Relación 2 de problemas: Probabilidad

Transcripción

1 Estadística y modelización. Ingeniero Técnico en Diseño Industrial. Curso 04/05 Relación 2 de problemas: Probabilidad 1. Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: (a) Lanzamiento de dos dados de distinto color. (b) Lanzamiento de dos dados indistinguibles. (c) Anotar la letra del DNI de los visitantes de un museo. (d) Lanzamiento de tres monedas indistinguibles. (e) Extraer un naipe de una baraja española completa. (f) Extraer tres bolas de una urna que contiene 2 bolas rojas, 3 blancas y una negra. (g) Lanzar dos dados y considerar el máximo de las puntuaciones obtenidas. (h) Lanzar dos dados y considerar la suma de las puntuaciones obtenidas. (i) Abrir un libro de 100 páginas al azar y anotar el último dígito de la página de la derecha. (j) Extraer uno a uno sin reemplazamiento, CDs de una caja de 5, hasta sacar los 2 defectuosos que sabemos que hay. 2. En el espacio muestral asociado al experimento aleatorio extraer, sin reemplazamiento, dos naipes de una baraja española completa (48 cartas) se consideran los siguiente sucesos: A= sacar dos figuras, B= sacar dos oros, C= sacar dos ases, D= sacar dos naipes de palos distintos. (a) Da explícitamente los elementos de los siguientes sucesos: B, C, A B, A C, B C, D, C D, B D, D C. (b) Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos anteriores. 3. Se considera el experimento de lanzar una moneda tres veces consecutivas. (a) Describe el espacio muestral asociado. (b) Calcula la probabilidad de cada uno de los elementos de dicho espacio muestral. (c) Calcula la probabilidad de los sucesos: A= salga al menos una cara, B= salgan tres cruces, C= salgan dos caras y una cruz. 4. Todas las cartas de una baraja de 40 se reparten aleatoriamente entre 4 jugadores. Cuál es la probabilidad de que los 4 ases sean recibidos por un mismo jugador? Inmaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 1

2 5. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos dados, la suma de las puntuaciones obtenidas sea (a) 4 puntos (b) 5 o más puntos (c) un número par (d) 11 puntos. 6. De cara a la organización de una exposición dedicada a Renoir en el Museo del Prado, hay que nombrar, por este orden, un director general, un subdirector adjunto y un secretario, entre una selección de siete mujeres y tres hombres de la plantilla del museo. Cuál es la probabilidad de que el director sea una mujer? Sabiendo que el director se llama José Manuel, calcula la probabilidad de que haya una subdirectora adjunta. 7. Cuál es la probabilidad de que en una clase con 68 alumnos al menos dos personas celebren su cumpleaños el mismo día? 8. En una almacén de electrodomésticos hay 50 microondas se sabe que 5 tienen algún defecto. Se seleccionan al azar 20 de ellos para atender el pedido de una tienda, mientras que el resto permanece en el almacén. Calcula la probabilidad de que se haya enviado a la tienda alguno de los defectuosos. 9. Tres bolas se introducen al azar en 2 urnas numeradas. Cuál es la probabilidad de que la primera urna contenga alguna bola? Si las bolas están también numeradas, cuál es la probabilidad de que la bola número uno esté en la primera urna? 10. Tras un periodo en recuperación, tres parejas reproductoras de galápagos van a ser puestas en libertad. Se van sacando de dos en dos del acuario en el que se encuentran hasta que éste queda vacío. (a) Cuál es la probabilidad de que todas las parejas que se han sacado estén formadas por un ejemplar de cada sexo? (b) Si las parejas son de tres especies distintas, cuál es la probabilidad de que las parejas que se han ido sacando del acuario estén formadas por individuos de la misma especie y distinto sexo? 11. Se dispone de un dispositivo formado por tres sistemas, cuyas probabilidades de fallo en el funcionamiento son de 0.005, y 0.025, respectivamente. Suponiendo que los sistemas funcionan de forma independiente, calcula (a) Probabilidad de que funcionen los tres sistemas. (b) Probabilidad de que alguno no funcione. (c) Probabilidad de que funcionen exactamente dos de los sistemas. Inmaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 2

