Ecuaciones cuadráticas

Transcripción

1 Ecuaciones cuadráticas Las ecuaciones lineales en 3 variables, que son los polinomios de grado 1 de la forma Ax+By+Cz=D, corresponden a planos en R 3. Las ecuaciones cuadráticas en 3 variables, que son los polinomios de grado 2 de la forma Ax 2 +By 2 +Cz 2 +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz=J corresponden a superficies llamadas cuádricas (aunque en casos espaciales pueden ser degeneradas y ser una linea o un punto o el vacío). Queremos saber cuales son las posibles formas de las cuádricas, y ver si podemos distinguir las formas a partir de las ecuaciones. Ya hemos visto algunas de las ecuaciones cuadráticas mas sencillas: x 2 + y 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 - z 2 = 1 x 2 + y 2 - z 2 = -1 x 2 + y 2 + z = 0 x 2 - y 2 + z =0 Esfera Hiperboloide Hiperboloide Paraboloide Paraboloide de 1 hoja de 2 hojas elíptico hiperbólico Es natural pensar que las ecuaciones parecidas tienen soluciones que son parecidas. Podemos entonces preguntarnos como afectan los cambios en los coeficientes de un polinomio al conjunto de sus soluciones.

2 Ejemplos. Considerar dos ecuaciones lineales x+y+z = 1 (1) (un plano) 1/2x+3y+z = 1 (2) (otro plano) observar que si (a,b,c) es solución de (1) entonces (2a,b/3,c) es solución de (2), y viceversa. asi que el plano (2) se obtiene estirando al plano (1) en la dirección x y encogiéndolo en la dirección y. Considerar ahora dos ecuaciones cuadráticas x 2 +y 2 +z 2 = 1 (3) (una esfera) 1/2x 2 +3y 2 +z 2 = 1 (4) ( que es?) observar que (a,b,c) es solución de (3) si y solo si ( 2a,1/ 3 b,c) es solución de (4) asi que las soluciones de (2) forman un elipsoide (una esfera alargada en la dirección x y encogida en la dirección y). Desde luego hay algunos cambios en la ecuación que no cambian las soluciones: 2x 2 +4y 2 +6z 2 = 8 tiene las mismas soluciones que 3x 2 +6y 2 +9z 2 = 12. Un ejemplo visual: x 2 + y 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 + 4z 2 = 1 4x 2 + 4y 2 + z 2 = 1 x 2 + y 2 - z 2 = 1 x 2 + y 2-4z 2 = 1 4x 2 + 4y 2 - z 2 = 1

3 Transformaciones Una transformación del espacio es una función continua y biyectiva de R 3 en R 3. Hay una gran variedad de transformaciones, desde las que preservan las formas exactas (como las traslaciones o las rotaciones), otras que las cambian ligeramente (como las reflexiones, o los estiramientos) y otras que las dejan irreconocibles. Las transformaciones mas simples tienen expresiones algebraicas sencillas, que permiten ver que pasa con las ecuaciones de las superficies al transformarlas. Ejemplos. La transformación que mueve a todos los puntos en la dirección del vector (1,2,-3) esta dada por (x,y,z) (x+1,y+2,z-3). Las nuevas coordenadas del punto (x,y,z) son (x',y',z')=(x+1,y+2,z-3). Podemos duplicar el tamaño de una figura duplicando el valor de sus coordenadas, es decir haciendo la transformación (x,y,z) (2x,2y,2z), o sea (x',y',z')=(2x,2y,2z). Podemos estirar verticalmente una figura haciendo la transformación (x,y,z) (x,y,kz), donde k es el factor de estiramiento. Al hacer transformaciones las posiciones y las formas de las figuras en general cambian, y por lo tanto esperamos que sus ecuaciones cambien. Si al hacer una transformación las coordenadas del punto (x,y,z) cambian a (x',y',z'), entonces podemos hallar la ecuación que satisfacen (x',y',z') a partir de la ecuación que satisfacían (x,y,z), reescribiendo la ecuación original en términos de las nuevas coordenadas. Ejemplos: Podemos estirar la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 14 verticalmente al doble haciendo la transformación (x',y',z')=(x,y,2z). La ecuación de la superficie que queda al estirarla se obtiene reescribiendo la ecuación original en términos de (x',y',z'). Como (x,y,z)=(x',y',z'/2) entonces x' 2 + y' 2 + (z/2) 2 = 14. Podemos mover la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 14 para que su centro quede en (1,2,-3) haciendo la traslación (x',y',z')=(x+1,y+2,z-3). Entonces (x,y,z)=(x'-1,y'-2,z'+3) y la ecuación se convierte en (x'-1) 2 + (y'-2) 2 + (z'+3) 2 = 14 o sea x 2 + y 2 + z 2-2x'-4y'-6z' = 0.

