Lógica Clásica de Primer Orden con Igualdad

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1 Lógica Clásica de Primer Orden con Igualdad José Alfredo Amor Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma de México 1 Introducción La lógica clásica de primer orden con igualdad es la rama más estudiada y mejor conocida de la lógica contemporánea. La razón de esto es su riqueza expresiva, su versatilidad y aplicabilidad, así como su uso de modo importante en matemáticas, filosofía de la ciencia, ciencias de la computación y el razonamiento automático. Esto último tuvo un desarrollo espectacular en la segunda mitad del siglo XX. Por otro lado, la lógica clásica ha sido el punto obligado de referencia y comparación para la gran cantidad de lógicas no clásicas que se desarrollaron en ese siglo. El razonamiento deductivo es el proceso de obtener conclusiones a partir de suposiciones o hechos; esas conclusiones se conocen como consecuencias lógicas de las suposiciones o hechos. El razonamiento deductivo correcto es el razonamiento deductivo en el que las conclusiones se siguen necesaria e inevitablemente de las suposiciones o hechos. Podemos pensar a la lógica clásica como el estudio del razonamiento deductivo correcto. El objetivo fundamental de la lógica en general es explicar la noción de consecuencia lógica la cual es una relación que se da entre un conjunto de enunciados (llamados premisas) y un enunciado particular (llamado conclusión). Dicho concepto de consecuencia lógica, en el caso de la lógica clásica de primer orden con igualdad, representa con rigor matemático la idea intuitiva de inferencia válida o inferencia correcta. Para lograr este objetivo, la lógica clásica de primer orden con igualdad utiliza, al igual que muchas otras lógicas, un lenguaje formal propio, definido de un modo riguroso al estilo matemático, basado en formas y no en significados. Los lenguajes formales son muy diferentes a los lenguajes naturales, por ejemplo sus símbolos forman oraciones de un modo absolutamente preciso, lo que evita ambigüedades como las de los lenguajes naturales y su interpretación está definida también de un modo riguroso por lo que los conceptos de verdadero o falso quedan definidos también de modo preciso. Por ejemplo, si digo en lenguaje natural (eg. español) Juan vio a María con el telescopio, no es seguro que con la interpretación usual todos entendamos lo mismo. Así, alguien puede entender que Juan vió a María a través de un telescopio que él tenía y también alguien puede entender que Juan vió a María y ella llevaba un telescopio. Confrontemos este ejemplo con la idea de lenguaje formal y supongamos que m simboliza a María, j simboliza a Juan, vio(x, y) simboliza que xvió a y; aqui usamos variables para referirnos a un individuo indeterminado

2 Lógica Clásica 23 de los que consideramos en nuestro discurso, llévatele(w) simboliza que wlleva un telescopio, televio(x, y) simboliza que xvió a y a través de un telescopio, entonces al sustituir los nombres en lugar de las variables simbolizamos que los objetos denotados por los nombres realizan la acción correspondiente y concluimos que la oración vio(j, m) y llévatele(m), puede representar en lenguaje formal lo dicho en español, es decir que Juan vio a María y la vio con (o sea, llevando) un telescopio. Pero televio(j, m) también puede representar lo dicho en español es decir que Juan vió a María con (o sea, a traves de) el telescopio. Esto muestra lo ambiguo que puede ser el lenguaje natural ya que una misma oración puede representar dos hechos muy diferentes y lo preciso que puede ser el lenguaje formal, pues éste último dice con más precisión las cosas y puede recuperar a los dos hechos mencionados, de un modo absolutamente riguroso. En el caso del lenguaje formal que veremos para la lógica clásica, consideraremos dos tipos de símbolos; a los del primer tipo les llamaremos símbolos lógicos y les corresponderá una interpretación fija; son los elementos de construcción para formar oraciones y son: los conectivos lógicos, los cuantificadores y la igualdad. Las variables también las consideramos símbolos lógicos, como en las expresión vio(x, y), donde x, y representan siempre individuos u objetos indeterminados de nuestro universo de discurso. A los del segundo tipo les corresponderán interpretaciones variables, les llamaremos símbolos no lógicos y serán los elementos básicos con los que formamos oraciones. En el ejemplo anterior vio(j, m) y llévatele(m), la parte lógica es el conectivo y. Hay varias partes no lógicas como vio, llévatele, que representan relaciones, acciones o propiedades y otras como j, m, que representan objetos o individuos particulares como Juan y María. La lógica clásica de primer orden con igualdad incluye propiamente a la llamada lógica clásica de enunciados o lógica clásica proposicional, ya que esta última trata con la relación de consecuencia lógica considerando únicamente el comportamiento de los conectivos lógicos clásicos y dejando de lado consideraciones acerca de los cuantificadores y de la igualdad. Es por eso que la lógica clásica proposicional sólo estudia de manera parcial (sólo estudia a los conectivos) lo que la lógica de predicados con igualdad examina de manera general. Por otro lado, la utilidad y expresividad general se pierde en gran medida si se restringe el lenguaje sólo a los conectivos, por esta razón en este capítulo, presentamos esa parte de la lógica general como lo que realmente es, una parte propia, que veremos después de dar el panorama general, las propiedades y el desarrollo de la totalidad de la lógica clásica de primer orden con igualdad. 2 Lenguajes de primer orden con igualdad Los lenguajes de primer orden con igualdad son lenguajes formales de poderosa expresividad y precisión, con los cuales se pueden formalizar muchas de las teorías matemáticas y otras teorías no matemáticas que también pueden representarse con lenguajes formales. Por ser lenguajes formales tienen además

3 24 José Alfredo Amor la cualidad de ser manipulables mecánicamente, por lo que su estudio se puede ejecutar con la ayuda de una máquina computadora. Esto se verá con detalle en el capítulo sobre razonamiento automatizado. En el capítulo introductorio se habló ya del por qué de la formalización y de cómo es que al tratar la inferencia lógica no son de interés las cuestiones contingentes sino las relaciones de verdad y de forma en los argumentos, independientemente de los significados de sus partes. Véase el capítulo introductorio. Para hablar de propiedades o de relaciones entre individuos, se utilizan los símbolos de relación (también llamados símbolos de predicado), en nuestro ejemplo fueron vio, llévatele, televio, pero pueden ser descritos con una sola letra. Para hablar de operaciones con individuos, se utilizan los símbolos de operación (también llamados símbolos funcionales). Aunque en el ejemplo anterior no había operaciones, una operación podría ser la-mama-de(x) que a cada quien le asigna su mamá, o el-mayor-de(x, y) que a cada dos les asigna el mayor de ellos. Es decir, una operación es una regla de correspondencia o función que a cada objeto o a cada par de objetos, le asocia uno y sólo un objeto llamado el resultado de la operación, las operaciones también pueden ser descritas con una sola letra. En la aritmética de los números enteros tenemos muchos ejemplos conocidos de operaciones como la operación sucesor sucesor(x) que a cada número le asocia su sucesor por ejemplo al 2 le asocia el 3, al 5 le asocia el 6, etcétera o la operación suma suma(x, y) que a cada par de números le asocia su suma por ejemplo al par (2,3) le asocia el 5, al par (3,1) le asocia el 4, etcétera. Para hablar de individuos particulares o distinguidos, se utilizan los símbolos de constante, en nuestro ejemplo fueron j, m, aunque también pueden ser denotados con una palabra entera como maria, juan, pero es más breve denotarlos con una sola letra. Veamos ahora con mayor detenimiento y rigor lo que determina a un lenguaje de primer orden con igualdad L. Definición 1. Los símbolos de un lenguaje de primer orden con igualdad L son A) Símbolos lógicos: 1) Variables individuales: x 0, x 1, x 2, x 3, x 4,... 2) Símbolos de conectivos:,,,,. 3) Cuantificadores:,. 4) Símbolo de igualdad:. 5) Símbolos auxiliares: ), (,,. B) Símbolos no lógicos: 6) Símbolos constantes de relación o de predicado: P, Q, R, S,... 7) Símbolos constantes de operación o de función: f, g, h,... 8) Símbolos constantes de individuos: a, b, c,... Los símbolos de las cuatro primeras categorías son comunes a todos los lenguajes de primer orden con igualdad, por lo que los llamamos símbolos constantes lógicos. El número de variables es infinito y están subindexadas con numerales: x 0, x 1, x 2, x 3, x 4,..., x i, x i+1,... El número de variables tiene que ser infinito para poder referirnos a cualquier cantidad finita arbitrariamente grande

