Movimiento Circular Uniforme. Introducción Ya definimos anteriormente la aceleración como el cambio en la velocidad a través del tiempo: a = Δv/t

Transcripción

1 Movimiento Circular Uniforme Introducción Ya definimos anteriormente la aceleración como el cambio en la velocidad a través del tiempo: a = Δv/t Hasta ahora, sólo hemos hablado sobre los cambios en la magnitud de la aceleración: la aceleración o desaceleración de objetos. Sin embargo, dado que la velocidad es un vector, ésta tiene una magnitud y una dirección; entonces, otra forma en que la velocidad puede cambiar es cambiando su dirección, aún cuando su rapidez permanece constante. Éste es el tipo de aceleración que será explorado en este capítulo. Un caso importante de cambio de dirección cuando la rapidez permanece constante se da en el movimiento circular uniforme. En este caso, la rapidez de un objeto permanece constante, y por lo tanto uniforme, mientras que la dirección cambia constantemente, lo cual es necesario para que el objeto se mueva en un círculo. Si no hubiera aceleración, el objeto se desplazaría en línea recta. Este tipo de movimiento ocurre en numerosas instancias: algunos ejemplos importantes son el movimiento de los planetas alrededor del sol o la luna alrededor de la Tierra. Fue justamente a partir de un análisis del movimiento circular uniforme que Newton pudo desarrollar su teoría de Gravitación Universal; entonces es natural que esto también se explore en este capítulo. Movimiento Circular Uniforme Por la Primera Ley de Newton sabemos que si no hay fuerza neta actuando sobre un objeto, éste viajará en una línea recta a rapidez constante. Cada vez que un objeto no logra viajar de esta manera, sabemos, por definición, que está acelerando. Por la Segunda Ley de Newton también podemos llegar a la conclusión de que debe haber una fuerza neta actuando sobre el objeto. El movimiento circular es un caso especial en el que un objeto experimenta aceleración constante. En el caso del movimiento circular, un objeto está cambiando de dirección constantemente. En lugar de viajar en línea recta, su trayectoria es siempre hacia el centro del círculo que define esa trayectoria. Como se muestra abajo, su velocidad es siempre tangente al círculo que describe su movimiento, y su aceleración es siempre dirigida hacia el centro del círculo. Si se observa el vector de velocidad en pequeñas diferencias en el tiempo Δt, se puede ver que el cambio en la velocidad, la flecha que conecta la punta del vector de velocidad anterior al último vector de velocidad, es siempre hacia el centro. Esta flecha representa el cambio en velocidad a través del tiempo Δt: en consecuencia, representa la dirección de la aceleración. V e a a (Trayectoria del movimiento) V e a La velocidad del objeto es siempre tangente a la trayectoria sobre el círculo. La aceleración del objeto está siempre dirigida hacia el centro del círculo, perpendicular al vector de velocidad. V e Movimiento Circular Uniforme 1 v Goodman & Zavorotniy

2 Además, puede verse que el triángulo que se forma de v 1 y v 2 (ver abajo) es similar al triángulo que se forma de los radios del círculo y la distancia recorrida a través del tiempo Δt, vt (ver abajo). La magnitud de v 1 y v 2 es la misma. Como la rapidez del objeto es constante, podemos establecer la siguiente proporción: Multiplicar ambos lados por v y dividir por t Ya que Δv/t = a Ésta es una relación muy importante ya que nos da la magnitud de la aceleración de cualquier objeto desplazándose por una trayectoria circular. La dirección de esa aceleración es hacia el centro del círculo. La aceleración de un objeto que se mueve en una trayectoria circular es dada por: a = v 2 /r hacia el centro del círculo Este resultado es muy importante ya que puede ser aplicado a otros casos especiales que hemos explorado previamente. Casos especiales de la aceleración Un objeto desplazándose en línea recta a rapidez constante a = 0 Un objeto sin soporte cerca de la superficie de la Tierra a = g = 9.8 m/s 2 hacia el centro de la Tierra Un objeto desplazándose en una trayectoria circular a = v 2 /r hacia el centro del círculo Ejemplo 1 Un objeto de 4 kg viaja en movimiento circular uniforme de radio 2 m. La magnitud de su velocidad, su rapidez, es de 15 m/s. Determina su aceleración. Determina la fuerza neta que actúa sobre él. Como el objeto viaja en movimiento circular, la magnitud de su aceleración está dada por a = v 2 /r y la dirección de su aceleración es hacia el centro del círculo. a = v 2 /r a = (15 m/s) 2 / (2,0 m) a = (225 m 2 /s 2 ) / (2,0 m) a = 112 m/s 2 hacia el centro del círculo Movimiento Circular Uniforme 2 v Goodman & Zavorotniy

