Números Racionales. Departamento de Matemáticas. Facultad de Ciencias Exactas. FMM012. Miguel Ángel Muñoz Jara 2016

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1 Números Racionales. FMM012 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas Miguel Ángel Muñoz Jara / 1

2 Actividad Inicial. Grupos de 3 integrantes En base a las lecturas previas responda las siguientes preguntas. 1 Cuál es el conjunto de los números racionales? 2 Como se conforma el conjunto de los números racionales? 3 Como se suman los números racionales? 4 Como se multiplican los números enteros? 5 Qué propiedades satisfacen la adición y multiplicación de números racionales? 6 Existe alguna jerarquización en la operatoria de números racionales? Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 2 / 1

3 Números Racionales El conjunto de los números enteros no permite abordar un conjunto de problemas cotidianos a los cuales uno se ve enfrentado. Por ejemplo si se requiere dividir en cuatro partes iguales una herencia entonces existen dos posibilidades: El monto a dividir es múltiplo de 4, con lo cual el problema está resuelto. El monto a dividir no es múltiplo de 4. En este caso es necesario contar con un nuevo conjunto numérico que permita interpretar la proporción "un cuarto de la herencia". Para resolver el problema anterior y muchos otros se requiere incorporar un nuevo conjunto numérico a nuestra cadena del saber, el conjunto de los números racionales, que es una extensión "natural" del conjunto de los números enteros. Es importante mencionar que la construcción de los números racionales no es contemporánea, de hecho existen registros que demuestran que hace unos años los egipcios expresaban cualquier número racional positivo como la suma de las recíprocas de enteros positivos, como por ejemplo: = Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 3 / 1

4 Números Racionales y representación racional Definición. El conjunto de los números racionales se denota por Q y se define explícitamente por: { } p Q = q con p, q Z, q 0 Es importante mencionar que existen diversas formas de expresar un número racional, las cuales se detallan a continuación: Forma Fraccionaria. Esta forma nos expresa "partes" de algún entero, utilizando para ello un denominador (que indica la cantidad de partes en que dividimos el entero) y un numerador (que indica cuántas de estas partes vamos a considerar) Forma Mixta. Esta forma de representar un número racional se utiliza cuando la fracción es mixta, es decir el denominador de la fracción es menor que el numerador, por ejemplo 9. Para representar una fracción 4 mixta como numero mixto, se divide el numerador por el denominador. Del resultado de esta división consideramos el cuociente como la parte entera y el resto como numerador de la parte fraccionara que la acompaña. Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 4 / 1

5 Representación Racional Forma Decimal. Toda fracción tiene su representación como número decimal. Para obtenerlo es necesario realizar la división entre el numerador por el denominador. Observe que al realizar este proceso, existen 3 posibles casos de decimales: Decimal Finito.En este caso las cifras decimales son finitas. Para pasar este tipo de decimales a fracción es necesario escribir una fracción cuyo numerador, sea el mismo número pero sin coma y cuyo denominador sea una potencia de 10 con tantos ceros como dígitos tiene el número después de la coma. 1.5 = = = Decimales Periódicos. Son aquellos números cuya parte decimal se repite infinitamente sin alterar su orden, por ejemplo 1, = 1, 3. La fracción que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el número escrito sin coma ni linea periódica menos la parte entera, mientras que el denominador es un número de la forma donde la cantidad de 9 la indica el número de decimales del periodo = = = = Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 5 / 1

6 Decimales Semiperiódicos Decimales Semiperiódicos. Son aquellos cuya parte decimal se vuelve periódica a partir de un cierto punto. Por ejemplo: 1, = 1, 34. La fracción que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el número escrito sin coma ni línea periódica, menos la parte no periódica del número, dividido por un número de la forma donde la cantidad de 9 lo indica el número de decimales del periodo y la cantidad de ceros, el número de decimales previos al periodo = = = = Observación. Dados dos números racionales m n, p, es posible afirmar q que representan el mismo número racional si mq = np, es decir m n = p mq = np q 3 7 = 12, ya que 3 28 = 12 7 = Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 6 / 1