4 Lógica Clásica 25 de objetos, sin embargo en cualquier expresión que tenga variables, sólo usaremos un número finito, tan grande como sea necesario, de ellas. Es común usar como representación de las variables en vez de x i, a las letras minúsculas del final del alfabeto, como u, v, w, x, y, z. Los lenguajes formales están pensados para ser susceptibles de interpretación; es decir, pueden referirse a objetos de un universo del discurso, así como a propiedades o relaciones entre ellos, a operaciones y a individuos particulares de dicho universo. Una interpretación de un lenguaje de primer orden, tiene como base un conjunto universo de interpretación del cual sólo se pide que sea un conjunto no vacío. La interpretación de las variables es que varían sobre el conjunto universo de interpretación. Por ahora es conveniente pensar a una interpretación como una cuarteta: un conjunto universo (no vacío), relaciones sobre el universo, operaciones sobre el universo y elementos distinguidos del universo. Es posible que algunas de las tres últimas partes sea vacía. Esta idea de interpretaciones es lo que se conoce en matemáticas como estructura de tipo algebraico, relacional o algebraico-relacional. Los cinco símbolos de conectivos lógicos usuales tienen una interpretación estándar como mencionamos enseguida: (...) como no..., (......) como... y..., (......) como... o..., (......), como si... entonces..., (......) como... si y sólo si.... Los cuantificadores o símbolos de cuantificación siempre van sucedidos por alguna variable a la que denotaremos con x, y tienen la interpretación usual como sigue: x(...) como para todos los objetos del conjunto universo de interpretación,..., x(...) como hay al menos un objeto en el dominio de interpretación, tal que... en todos los casos anteriores, los puntos suspensivos denotan que en ese lugar va una proposición. Es posible encontrar notaciones alternativas para algunos de los símbolos, por ejemplo si P, Q, representan proposiciones, en lugar de P puede encontrarse P o bien P. En vez de P Q puede encontrarse P &Q o bien P Q. En vez de P Q puede encontrarse P Q o bien P Q. Asimismo en vez de P Q puede encontrarse P Q o bien P Q. En vez de xp puede encontrarse (x)p y en vez de xp puede encontrarse ( x)p. 1 El símbolo de igualdad tiene la interpretación de identidad de objetos: (......) como... es el mismo objeto que... en este caso los puntos suspensivos denotan que en ese lugar va un término 2 o sea un nombre que se refiere a un objeto del universo de interpretación. Por ejemplo (b f(a)) donde b, a son constantes y f es símbolo de operación, se interpreta como el objeto simbolizado con b y el objeto simbolizado con f(a) son el mismo objeto. Nótese que para que sea verdad un enunciado de identidad, la interpretación de los dos términos de la identidad debe ser el mismo objeto, por ejemplo cuando decimos en el lenguaje 1 Son diversas notaciones que han usado diversas escuelas de lógica. Los que usaremos nosotros son los que presentamos primero. 2 Intuitivamente, un término es un nombre en el lenguaje formal para un objeto de la interpretación. Esto se define rigurosamente más adelante. Un nombre sólo se puede referir a un objeto y sólo uno de la interpretación dada.

5 26 José Alfredo Amor formal suma(2, 2) sucesor(3) y decimos que es cierto porque la interpretación usual de suma(2, 2) es el número 4 y la interpretación usual de sucesor(3) es el mismo número 4. En contraste con el lenguaje natural, obsérvese que si f es un símbolo de operación para hablar de el-coche-de, y sucede que María y Juan tienen cada uno un coche VW sedán modelo 2000 de color rojo tales que cada uno confunde el suyo con el del otro, sus amigos dirán el coche de María y el de Juan son iguales, sin embargo el enunciado formal f(maria) f(juan) es falso en esa situación porque el coche de María (interpretación de f(maria)) y el coche de Juan (interpretación de f(juan)) no son el mismo coche! Los símbolos auxiliares son sólo eso, auxiliares para formar expresiones sin ambigüedades. El paréntesis derecho, el paréntesis izquierdo y la coma, son símbolos de agrupación que sólo ayudan a la escritura precisa de las fórmulas y a que se puedan leer más fácilmente, de un modo natural, que sólo haremos explícito por medio de ejemplos. Algunas veces, para aclarar más la escritura pondremos los paréntesis cuadrados [...] en vez de los redondos, pero esta ayuda visual sólo es una convención práctica que formalmente estaría fuera del lenguaje. Los símbolos de las tres últimas categorías, los no lógicos, son los propios de cada lenguaje de primer orden y son los que distinguen a un lenguaje de otro, son los parámetros o símbolos no lógicos. Su interpretación debe ser respectivamente como sigue: relaciones sobre el universo, operaciones sobre el universo (ambas con algún número de argumentos y este número, llamado aridad, se considera de algún modo asociado al símbolo) y elementos distinguidos del universo de interpretación. Pero sin embargo todos estos símbolos son libres de interpretarse respectivamante como cualquier relación, operación o elemento del universo, por*** lo cual se llaman símbolos no lógicos. En el ejemplo del principio, llévatele es símbolo de predicado de un argumento (o de aridad 1); vio, televio, son predicados de dos argumentos (o de aridad 2); la-mama-de, el-coche-de y sucesor son símbolos de operación de un argumento (o de aridad 1), el-mayor-de(x, y) y suma son símbolos de operación de dos argumentos (o de aridad 2). Es importante decir que la determinación de cuántos y cuáles símbolos no lógicos habrá en el lenguaje y de qué número de argumentos cada uno de ellos, está dada por las necesidades teóricas o prácticas del usuario de dicho lenguaje. El conjunto de símbolos no lógicos puede ser desde vacío (en ese caso sólo se hablaría de la igualdad, porque el símbolo de igualdad es el único símbolo lógico que representa a una relación, a la relación de igualdad y necesitamos de símbolos para relaciones si queremos hablar de algo), hasta infinito. Por lo demás, no hay restricción alguna para los símbolos no lógicos, ni en cantidad ni en número de argumentos; sólo el usuario o el contexto del discurso los determina. Utilizamos la expresión de primer orden para indicar que los predicados o relaciones así como las operaciones o funciones se aplican únicamente a individuos y que la cuantificación es únicamente sobre individuos. Esto permite distinguirlos de aquellos lenguajes en los que hay predicados que tienen a otros predicados como argumentos o en los cuales se permite la cuantificación sobre relaciones o predicados o bien sobre operaciones o funciones; a estos últimos

