Clasificación de las figuras y cuerpos geométricos. Triángulos

Transcripción

1 Clasificación de las figuras y cuerpos geométricos Equilátero Según los lados Isósceles Triángulos Escaleno Polígonos Acutángulo Nombre según los lados Según los ángulos Rectángulo Figuras geometrícas 3-Triángulo 4-Cuadrilátero 5-Pentágono 6-Hexágono 7-Heptágono 8-Octógono 9-Eneágono 10-Decágono 11-Endecágono 12-Dodecágono 13-Tridecágono 14-Tetradecágono 15-Pentadecágono De más lados se nombran como polígonos de n lados Se denominan polígonos regulares si tienen todos los ángulos y lados iguales. Cuadriláteros Paralelogramo Obtusángulo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide Isósceles Trapecio Escaleno Rectángulo Trapezoide polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 363

2 Circunferencia Cónicas Parábola Elipse Hipérbola Prismas Poliedros Nombre según las caras 4-Tetraedro 5-Pentaedro 6-Hexaedro 7-Heptaedro 8-Octaedro 9-Eneadero 10-Decaedro 11-Endecaedro 12-Dodecaedro 13-Tridecaedro 14-Tetradecaedro 15-Pentadecaedro Cuerpos Geometrícos De más lados se nombran como poliedro de n lados Según las cualidades de las estructuras que los componen Paralelepipedos Pirámides Tetraedro Hexaedro, Cubo Poliedro regulares Octaedro Dodecaedro Se denominan poliedros regulares si tienen todos los ángulos y lados iguales. Poliedros Icosaedro Cilindro Cuerpos redondos Cono Esfera polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 364

3 POLÍGONOS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón Un polígono es la parte del plano limitada por una línea poligonal cerrada. Los polígonos pueden clasificarse en función de sus: Ángulos Convexo Todo segmento que una dos puntos cualesquiera del polígono es interior al mismo. Todos sus ángulos son menores de 180º. La suma de los ángulos exteriores es 360º Cóncavo Algún segmento que una dos puntos del polígono es exterior al mismo. Algún ángulo es mayor de 180º. Lados Nombre Nº lados Triángulo 3 Cuadrilátero 4 Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono 7 Octógono 8 Eneágono 9 Decágono 10 Los elementos fundamentales de un polígono son: Vértice Punto donde se cortan dos lados. Lado Segmento que une dos vértices consecutivos. Centro Punto interior del polígono que está a la misma distancia de todos sus vértices. En un polígono regular es el centro de las circunferencias circunscritas e inscritas al polígono. Radio Segmento que une el centro del polígono con uno cualquiera de sus vértices. En un polígono regular es el radio de la circunferencia circunscrita. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 365

4 Diagonal Segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono. De cada vértice salen tantas diagonales como lados tenga el polígono menos tres. En general para un polígono convexo de n-lados se verifica Nº diagonales= n.( n 3) 2 Ángulo central Es el que tiene por vértice el centro del polígono y sus lados pasan por dos vértices consecutivos. Su valor en grados resulta de dividir, 360º, entre el número de lados, N. 360º N Ángulo interior El que forman dos lados consecutivos. Si un polígono tiene n-lados, al hacer su triangulación con las diagonales que parten de un vértice se forman, n-2 triángulos. Se deduce entonces que la suma de los ángulos del polígono es igual a la suma de los ángulos de un triángulo por el número de triángulos que se forman, según la expresión Suma de los ángulos interiores de un polígono de, n-lados= 180º.(n-2) El valor del ángulo interior se obtiene restándole a, 180º, el ángulo central de ese polígono. Si el polígono es regular, es decir, si todos sus lados son iguales y sus ángulos también son iguales entre sí, se escribe para el valor del ángulo central. 180º.( n 2) 180º. n 360º 180º. n 360º 360º 180º n n n n n Apotema Segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cada uno de los lados. Si el polígono es regular, la apotema es el radio de la circunferencia inscrita a dicho polígono, o la altura de cada uno de los triángulos que se forman al unir el centro del polígono con cada uno de los vértices del mismo. Perímetro Es la suma de la longitud de todos sus lados. El perímetro se obtiene multiplicando la longitud del lado del polígono por el número de lados del mismo. P= l + l +. + l= n.l l longitud del lado del polígono n número de lados polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 366

5 Los polígonos también se clasifican en: Regular Todos sus lados son iguales y todos sus ángulos son iguales. No todo polígono regular puede construirse con regla y compás. Algunos de los polígonos regulares que pueden construirse de forma exacta son: n= 3 n= 4 n= 5 n= 6 n= 8 n= 10 Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Octógono Decágono equilátero regular regular regular regular n= 15 n= 17 Pentadecágono Heptadecágono regular regular Si un polígono regular de, n, lados es construible, también lo es el regular de, 2n, lados. Basta con trazar la circunferencia circunscrita y trazar la mediatriz de cada lado. Si un polígono de, n, lados es construible, también lo son los polígonos cuyo número de lados sea divisor de, n. Uniendo los vértices correspondientes. Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para polígonos regulares de 3, 4, 5, y, 15, lados y todos los que se deducen de ellos por bisección, 6, 8, 10, 12,... lados. Gauss demostró, que son construibles los polígonos regulares con número de lados n= 2 2 m + 1 esto es, de lados n=3 (m=0), n=5 (m=1), n=17 (m=2), n=257 (m=3), n=65537 (m=4). También demostró la imposibilidad de la construcción de polígonos regulares de, 7, 9, 11, 13,, lados en la que muchos habían fracasado. Existen dos maneras de construir los polígonos regulares: Inscritos en una circunferencia de radio dado. Ésta es la circunferencia circunscrita al polígono, es decir, es la circunferencia exterior al polígono que pasa por todos los vértices del polígono. La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la división de dicha circunferencia en un número partes iguales. Unas veces el trazado polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 367