3 La fuerza neta que actúa sobre el objeto es lo que causa su aceleración, entonces: ΣF = (4 kg) (112 m/s 2 ) F neta = 450N Como la aceleración de un objeto se dirige siempre en la misma dirección que la fuerza neta, la fuerza neta también debe estar dirigida hacia el centro del círculo. F neta = 450 N hacia el centro del círculo Ejemplo 2 Cuánta fuerza neta se requiere para mantener un objeto de 5 kg en movimiento circular de radio 6 m con una rapidez de 12 m/s? Como el objeto está viajando en un círculo, su aceleración debe ser v 2 /r, entonces ΣF = m (v 2 /r) ΣF = (5,0 kg) ((12 m/s) 2 / (6,0 m)) ΣF = (5,0 kg) (144 m 2 /s 2 / (6,0 m) ΣF = 120 kg m/s 2 F neta = 120 N hacia el centro del círculo Período y Frecuencia Hay dos términos muy relacionados que se usan para describir el movimiento circular: período y frecuencia. El período del movimiento de un objeto es el tiempo que toma en dar una vuelta alrededor del círculo. El período es una medida de tiempo por lo que la unidad de medida estándar es el segundo y el símbolo para el periodo es T (se confunde fácilmente con el símbolo para la Tensión). Si un objeto completa cierto número de revoluciones, n, en cierta cantidad de tiempo, t, luego T = t/n, ya que ése es el tiempo que necesita para completar una vuelta. Por ejemplo, si doy diez vueltas alrededor de un círculo en cinco segundos, mi periodo es el tiempo que tomo en dar cada vuelta alrededor del círculo y está dado por: T = t/n T = 10 s/5 T = 2 s A veces ayuda mucho pensar en el número de veces que doy vueltas por segundo, más que en el número de segundos que me toma dar una vuelta. Esto se llama frecuencia de la rotación ya que describe la frecuencia para completar un ciclo. La frecuencia del movimiento de un objeto es el número de veces que viaja alrededor de un círculo en una unidad de tiempo dada. El símbolo para la frecuencia es f (se confunde fácilmente con la fricción). Si un objeto completa cierto número de rotaciones, n, en una cantidad de tiempo dada, t, luego f = n/t, ya que ése es el número de veces que doy vueltas en un tiempo dado. Las unidades de frecuencia deben reflejar el número de repeticiones por unidad de tiempo. Si el tiempo se mide en segundos, como se hará generalmente en este libro, la unidad de frecuencia es 1/s o s -1. Esta unidad, s -1, también ha sido nombrada Hercio (Hz). Este término se usa comúnmente para describir las estaciones de radio: cuando sintonizas una radio en MHz, estás sintonizando una señal de radio que repite su ciclo 104,3 millones de veces por segundo. Movimiento Circular Uniforme 3 v Goodman & Zavorotniy

4 De la misma forma, la estación en 880 khz tiene una señal que repite su ciclo 880 miles de veces por segundo. Como T=t/n y f=n/t, luego: T = 1/f y f = 1/T Por ejemplo, si el periodo, T, del movimiento de un objeto es 0,2 segundos, luego su frecuencia está dada por: f = 1/T f = 1/0,2 s f = 5 s -1 o 5 Hz De la misma forma, si la frecuencia de un objeto es 20 Hz, luego su período está dado por: T = 1/f T = 1/20 Hz T = 0,05 s Además, hay una conexión directa entre período, frecuencia y rapidez. Como la distancia alrededor de un círculo está dada por su circunferencia: un objeto debe recorrer una distancia de 2πr para completar un círculo. Esto demuestra relaciones importantes entre la rapidez, el periodo y la frecuencia. s = d/t s = 2πr/t s = 2πr/T v = 2πr/T v = 2πrf para recorrer el círculo una vez debo recorrer una distancia de 2πr por la definición del periodo, el tiempo que me lleva hacer eso es T como la rapidez es la magnitud de la velocidad instantánea de un objeto, esto significa que Además, como f = 1/T, esto también puede escribirse como Relaciones entre periodo, frecuencia y velocidad T = t/n y T = 1/f f = n/t y f= 1/T v = 2πr/T v = 2πrf Las unidades de periodo, T, son segundos. Las unidades de frecuencia, f, son s -1, o Hz. Ejemplo 3 Un objeto está viajando por un círculo de radio 4 m y completa cinco ciclos en 2 s. Cuál es su período, frecuencia y velocidad? T = t/n T = 2 s/5 T = 0,4 s f = 1/T o f = n/t f = 1/0,4 s f = 2,5 Hz f = 5/2 s f = 2,5 Hz v = 2πr/T o v = 2πrf Movimiento Circular Uniforme 4 v Goodman & Zavorotniy