6 Lógica Clásica 27 se les denomina lenguajes de orden superior. En nuestro lenguaje los cuantificadores simbolizan cuantificaciones sobre individuos únicamente y los símbolos de relación simbolizan relaciones entre individuos únicamente. Aunque no se pretende formalizar todo el lenguaje coloquial sino principalmente el de contenido preciso, analítico, computacional o matemático, con un lenguaje formal se pueden representar muchas expresiones comunes del lenguaje natural, como por ejemplo, si S, P simbolizan nombres comunes o clases, como los hombres, los peces, los mortales, etcétera, entonces todos los S son P y algún S es P se simbolizan respectivamente como: x[s(x) P (x)] y x[s(x) P (x)], donde S(x) simboliza x es S y P (x) simboliza x es P. Hay que tener presente que este modo de expresión es muy diferente al del lenguaje natural ya que el uso de cuantificadores y variables no corresponde a dicho lenguaje, pero sí al lenguaje formal (véase [2]). Por otro lado, las propiedades y las relaciones se representan con símbolos del mismo tipo (símbolos relacionales), haciendo únicamente la distinción por el número de argumentos correspondiente: las propiedades se simbolizan por medio de símbolos de relación de aridad uno (es decir, de un argumento) mientras que las relaciones de dos o más argumentos, con símbolos de relación de aridad dos o mayor que dos. Por ejemplo, si el símbolo P representa una relación de dos argumentos (la aridad es 2), el símbolo f, una operación de dos argumentos (de aridad 2) y la constante c, un elemento distinguido, entonces los enunciados x y[p (x, y) P (y, x)], x y z [f (f (x, y), z) f (x, f (y, z))], w[f (w, c) w] afirman respectivamente en ese lenguaje que la relación P es simétrica, es decir que si se da en un sentido entonces se da en el otro; que la operación f es asociativa, es decir que el orden de la operación no altera el resultado; y que el elemento distinguido c es el neutro para la operación es decir que al operar cualquiera con él, se queda igual. Daremos a continuación un ejemplo jocoso con el que intentamos ilustrar varios aspectos de la expresividad y el funcionamiento de un lenguaje de primer orden. Supongamos que estamos hablando de los repartidores de cartas, los carteros, que comúnmente tienen problemas con los perros del vecindario pues los asustan y llegan a morderlos. Pensemos por ejemplo que todos los perros del vecindario muerden a algún cartero. Si usamos los símbolos de relación P de aridad 1, C de aridad 1, A de aridad 2 y M de aridad 2, para simbolizar las propiedades respectivas ser perro (del vecindario), ser cartero (del vecindario) y las relaciones asustar a, morder a, respectivamente sobre el conjunto universo de los seres vivos del vecindario, esto lo expresamos así: 1. Todos los perros del vecindario muerden a algún cartero x[p (x) y(c(y) M(x, y))] 2. Hay un cartero al que lo muerden todos los perros x[c(x) y(p (y) M(y, x))]

7 28 José Alfredo Amor 3. Todos los carteros son mordidos por algún perro x[c(x) y(p (y) M(y, x))] 4. Hay un perro que muerde a todos los carteros x[p (x) y(c(y) M(x, y))] 5. Todos los perros que asustan a algún cartero, lo muerden x y[p (x) C(y) A(x, y) M(x, y)] o bien 3 : x[p (x) y(c(y) A(x, y) M(x, y))] 6. Hay un perro que muerde a todos los perros que muerden a algún cartero x[p (x) y(p (y) z(c(z) M(y, z)) M(x, y))] 7. Hay un solo perro que se muerde a sí mismo x[p (x) M(x, x) y(p (y) M(y, y) y x)] o bien 4 : x[p (x) M(x, x)] y z[(p (y) P (z) M(y, y) M(z, z)) y z] Nótese que es posible dar dos alternativas de traducción, las dos igual de correctas. El criterio para que una fórmula en lenguaje formal sea una traducción correcta del lenguaje natural es que signifique al interpretarla o sea, al darle un contenido (con la interpretación o contenido natural), exactamente lo mismo que con el lenguaje natural. Traducir correctamente se logra únicamente con la práctica análogamente a la traducción entre distintos lenguajes naturales. Aunque la idea de fórmula puede estar intuitivamente clara después de todo lo dicho, presentaremos ahora la definición precisa para un lenguaje de primer orden dado L. Sea L un lenguaje cualquiera de primer orden con igualdad. Una expresión en L es cualquier sucesión o lista finita de símbolos de L. La idea intuitiva de fórmula es la de una expresión que tiene sentido dentro del lenguaje o que afirma algo, por ejemplo P (c, f(a)) sería una fórmula que de alguna manera representa la afirmación de que un objeto llamado c cumple una relación llamada P con un objeto nombrado con la operación llamada f aplicada a un objeto llamado a, pero en cambio las expresiones Qx P (x) ), y c(f xp ( (, no parecen ser fórmulas. Veremos antes la definición de los términos, los que intuitivamente son nombres de objetos. Definición 2. Definimos los términos de L: i) Todas las constantes y todas las variables de L son términos (términos simples). ii) Si f es algún símbolo de operación de L, de aridad m y t 1,..., t m son m términos, entonces la expresión f(t 1,..., t m ) es un término (términos compuestos). iii) Una expresión es un término sólo si lo es con base en i) y ii). 3 Estas dos expresiones son equivalentes, es decir significan exactamente lo mismo, aunque lo dicen de modo distinto. 4 Estas dos expresiones también son equivalentes, las dos afirman que existe y es único el perro que se muerde a si mismo. La primera afirma la existencia y la unicidad al mismo tiempo y la segunda las afirma cada una por su lado separadas por una conjunción.

8 Lógica Clásica 29 Definición 3. Si P es un símbolo de relación de L de aridad n y t 1,..., t n, son n términos de L, entonces las fórmulas atómicas de L son todas las expresiones de la forma P (t 1,..., t n ) y todas las de la forma (t 1 t 2 ). Es decir, las fórmulas atómicas son todos los predicados aplicados a términos y todas las igualdades de dos términos. Definición 4. Definición de fórmula, también llamada fórmula bien formada, de L: i) Las fórmulas atómicas de L son fórmulas (fórmulas simples, fórmulas atómicas o átomos). ii) Si α y β son fórmulas y x es una variable, entonces las siguientes expresiones son fórmulas: ( α), (α β), (α β), (α β), (α β), ( xα), ( xα), (fórmulas compuestas). iii) Una expresión es una fórmula sólo si lo es con base en i) y ii). Es importante hacer notar dos cosas respecto a las definiciones anteriores, la primera es que al decir que t es un término o que α es una fórmula, estamos usando estas letras en nuestro lenguaje natural como representaciones de expresiones del lenguaje formal para describir nuevas expresiones del lenguaje formal. La segunda cosa es que estas definiciones proporcionan un procedimiento para decidir de un modo efectivo, si una expresión dada es un término o no lo es, y si una expresión dada es una fórmula o no lo es, ya que podemos analizar la expresión en las partes que la forman e ir verificando para cada una de ellas si cumple o no con la definición. Ejemplo 1. Si los símbolos no lógicos de L son: P (símbolo de relación de aridad 1), Q (símbolo de relación de aridad 2), f (símbolo de operación de aridad 2), g (símbolo de operación de aridad 1), a, c (símbolos de constante), entonces a) a, c, x, f(c, x), f(g(x), a), f(a, g(c)), son términos de L. b) Q(f(a, y), g(c)), P (f(g(x), a)), P (f(c, c)), [f(a, g(c)) g(g(y))], [c f(g(c), a)], (a a), P (a), son fórmulas atómicas de L. c) [Q(a, c) P (f(x, a))], [(a c x(x f(a, c))) Q(a, f(c, a))], y todas las expresiones de b), son fórmulas de L. Un enunciado o fórmula cerrada es una fórmula en la cual todas las presencias de sus variables están afectadas por algún cuantificador con esa misma variable o son la variable de un cuantificador. Nótese que puede no haber presencias de variables. Esas presencias de variables afectadas por un cuantificador con esa variable, se llaman presencias acotadas o ligadas de variables. Por ejemplo x[p (x) Q(x, c)], x y(x y), [P (c) Q(a, f(c, a))], son fórmulas que son enunciados, pues todas las presencias de todas sus variables están afectadas por algún cuantificador con la misma variable o son la variable misma del cuantificador. Por otro lado, las presencias de variables que no están afectadas por cuantificadores con esa misma variable, se llaman presencias libres de variables, por ejemplo [P (x) xq(x, a)], x(x y), [P (c) Q(a, g(y))], son fórmulas que no son enunciados, pues en [P (x) xq(x, a)] la primera presencia de x es libre