6 pasa por la obtención de la cuerda correspondiente a cada uno de esos arcos, es decir el lado del polígono, y otras por la obtención del ángulo central del polígono correspondiente. Cuando en una construcción se obtiene el lado del polígono se ha de llevar sucesivamente a lo largo de la circunferencia, sin embargo es aconsejable no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia, sino, que partiendo de un vértice se ha de llevar la mitad de los lados en un sentido dirección y la otra mitad en sentido contrario, con objeto de minimizar los errores de construcción, inherentes al instrumental o al procedimiento. Triángulo, Hexágono, Dodecágono Se trazan dos diámetros perpendiculares entre sí que se cortan en el punto, O. Con centro en el punto, O, y radio dado se traza una circunferencia que corta a estos diámetros en los puntos, A, B, 1, y, 4. Con centro en los puntos, 1, y, 4, respectivamente y el mismo radio que el de la circunferencia dibujada se trazan dos arcos que cortan a la circunferencia en los puntos, 2, 6, 3, y, 5. Con centro en el punto, B, se traza un arco del mismo radio determina sobre la circunferencia el punto, C. Se unen los puntos, 2, 4, y, 6, se obtiene el triángulo inscrito. Se unen los puntos, 1, 2, 3, 4, 5, y, 6, se obtiene el hexágono inscrito. Se unen los puntos, 3, y, C, se obtiene el lado del dodecágono inscrito. Para su construcción solo se ha de llevar este lado, 12 veces, sobre la circunferencia. De los tres polígonos, sólo el dodecágono admite la construcción de estrellados, concretamente del estrellado de, 5. El hexágono admite la construcción de un falso estrellado, formado por dos triángulos girados entre sí, 60º. Cuadrado y Octógono Se trazan dos diámetros perpendiculares entre sí que se cortan en el punto, O. Con centro en el punto, O, y radio dado se traza una circunferencia que corta a estos diámetros en los puntos, 1, 3, 5, y, 7. Se trazan las bisectrices de los cuatro ángulos de, 90º, formados por los diámetros dibujados. Estas bisectrices determinan sobre la circunferencia los puntos, 2, 4, 6, y 8. Se unen los puntos, 1, 3, 5, y, 7, y se obtiene el cuadrado inscrito. Se unen los puntos, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y, 8, y se obtiene el octógono inscrito. El cuadrado no admite estrellados. El octógono sí, concretamente el estrellado de, 3. El octógono también admite la construcción de un falso estrellado, compuesto por dos cuadrados girados entre sí, 45º. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 368

7 Esta construcción permite deducir, la forma de construir un polígono de doble número de lados que uno dado. Solo se han de trazar las bisectrices de los ángulos centrales del polígono dado, y éstas determinan, sobre la circunferencia circunscrita, los vértices necesarios para la construcción. Pentágono y Decágono Se trazan dos diámetros perpendiculares entre sí que se cortan en el punto, O. Con centro en el punto, O, y radio dado se traza una circunferencia que corta a estos diámetros en los puntos, A, B, C, y, 1. Con centro en el punto, A, y el mismo radio que el de la circunferencia dibujada se traza un arco que determina sobre esa circunferencia los puntos, D, y, E. Se unen dichos puntos y se obtiene el punto, F, que es el punto medio del segmento, AO. Con centro en el punto, F, y radio, F1, se traza un arco que determina el punto, G, sobre la diagonal, AB. La longitud del segmento, 1G, coincide con la del lado de pentágono inscrito, mientras que la longitud del segmento, OG, coincide con la del lado del decágono inscrito. Se han de llevar dichos lados, 5, y, 10 veces, respectivamente, a lo largo de la circunferencia para obtener el pentágono inscrito y el decágonos inscrito respectivamente. El pentágono tiene estrellado de, 2. El decágono tiene estrellado de, 3, y un falso estrellado, formado por dos pentágonos estrellados girados entre sí, 36º. Heptágono Se traza un diámetro de la circunferencia, sobre él se marca el centro, O, de la misma y con el radio dado se traza la circunferencia, la cual corta a este diámetro en los puntos, A, y, B. Con centro en el punto, A, y radio, AO, se traza un arco determina sobre la circunferencia los puntos, 1, y, C. Se unen dichos puntos y se obtiene el punto, D, que es el punto medio del segmento, AO. La longitud del segmento, 1D, es la del lado del heptágono inscrito. Se ha de llevar dicho lado, 7 veces, sobre la circunferencia, y se obtiene el heptágono inscrito. El heptágono tiene estrellado de 3 y de 2. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 369

8 Eneágono Se trazan dos diámetros perpendiculares entre sí que se cortan en el punto, O. Con centro en el punto, O, y radio dado se traza una circunferencia que corta a estos diámetros en los puntos, A, B, C, y, 1. Con centro en el punto, A, y radio, AO, se traza un arco que determina sobre la circunferencia el punto, D. Con centro en el punto, B, y radio, BD, se traza un arco de circunferencia que determina el punto, E, sobre la prolongación del diámetro, 1C. Con centro en el punto, E, y radio, EB, ó, EA, se traza un arco de circunferencia que determina el punto, F, sobre el diámetro, C1. La longitud del segmento, 1F, es la del lado del eneágono inscrito en la circunferencia. Se ha de llevar dicho lado, 9 veces, sobre la circunferencia, para obtener el heptágono inscrito. El eneágono tiene estrellado de, 4, y de, 2. También presenta un falso estrellado, formado por, 3, triángulos girados entre sí, 40º. Decágono Se trazan dos diámetros perpendiculares entre sí que se cortan en el punto, O. Con centro en el punto, O, y radio dado se traza una circunferencia que corta a estos diámetros en los puntos, A, B, 1, y, 6. Con centro en el punto, A, y radio, AO, se traza un arco que determina sobre la circunferencia los puntos, C, y, D. Se unen dichos puntos y se obtiene sobre el diámetro, AB, el punto E, que es el punto medio del segmento, AO. Con centro en el punto, E, y radio, EO, se traza una circunferencia. Se traza la recta, 1E, la cual intercepta a la circunferencia anterior en el punto, F. La longitud del segmento, 1F, es la del lado del decágono inscrito. Se ha de llevar dicho lado, 10 veces, sobre la circunferencia, para obtener el decágono inscrito. El decágono como se indicó anteriormente presenta estrellado de, 3, y un falso estrellado, formado por dos pentágonos estrellados, girados entre sí, 36º. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 370