3 (d) Probabilidad de que funcione al menos uno de los sistemas. (e) Probabilidad de que funcionen dos de los sistemas, sabiendo que alguno falla. (f) Probabilidad de que ningún sistema funcione. 12. Un sistema eléctrico consta de tres componentes S 1, S 2 y S 3. El componente S 1 está conectado en serie al dispositivo formado por la conexión en paralelo de S 2 y S 3. Entonces, para que el sistema funcione correctamente deben funcionar el componente S 1 y al menos uno de los componentes S 2 y S 3. Cada componente funciona independientemente, con probabilidades de funcionamiento correcto Calcula: p(s 1 ) = 0.85 p(s 2 ) = 0.95 p(s 3 ) = (a) Probabilidad de que funcione el sistema. (b) Probabilidad de que el componente S 2 falle, sabiendo que el sistema está funcionando. (c) Probabilidad de que el componente S 2 esté funcionando, sabiendo que el sistema ha fallado. (d) Probabilidad de que funcionen los tres componentes. Recalcula las probabilidades anteriores, suponiendo que las tres componentes están conectadas en paralelo. 13. Un test consta de 10 preguntas, cada una con 4 respuestas alternativas, de las cuales solamente una es correcta. Calcula la probabilidad de contestar al menos el 80% de las preguntas correctamente. 14. Un atleta de salto de longitud tiene un porcentaje del 30% de saltos nulos durante la temporada. Calcula la probabilidad de que en un control federativo tenga que saltar tres veces para hacer el primer salto no nulo. 15. Se extraen dos cartas de una baraja francesa (4 palos con trece cartas cada uno) sin reemplazamiento. (a) Sabiendo que las dos cartas son figuras, calcula la probabilidad de que sean del mismo palo. (b) Calcula la probabilidad de sacar dos cartas del mismo palo. 16. Un juego consiste en lanzar un único dado cada jugador las veces necesarias hasta obtener un seis. Si hubiera tres jugadores, calcula la probabilidad de que haya que lanzar el dado 20 veces. Inmaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 3

4 17. La centralita de la Escuela Oficial de Idiomas que conecta con las distintas extensiones está comunicando el 95% de las veces que llamas. La probabilidad de que la extensión del Departamento de Inglés esté libre es del 60%. (a) Calcula la probabilidad de que puedas comunicar con el Departamento de Inglés. (b) Calcula la probabilidad de que puedas conectar al menos una vez si lo intentas tres veces. (c) Calcula la probabilidad de tener que hacer cinco llamadas para hablar con el Departamento de Inglés. 18. Se dispone de dos urnas A y B. La urna A contiene 3 bolas rojas y dos negras y la urna B contiene una roja y tres negras. Se lanza un dado y si sale un número par se extrae una bola de la urna A y si sale impar, se extrae de la urna B. Cuál es la probabilidad de que la bola extraida sea roja? Calcula la probabilidad de que la bola se haya sacado de la urna A, sabiendo que es negra. 19. En una academia de idiomas el 55% de las personas matriculadas estudian inglés, el 30% alemán y el resto, francés. El 40% de los alumnos de inglés y el 60% de los de francés son mujeres, mientras que el porcentaje de alumnas de alemán desciende al 20%. Es cierto que hay más mujeres que hombres matriculados en la academia? 20. En un lote de 120 bombillas hay 70 azules y el resto son rojas. La probabilidad de que una bombilla roja sea defectuosa es mientras que si la bombilla es azul tiene una probabilidad 0.09 de ser defectuosa. Calcula la probabilidad de que una bombilla del lote elegida al azar sea defectuosa. Si la bombilla elegida resulta ser perfecta, calcula la probabilidad de que sea roja. 21. En Tarifa se registran vientos de cierta fuerza, el 55% de los días del año. Se sabe que la probabilidad de tener un accidente de tráfico en esa localidad es de 0.2 en un día ventoso y de 0.1 en un día sin viento. Sabiendo que cierto día del mes de julio se produjo un accidente, calcula la probabilidad de que no hiciera viento. 22. Hasta el 25 de marzo de 2003, como consecuencia del accidente del Prestige, se habían recogido en las costas españolas, portuguesas y francesas un total de aves, 5746 vivas y muertas. Aves encontradas a 25/3/03 Vivas Muertas España Portugal Francia Un grupo especializado recorre toda la costa afectada, permaneciendo 4 días en Portugal, 10 días en España y 6 en Francia. (a) Calcula la probabilidad de que encuentren un ave viva en un día escogido al azar. Inmaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 4