9 30 José Alfredo Amor (la segunda y tercera son acotadas). En x(x y) la primera y segunda presencias de x son acotadas pero la presencia de y es libre, nótese que la variable y está afectada por la cuantificación x pero x es otra variable. En [P (c) Q(a, g(y))] la única presencia de la variable y es libre. Por razones prácticas trataremos más comunmente con enunciados, aunque casi todo lo que se diga se cumple para cualquier tipo de fórmula. Para justificar esto hay que observar que cuando hacemos afirmaciones en un lenguaje formal, estas afirmaciones deben ser calificables intuitivamente como verdaderas o falsas y esta situación corresponde a los enunciados. Por ejemplo el enunciado x y[q(x, y)] significa para una interpretación particular cualquiera, que todo objeto del universo de la interpretación tiene la relación que interpreta Q con algún objeto del universo esto es verdadero o es falso en esa interpretación. En contraste, la fórmula no enunciado x[q(x, y)] significa para una interpretación particular cualquiera, que todo objeto del universo de la interpretación tiene la relación que interpreta Q con el objeto y del universo esto no es ni verdadero ni falso en esa interpretación, pues depende de cuál sea el objeto indefinido y. Es como si preguntáramos es verdadero o falso z < 3?, no estaría definido, dependería del valor de z. En cambio tanto z[z < 3] como z[z < 3] tienen un valor preciso, verdadero o falso. Obsérvese que en este último ejemplo usamos el símbolo < cuya interpretación usual es menor que, en los numeros enteros para referirnos a un símbolo de predicado binario pensando en una interpretación particular o intencional y lo escribimos como es usual (cuando hay interpretación intencional) entre los términos z y 3 en vez de escribirlo formalmente antecediando a los términos, como símbolo de predicado aplicado a términos: < (z, 3). Una subfórmula de una fórmula, es una parte de la fórmula que es fórmula. Por ejemplo, las subfórmulas de la fórmula [P (x) xq(x, a)] son: P (x), xq(x, a), Q(x, a). Una fórmula puede considerarse como subfórmula de ella misma. 3 Verdad y consecuencia lógica Intuitivamente, una teoría en la lógica clásica, es simplemente un conjunto de enunciados en un lenguaje de primer orden con igualdad, que nos interesa por alguna razón, por ejemplo la teoría de la aritmética la podemos pensar como el conjunto de todos los enunciados formulados en un lenguaje de primer orden (diseñado para hablar de la aritmética), y que son verdaderos respecto a la aritmética de los números naturales. Si Σ denota a un conjunto de enunciados de un lenguaje de predicados L, al que podemos pensar como un conjunto de hipótesis o de axiomas de una teoría, o como una base de datos simbolizados en el lenguaje formal, y si β es un enunciado particular del lenguaje, la pregunta fundamental de la lógica es: es β consecuencia lógica de Σ? o Σ implica lógicamente a β? Lo anterior lo denotaremos de la siguiente manera: Σ = β. Debe ser claro que el nuevo símbolo = no es del lenguaje formal porque no está en la lista de símbolos de un lenguaje formal, es un símbolo inventado de nuestro lenguaje natural y es simplemente una abreviatura para la afirmación lo de la derecha

10 Lógica Clásica 31 es consecuencia lógica de lo de la izquierda, por lo tanto la expresión Σ = β se lee β es consecuencia lógica de Σ. Lo que intuitivamente representa esta idea, es que para cualquier interpretación, sucede que: β es verdadero si sucede que todos los enunciados de Σ son verdaderos. Es conveniente agregar (aunque no es necesario) que si no todos los enunciados de Σ son verdaderos, no se pide nada acerca del valor de β para la noción de consecuencia lógica; es decir, en ese caso β puede ser verdadero o falso. Para hacer precisa esta noción de consecuencia lógica, primero definiremos lo que entenderemos por una interpretación para un lenguaje de primer orden con igualdad. A las interpretaciones de dichos lenguajes les llamaremos estructuras. Aunque ya hemos hablado de interpretaciones anteriormente, ahora haremos rigurosa y precisa esta idea para un lenguaje L de primer orden con igualdad. Definición 5. Una interpretación o estructura A para un lenguaje L es una cuarteta A = A, {I(P )} P L, {I(f)} f L, {I(c)} c L en la que A es un conjunto no vacío (llamado conjunto universo de la interpretación o dominio de la interpretación), e I es una función (llamada función de interpretación) cuyo dominio de definición es el conjunto de los símbolos no lógicos de L y tal que cumple lo siguiente: 1) I asigna a cada símbolo de relación P de L de aridad n, una relación P A = I(P ) de n argumentos sobre A. Es decir, P A A n. 2) I asigna a cada símbolo de operación f de L de aridad m, una operación f A = I(f) de m argumentos sobre A. Es decir, f A : A m A. 3) I asigna a cada símbolo de constante c de L, un elemento c A = I(c) de A. Es decir, c A A. Como dijimos antes, podemos pensar a las interpretaciones como cuartetas, si consideramos al conjunto universo y a los tres tipos de interpretaciones dadas por la función de interpretación I para los símbolos no lógicos de L, así {I(P )} P L es un conjunto de relaciones entre elementos de A, {I(f)} f L es un conjunto de operaciones con argumentos en A y finalmente {I(c)} c L es un conjunto de objetos que son elementos de A. Ejemplo 2. Daremos un ejemplo de interpretación para el lenguaje cuyos símbolos no lógicos son P 2, f 1, g 2, h 2, c. El superíndice de los símbolos denota su aridad y no es necesario indicarlo en caso de que se sobreentienda. Un ejemplo de interpretación para este lenguaje es N = N, <, s, +,, 0 (evitamos poner las llaves de los conjuntos que en este caso serían {<}, {s, +, }, {0} y ponemos sólo a sus elementos), su universo N es el conjunto de los números naturales y las interpretaciones son P N =< (la relación menor que, en N), f N = s (la operación sucesor, en N), g N = + (la operación suma, en N), h N = (la operación producto, en N), c N = 0 (el cero en N). La definición del concepto de verdad de un enunciado en una interpretación, debida al gran lógico polaco Tarski, representa un ejemplo de cómo llevar un concepto intuitivo a una precisión de estilo matemático de forma tal que lo recupere perfectamente.