9 Pentadecágono Esta construcción se basa en la obtención del ángulo de, 24º, correspondiente al ángulo interior del pentadecágono. Dicho ángulo se obtiene por diferencia del ángulo de, 60º, ángulo interior del hexágono inscrito, y del ángulo de, 36º, ángulo interior del decágono inscrito. Se trazan dos diámetros perpendiculares entre sí que se cortan en el punto, O. Con centro en el punto, O, y radio dado se traza una circunferencia que corta a estos diámetros en los puntos, A, B, C, y, D. Con centro en el punto, A, y radio, AO, se traza un arco que determina sobre la circunferencia los puntos, E, y, F. Se unen dichos puntos y se obtiene sobre el diámetro, AB, el punto G, que es el punto medio del segmento, AO. Con centro en el punto, G, y radio, GO, se traza una circunferencia. Se traza la recta, CG, la cual intercepta a la circunferencia anterior en el punto, H. Con centro en el punto, C, y radio, CH, se traza un arco determina sobre la circunferencia el punto, 1. Con centro en el punto, C, y radio, CO, se traza un arco determina sobre la circunferencia el punto, 2. El ángulo, CO1, es el ángulo interior del decágono de, 36º, y el ángulo, CO2, es el ángulo interior del hexágono de, 60º. La diferencia de estos ángulos da lugar al ángulo, 1O2, de, 24º, que es el ángulo interior del pentadecágono inscrito, siendo el segmento, 12, la longitud del lado de este polígono. Se ha de llevar dicho lado, 15 veces, sobre la circunferencia, para obtener el pentadecágono inscrito. El pentadecágono presenta estrellado de, 7, 6, 4, y, 2, así como tres falsos estrellados, compuesto por, tres pentágonos convexos, tres pentágonos estrellados, y, 5 triángulos, girados entre sí, en todos los casos, 24º. Procedimiento general Este procedimiento se utilizará solo cuando el polígono buscado no tenga una construcción particular, ni pueda obtenerse como múltiplo de otro, dado que lleva inherente una gran imprecisión. Se traza un diámetro de la circunferencia, sobre él se marca el centro, O, de la misma y con el radio dado se traza la circunferencia, la cual corta a este diámetro en los puntos, A, y, B. Se divide el diámetro, AB, mediante el Teorema de Tales en tantas partes iguales como lados tenga el polígono que se desea trazar, en nuestro caso 11. Con centro en los puntos, A, y, B, respectivamente y radio, AB, se trazan dos arcos que se cortan en los puntos, C, y, D. Uniendo dichos puntos con las divisiones alternadas del diámetro, AB, se obtiene sobre la circunferencia los puntos, P, Q, R,.. etc., vértices del polígono. Igualmente se procede con el punto, D, uniéndolo con los puntos 2, 4, etc., y obteniendo así el resto de los vértices del polígono. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 371

10 Conocida la longitud de sus lados Conocida la circunferencia inscrita al polígono Circunferencia interior al polígono que es tangente a todos sus lados y que tiene su centro en el centro del polígono y por radio la apotema del polígono. De diversas formas se pueden dibujar polígonos regulares que tengan una circunferencia inscrita: Cruzado Conocido el radio de la misma Conocido el lado del polígono Dos o más lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados son el caso más interesante. Si se unen todos los vértices del polígono regular de forma consecutiva dando una sola vuelta a la circunferencia, el polígono obtenido se denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza, de forma que éstos no sean consecutivos y el polígono cierra después de dar varias vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado. Se denomina falso estrellado aquel que resulta de construir varios polígonos convexos o estrellados iguales, girados un mismo ángulo. Es el caso del falso estrellado del hexágono, compuesto por dos triángulos girados entre sí, 60º. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 372

11 Representación del polígono estrellado, 8/3, octógono estrellado y de dos cuadrados girado uno respecto al otro, 45º. Octógono estrellado 8/3 Estrella formada por dos cuadrados Un polígono estrellado, N/M, se construye a partir del polígono regular de, N, vértices uniéndolos de, M, en, M, es decir, M, es el salto entre los vértices. Octógono estrellado uniendo los vértices del octógono regular de tres en tres. N/M, ha de ser una fracción irreducible, de lo contrario no se genera el polígono estrellado que indica dicha fracción. N/M, es el mismo polígono que, N/(N-M), ya que el polígono que se obtiene uniendo vértices en un sentido y en el contrario es el mismo. Éste es un comportamiento similar al de los números combinatorios. Para encontrar todos los polígonos regulares estrellados que se generan de un polígono regular de, N lados, basta con considerar, M, entero entre, 2, y, (N/2), con la condición de que la fracción que le denota sea irreducible. Para averiguar si un polígono tiene construcción de estrellados, y como unir los vértices, se buscan los números enteros, menores que la mitad del número de lados del polígono, y de ellos los que sean primos respeto a dicho número de lados. Para el octógono, 8 lados, los números menores que la mitad de sus lados son el, 3, el, 2, y el, 1, y de ellos, primos respecto al, 8, solo es el, 3, por lo tanto se puede afirmar que el octógono tiene un único estrellado, que se obtiene uniendo los vértices de, 3, en, 3. Imagen de los polígonos estrellados que se generan de los primeros polígonos regulares: Es fácil ver que no se genera ningún polígono estrellado a partir del triangulo equilátero. 3/1 = 3 numero entero...no polígono estrellado. 3/2=3/1 Tampoco el cuadrado genera polígonos estrellados regulares. 4/1 entero. 4/2 entero. Polígono regular 5/2. Es claro que no puede haber más. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 373

12 El hexágono regular no genera polígonos estrellados. 6/1 polígono convexo. 6/2 entero. 6/3 entero. El heptágono regular genera dos estrellados, 7/2 y 7/3 8/3 es el único estrellado que se genera partiendo del octógono regular. El eneágono genera dos estrellados, 9/2 y 9/4 No hay más, ya que 10/4 = 5/2 11/2 11/3 11/4 11/5 Irregular No todos sus lados son iguales o no todos sus ángulos son iguales. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 374

13 Las áreas de los polígonos fundamentales son: AREAS NOMBRE DEFINICION Triángulo Es la porción de plano limitada por tres segmentos de recta. h=altura b=base Paralelogramo Cuadriláteros que tienen sus lados opuestos iguales y paralelos. h=altura b=base Cuadrado Cuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos iguales. l=lado d=diagonal Rombo Cuadrilátero cuyas dos diagonales se cruzan en ángulo de 90º d=diagonal mayor d'=diagonal menor Trapecio Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no. b=base mayor b'=base menor h=altura Polígono regular Es la porción de plano limitada por segmentos de recta, es regular si todos sus lados y ángulos son iguales. a=apotema l=lado n=número de lados Polígono irregular Polígono que no tiene todos sus lados o ángulos iguales Círculo Es la porción de plano limitada por la circunferencia. polígonos y cuerpos geométricos FIGURA TERMINOS r=radio Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia FORMULA A=b.h A=.r² 375

14 Triángulo Polígono de tres lados. Es el polígono de menor número de lados. La importancia de este polígono se basa en la gran cantidad de construcciones que se pueden plantear, puesto que esta figura sirve de base para la construcción de otras más complejas, tanto planas como espaciales. Si se construye un polígono de más lados, con tiras de cartón y alfileres, se obtienen estructuras que se deforman presionando. Si se realiza esta operación con un triángulo, no se consigue modificarlo. Es la rigidez del triángulo lo que hace que sea utilizado en multitud de estructuras de construcción. Los motivos que impulsaron el desarrollo de la Geometría fue la necesidad de medir la tierra. La palabra geometría procede del griego: Geo, que significa tierra y metron que significa medida. En el antiguo Egipto, cuando sucedían las crecidas veraniegas del Nilo, las lindes de los terrenos se borraban y era necesario redefinir la separación entre terrenos. Un instrumento de medida, que utilizaban los agrimensores egipcios, eran unas cuerdas anudadas convenientemente, de tal forma que les fuera fácil la construcción de los ángulos rectos que formaban las parcelas. Construcción de un ángulo recto y un triángulo equilátero con una cuerda de, 12 nudos. El triángulo se define como la porción de plano delimitada por tres rectas que se cortan dos a dos o como la porción común de tres semiplanos pertenecientes a un mismo plano. La nomenclatura que se sigue en la descripción de un triángulo es: Los vértices se designan mediante letras mayúsculas, y los ángulos correspondientes, mediante la misma letra mayúscula, pero con acento circunflejo, o un pequeño ángulo sobre la letra. Los lados se designan mediante la misma letra del vértice opuesto, pero en minúscula. El orden de las letras será el inverso a las agujas del reloj, y cuando se trate de triángulos rectángulos, la hipotenusa se designará con la letra, a. Los triángulos se clasifican atendiendo a sus: Lados Equilátero Tiene los tres lados iguales y los tres ángulos iguales. Isósceles Tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 376

