Temperatura)!!! Per Bak ( ) Físco Danés Bak, P. How Nature Works: The Science of Self-Organized Criticality. New York: Copernicus, 1996.

59 SOC!

60 Implicancias de la power-law SOC es típicamente observado en sistemas fuera del equilibrio con muchos grados de libertad y alto nivel de no linealidad. Muchos ejemplos han sido identificados desde el paper de BTW's (Bak + Tang + Wiesenfeld), sin embargo hasta el día de hoy no se conoce un conjunto de características generales que garantice este comportamiento.! Simulación 1 Simulación 2