11 32 José Alfredo Amor La idea de la definición de verdad puede explicarse intuitivamente con el siguiente ejemplo dado por Tarski: el enunciado La nieve es blanca, es verdadero (en la interpretación usual del mundo) si y sólo si, la nieve es blanca. Aquí estamos haciendo una afirmación acerca del enunciado entrecomillado, (no hablamos de significado, hablamos del enunciado mismo y éste representa a los enunciados del lenguaje formal), y al referirnos a la nieve y a ser blanca, nos referimos a la interpretación del enunciado, a su significado, y ya no al enunciado. Así pues, la verdad de un enunciado (en una interpretación) se refiere a su significado (respecto a esa interpretación). Para dar la definición de que la fórmula ϕ es verdadera en la estructura A o que A es modelo de ϕ, lo cual denotaremos con ϕ A = V, se procede precisando lo que es la interpretación de la fórmula en la estructura, a partir de las interpretaciones de los símbolos no lógicos con los que la fórmula está construida y usando las interpretaciones usuales o estándar de los símbolos lógicos de la fórmula. 5 La principal dificultad se refiere a las interpretaciones de los cuantificadores que a través de las variables deben tomar en cuenta a todos los individuos del conjunto universo de interpretación a fin de poder precisar las ideas intuitivas de para todos los individuos del universo A,... y hay al menos un individuo en el universo A tal que.... Para lograr esto se manejan asignaciones o instancias de individuos para todas las variables, de tal modo que cada una de ellas sea un estado posible de las variables, lo que da por resultado hablar de asignaciones s, que serán sucesiones de individuos indexados con numerales, asociados con las variables (que también están indexadas con numerales) por la asignación s. La interpretación o asignación dada por s a la variable x i, se denotará s(x i ). 6 Así pues, definiremos primero la verdad de una fórmula ϕ en una estructura A con respecto a una asignación o instancia s. Pero antes de poder dar esa definición necesitamos poder referirnos a la interpretación o denotación de los términos del lenguaje, los cuales son las constantes, las variables o bien están formados a partir de constantes y/o variables con símbolos de operación del lenguaje, (véase la definición de término). Dados un término t de un lenguaje L, una interpretación A (estructura) para L y una asignación s de individuos de A para las variables de L, denotaremos con t A s a la interpretación dada por la asignación s en A, al término t. Si s es una asignación y a es un elemento de A (A es el universo de la estructura A), por medio de s(x/a) denotamos la asignación que se comporta como s excepto en que a la variable x le asigna el individuo a, independientemente de lo que s le asigne. Definición 6. Definimos la interpretación de un término t, dada por la asignación s, en la estructura A = A, {I(P )} P L, {I(f)} f L, {I(c)} c L, lo cual lo denotamos con t A s, por recursión sobre la formación de t: 1) Si t = x i entonces t A s = (x i ) A s = s(x i ) (La asignacion para x i ) 5 Son las que dimos nosotros en la sección de lenguajes. 6 Obsérvese que aquí usamos el hecho de que todas las variables, que comunmente denotamos con x, y, z, en realidad son x i para algún numeral i, y este es el truco para poder denotar a las asignaciones para todas las variables como sucesiones.

12 Lógica Clásica 33 2) Si t = c entonces t A s = (c) A s = c A (La interpretación para c) 3) Si t = f(t 1,..., t n ) entonces t A s = (f(t 1,..., t n )) A s = f A (t A 1s,..., t A ns) (El resultado de aplicar la operación f A a los objetos de A que son las interpretaciones de t 1,..., t n ). En lo anterior, s(x i ) denota al individuo de A asignado a la variable x i por la asignación s. Hay que observar que en el caso de las constantes, su asignación no depende de la asignación a las variables porque una constante no es ni tiene variables, por lo que cualquier s le asignará su propia interpretación en la estructura A y que es I(c) = c A. Nótese que t A s es una función que extiende para todos los términos a la asignación s que es sólo para las variables; es decir, t A s es la función de interpretación de todos los términos t en A, con la asignación s. Pongamos como ejemplo la interpretación del término t = g(f(x 3 ), f(f(c))) del lenguaje del ejemplo anterior en la estructura N = N, <, s, +,, 0 como en el ejemplo anterior, con la asignación s tal que s(x 3 ) = 5. Entonces t A s = [g(f(x 3 ), f(f(c)))] A s = s(5) + s(s(0)) = = 8. Obsérvese que no interesa en este caso, qué le asigna s a las otras varibles pues sólo la variable x 3 aparece en el término dado. Obsérvese también que como es usual, la operación + la colocamos en notación infija o en medio de los argumentos, en vez de la notación prefija o antes de los argumentos como está en la definición. Definición 7. Usaremos la expresión ϕ A,s = V para abreviar ϕ es verdadera en A con respecto a s. Esta noción, que involucra tres parámetros (fórmula ϕ, estructura A = A, {I(P )} P L, {I(f)} f L, {I(c)} c L y asignación s ) la definiremos recursivamente sobre la formación de ϕ: 1) P (t 1,..., t n ) A,s = V si y sólo si la n-ada t 1 A s,..., t n A s pertenece a la relación P A = I(P ) 2) (t 1 t 2 ) A,s = V si y sólo si (t 1 ) A s = (t 2 ) A s 3) ψ A,s = V si y sólo si ψ A,s V 4) ψ χ A,s = V si y sólo si ψ A,s = V y χ A,s = V 5) ψ χ A,s = V si y sólo si ψ A,s = V o χ A,s = V 6) ψ χ A,s = V si y sólo si ψ A,s V o χ A,s = V 7) ψ χ A,s = V si y sólo si ( ψ A,s = V y χ A,s = V ) o ( ψ A,s V y χ A,s V ) 8) xψ A,s = V si y sólo si para todo individuo a de A, ψ A,s(x/a) = V 9) xψ A,s = V si y sólo si para al menos un individuo a de A, ψ A,s(x/a) = V Esta definición de verdad en A con respecto a s, está basada en la forma en que se definió fórmula, los casos 1) y 2) se refieren a fórmulas atómicas y los casos 3) a 9) se refieren a la forma en que se construyen fórmulas a partir de fórmulas, (véase la definición de fórmula) y está justificada por un teorema general de recursión para conjuntos generados a partir de un conjunto base (en este caso, todas las fórmulas están generadas a partir del conjunto de las fórmulas atómicas) por una serie de operaciones generadoras (en este caso las aplicaciones de los conectivos y de los cuantificadores), véase [3].