15 Escaleno Tiene los tres lados y los tres ángulos desiguales. Ángulos internos Rectángulo Uno de sus ángulos es recto, 90º En un triángulo rectángulo se verifican los siguientes teoremas: Teorema de Pitágoras La suma de los cuadrados de la longitud de sus catetos es igual al cuadrado de la longitud de su hipotenusa. a 2 = b 2 +c 2 Teorema de la altura El cuadrado de la longitud de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. h 2 = m.n Teorema del cateto El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud de la proyección del cateto sobre la misma. c 2 = n.a b 2 = m.a Acutángolo Sus tres ángulos son agudos, es decir son menores de, 90º. Obtusángulo Uno de sus ángulos es obtuso, es decir mayor de, 90º, y los otros dos son agudos. Los triángulos tienen las siguientes propiedades: Los ángulos interiores de un triángulo, siempre suman 180º Como consecuencia de esta propiedad, se cumple que: Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso o recto. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 377

16 En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos suman 90º. Un ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes. En todo triángulo hay al menos dos ángulos agudos. Cualquier lado de un triángulo, es menor que la suma de los otros dos, y mayor que su diferencia. En un triángulo cualquiera, si c es el lado más grande, entonces se verifica: En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos. Si los tres lados de un triángulo son iguales, y por consiguiente sus ángulos, el triángulo es regular, y se denomina equilátero. La superficie de un triángulo viene dada por la la expresión base. altura b. h S 2 2 Los triángulos poseen los siguientes elementos notables: Mediatrices. Circuncentro La mediatriz de un lado de un triángulo es la recta perpendicular a dicho lado que pasa por su punto medio equidistando sus puntos de los extremos de dicho lado. Para dibujar la mediatriz, se trazan, con igual radio, dos arcos con centros respectivamente en cada extremo del lado. La recta que une los dos puntos en los que se cortan dichos arcos es la mediatriz del segmento. Si se trazan las mediatrices de los tres lados de un triángulo, éstas se cortan en un punto, que se denomina circuncentro, Oc, y que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. El circuncentro tiene las propiedades: Es un punto equidistante de los vértices del triángulo. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 378

17 En un triángulo rectángulo el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ó circunferencia que pasa por todos los vértices del triángulo. Bisectrices. Incentro La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice de dicho ángulo, divide a éste en dos partes iguales. Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del triángulo que determinan dicho ángulo. Para dibujar la bisectriz de un ángulo, se traza con centro en el vértice del ángulo, O, un arco que corte a los lados del ángulo en los puntos, A, y, B. Se traza dos arcos con centros respectivamente en los puntos, A, y, B, y con un radio mayor que la mitad de la distancia existente entre ambos puntos. El punto donde se cortan estos arcos se unen con el vértice, O, del ángulo quedando dibujada la bisectriz. Si se trazan las bisectrices de los tres ángulos internos de un triángulo, éstas se cortan en un punto, que se denomina incentro, Oi, y que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. El incentro tiene las propiedades: Es un punto equidistante de los lados del triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo ó circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo. Si se trazan las bisectrices de los ángulos formados por un lado y la prolongación de los otros dos, ambas bisectrices se cortan en un punto, por el que también pasa la bisectriz del ángulo interno, opuesto al lado elegido, dicho punto se denomina exicentro, Oe, y resulta ser el centro de una circunferencia tangente exterior al triángulo. Según la pareja de lados del triángulo que se prolonguen, se obtienen hasta tres Exicentros. Mediana. Baricentro La mediana de un lado de un triángulo es la recta que une el punto medio de dicho lado con el vértice opuesto al mismo. Si se trazan las medianas de un triángulo, éstas se cortan en un punto, que se denomina baricentro, Ob El baricentro tiene las propiedades: Es el centro geométrico o de gravedad del triángulo. En cada mediana dista, 2/3, del vértice y, 1/3, del punto medio del lado opuesto correspondiente. Es decir, está a una distancia de cada vértice doble de la que está al lado opuesto de dicho vértice. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 379

18 Si por los pies de las medianas, se trazan rectas paralelas a las otras dos medianas, se obtiene dibujado un hexágono. Dicho hexágono está compuesto por seis triángulos, cuyos lados son, 1/3, de cada mediana. Alturas. Ortocentro La altura a un lado del triángulo es la recta perpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto al mismo. La altura divide al triángulo en dos triángulos rectángulos. Si se trazan las alturas de un triángulo, éstas se cortan en un punto, que se denomina ortocentro, Oo. El ortocentro tiene las propiedades: En los triángulos acutángulos está situado en el interior del triángulo. En los triángulos obtusángulos está situado en el exterior del triángulo. El triángulo que resulta al unir las tres bases de las alturas, Ha, Hb, Hc, se denomina triángulo órtico, siendo el ortocentro, Oo, del triángulo el incentro de dicho triángulo órtico. Triángulo circunscrito del lado Es el triángulo que se obtiene si por cada unos de los vértices de un triángulo se trazan rectas paralelas al lado opuesto. Ambos triángulos son semejantes, y el ortocentro, Oo, del triángulo dado es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo circunscrito. Segmento y Circunferencia de Euler En cualquier triángulo, el circuncentro, el ortocentro y el baricentro están alineados constituyendo la recta de Euler. El segmento que definen se denomina Segmento de Euler. El centro del Segmento de Euler, es el centro, Oe, de la circunferencia de Euler. La circunferencia de Euler tiene la propiedad de pasar por nueve puntos: Los, 3 pies, de las alturas Los, 3 pies, de las mediatrices de los lados Los, 3 puntos medios, de los segmentos A-Oo, B-Oo y C-Oo polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 380