4 La transformación (x',y',z')=(x,-z,y) gira al espacio 90º alrededor del eje x. Si la aplicamos al plano x+2y+3z = 4 la ecuación cambia a x'+2z'+3(-y') = 4 o sea x'-3y'+2z'= 4. Pero si la aplicamos al hiperboloide x 2 - y 2 - z 2 = 1, la ecuación se vuelve x' 2 - z' 2 - (-y') 2 = 1 o sea x' 2 - y' 2 - z' 2 = 1, que es igual a la original. Esto dice que el hiperboloide es invariante (no cambia) al hacer la rotación Traslaciones Las transformaciones mas sencillas son las traslaciones (x,y,z) -> (x+h,y+k,z+l) Si aplicamos una traslación a la superficie determinada por la ecuación cuadrática Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz = J su ecuación cambia a A(x'-h) 2 +B(y'-k) 2 +C(z'-l) 2 +D(x'-h)(y'-k) +E(y'-k)(z'-l) +F(x'-h)(z-l) +G(x'-h) +H(y'-k) +I(z'-l)= J y desarrollando y agrupando los términos similares queda: Ax' 2 + By' 2 + Cz' 2 + Dx'y' + Ey'z' + Fx'z' + (G-2Ah-Dk-Fl)x' + (H-2Bk-Dh-El)y' + (I-Ek-Fh)z' = = (J -Ah 2 -Bk 2 -Cl 2 -Dhk-Ekl-Fhl +Gh+Hk+Il) Así que los coeficientes de los términos cuadráticos no cambian, pero los otros coeficientes pueden cambiar mucho. Para cada ecuación cuadrática sin términos cruzados (de la forma Ax2 + By2 + Cz2 + Gx + Hy + Iz = J) hay una traslación que la convierte en otra donde cada variable aparece solo una vez (si aparece el término cuadrático no aparece el lineal). Demostración Si aparecen el termino cuadrático y el lineal de una variable, podemos juntarlos completando cuadrados, para que solo aparezca el cuadrático. Y si al final queda algún termino lineal entonces podemos quitar el termino constante, restándoselo. Ejemplo: x 2-2y 2 + 3x + 4y + 5z = 6 podemos agrupar los términos con las mismas variables (x 2 + 3x) - 2(y 2-2y) + 5z = 6 ahora podemos completar los cuadrados (x 2 + 3x +9/4) - 2(y 2-2z + 1) +5z = 6 + 9/4-2 = 25/4 (x+3/2) 2 2(y-1) 2 +5z = 25 /4 asi que haciendo (x',y',z') = (x+ 3 /2, y-1, z) la ecuación queda