13 34 José Alfredo Amor Definición 8. Finalmente podemos definir ϕ es verdadera en A o A es modelo de ϕ, denotado ϕ A = V : ϕ A = V si y sólo si para toda asignación s, ϕ A,s = V Una vez que se ha comprendido la definición anterior y que se ha reflexionado sobre ella, no hay sorpresa alguna. Uno se da cuenta de que es lo que se esperaría de una definición del concepto de verdad. Quizá haya que hacer hincapié en el sentido del caso 2) de la definición de verdad con asignación, para el caso de una fórmula atómica que es igualdad de dos términos (usamos el símbolo ), ésta es verdadera con resperto a A y s, si y sólo si las interpretaciones de los dos términos con respecto a A y s, son el mismo individuo (el mismo objeto en el universo de la estructura dada), lo cual escribimos con el símbolo de identidad (=). Así pues, decimos que A es modelo de ϕ si se cumple que A es una estructura (interpretación para el lenguaje) y además que ϕ es verdadera en A. La noción de modelo de un conjunto de enunciados es una generalización natural: si Σ es un conjunto de enunciados y todas las fórmulas de Σ son verdaderas en una estructura A, decimos que la estructura A es modelo de Σ. Obviamente la estructura A debe ser una interpretación para todo el lenguaje en el cual están escritos todos los enunciados de Σ. Por ejemplo si Σ = {α 1,..., α n } entonces de acuerdo a la definición de verdad, A es modelo de Σ significa lo mismo que A es modelo del enunciado (α 1... α n ). Aquí es conveniente aclarar que el uso que damos a la palabra modelo en lógica, no es el de una representación (como en diseño, arquitectura o ciencias empíricas) sino el de aquello que se representa y la representación es la teoría expresada en un lenguaje. Esto se verá con mas detalle en la sección 8, donde hablaremos de teorías que son conjuntos de enunciados y de sus modelos que son aquellas estructuras a las que las teorías representan (como los pintores y fotógrafos que hablan de los modelos a los cuales representan los cuadros o las fotografías; las fotografías serían las teorías que representan a los modelos en tanto en los modelos es verdad lo que las teorías dicen de ellos). Nótese que el concepto verdadero, es relativo a una interpretación dada digamos A: ϕ es verdadera en A o A es modelo de ϕ. Un mismo enunciado puede ser verdadero en una interpretación y falso en otra, por ejemplo el enunciado ϕ = [ x y(p (x, y) (x y)] que significa respecto a una interpretación, que hay alguien ahí en el universo de la interpretación, tal que con cualquiera de ahí, o está en la relación P con él o es igual a él. Si tomamos la interpretación A = A, I(P ) tal que A = N (los números naturales) y I(P ) = P A =< (menor que, en N) y la interpretación A = A, I (P ) tal que A =Z (los números enteros: positivos, negativos y el cero) y I (P ) = P A =< (menor que, en Z), entonces ϕ es verdadera en A = N, < puesto que hay un número natural menor o igual que cualquier número natural (a saber, el primero), pero es falsa en A = Z, < ya que no hay un número entero menor o igual que cualquier número entero (pues no hay un número entero mínimo). Un caso muy especial de enunciados son los enunciados verdaderos respecto a cualquier interpretación, conocidos como verdades lógicas o enunciados lógicamente

14 Lógica Clásica 35 válidos o lógicamente válidos; estos son verdaderos por su forma y no por su contenido ya que respecto a cualquier interpretación resultan verdaderos o lo que es lo mismo, toda interpretación de su lenguaje es modelo de ellos. Si ϕ es un enunciado lógicamente válido, para abreviar este hecho usamos la notación ϕ = V. Ejemplo 3. Algunos ejemplos de enunciados lógicamente válidos son: 1. [Q(c) Q(c)] 2. [ xr(x, c)] [ xr(x, c)] 3. [[ xp (x) xp (x)] xp (x)] 4. x(x x) 5. x[h(x) (C(x) C(x))] 6. x y[r(x, y) R(y, y)] 7. [ xp (x) yq(y)] [ yq(y) xp (x)] 8. x[p (x) y(p (y) (M(x, y) M(y, y)))] Un ejercicio para el lector es dar interpretaciones arbitrarias para el lenguaje correspondiente a los enunciados anteriores y convencerse de que son enunciados verdaderos con respecto a cualquiera de ellas. Algunos de esos enunciados los veremos más adelante en la sección de lógica proposicional. Por ahora sólo comentaré el último ejemplo de enunciado lógicamente válido, con la interpretación de ser perro para P y morder a para M, dice: no hay un perro que muerda a todos los perros que no se muerden a sí mismos y sólo a esos. Y eso es una verdad lógica! Obsérvese que es equivalente que un enunciado sea lógicamente válido con el hecho de que su negación no tenga modelo (que un enunciado no tenga modelo es también llamado que sea insatisfacible, inconsistente o lógicamente imposible). Ahora tenemos todos los elementos suficientes para presentar la definición rigurosa de la noción más importante de la lógica en el enfoque semántico, la noción de consecuencia lógica, que denotamos con Σ = ϕ donde Σ es un conjunto de enunciados y ϕ es un enunciado, y que leemos como ϕ es consecuencia lógica de Σ o bien como Σ implica lógicamente a ϕ : Definición 9. Σ = ϕ si y sólo si todo modelo de Σ es un modelo de ϕ. Nótese que si un enunciado es lógicamente válido, entonces es consecuencia lógica de cualquier conjunto de enunciados, en particular es consecuencia lógica del conjunto vacío de enunciados. Esto es así porque si ϕ es lógicamente válido, cualquier interpretación es modelo de ϕ, en particular las que sean modelo de Σ, (no importa si hay o no, modelos de Σ). Utilizando la notación de consecuencia lógica, si ϕ es un enunciado lógicamente válido podemos pensar que es consecuencia lógica de nada y denotarlo como = ϕ. 7 Es fácil convencerse de que esta notación es conveniente, pues ser lógicamente válido resulta ser 7 Podríamos denotarlo como φ = ϕ, donde φ es el conjunto vacío (de enunciados). Pero en ese caso convenimos en no escribir φ, y simplemente denotarlo como = ϕ.

15 36 José Alfredo Amor equivalente a ser consecuencia lógica de nada. Así pues, = ϕ es una notación alternativa para ϕ = V. Por otro lado, si Σ es un conjunto de enunciados que no tiene un modelo (es insatisfacible), entonces cualquier enunciado ϕ es consecuencia lógica de tal Σ, porque no habiendo modelos de Σ, se puede afirmar vacuamente que cualquier modelo de Σ es un modelo de ϕ. Esto de afirmar vacuamente se puede entender mejor con una analogía: sabemos que no hay elefantes del mundo real que vuelen. Entonces yo puedo afirmar vacuamante que cualquier elefante del mundo real que vuele es de color de rosa. Esa afirmación es necesariamente verdadera, pues de no serlo tendría que haber al menos un elefante del mundo real que vuele y que no sea de color de rosa; pero no hay!. En el caso de que Σ sea finito digamos Σ = {α 1,..., α n } es común que en vez de escribir {α 1,..., α n } = β escribamos α 1,..., α n = β, omitiendo las llaves de conjunto. En particular, en vez de {α} = β escribimos α = β. Algunas propiedades básicas del concepto de consecuencia lógica que ayudan a entenderlo mejor son las siguientes: i) Si Σ = ϕ y Σ Γ entonces Γ = ϕ. Esto significa intuitivamente que si se da la consecuencia lógica, entonces a partir de más enunciados se sigue dando la consecuencia lógica. Esta propiedad se llama monotonía y hay otras lógicas que no la cumplen. Véase el capítulo de lógicas no deductivas. ii) Si Σ = α para toda α Γ y Γ = ϕ entonces Σ = ϕ. Esto significa que las consecuencias lógicas de consecuencias lógicas de Σ, son consecuencias lógicas de Σ. Esta propiedad se llama transitividad o corte y hay otras lógicas que no la cumplen. Véase el capítulo de lógica y razonamiento. iii) Si Σ {α} = β entonces Σ = (α β). Esto significa que para que (α β) sea consecuencia lógica de Σ es suficiente que β sea consecuencia lógica de Σ, y de α. iv) Σ = α si y sólo si Σ { α} no tiene modelo. Esto es una reformulación de la definición de consecuencia lógica ya que todo modelo de Σ es modelo de α significa que no puede haber un modelo de Σ que no sea modelo de α, y esto a su vez significa que no puede haber un modelo de Σ que sea modelo de α; es decir, que Σ { α} no puede tener modelo. 4 El problema de la decisión en consecuencias lógicas Si Σ es finito, digamos Σ = {α 1,..., α n } entonces el problema fundamental en este caso, es decidir la respuesta a la pregunta α 1,..., α n = β? Algunos ejemplos de conjuntos Σ con un número finito de enunciados son: la teoría de los órdenes lineales, la teoría de los órdenes densos sin extremos, la teoría de grupos, la aritmética recursiva, y en general cualquier sistema con un número finito de axiomas o cualquier base de datos finita expresada en un lenguaje de predicados con igualdad.