19 Rectas de Simpson Son las rectas que unen los pies de las perpendiculares trazadas desde un punto de la circunferencia circunscrita, a los tres lados del triángulo o sus prolongaciones. Circunferencia de Taylor Es la circunferencia que pasa por los pies de las perpendiculares trazadas desde los pies de las alturas a los lados del triángulo. Y es una circunferencia de Tucker. Triángulos de Napoleón Dado un triángulo cualquiera ABC, si se trazan los triángulos equiláteros exteriores, cuyas bases sean los lados de dicho triángulo, los centros de esos tres triángulos, 1, 2, 3, son los vértices del triángulo de Napoleón exterior. Si sobre ese mismo triángulo se trazan los triángulos equiláteros interiores, cuyas bases sean los lados de dicho triángulo, los centros de esos tres triángulos, 1', 2', 3', son los vértices del triángulo de Napoleón interior. Los dos triángulos de Napoleón son triángulos equiláteros, y se cumple que la diferencia entre sus áreas, es igual al área del triángulo base ABC. Cuadriláteros Los cuadriláteros son los polígonos que tienen cuatro lados. Se clasifican en: Paralelogramos Son cuadriláteros que tienen los cuatro lados paralelos dos a dos. Los paralelogramos se clasifican en: Cuadrado Tiene los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos. Su área viene dada por la expresión S= lado x lado= l.l= l 2 Dado que al trazar su diagonal el cuadrado queda dividido en dos triángulos rectángulos, por el teorema de Pitágoras se puede relacionar la longitud de la diagonal del cuadrado, d, con la longitud de su lado, l. d 2 = l 2 + l 2 = 2.l 2 resultado que permite escribir para el área del cuadrado la expresión S 2 l d 2 2 polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 381

20 Rectángulo Tiene los lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos. Su área viene dada por la expresión h S= base x altura= b.h b Rombo Tiene los cuatro lados iguales y los ángulos iguales dos a dos. Su área es la mitad del área de un rectángulo cuya base es, d, y altura, D. Diagonal. diagonal D. d S 2 2 Romboide Tiene los lados iguales dos a dos y los ángulos iguales dos a dos. Su área es igual a la de un rectángulo de base, b, y altura, h. S= base x altura= b.h Los paralelogramos tienen las siguientes propiedades: Cada diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos iguales. Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales y los ángulos contiguos son suplementarios, es decir suman, 180º Las diagonales de un paralelogramo se cortan en el punto medio de ambas. Los ejes de simetría de un paralelogramo, de tenerlas, son sus diagonales o las paralelas medias, rectas que unen los puntos medios de dos lados paralelos. Cuadrado Sus diagonales son iguales y perpendiculares. Tiene cuatro ejes de simetría, sus diagonales y sus paralelas medias. Rectángulo Sus diagonales son iguales y no perpendiculares. Tiene dos ejes de simetría que son sus paralelas medias. Rombo Sus diagonales son perpendiculares. Tiene dos ejes de simetría que son sus diagonales. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 382

21 Trapecio Romboide Sus diagonales son desiguales y no perpendiculares. No tiene ejes de simetría. Son cuadriláteros que sólo tienen dos lados paralelos que constituyen la base mayor y la base menor respectivamente del trapecio. Los trapecios pueden ser: Isósceles Los lados laterales tienen la misma longitud, los ángulos que forman con la base mayor son iguales y acutángulos y los ángulos que forman con la base menor son iguales y obtusángulos. Rectángulo Los lados laterales son distintos pero uno de ellos es perpendicular a las dos bases del trapecio. Escaleno Los lados laterales son distintos y ninguno de ellos es perpendicular a las bases del trapecio. El área de un trapecio viene dada por la expresión Base base B b S. altura. h 2 2 Si se unen dos trapecios iguales de bases, B, y b, y altura, h, con sus bases invertidas se obtiene un romboide de base, (B+b), y altura, h, cuya área dividida por 2 es idéntica al área del trapecio. Trapezoide Son cuadriláteros que no tienen lados paralelos Circunferencia La circunferencia es una línea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. Sus elementos principales son: polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 383

22 Centro Punto interior a la circunferencia que está a la misma distancia de todos sus puntos. Diámetro Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. Divide a la circunferencia en dos semicircunferencias. Radio Mitad del diámetro. Longitud del segmento que une el centro de la circunferencia con cualquiera de los puntos de la misma. Cuerda Segmento que une dos puntos de la circunferencia sin pasar por el centro de la misma. Arco Trozo de circunferencia delimitado por una cuerda. Ángulo central Ángulo cuyos lados son dos radios de la circunferencia. De la circunferencia se obtienen diferentes figuras que tienen las siguientes longitudes y superficies: Longitud de la circunferencia Área del círculo Longitud del arco de circunferencia Área del arco de circunferencia Ambas magnitudes son proporcionales al ángulo que determinan los dos radios nº l 2 r. 360º 2 nº b. h A r. 360º 2 h b Área de la corona circular Se halla por la diferencia de las áreas de los dos círculos concéntricos A=.R 2.-.r 2.=.(R 2 -.r 2 ) polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 384

23 Área del trapecio circular Se halla por diferencia de las áreas de los dos sectores R. nº r. nº. nº.( R r ) A 360º 360º 360º Otra expresión en función de la longitud de los arcos de las circunferencias interior y exterior es análoga a la del área de un trapecio, teniendo en cuenta que ahora las bases son los arcos de circunferencia y que la altura del mismo es la diferencia entre los radios de ambas circunferencias. nº nº 2 R. 2 r. B b. 360º 360º n R r n R r A h.( R r).( R r) º 360º º.( ). º.( ) Se puede considerar la circunferencia como una cónica, lo que daría lugar a más conceptos teóricos de los aquí expuestos. Se denomina ángulo diedro a la región del espacio comprendida entre dos semiplanos que tienen en común una recta. El ángulo del diedro es coincidente con el ángulo formado por dos semirrectas concurrentes perpendiculares a la arista del diedro, perteneciente cada una de ellas a una cara del diedro. Dos planos que se cortan, dividen el espacio en cuatro regiones. Cada una de ellas se llama ángulo diedro o simplemente diedro. Se define: Caras del diedro Son los semiplanos que lo forman. Arista del diedro Es la recta común a las dos caras. Los ángulos diedros pueden ser: Cóncavo Cuando es un ángulo mayor de 180º. Convexo Cuando es un ángulo menor de 180º. Un ángulo poliedro está formado por tres o más semiplanos que se cortan mediante rectas concurrentes en un punto común llamado vértice. Según el número de caras que formen el ángulo poliedro, éstos reciben un nombre diferente: Triedro, si son tres planos. Tetraedro, si son cuatro planos polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 385

24 Pentaedro, si son cinco planos. Una recta es perpendicular a un plano si lo es a dos rectas cualesquiera del plano que pase por su pie. Un Poliedro es la región del espacio determinada por polígonos. Son sólidos limitados por caras planas en forma de polígonos En todo poliedro se distinguen: Caras Son los polígonos que determinan el poliedro. Las caras del poliedro constituyen la superficie del mismo. Las caras de un poliedro pueden ser: Bases Son dos polígonos iguales situados en planos paralelos. Caras laterales Son paralelogramos Aristas Son los lados de las caras. Cada dos caras contiguas determinan una arista. Las aristas de un poliedro pueden ser: Básicas Son los lados de los polígonos de las bases. Laterales Son los lados de las caras laterales que no son aristas básicas. Vértices Son los puntos donde concurren tres o más caras. Se llama orden o valencia de un vértice al número de caras que concurren en ese vértice. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 386