5 v = 2 (3,14) (4 m)/(0,4 s) v = 2 (3,14) (4 m) (2,5 Hz) v = 62 m/s v = 62 m/s Ejemplo 4 Se requiere una fuerza de 250 N para mantener un objeto de 8 kg en un movimiento circular de radio 15 m. Cuál es la rapidez, el período y la frecuencia del objeto? F neta = m (v 2 /r) F neta r / m = v 2 v = (F neta r / m) v = (250 N)(15 m) / (8,0 kg)) v = (3750 kg m 2 /s 2 ) / (8,0 kg)) v = (470 m 2 /s 2 ) v = 22 m/s Como el objeto se mueve en un círculo, su velocidad debe ser tangente al círculo. v = 22 m/s tangente al círculo Luego, averiguamos el periodo de movimiento del objeto. v = 2πr/T T = 2πr/v T = 2 (3,14) (15 m)/ (22 m/s) T = 4,3 s Y finalmente, averiguamos su frecuencia. f = 1/T f = 1/(4,3 s) f = 0,23 Hz Un aspecto importante de las ecuaciones para el movimiento uniforme es que se aplican aún para períodos breves de tiempo en los que el movimiento de un objeto se considera circular. Por ejemplo, cuando viajas por una curva en un camino, esa curva puede ser considerada como parte de un círculo. No necesitas recorrer todo el círculo para que esas ecuaciones puedan ser útiles: tal como no necesitaste recorrer 60 millas en una hora para que tu rapidez fuera de 60 millas por hora. Estas ecuaciones pueden ser aplicadas en cualquier momento en que el movimiento de un objeto sea de naturaleza circular, aunque sea brevemente. Ejemplo 4 Un objeto es atado a un cordón que provee una Tensión que mantiene el objeto moviéndose en un círculo de radio 0,50 m mientras se desliza fácilmente sobre una tabla. El objeto tiene una masa de 2 kg y su movimiento tiene un periodo de 0,63 s. Cuál es la tensión en el cordón? F T = m (v 2 /r) F T = m ((4π 2 r 2 /T 2 )/r) F T = 4 mπ 2 r/t 2 F T = (4) (2,0 kg) (3,14) 2 (0,50 m)/(0,63 s) 2 pero v = 2πr/T, entonces v 2 = 4π 2 r 2 /T 2...y sustituyendo Movimiento Circular Uniforme 5 v Goodman & Zavorotniy