16 Lógica Clásica 37 Es importante precisar que el concepto β es consecuencia lógica de α 1,..., α n, (denotado con α 1,..., α n = β) significa que: todo modelo de α 1,..., α n es modelo de β; es decir, β es verdadera necesariamente cada vez que α 1,..., α n son verdaderas. El siguiente teorema nos da una equivalencia muy interesante y útil de la consecuencia lógica en el caso finito. Teorema 1 (Básico). α 1,..., α n = β (α 1... α n β) no tiene modelo. La prueba de esta equivalencia es directa, pues si todo modelo de α 1,..., α n por fuerza es modelo de β, no es posible que haya un modelo de α 1,..., α n que sea modelo de β. E inversamente, si (α 1... α n β) no tiene modelo, entonces cualquier modelo de (α 1... α n ) deberá serlo de β, pues no puede serlo de β. Nótese que si no hubiera modelos de (α 1... α n ), la misma afirmación es cierta vacuamente. Así pues, para probar que β es consecuencia lógica de Σ = {α 1,..., α n }, es suficiente probar que el conjunto de enunciados (α 1... α n β) no puede tener modelo. Este teorema sirve de punto de partida para fundamentar la rama de la lógica conocida como demostración automatizada de teoremas. Véase el capítulo sobre razonamiento automatizado. 5 Propiedades de la lógica de primer orden con igualdad Los cálculos o sistemas formales han ocupado un papel central en el desarrollo de la lógica en general (véase capítulo introductorio) y en la lógica clásica en particular, sobre todo mientras no se logran desarrollar las nociones semánticas (referentes al significado o interpretación) de una manera sistemática o de modo matemático. Actualmente la lógica clásica se puede desarrollar ampliamente desde ambos puntos de vista, tanto del semántico (de significado) como el sintáctico (de forma) y establecer un teorema de adecuación, también llamado de correctitudcompletitud que los relaciona a ambos. El concepto de tipo semántico más importante, ha quedado ya establecido con la noción de consecuencia lógica. Como ejemplo de propiedades del punto de vista semántico damos a continuación tres importantes teoremas de la lógica clásica, el de Compacidad el de Skolem y el de Herbrand. Posteriormente definiremos lo que es un cálculo o sistema formal, desarrollaremos la noción sintáctica de derivación formal y daremos el teorema de correctitud-completitud extendido, de Gödel, que establece el puente entre la concepción semántica y la concepción sintáctica. Teorema 2 (de Compacidad para la lógica de primer orden con igualdad). Sea Σ un conjunto de enunciados de un lenguaje de primer orden con igualdad L. Si todo subconjunto finito de Σ tiene un modelo entonces Σ tiene un modelo.

17 38 José Alfredo Amor La relevancia teórica de este teorema es enorme pues proporciona una técnica para probar la existencia de modelos para conjuntos infinitos de enunciados: es suficiente probar que cualquier subconjunto finito tiene un modelo para concluir que el conjunto total tiene un modelo. Obsérvese que el inverso de este teorema es una afirmación trivial pues si Σ tiene un modelo, ese mismo modelo es modelo de todos sus subconjuntos. El teorema para Σ finito, también es trivial pues Σ mismo es un subconjunto de Σ. La parte fuerte del teorema es pues la parte directa para conjuntos Σ infinitos. Una forma equivalente a este teorema es la siguiente, formulada en términos de consecuencia lógica: Teorema 3 (de Compacidad, segunda forma). Sea Σ un conjunto de enunciados de un lenguaje de primer orden con igualdad L y sea ϕ cualquier enunciado de L. Entonces: Σ = ϕ si y sólo si hay un Γ, subconjunto finito de Σ tal que Γ = ϕ. Obsérvese que este teorema garantiza que la consecuencia lógica en general es equivalente a la consecuencia lógica en un caso finito. Es importante aclarar que esta afirmación es sólo existencial, no constructiva y el subconjunto finito Γ que se menciona que existe no se puede construir de un modo efectivo o algorítmico. Este teorema de Compacidad tiene muchas aplicaciones teóricas en varias áreas de las matemáticas (véase [1]). Una fórmula de la forma x 1... x m ϕ que sólo tiene cuantificadores universales se llama universal pura. Es un resultado también interesante e importante de la lógica matemática, que cualquier fórmula γ se puede transformar de un modo algorítmico a una fórmula universal pura muy especial llamada forma clausular de γ, denotado Cl(γ), que es de la forma x 1... x m ϕ, tal que ésta tiene modelo si y sólo si aquella tiene modelo. Teorema 4 (Skolem). Si γ es un enunciado y Cl(γ) es su correspondiente forma clausular, entonces γ tiene modelo si y sólo si Cl(γ) tiene modelo. O bien, γ no tiene modelo si y sólo si Cl(γ) no tiene modelo. El siguiente resultado es una aplicación directa del teorema Básico y el teorema de Skolem: para cualesquiera enunciados α 1,..., α n, β, α 1,..., α n = β si y sólo si la fórmula Cl(α 1... α n β) no tiene modelo. Este resultado sugiere un procedimiento de decisión para la consecuencia lógica. Si se tiene la pregunta α 1,..., α n = β?, entonces considérese el enunciado (α 1... α n β). Luego obténgase mediante el algoritmo para obtener la forma clausular el nuevo enunciado Cl(α 1... α n β) que siempre será de la forma universal pura x 1... x m ϕ donde ϕ no tiene cuantificadores. Hasta aquí el procedimiento es algorítmico, lo que se tiene que hacer después es mostrar que esa fórmula no tiene modelo. Si bien no hay algoritmo para esta última parte,