25 Diagonal de una cara Diagonal Plano diagonal Los poliedros pueden ser: Cóncavos Son los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar. Convexos Son los poliedros que se pueden apoyar sobre cualquiera de sus caras. Las aristas que tiene un poliedro convexo vienen dadas por la expresión: Aristas= caras. lados polígono 2 Regular Sus caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice concurren el mismo número de aristas o caras, o dicho de otra forma sus vértices son del mismo orden. Los poliedros regulares son especialmente importantes por sus propiedades, belleza y presencia en la vida real. Eran conocidos por Euclides, 330 a.c., y son cinco sólidos que estuvieron acompañados de cierto misticismo. Se asociaban con los cuatro elementos supuestos y con el Universo y reciben el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón, siglo IV a. de C, que los cita en el Timeo: Tetraedro Formado por tres triángulos equiláteros. Es el que tiene menor volumen de los cinco en comparación con su superficie. Representa el fuego, pues el fuego tiene la forma de tetraedro, y es el elemento más pequeño, ligero, móvil, y, agudo. Está formado por, 4 caras, 6 aristas y 4 vértices. Cubo Formado por seis cuadrados. Permanece estable sobre su base y es el más sólido de los cinco. Por eso representa la tierra. Está formado por, 6 caras, 12 aristas y 8 vértices. Octaedro Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira libremente cuando se sujeta por vértices opuestos. Por ello, representa al aire en movimiento. Está formado por, 8 caras, 12 aristas y 6 vértices. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 387

26 Dodecaedro Formado por doce pentágonos regulares. Corresponde al Universo, pues sus doce caras pueden albergar los doce signos del Zodiaco. Tiene, 12 caras, 30 aristas y 20 vértices. Isocaedro Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el tiene mayor volumen en relación con su superficie y representa al agua, pues es el más móvil y fluido de los elementos, siendo el isocaedro el sólido más cercano a la esfera y el que tiene mayor facilidad para rodar. Tiene, 20 caras, 30 aristas y 12 vértices. A finales del siglo XVI, Kepler imaginó una relación entre los cinco poliedros regulares y las órbitas de los planetas del sistema solar entonces conocidos, Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. Según él cada planeta se movía en una esfera separada de la contigua por un sólido platónico. La suma de los ángulos poliedros generados por polígonos regulares que concurren en un vértice han de sumar menos que cuatro ángulos rectos, <360º. Para determinar cuántos polígonos regulares pueden concurrir en un vértice de un poliedro regular se sigue n.( l 2) º l l número de lados del polígono regular n número de polígonos concurrentes La siguiente tabla indica el número de poliedros regulares que se pueden construir con el mismo número de polígonos regulares: n l n.(l 2).180º < 360º Poliedro l Vértices de un poliedro regular Tetraedro Octaedro V= nº caras. vértices de cada cara Isocaedro nº caras que conforman el vértice No se puede construir Cubo No se puede construir Dodecaedro No se puede construir polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 388

27 Irregular Sus caras no son todas iguales, ni en sus vértices concurren el mismo número de caras. Se pueden construir poliedros irregulares con más de un tipo de polígono regular, y reciben el nombre de sólidos arquimedianos. Son poliedros convexos obteniéndose la mayoría de ellos truncando los sólidos platónicos. Existe un número infinito de ellos: Tetraedro truncado 4 hexágonos regulares y 4 equiláteros. triángulos Caras, 8. 4 hexágonos regulares y 4 triángulos equiláteros. Aristas, 18 Vértices, Cubo truncado 6 octógonos regulares y 8 triángulos equiláteros. Caras, octógonos regulares y 8 triángulos equiláteros. Aristas, 36 Vértices, Cuboctaedro: 6 cuadrados y 8 triángulos equiláteros. Caras, cuadrados y 8 triángulos equiláteros. Aristas, 24 Vértices, Rombicuboctaedro menor 18 cuadrados y 8 triángulos equiláteros. Caras, cuadrados y 8 triángulos equiláteros. Aristas, 48 Vértices, Octaedro truncado 8 hexágonos regulares y 6 cuadrados. Caras, hexágonos regulares y 6 triángulos equiláteros. Aristas, 36 Vértices, Cubo redondeado ó romo 6 cuadrado y 32 triángulos equiláteros. Caras, cuadrados y 32 triángulos equiláteros. Aristas, 60 Vértices, polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 389

28 Rombicuboctaedro mayor 4 octógonos regulares, 10 hexágonos regulares y 12 cuadrados. Caras, hexágonos regulares, 6 octógonos regulares y 12 cuadrados. Aristas, 72 Vértices, Icosidodecaedro 12 pentágonos regulares y 20 triángulos equiláteros. Caras, pentágonos regulares y 12 triángulos equiláteros. Aristas, 60 Vértices, Dodecaedro truncado 12 decágonos regulares y 20 triángulos equiláteros. Caras, decágonos regulares y 20 triángulos equiláteros. Aristas, 90 Vértices, Icosaedro truncado 20 hexágonos regulares y 12 pentágonos regulares. Caras, pentágonos regulares y 20 hexágonos regulares. Aristas, 90 Vértices, Rombicosidodecaedro menor 12 pentágonos regulares, 30 cuadrado y 20 triángulos equiláteros Caras, cuadrados, 12 pentágonos regulares y 20 triángulos equiláteros. Aristas, 120 Vértices, Dodecaedro redondeado ó romo 12 pentágonos regulares y 80 triángulos. Caras, pentágonos regulares y 40 triángulos equiláteros. Aristas, 150 Vértices, polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 390

29 Rombicodidodecaedro mayor ó Icosidodecaedro truncado 12 decágonos regulares, 20 hexágonos regulares y 30 cuadrados. Caras, decágonos regulares, 20 hexágonos regulares y 30 cuadrados. Aristas, 180 Vértices, Para hallar el área lateral de los poliedros irregulares se calcula separadamente el área de cada una de las caras y después se suman todas ellas. Antiprismas Sus caras laterales son triángulos equiláteros y sus bases, también dos polígonos regulares paralelos, pero están girados, de forma que cada vértice de una se proyecta al punto medio de cada lado de la otra. Poliedros estrellados Johann Kepler, , estudió los poliedros estrellados, obtenidos a partir del pentagrama de los pitagóricos. La diferencia principal de estos poliedros estrellados con el resto es que son cóncavos, sus caras son todas polígonos regulares y en todos sus vértices tiene el mismo número de caras. Hay cuatro, dos de puntas estrelladas con pirámides pentagonales y otros dos de puntas estrelladas con pirámides triangulares. Kepler los llamó: Sólidos de Kepler-Poinsot Nombre Imagen Caras Aristas Vértices Simetría K 1 Pequeño dodecaedro estrellado pg /2 5 I h K 2 Gran dodecaedro estrellado pg /2 3 I h K 3 Gran icosaedro te /2 I h K 4 Gran dodecaedro pr /2 I h polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 391