7 Propiedades en Q. Antes de definir una operatoria en Q es necesario revisar algunas propiedades del conjunto de los números racionales. 1 En Q es posible destacar los siguientes subconjuntos. Racionales positivos, se denotan por Q + y se expresan de la siguiente manera: { } p Q + = q con p, q Z + p, q Z, q 0 Racionales negativos, se denotan por Q y se expresan de la siguiente manera: { } p Q = q con p, q Z de distinto signo y q 0 2 El conjunto de los números racionales es ordenado, es decir existe una relación de orden denotada por, la cual está definida por: m n k mp kn p Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 7 / 1

8 Operatoria en Q. En Q es posible definir tres operaciones binarias cerradas adición, sustracción y multiplicación. También es posible definir la división de números racionales, teniendo presente que el divisor debe ser distinto de cero. 1 Adición. Considere m n, p q Q se define la adici on entre m n, p q por: m n + p mq + np = q nq (3)(3) + (2)(5) = = = 19 3 (5)(3) Sustracción. Considere m n, p q Q se define la diferencia entre m n, p q por: m n p mq np = q nq (3)(3) (2)(5) = = 9 10 = 1 3 (5)(3) Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 8 / 1

9 Operatoria en Z. 3 Multiplicación. Considere m n, p q Q se define la multiplicación entre m n, p q por: = (3)(2) (5)(7) = 6 35 m n p q = mp pq 4 División. Considere m n, p q Q, donde p q 0 se define la división entre m n, p q por: m n : p q = m n q p 3 5 : 7 3 = = (3)(3) (5)(7) = 9 35 Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 9 / 1

10 Operatoria en Q. Respecto de las operaciones definidas en Q es importante mencionar que: 1 Propiedades de la Adición. Conmutatividad, Asociatividad, existencia de elemento Neutro y existencia de elemento inverso. 2 Propiedades de la Multiplicación. Conmutatividad, Asociatividad, existencia de elemento Neutro y Distributuvidad. Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 10 / 1

11 Taller Colaborativo. (3 Integrantes) 1 Determine el valor exacto en cada caso. a [ ] [ 4 : ]. 3 a [ ] Transforma a decimal cada una de las siguientes fracciones. b b b Transforma a fracción y simplifica cada uno de los siguientes decimales. c c c c c Cuenta la leyenda que cuando preguntaban a Pitágoras por la cantidad de alumnos que asistía a su escuela, contestaba lo siguiente «La mitad estudia sólo matemáticas, la cuarta parte sólo se interesa por la música, una séptima parte asiste pero no participa y además vienen tres mujeres». Cuántos discípulos tenía Pitágoras? 5 Un alumno tiene ocho notas en la ayudantía de Matemáticas I. Lamenta-blemente solo se acuerda de 7 de ellas, pero sabe que su promedio es un 4,7. Cuál es la nota que le falta, si las que recuerda son: 2.0, 6.7, 5.7, 6.6, 3.9, 3.1 y 4.3? Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 11 / 1

12 Taller Colaborativo. (3 Integrantes) 6 Durante una semana, el registro de pacientes de un consultorio establece que el número de horas médicas repartidas por día fue: lunes 338 horas, martes 352 horas, miércoles 300 horas. El día jueves se ocuparon del todas las horas médicas, mientras que el viernes y el sábado se atendieron 260 pacientes cada dìa que equivalen al 13 del total horas disponibles. Calcule el número de horas 18 médicas disponibles para cada dia y el número total de pacientes atendidos durante la semana. 7 Para un trabajo que se hace en tres etapas se dispone de 60 hombres. En la primera etapa se ocupa la cuarta parte de los hombres y en la segunda los del resto. Cuántos hombres trabajan en la tercera etapa? 8 Tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier cronometro 11,3 segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? Javier llegó después de Marcelo. Entre Arturo y Marcelo hay 18 centésimas de segundo de diferencia al llegar a la meta. Arturo llego primero Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 12 / 1

13 Conclusiones y retroalimentación. Miguel Ángel Muñoz Jara 2016 miguel.munoz.j@unab.cl 13 / 1