18 Lógica Clásica 39 la fórmula obtenida es de fácil manipulación y tiene propiedades que propiciaron la existencia de varios procedimientos para tratar de mostrar que no tiene modelo. El más eficiente de estos métodos es el llamado método de resolución de Robinson. Estos resultados son el punto de partida para la demostración automatizada de teoremas en lógica clásica. Véase el capítulo sobre razonamiento automatizado. Teorema 5 (Herbrand). Sea ϕ una fórmula sin cuantificadores, con variables x 1,..., x m. Entonces el enunciado x 1... x m ϕ no tiene modelo si y sólo si hay una sucesión finita ϕ 1,..., ϕ k de instancias de sustitución de ϕ tal que (ϕ 1... ϕ k ) no tiene modelo. Obsérvese que el enunciado x 1... x m ϕ, que sólo tiene cuantificadores universales, es universal puro. Una instancia de sustitución de ϕ es el resultado de sustituir términos sin variables en lugar de las variables que aparecen en ϕ. El siguiente es un resultado directo del teorema Básico, del teorema de Skolem y del teorema de Herbrand: α 1,..., α n = β si y sólo si hay una sucesión finita ϕ 1,..., ϕ k de instancias de sustitución de la fórmula ϕ donde x 1... x m ϕ = Cl(α 1... α n β) de tal modo que (ϕ 1... ϕ k ) no tiene modelo. Es muy interesante mencionar que este resultado teórico proporciona también un procedimiento tal que: la consecuencia lógica se cumple si y sólo si el procedimiento determina que se cumple. Este procedimiento no es un algoritmo. 6 Sistemas axiomáticos o cálculos formales Presentamos ahora el concepto de sistema axiomático o sistema formal de tipo Hilbert, ya que después relacionaremos la consecuencia lógica con la deducción o derivación en un sistema axiomático de este tipo y daremos un sistema particular de este estilo. Hay otros tipos de sistemas formales como los basados en reglas, conocidos como sistemas de deducción natural o de tipo Genzen (véase la última parte del capítulo introductorio). Un sistema axiomático o cálculo formal S en un lenguaje L, está dado por tres cosas: 1. Un conjunto de enunciados de L, llamados los axiomas de S. El único requisito es que se pueda decidir de un modo efectivo si un enunciado dado pertenece o no a. Es decir, hay que poder decidir si un enunciado es axioma o no lo es. 2. Un conjunto de reglas de inferencia RI sobre los enunciados de L. Una regla de inferencia es un mecanismo formal que proporciona un enunciado a partir de uno o más enunciados. El único requisito es que se pueda decidir de un modo efectivo si un enunciado dado es obtenido o no, a partir de otros enunciados dados, en virtud de dicha regla. 3. Una definición de deducción o derivación formal de un enunciado ϕ a partir de un conjunto Σ de enunciados, que sea una sucesión finita de enunciados

19 40 José Alfredo Amor α 1,..., α n, tal que α n = ϕ y para cada i {1,..., n}, o α i (se dice que α i es un axioma de S) o α i Σ (se dice que α i es una hipótesis de Σ) o α i es obtenido a partir de enunciados anteriores de la sucesión, en virtud de alguna regla de inferencia del conjunto RI de reglas de inferencia de S, la aplicación de la regla puede tener o no restricciones. En caso de tener restricciones, debe ser efectivamente decidible si α i se obtiene o no con las restricciones impuestas a la aplicación de la regla. Si existe tal deducción formal, esto se denota con Σ S ϕ o simplemente con Σ ϕ si el sistema S se sobreentiende. Un caso particular es la deducción de ϕ sin hipótesis, es decir cuando Σ es vacío, lo cual significa derivar ϕ en el sistema a partir de nada. En tal caso decimos que ϕ es un teorema formal de S y la definición es la misma excepto que no se menciona el caso de que α i sea hipótesis de Σ pues no hay hipótesis y esto lo denotamos con S ϕ o bien ϕ, si S se sobreentiende. En todo lo que sigue supondremos un lenguaje cualquiera L de primer orden con igualdad y todos los enunciados, conjuntos de enunciados y sistemas formales de que hablemos, son de ese lenguaje L. Teorema 6 (de Correctitud-Completitud Extendido para la lógica de primer orden con igualdad (Gödel 1930)). Hay un sistema formal S tal que para cualquier conjunto de enunciados Σ y para cualquier enunciado ϕ: Σ = ϕ si y sólo si Σ S ϕ. Este es el teorema de adecuación entre el principal concepto semántico (consecuencia lógica), y el principal concepto sintáctico (deducción formal). La implicación de derecha a izquierda la llamamos correctitud porque asegura que toda deducción formal en el sistema S, es una consecuencia lógica, esto quiere decir intuitivamente que el sistema es correcto en el sentido de que todas las derivaciones formales están bien, pues son consecuencias lógicas. La implicación de izquierda a derecha la llamamos completitud pues asegura que toda consecuencia lógica, se puede obtener como deducción formal en el sistema S, esto quiere decir intuitivamente que el sistema es completo en el sentido de ser capaz de derivar todas las consecuencias lógicas. El concepto sintáctico de consistencia de un conjunto de enunciados se refiere a que no se puede deducir a partir del conjunto, un enunciado y su negación. Esto es algo muy conocido aunque se usa de un modo impreciso ya que no es un concepto absoluto, pues se refiere a deducciones en un sistema formal y depende por lo tanto, del sistema formal. Definición 10. Sean S un sistema formal en el lenguaje L y Σ un conjunto de enunciados de L. Σ es s-consistente si y sólo si no hay enunciado α de L tal que Σ S α y Σ S α.

20 Lógica Clásica 41 El teorema de correctitud-completitud extendido es equivalente al siguiente teorema: Teorema 7 (de Correctitud-Completitud Extendido. Segunda forma). Hay un sistema formal S tal que cumple i) Para cualquier conjunto de enunciados Σ: Σ es s-consistente si y sólo si Σ tiene un modelo. ii) Para α, β enunciados, α, (α β) S β (Modus Ponens en S). iii) Para β,γ enunciados, S (β ( β γ)) (Contradicción implica trivialidad en S). iv) Para toda α enunciado, S (( α α) α) (Consequentia Mirabilis en S) v) Para todo Γ conjunto de enunciados y α,β enunciados, si Γ, α S β entonces Γ S (α β) (Teorema de la Deducción en S). El teorema de correctitud-completitud extendido, lo llamamos así pues lo consideramos una extensión del siguiente teorema: Teorema 8 (de Correctitud-Completitud Restringido (Gödel, 1930)). Hay un sistema formal S tal que los enunciados lógicamente válidos son exactamente los teoremas formales de S; es decir, tal que para cualquier enunciado ϕ: = ϕ si y sólo si S ϕ. Es inmediato que el teorema de correctitud-completitud extendido implica el restringido, simplemente tomando el caso particular Σ = φ. La implicación inversa se puede demostrar suponiendo además que el sistema S cumple Modus Ponens y el Teorema de la Deducción, y usando el Teorema de Compacidad (véase [1]). La prueba directa del teorema de correctitud-completitud extendido para un lenguaje L, consiste en dar un sistema formal particular S y en probar que cumple lo que se afirma. Aquí sólo daremos como ejemplo, un sistema que lo cumple. Para una prueba completa véase [1], [6], [8] o [9]. Un sistema formal S que cumple los teoremas de correctitud-completitud: 1. AXIOMAS DE S. Si α, β, γ, son fórmulas de L y x, y, son variables entonces las siguientes fórmulas son esquemas (o formas) de los axiomas que constituyen el conjunto de los axiomas de S: A1) α (β α) A2) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) A3) ( β α) (( β α) β) A4) xα (α) x t, donde t es un término y (α) x t denota el resultado de cambiar t en lugar de cada presencia no cuantificada de x en α. (Intuitivamente representa la afirmación: Si para todos se cumple α entonces para t se cumple α ).