30 Conjugados Son aquellos poliedros en que el número de caras de uno es igual al número de vértices del otro y viceversa. Según el teorema de Euler ambos deben tener, el mismo número de aristas. En los poliedros conjugados los centros de las caras de un poliedro regular son los vértices de un poliedro conjugado al primero. Son poliedros conjugados: Octaedro - Hexaedro Isocaedro - Dodecaedro Cubo - Octaedro Tetraedro - Tetraedro En los poliedros se cumple la relación dada por Euler: c aras + v értces = a ristas + 2 Los poliedros tienen un área y un volumen. El área total de un poliedro regular está constituida por la suma de todas las áreas de cada una de sus caras. Como las caras de los poliedros regulares son polígonos regulares e iguales, para hallar su área total, basta hallar el área de una de sus caras y multiplicarla después por el número de ellas. Dado que todos los vértices de un poliedro regular equidistan de un punto interior llamado centro, haciendo pasar planos por este punto y por todas las aristas, el poliedro queda descompuesto en tantas pirámides iguales como caras tiene. De esta forma para obtener el volumen de un poliedro regular será suficiente calcular el volumen de una de estas pirámides y multiplicar por el número de caras del poliedro. El volumen de una pirámide es polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 392

31 B ap el área de la base apotema, o distancia desde el centro del poliedro al centro de la cara Si el número de caras del poliedro regular es, N, entonces el volumen del poliedro regular es pero es el área total del poliedro, en consecuencia El volumen de un poliedro regular es la tercera parte del producto de su área por la apotema. Nombre Área de una cara Área total Apotema Volumen Tetraedro Octaedro Icosaedro Hexaedro Dodecaedro polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 393

32 El volumen de los poliedros fundamentales y el área del polígono regular que lo define en función de la longitud de la arista de éste vienen dados en la siguiente tabla: Desarrollo geométrico de algunos de los poliedros. Prisma Un prisma es un poliedro limitado por dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y tantos paralelogramos o caras laterales como lados tenga la base. Las características principales que definen a un prisma son: Tienen dos caras paralelas Estas caras están constituidas por polígonos y se llaman bases. Las caras restantes son paralelogramos Estas paralelogramos constituyen las caras laterales Altura del prisma Es la distancia entre sus bases. Es la longitud del segmento perpendicular a las bases comprendido entre ellas. Apotema Segmento que une el centro de la base con el punto medio de un lado Radio Segmento que une el centro de la base con un vértice de ella. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 394

33 Los prismas se nombran atendiendo al polígono que constituye su base Los prismas se pueden clasificar en función de: El ángulo que forman sus aristas laterales con las bases Recto Todas las caras laterales son rectángulos. Su altura es igual a las aristas laterales, las cuales son perpendiculares a las aristas básicas. Oblicuo Algunas de las caras laterales no es un rectángulo. Las aristas laterales no son perpendiculares a las aristas básicas. El tipo de polígono que constituye sus bases Regular Si los polígonos que forman las bases son regulares. Irregular Si los polígonos que forman las bases son irregulares. El número de lados que tiene la base Triangular Si la base del prisma es un triángulo. Cuadrangular Si la base del prisma es un cuadrilátero. Paralelepípedos Prisma cuyas bases están constituidas por paralelogramos como las caras laterales. Son prismas que no se pueden diferenciar por las bases, ya que todas las caras pueden serlo. Según el tipo de paralelogramo que forme la base, los paralelepípedos se clasifican en: Ortoedro Paralepípedo cuyas caras son rectángulos, siendo sus caras opuestas iguales. El área de un ortoedro es igual a la suma de las áreas de sus caras. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 395

34 Cubo A t = 2a.b + 2a.c + 2b.c Paralepípedo cuyas caras son cuadrados. El área de un cubo es igual a la suma de las áreas de sus caras. A t = 2a.a + 2a.a + 2a.a= 6a.a= 6a 2 Romboedro Es un paralelepípedo recto cuyas bases son rombos. Romboidedro Todas sus caras son romboides. El volumen de un paralepípedo viene dado por la expresión Pentagonal V= A Base. altura= A B.h Si la base del prisma es un pentágono. y así sucesivamente. En un prisma regular se determina su área y su volumen: Área total El área total del prisma regular es la suma de su área lateral con las áreas de los polígonos regulares que forman las bases. A t = A l + 2A B Área lateral Es la suma del área de todos los rectángulos que constituyen las caras laterales del prisma A l = AB.AA + BC.AA + CD.AA + DE.AA + EF.AA + FA.AA = (AB+BC+CD+DE+EF+FA).AA = AA.AA = p.h p perímetro del polígono que forma la base h altura del prisma Área de las bases Es el área de los polígonos regulares que forman las bases Volumen El volumen de un prisma viene dado por la expresión V= A Base. altura= A B.h polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 396

35 Todos los prismas que tienen la misma base y altura tienen el mismo volumen. El desarrollo de un prisma se realiza recortando sus bases y posteriormente cortando a lo largo de una arista. Pirámide Sus características principales son: Tienen una cara que es un polígono y se llama base Las caras restantes son triángulos que concurren en un vértice y se llaman caras laterales El vértice es la cúspide de la pirámide. Se llama altura de la pirámide a la distancia desde su vértice hasta la base. Es la longitud del segmento perpendicular trazado desde el vértice hasta la base de la pirámide. Las pirámides se clasifican atendiendo al: Número de lados del polígono que constituye su base Dependiendo de como sea este polígono a su vez las pirámides se clasifican en: Regular Irregular polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 397

36 Recta Sus caras laterales son triángulos isósceles. Si la base es un polígono regular la pirámide se llama regular. Oblicua Alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles. Si además la base no es un polígono regular la pirámide se llama irregular. En una pirámide se distinguen las siguientes áreas: Área lateral Las caras de la pirámide forman su superficie lateral. El área lateral es la suma de las áreas de los triángulos de sus caras. 1 n. l. A p. A Al n.. l. A n número de lados de la base de la pirámide l longitud del lado de la base de la pirámide p perímetro de la base de la pirámide A apotema de la pirámide o altura de cualquiera de los triángulos que constituyen las caras de la pirámide. Área de la base Es el área del polígono que constituye la base de la pirámide. Área total El área total de la pirámide es la suma de su área lateral y el área de su base A t = A l + A B El volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma o un cilindro que tenga la misma base y altura que ella Vpirámide Vprisma ABase. altura AB. h polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 398