5 x' 2-2y' 2 + 5z' = 25 /4 En esta ecuación cada variable aparece solo una vez. y como queda un termino lineal, podemos quitar el termino constante: x' 2-2y' 2 + 5z' - 25 /4 = 0 x' 2-2y' 2 + 5(z' - 5 /4 ) = 0 x'' 2-2y'' 2 + 5z'' = 0 y haciendo (x'',y'',z'') = (x, y, z' - 5 /4) la ecuación queda que es la ecuación de un elipsoide. Que forma tiene el conjunto de puntos del espacio tales que su distancia a un punto fijo P es k veces su distancia a otro punto fijo Q? Como no nos importa la posición ni el tamaño del conjunto, sino solo su forma, podemos fijar las coordena- das para que P=(0,0,1) y Q=(0,0,0). dist[(x,y,z),(0,0,1)]= k dist[(x,y,z).(0,0,0)] x 2 +y 2 +(z-1) 2 = k x 2 +y 2 +z 2 x 2 +y 2 +(z-1) 2 = k 2 [x 2 +y 2 +z 2 ] x 2 +y 2 +z 2-2z +1 = k 2 x 2 +k 2 y 2 +k 2 z 2 (la condición dada) y elevando al cuadrado queda o sea agrupando del lado derecho queda 1 = (k 2-1)x 2 +(k 2-1)y 2 +(k 2-1)z 2 +2z y dividiendo entre k 2-1 queda 1 /k 2-1 = x 2 + y 2 + z /k 2-1 z ahora podemos completar cuadrados 1 /k /( k 2-1) 2 = x 2 + y 2 + [z /k 2-1 z + 1 /( k 2-1) 2] k 2 / (k 2-1) 2 = x 2 + y 2 + [z+ 1 / k 2-1 ] 2 Si hacemos (x',y',z')=(x,y,z+ 1 / k 2-1 ) la ecuación queda x' 2 + y' 2 + z' 2 = k2 / (k 2-1) 2 Esto dice que el conjunto es una esfera de radio k / k 2-1. Homotecias y Estiramientos. Una homotecia es una transformación de la forma (x,y,z) (kx,ky,kz), que cambia el tamaño de las figuras sin cambiar su forma. Al aplicarla a una superficie determinada por una ecuación cuadrática Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz = J su ecuación cambia a A/ k 2 x' 2 + B/ k 2y' 2 + C/ k 2z' 2 + D/ k 2x'y' + E/ k 2y'z' + F/ k 2x'z' + G/ k x' + H/ k y' + I/ k z' = J asi que los términos cuadráticos se dividen entre k2 y los términos lineales se dividen entre k.

6 Las transformaciones (x,y,z) (kx,ly,mz) estiran al espacio en las direcciones de los ejes, y si k, l o m son negativos, ademas lo reflejan. Las superficies que se obtienen estirando a las esferas, hiperboloides y paraboloides de revolución y a la silla de montar que aparecen en la primera pagina se llaman elipsoides, hiperboloides y paraboloides elípticos e hiperbólicos respectivamente. Todas las ecuaciones cuadráticas de la forma Ax 2 + By 2 + Cz 2 = J corresponden a elipsoides, hiperboloides, conos, planos, rectas, puntos o el vacío, dependiendo de los signos de A, B, C y D. Demostración Si A,B,C 0 y aplicamos la transformación (x',y',z') = ( A x, B y, C z) la ecuación se convierte en ± x' 2 ± y' 2 ± z' 2 = J. Si algunos coeficientes son 0, hay una transformación similar que convierte a los coeficientes distintos de 0 en 1 o -1. Y ya sabemos como son las soluciones de estas ecuaciones donde los coeficientes son 1, -1 o 0. Todas las ecuaciones cuadráticas de la forma Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Gx + Hy + Iz = J (ecuaciones sin términos cruzados) corresponden a elipsoides, hiperboloides, paraboloides, conos, planos, rectas, puntos o el vacío. Demostración Podemos completar cuadrados y hacer una traslación para convertir la ecuación en una en la que cada variable aparezca una sola vez. Ahora podemos aplicar un estiramiento para ajustar todos los coeficientes a 1,-1 o 0. Ejemplos. La ecuación 4x 2-5y 2 + 6z = 7 puede convertirse en una donde los coeficientes de x,y y z sean 1,-1 y 1 escribiéndola primero como (2x)2 - ( 5y)2 + 6z = 7 y haciendo x'=2x, y'= 5y, z'=6z queda x' 2 - y' 2 + z' = 0. Ya sabemos que esta correspondiente a un paraboloide hiperbólico, asi que la ecuación original corresponde al paraboloide encogido a la mitad en la dirección x, estirado 5 veces en la dirección y y estirado al séxtupla en la dirección z. Las superficies determinadas por las ecuaciones Ax 2 + By 2 + Cz 2 = D y Ax 2 + By 2 + Cz 2 = D' tienen exactamente la misma forma y solo difieren por el tamaño si DD'>0. Para ver esto hagamos la homotecia (x',y'.z') = D'/ D (x,y.z) entonces Ax 2 + By 2 + Cz 2 = D A D / D' x' 2 + B D / D' y' 2 + C D / D' z' 2 = D Ax' 2 + By' 2 + Cz' 2 = D'

