Las Funciones Trigonométricas. Sección 5.1 Angulos

Transcripción

1 5 Las Funciones Trigonométricas Sección 5.1 Angulos

2 Introducción Si comenzamos con un rayo fijo l 1, que tiene un extremo nombrado O, y rotamos el rayo en el plano sobre O in a plane, hasta llegar a la posición nombrado por l 2 formamos un ángulo. Llamamos l 1 el lado inicial, l 2 el lado terminal, y al O el vértice de AOB. Si no restringimos ni el tamaño ni la dirección de la rotación, encontraremos que muchos ángulos comparten el mismo lado inicial o el mismo lado terminal.

3 Introducción Dos ángulos cualesquiera que comparten lado el lado terminal o el lado inicial se conocen ángulos coterminales.

4 Posición Estándar En un sistema de coordenadas rectangulares, la posición estándar de un ángulo se obtiene colocando el vértice del ángulo en el origen y dejando que el lado inicial coincida con la parte positiva del eje de x. Si l 1 se rota en la dirección en contra de la manecillas del reloj, hacia el lado terminal, entonces el ángulos se considera positivo.

5 Posición Estándar (cont.) Si l 1 se rota a favor de la maneciallas del reloj, entonces el ángulo que se construye en un ángulo negativo

6 Posición Estándar Si el lado terminal de un ángulo que está en posición estándar se encuentra en un cierto cuadrante del plano cartesiano, decimos que el ángulo está en ese cuadrante Ej. En la figura, α está en el cuadrante III,

7 Una medida del ángulo: Grados El ángulo, en posición estándar, que se obtiene luego de una rotación completa en contra de las maneciallas del reloj tiene una medida de 360 grados, que se escribe 360.

8 Una medida del ángulo: Grados

9 Una medida del ángulo: Grados

10 Ejemplo Si θ = 60 esta en posición estándar, hallar la medida de dos ángulos positivos y dos θ. Solución : o Para determinar dos ánglulos positivos coterminales, sumanos 360 o 720, a la medida de θ o Para determinar dos ánglulos negativos coterminales, sumanos 360 o 720, a la medida de θ para obtener

11 Solución (cont.) = 420 y = 780

12 Solución (cont.) 60 + ( 360 ) = 300 y 60 + ( 720 ) = 660

13 Tipos de ángulos Se describen algunos tipos de ángulos:

14 Minutos y Segundos Si necesitamos utilizar una medida más pequeña que el grado, podemos utilizar un décimo de un grado o un centécimo de un grado. Si dividimos un grados en o 60 parts iguales, llamadas minutos ( y que se denotan ), y o Si cada minuto se divide en 60 partes iguales, llamadas segundos (y que se denotadan ).

15 Otra medida: el radian Cuando estudiemos las funciones trigonométricas, vamos a medir los ángulos en radianes para que los valores del dominio y del rango puedan ser medidos en escalas comparables.

16 El ángulo central de un círculo mide un radián si el arco interceptado por el ángulo tiene la misma longitud que el radio. Un radián

17 Medida en radianes(cont.)

18 Cuántos radianes hay en un Hay 360 grados en un círculo. Cuántos radianes hay? Hay un poco más de 6 radianes en un círculo De hecho, hay exactamente 2π radianes en un círculo. círculo?

19 Grados vs. Radianes (cont.) Un ángulo que mide 2π radianes corresponde a una medida en grados de 360, por lo tanto 360 = 2π radianes. Esto nos lleva a lo siguiente:

20 Grados vs. Radianes (cont.) Noten que cuando se utiliza la medida de radian, por costumbre no se indican unidades. Esto es, que si un ángulo tiene una medida de 5 radianes, escribiremos θ = 5 en vez de θ = 5 radians. Esto NO debe causar confusión. Si θ se mide en grados escribiremos θ = 5, y no θ = 5.

21 Grados vs. Radianes (cont.) Para cambiar de una medida a otra podemos usar la proporción Ejemplo 1: Convertir 120 o a radianes Solución: Usando proporciones: π 111 = x π 111 = x x = 2π 3

22 Grados vs. Radianes (cont.) Para cambiar de una medida a otra podemos usar la proporción Ejemplo 2: Convertir 6π π a grados 5 Solución: Usando proporciones: 111 π = x 6π π 5 π = x x = 222 o

23 Grados vs. Radianes (cont.) Podemos convertir entre medidas usando factores de conversión

24 Grados vs. Radianes (cont.) Esta tabla muestra la medida en grados y radianes de ángulos especiales:

25 Grados vs. Radianes (cont.) Aquí se muestran dibujos de algunos ángulos.

26 Grados vs. Radianes (cont.)

27 Ejemplo Aproximar θ = 3 en términos de grados, minutos, and segundos:

28 Ejemplo Expresar la medida como un decimal, aproximado a 4 lugares decimales.

29 Longitud de un arco circular Un arco circular es un trozo o una parte de la longitud de la circunferencia Si un arco de largo s, en un círculo de radio r, está suspendido sobre un ángulo central, θ, (medida en radianes) entonces s= r θ (la longitud del arco es igual al radio del círculo por la medida del ángulo central en radianes)

30 Longitud de un arco circular Calcule la longitud del arco circular, s, si el círculo tiene radio igual a 12 cm y el ángulo suspendido mide 60 o. s = r θ

31 Area de un sector circular Si θ es la medida en radianes de un ángulo central de un círculo de radio r, entonces el área del sector circular está dado por: A = 1 2 r2 θ

32 Ejemplo El ángulo central, θ, está suspendido sobre un arco de longitud igual a 10 cm en un círculo de radio igual a 4 cm. a) Aproxime la medida de θ en grados. b) Encuentre el área del sector circular determinado por θ.

33 Parte A. Solución

34 Parte A. Solución (cont.)

35 Ejemplo (cont.)

36 Relaciones entre ángulos Si θ es la medida en radianes de un ángulo central de un círculo de radio r, entonces: β es el ángulo complementario de θ si β = 90 θ. β es el ángulo suplementario de θ si β = 180 θ.

37 Ejemplo Determinar el ángulo que es complementario a θ si: a) θ = b) θ = Solución: a) Debemos hallar 90 θ. Para restar las dos medidas expresamos 90 en una forma equivalente,

38 Solución (cont.)

39 Ejemplo Determinar el ángulo que es suplementario a β=2. Solución: Si β = k radianes entonces 1. su ángulo complementario es el ángulo que mide π β 2 2. su ángulo suplementario es el ángulo que mide π β En este caso β = 2 es un ángulo del segundo cuadrante por que π 1.57 < 2 y π 3.14 > 2. 2

40 Solución (cont.) Como β=2 es un ángulo del segundo cuadrante, el ángulo suplementario a β es π 2 dd fffff eeeeee π