6 F T = 100 kg m/s 2 F T = 100 N hacia el centro del círculo Múltiples fuerzas y movimiento circular Frecuentemente, más de una fuerza actúa sobre un objeto, incluyendo sobre un objeto viajando en movimiento circular uniforme. En ese caso, tratas el problema de la misma manera como lo hiciste en los problemas de dinámica, la suma de las fuerzas es lo que importa, no cualquier fuerza. Entonces, por ejemplo, si cambiáramos el ejemplo anterior e hiciéramos que el objeto se mueva en un círculo vertical y ya no en uno horizontal, tendríamos dos fuerzas actuando sobre el objeto para mantener su movimiento en forma circular, el peso del objeto estará siempre abajo, pero la fuerza de tensión siempre apuntaría hacia el centro del círculo. Como la aceleración del objeto es siempre dada por v 2 /r, luego la suma de sus fuerzas será siempre igual a ma o mv 2 /r. En consecuencia, siempre que la velocidad sea constante, la fuerza neta también lo será. Sin embargo, la fuerza de tensión a veces será contrarrestada por el peso del objeto en la parte inferior del círculo, y a veces será en la misma dirección en la parte superior del círculo. Esto significa que la fuerza de tensión tendrá que variar ya que la suma de las fuerzas es constante y el peso no puede variar. Ejemplo 5 Un objeto es atado a un cordón que provee una Tensión que ayuda a mantener el objeto en movimiento en un círculo vertical de radio 0,50 m. El objeto tiene una masa de 2 kg y está viajando con una rapidez constante de 5 m/s (poco viable, pero vamos a usarlo como una suposición). Cuál es la tensión en el cordón en las siguientes situaciones? a. Cuando el objeto está en la cima del círculo. b. Cuando el objeto está en la parte inferior del círculo. c. Cuando el cordón está horizontal. a. En la cima del círculo, tanto el peso como la tensión apuntan hacia abajo. Y también lo hace la aceleración del objeto, ya que la aceleración de un objeto en movimiento circular uniforme es siempre dirigida hacia el centro del círculo. Si definimos abajo como negativo: -T - W = -ma pero como todos los signos son negativos, podemos multiplicar por -1 en ambos lados y así hacerlos positives. T + W = ma T = ma - W T = mv 2 /r - mg T = m (v 2 /r g) T = (2,0 kg) ((5 m/s) 2 / (0,50 m) 9,8 m/s 2 ) T = (2,0 kg)( (25 m 2 /s 2 / (0,50 m) 9,8 m/s 2 ) T = (2,0 kg)( (50 m 2 /s 2 9,8 m/s 2 ) T = 80 kg m/s 2 = 80 N hacia abajo b. En la parte inferior del círculo, el peso apunta hacia abajo y la tensión apunta hacia arriba, hacia el centro del círculo. La aceleración del objeto también apunta hacia arriba hacia el centro del círculo, ya que la aceleración de un objeto en movimiento circular uniforme se dirige siempre hacia el centro del círculo. Si definimos abajo como negativo: T - W = ma Movimiento Circular Uniforme 6 v Goodman & Zavorotniy

7 Nota que en este caso T y ma son positives y sólo W es negativo. T = ma + W T = mv 2 /r + mg T = m (v 2 /r + g) T = (2,0 kg) ((5 m/s) 2 / (0,50 m) + 9,8 m/s 2 ) T = (2,0 kg)( (25 m 2 /s 2 / (0,50 m) + 9,8 m/s 2 ) T = (2,0 kg)( (50 m 2 /s 2 + 9,8 m/s 2 ) T = 120 kg m/s 2 T = 120 N hacia arriba c. Cuando el cordón está horizontal, el peso apunta hacia abajo y la tensión es hacia los lados, hacia el centro del círculo. La aceleración del objeto, debido a su movimiento circular, también es hacia los lados y hacia el centro del círculo, ya que la aceleración de un objeto en movimiento circular uniforme se dirige siempre hacia el centro del círculo. En este caso, el peso no contribuye a mantener el objeto moviéndose en un círculo; servirá para acelerar el objeto. Pero como sólo estamos considerando las fuerzas que causan el movimiento circular, el peso no afectará la Tensión en el cordón. Luego esto se vuelve lo mismo que para el Ejemplo 4, que se muestra arriba. W no tundra ningún rol en mantener el movimiento circular del objeto. T = m(v 2 /r) T = (2.0 kg)((5 m/s) 2 / (0.50 m)) T = (2.0 kg)(25 m 2 /s 2 / (0.50 m)) T = (50 kg m 2 /s 2 / (0.50 m)) T = 100 kg m/s 2 T = 100 N hacia el centro del círculo En el ejemplo 5a, puede verse que habrá una rapidez mínima a la que el objeto puede viajar en un círculo vertical. A esa rapidez mínima, la tensión en el cordón se vuelve cero en la cima del círculo y sólo el peso del objeto provee la fuerza necesaria para mantener su movimiento circular. Si un objeto se mueve más lentamente que a esa velocidad, va a salirse del movimiento circular al caerse hacia el centro del círculo. En el ejemplo 5, la relación que nos da esta rapidez se ve en la ecuación: T = m (v 2 /r g). De esto se deduce que cuando v 2 /r g = 0, la tensión en el cordón será cero. Como la tensión en el cordón no puede ser negativa, ésta es la velocidad más baja posible para el movimiento circular; y la velocidad es independiente de la masa del objeto. Resolver v nos da: v 2 /r g = 0 v 2 /r = g v 2 = gr v = gr Entonces en el ejemplo 5, la menor velocidad posible para que el objeto mantenga su movimiento circular sería: v mín = gr v mín = (9,8 m/s 2 ) (0,5 m) v mín = (4,9 m 2 /s 2 ) v mín = 2,2 m/s Ejemplo 6 Se balancea un balde agua en un círculo vertical de tal manera que el balde queda hacia abajo, con el agua dentro de él, en la cima del círculo. Una persona está haciendo girar el balde en un círculo de radio 0,80 m. a. Cuál es la velocidad mínima que debe mantener el agua para permanecer el balde y no derramarse sobre la persona que está abajo? Movimiento Circular Uniforme 7 v Goodman & Zavorotniy