7 El conjunto de puntos del espacio tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos p y q es una constante es un elipsoide. Demostración En cada plano que contiene a p y q, los puntos cuyas distancias a p y q suman una constante forman una elipse. Como al rotar alrededor de la linea que contiene a p y q las distancias a p y q no cambian, el conjunto debe ser la superficie de revolución que se obtiene al girar la elipse alrededor de esa linea. Si los puntos son (c,0,0) y (-c,0,0) y la distancia entre ellos es 2a, la condición de las distancias es (x-c) 2 +y 2 +z 2 + (x+c) 2 +y 2 +z 2 = 2a y trabajando un poco esta ecuación puede simplificarse a x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /b 2 = 1 donde b 2 = a 2 - c 2 El conjunto de puntos del espacio tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos p y q es una constante es un hiperboloide de dos hojas. Demostración En cada plano que contiene a p y q, los puntos cuyas distancias a p y q difieren por una constante forman una hipérbola Como al rotar alrededor de la linea que contiene a p y q las distancias a p y q no cambian, el conjunto debe ser la superficie que se obtiene al girar la hipérbola alrededor de esa linea. Si los puntos son (c,0,0) y (-c,0,0) y la distancia entre ellos es 2a, la condición de las distancias es (x-c) 2 +y 2 +z 2 - (x+c) 2 +y 2 +z 2 = 2a que puede simplificarse a x 2 /a 2 - y 2 /b 2 - z 2 /b 2 = 1 donde b 2 = a 2 - c 2 El conjunto de puntos cuya distancia a un punto p es e veces la distancia a un plano es una cuádrica. Demostración Si elegimos el sistema de coordenadas de modo que el plano sea z=0 y el punto sea (0,0,1) entonces para los puntos (x,y,z) que satisfacen la condición se tiene: x 2 +y 2 +(z-1) 2 = e z e < 1 x2 + y2 + z2-2z + 1 = e2z2 x2+ y2 + (1-e2)z2-2z = -1 Todas estas son superficies de revolución alrededor del eje z (ya que las otras dos variables aparecen combinadas como x 2 + y 2 ) Si e=1 el coeficiente de z2 es 0, asi que la superficie es un paraboloide. p plano e > 1 e = 1 Si 0<e<1 el coeficiente de z2 es positivo, y la superficie es un elipsoide. Si e>1 el coeficiente de z 2 es negativo, y la superficie es un hiperboloide de 2 hojas.

8 Intersecciones de cuádricas con planos La intersección de una cuádrica con cualquier plano es una cónica. Demostración Los puntos de la cuádrica son los puntos del espacio que satisfacen una ecuación cuadrática Ax 2 +By 2 +Cz 2 +Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz=J (1) Los puntos del plano son los puntos de la forma p+tu+sv, donde p es un punto fijo del plano y u y v son vectores unitarios y ortogonales en el plano. Si p = (a1,a2,a3), u = (b1,b2,b3), v = (c1,c2,c3), entonces los puntos del plano tienen coordenadas (x,y,z) = (a1+tb1+sc1, a2+t2+sc2, a3+tb3+sc3). Si sustituimos x,y,z en la ecuación (1) por sus valores en términos de s y t, entonces (como x,y,z son polinomios de grado 1 en s y t) obtenemos una ecuación de grado 2 en s y t, pero ya sabemos que todas las ecuaciones cuadráticas en dos variables representan cónicas Ejemplos. Todos los cortes de un elipsoide deben se elipses (porque son las únicas cónicas acotadas). Algunos cortes de los hiperboloide son elipses y otros son hipérbolas. habrán también parábolas? Todos los paraboloides contienen parábolas; algunos paraboloides contienen elipses y otros hipérbolas Superficies regladas Las superficies que son unión de lineas rectas se llaman superficies regladas. Los ejemplos mas sencillos de estas superficies son los cilindros sobre una curva plana (como las soluciones de ecuaciones en x,y,z que no incluyen a una de las variables), que están formadas por rectas en la misma dirección, una superficie formada por rectas en distintas direcciones es el cono. Algo mas raro son las superficies doblemente regladas, en las que por cada punto pasan dos lineas rectas.