5 (b) Calcula la probabilidad de que si un día encuentran un ave muerta estuvieran en costas portuguesas. 23. Para ir de Málaga a Ronda hay tres itinerarios posibles. Una de las carreteras discurre por la Sierra de las Nieves y tiene una probabilidad de estar cortada cuando hace mal tiempo del 2% al año. La carretera que pasa por San Pedro de Alcántara resulta peligrosa por el trazado y está cortada por obras o desprendimientos el 1% de los días del año. Mientras que la tercera carretera es mucho más tranquila que las otras dos y la probabilidad de que esté cortada es del 0.15%. Para ir de Málaga a Montejaque hay que pasar forzosamente por Ronda y se sabe que por la carretera de Ronda a dicho pueblo se puede circular el 99% de los días del año. (a) Calcula la probabilidad de poder llegar a Montejaque desde Málaga. (b) Calcula la probabilidad de no poder llegar a Montejaque sabiendo que la carretera que pasa por San Pedro está cortada por obras. (c) Un turista decide visitar Ronda y elige al azar una de las tres carreteras. Cuál es la probabilidad de que no pueda llegar? (d) Sabiendo que el turista visitó Ronda, cuál es la probabilidad de que haya ido por la carretera de la Sierra de las Nieves? 24. Una urna contiene tres sobres, uno rojo, uno negro y otro azul. Cada sobre contiene solamente una tarjeta que puede ser roja, negra o azul. (a) Calcula la probabilidad de que el sobre rojo contenga una tarjeta roja. (b) Probabilidad de que alguno de los sobres contenga una tarjeta del mismo color. (c) Probabilidad de que exactamente uno de los sobres contenga una tarjeta del mismo color. (d) Probabilidad de que un sobre escogido al azar contenga una tarjeta del mismo color. 25. Se realizan dos ensayos clínicos de un mismo medicamento en Madrid y Barcelona, aunque el número de pacientes tratados en ambas ciudades es distinto. De los 3000 enfermos tratados en Madrid, 2250 mejoraron, 525 no notaron ningún efecto y el resto empeoraron. En Barcelona, mejoraron un 85% y empeoraron un 5%. Sabiendo que en Barcelona se trataron 3500 pacientes, calcula la probabilidad de que un enfermo que mejoró con el tratamiento sea de Madrid. Inmaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 5

6 Algunas soluciones 2. (b) p (B) = , p (C) = , p (A B) = , p(a C) = p(b C) = 0, p (D) = 0.234, p(c D) = p(c), p(b D) = 1, p (D C) = p(d) = (b) todos los elementos son equiprobables, siendo p = 1 8. (c) p (A) = 7 8, p (B) = 1 8 y p (C) = p = (a) (b) (c) 0.5 (d) p 1 = 0.7 y p 2 = Deja indicado, no intentes buscar el resultado en decimales. 8. p = p 1 = y p 2 = (a) p 1 = 0.4 (b) p 2 = (a) p = (b) p = (c) p = (d) p = (e) p = (f) p = Inmaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 6

7 12. (a) p = (b) p = (c) p = (d) p = Con el sistema en paralelo: p 1 = , p 2 = , p 3 = 0 y p 4 = p = p = (a) p = (b) p = p = (a) p = 0.03 (b) p = (c) p = p 1 = y p 2 = Hay más hombres que mujeres. 20. p 1 = y p 2 = p = (a) p = (b) p = (a) p = (b) p = (c) p = (d) p = (a) p = (b) p = (c) p = 0.5 (d) p = p = Inmaculada de las Peñas Cabrera. Dpto de Matemática Aplicada 7