8 b. Si el agua tiene una masa de 0,25 kg y la velocidad del balde es la misma en la parte inferior y en la parte superior del círculo, qué fuerza normal debe proveer el balde en la parte inferior del círculo? El agua experimenta dos fuerzas cuando recorre su trayectoria circular: su peso abajo y la fuerza normal de la base del balde dirigidos hacia el centro del círculo. La suma de estas dos fuerzas debe ser igual a ma, o mv 2 /r. a. En la cima del círculo, el peso, la fuerza normal y la aceleración apuntan hacia abajo. Entonces, -F N - W = -ma Pero como todos los signos son negativos, podemos multiplicar ambos lados por -1 y hacerlos positivos. F N + W = ma La rapidez mínima será cuando F N = 0. En este punto, el agua parecerá ingrávida en caída libre. W = ma mg = ma a = g v 2 /r = g v 2 = gr v = gr v min = (9,8 m/s 2 )(0,8 m) v min = (7,8 m 2 /s 2 ) v min = 2,8 m/s Nota que la masa del agua no importó, pero sí lo hizo el radio del círculo. b. En la parte inferior del círculo, el balde y la aceleración apuntan hacia arriba, mientras que el peso del agua apunta hacia abajo. Entonces, F N - W = ma Pero como todos los signos son negativos, podemos multiplicar ambos lados por -1 y hacerlos positivos. F N = W + ma Movimiento Circular Uniforme 8 v Goodman & Zavorotniy

9 F N = mg + ma F N = m (g + a) F N = m (g + v 2 /r) Luego usamos la velocidad que calculamos para la parte superior del círculo. F N = (0,25 kg)(9,8 m/s 2 + (2,8 m/s) 2 / (0,8 m)) F N = (0,25 kg)(9,8 m/s 2 + 9,8 m/s 2 ) F N = (0,25 kg)(19,6 m/s 2 ) F N = 4,9 N Nota que esta fuerza normal es del doble de lo que sería si lo que sostiene el agua fuera inmóvil. El peso aparente del agua es del doble en la base y es cero en la cima del círculo. A veces la fuerza que mantiene un objeto en movimiento circular se debe a la fricción. En este caso, hay en realidad tres dimensiones involucradas en la resolución del problema: las dos dimensiones en las cuales el movimiento circular es definido, más la fuerza normal, que es perpendicular al plano del movimiento circular. Veremos que en estos casos la masa del objeto no afecta el resultado. Ejemplo 7 Un auto toma una curva con una rapidez de 20 m/s. En ese momento, la curva puede aproximarse a un círculo de radio 150 m. Cuál es el coeficiente mínimo de fricción estática que va a permitir que el auto complete la curva sin deslizarse fuera del camino? Desde arriba, un gráfico de este problema mostraría el auto viajando por un círculo. Sin embargo, desde esa perspectiva no es posible dibujar un diagrama del cuerpo libre mostrando todas las fuerzas necesarias para resolver este problema. Entonces, también es importante realizar un gráfico desde la perspectiva de alguien que está parado en el camino viendo el auto alejarse. Diagrama del cuerpo libre Vista desde arriba Diagrama del cuerpo libre Vista de perfil dirección radial dirección vertical F ef = ma F N mg = 0 μ ef N = m(v 2 /r) F N = mg μ emg = mv 2 /r μ e = v 2 /gr μ e = (20 m/s) 2 /((9,8 m/s 2 )(150 m)) μ e = 0,27 Nota que la masa del auto no importa. Entonces cuando se está diseñando un camino, no es importante saber la masa de los autos que lo usarán cuando se determina el máximo de la curvatura del camino. Movimiento Circular Uniforme 9 v Goodman & Zavorotniy