9 Los hiperboloides de dos hojas y los paraboloides hiperbólicos son superficies doblemente regladas Demostración Hay que ver que por cada punto de estas superficies pasan dos lineas rectas, que están totalmente contenidas en la superficie. Basta considerar las superficies determinadas por las ecuaciones x 2 + y2 - z2 = 1 (hiperboloide de 1 hoja) y x 2 - y2 = z (paraboloide hiperbólico) ya que todos los hiperboloides de una hoja y todos los paraboloides hiperbólicos se obtienen estirando a estos dos, y los estiramientos transforman lineas en lineas. Para el paraboloide es muy fácil: su ecuación se puede escribir como (x-y)(x+y)=z Cuando x-y=c la ecuación queda c(x+y)=z, que es una ecuación lineal, asi que la intersección del paraboloide con el plano x-y=c es una linea recta (la intersección de los planos x-y=c y c(x+y)=z). Y cuando x+y=c la ecuación queda c(x-y)=z, que es una ecuación lineal, asi que la intersección del paraboloide con el plano x+y=c es otra linea recta (la intersección de los planos x+y=c y c(x-y)=z). Para ver que el hiperboloide x 2 + y 2 - z 2 = 1 es reglado podemos considerar a todas las rectas del espacio y ver cuales están contenidas en la superficie. Las rectas no horizontales que pasan por un punto (a,b,c) pueden parametrizarse como (x,y,z)=(a,b,c)+t(d,e,1)=(a+dt,b+et,c+t) Para que la recta este contenida en el hiperboloide necesitamos que x 2 + y 2 - z 2 = 1 o sea (a+dt) 2 + (b+et) 2 - (c+t) 2 = 1 para todos los valores de t, en especial para t=0 a 2 +2adt+d 2 t 2 +b 2 +2bet+e 2 t 2 - c 2-2ct-t 2 = 1 y como (a,b,c) esta en el hiperboloide, a 2 + b 2 c 2 = 1 2adt+d2t2+2bet+e2t2-2ct-t2 = 0 (d 2 +e 2-1)t 2 + (2ad+2be-2c)t = 0 como este polinomio es 0 para toda t, sus coeficientes deben ser 0 d2+e2-1 = 0 d2+e2 = 1 ad+be-c = 0 ad+be = c Ahora necesitamos saber cuantos valores de d y e cumplen con estas dos ecuaciones:

10 Las soluciones de la primera ecuación son los puntos en el circulo unitario y las soluciones de ad+be=c son los puntos de una recta perpendicular a (a,b) a distancia c/ a 2 +b2 del origen. Como c2<a2+b2, el circulo y la recta se intersectan en dos puntos. Así que para cada punto (a,b,c) hay dos valores de (d,e) que cumplen con las dos ecuaciones, esto da dos rectas que pasan por (a,b,c) y están contenidas en el hiperboloide (imagen PROBLEMAS 1. Si a la superficie definida por la ecuación 8x 2 +9z 2 =10y se le aplica la transformación (x,y,z) (2x,-3z,5y) que ecuación cumplirá la superficie transformada? 2. Que forma tienen los conjuntos de soluciones estas ecuaciones? (usa traslaciones y/o estiramientos para convertirlas en ecuaciones que reconozcas) a. x 2 -y 2 -z 2 = x-y+z b. x 2 +2y 2 +3z 2 +4x+6z+7=0 3. Que ecuación cumplen los puntos del espacio que están al doble de distancia de (1,2,3) que de (5,-1,-6)? Que forma tiene ese conjunto de puntos? 4. Que ecuación cumplen los puntos del espacio cuya distancia al punto (3,0,0) es el doble de su distancia al plano x=0? A que superficie corresponde esta ecuación? 6. Demuestra que todas las superficies en R 3 determinadas por ecuaciones cuadráticas cruzan a cada linea recta en a lo mas 2 puntos. (hint: parametriza las rectas con funciones lineales). 7. Que curvas se obtienen al cortar a la superficie x 2 - y 2 - z = 0 con planos verticales? (considera todos los planos verticales, no solo los paralelos a x=0 o a y=0) 8. Será cierto que al cortar un hiperboloide con un plano en cualquier dirección, el resultado son hipérbolas y elipses? Y que al cortar un paraboloide hiperbólico con planos en cualquier dirección, siempre se obtienen hipérbolas y parábolas? 9. Muestra que la superficie xy=z es doblemente reglada (muy fácil), lo mismo para x 2 +xy+xz+yz=1 (factoriza el lado izquierdo).