37 Un tronco de pirámide es la parte de la pirámide comprendida entre la base de la misma y la sección determinada por un plano paralelo a la base que corte a la pirámide. Esta sección constituye la base pequeña del tronco de pirámide. La altura del tronco de pirámide es la distancia entre las dos bases del mismo. Pirámide deficiente es la parte de la pirámide determinada por la base pequeña y el vértice de la pirámide original. En un tronco de pirámide se distinguen las áreas Área lateral Es la suma de las área de los trapecios que constituyen sus caras. El área lateral de un tronco de pirámide es igual a la suma de las áreas de los trapecios de sus caras. Para un tronco piramidal de n-lados se tiene: Al n..( l1 l2). A.( n. l1 n. l2). A.( P p). A l 1 l 2 longitud del lado del polígono de la base inferior de n-lados longitud del lado del polígono de la base superior de n-lados P= n.l 1 perímetro del polígono de la base inferior p= n.l 2 perímetro del polígono de la base superior A apotema de la cara del tronco de pirámide. Distancia entre los puntos medios de los lados de los polígonos que constituyen las bases de los trapecios de las caras del tronco de pirámide Área de las bases Es la suma de las áreas de los polígonos que constituyen la base superior y la base inferior del tronco de pirámide. Área total Es la suma de las áreas lateral y del área de las bases. A T = A l + A B + A b A B1 = A B A B2 = A b El volumen del tronco de pirámide se obtiene haciendo la diferencia entre el volumen de la pirámide completa y el volumen de la pirámide deficiente. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 399

38 AB. h 1 1 AB. h V V1 V2. h. A A A. A teniendo en cuenta las relaciones B1 B2 B1 B2 A B1 = A B A B2 = A b se escribe V= 1. h. A. B A 1 B A 2 B A 1 B2 Cono 3 Cuerpo geométrico determinado por un triángulo rectángulo que gira sobre uno de sus catetos. El lado, AB, del triángulo rectángulo genera el círculo de ese mismo radio que es la base del cono. La hipotenusa, AC, del triángulo rectángulo es la generatriz, g, del cono. La altura del cono es la distancia entre la base y el vértice del mismo, y su valor es la longitud del cateto, CB, del triángulo rectángulo que genera el cono. La superficie curva que engendra la hipotenusa, AC, del triángulo rectángulo es la superficie lateral. La superficie lateral coincide con la huella que deja el cono al rodar una vuelta completa. Esta huella se corresponde con un sector circular que tiene: Una longitud de arco igual a la longitud de la circunferencia de la base del cono, 2 r. El radio del sector es igual a la generatriz, g, del cono. En un cono se distinguen las siguientes áreas: Área total Es la suma del área lateral y del área de la base. A T = A l + A B =.r.g +.r 2 Área lateral Si en una pirámide el número de caras creciera indefinidamente, ésta se convertiría en un cono. Teniendo en cuenta esto se tiene para el área lateral del cono polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 400

39 A l = 1 2 perímetro. apotema= 1 2..r.g=.r.g 2 También puede considerarse que el área lateral está formada por un triángulo curvilíneo de altura, g, y base, 2..r. El área de este triángulo es el área lateral A l = base. altura 2. r. g. r. g 2 2 Área de la base Es el área del círculo que constituye su base A B =.r 2 El volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un prisma o un cilindro que tenga la misma base y altura que él Vcono Vcilindro ABase. altura AB. h. r. h Un tronco de cono está generado por un trapecio rectángulo que gira sobre el lado perpendicular a las bases. En un tronco de cono se distinguen las siguientes áreas: Área total Es la suma de las áreas lateral y de las áreas de las bases A T = A l + A B =.(R+r).g +.R 2 +.r 2 Área lateral Un tronco de cono puede considerarse como un tronco de pirámide en el que el número de caras laterales ha crecido indefinidamente polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 401

40 A l = P p 2. R 2. r. g. g.( R r). g 2 2 P perímetro de la circunferencia de la base inferior p perímetro de la circunferencia de la base superior g Apotema de la cara lateral del tronco de cono o generatriz del cono 2 2 g R r h Áreas de la bases Es la suma de las áreas de los círculos superior e inferior del tronco de cono. A B =.R 2 +.r 2 El volumen del tronco de cono se obtiene haciendo la diferencia entre el volumen del cono completo y el volumen del cono deficiente. Cilindro AB. h 1 1 AB. h h 2 2 V V1 V2. h. A A A. A. R r R. r B 1 B2 B1 B2 Cuerpo geométrico determinado por un rectángulo que gira sobre uno de sus lados. Los lados, AB, y, CD, engendran los círculos de esos mismos radios que son las bases del cilindro. El lado, AD, en su giro engendra la superficie curva que es la superficie lateral del cilindro. La altura del cilindro es la distancia entre sus bases y coincide con la longitud del lado, AD, del rectángulo. La longitud de este lado, AD, es la generatriz, g, del cilindro. Si un cilindro rueda una vuelta completa, deja una huella, que coincide con un rectángulo de dimensiones: Base La longitud de la circunferencia de la base del cilindro, 2 r polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 402

41 Altura Longitud de la generatriz, h= g En un cilindro se distinguen las siguientes áreas: Área total Es la suma del área lateral y del área de las bases. A T = A l + A B = 2..r.h + 2..r 2 Área lateral Coincide con la del rectángulo que se genera al dar una vuelta completa sobre si mismo A l = base. altura= 2..r.g= = 2..r.h Área de las bases Es la suma de las áreas de los círculos que constituyen las bases A B =.r 2 +.r 2 = 2..r 2 El volumen de un cilindro coincide con el volumen de un prisma que tenga la misma base y altura que él. V= A Base.altura= A B.h=..r 2.g Esfera Cuerpo geométrico determinado por un semicírculo que gira sobre su diámetro. La superficie curva que engendra el semicírculo es la superficie esférica. La superficie esférica está formada por todos los puntos del espacio cuya distancia al centro es igual al radio, r. A los extremos del diámetro del semicírculo se les denomina polos. La esfera tiene las siguientes características: Centro Es el centro del diámetro del semicírculo que la genera. Radio Segmento que une el centro con un punto cualquiera de la superficie esférica. Su longitud es, r. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 403

42 Cuerda Segmento que une dos puntos cualesquiera de la superficie esférica. Diámetro Cuerda que pasa por el centro de la superficie esférica. Polos Son los puntos de intersección del eje de giro con la superficie esférica. Semiesfera Cada una de las dos partes, llamadas hemisferios, que resultan al dividir una esfera mediante un plano que pase por el centro. El plano recibe el nombre de plano diametral. Entre la esfera y el cilindro existen una relación que permite obtener el área y el volumen de la esfera. El área de la superficie de una esfera de radio, r, es igual al área lateral del cilindro que se ajuste por completo a dicha esfera, es decir el área de un cilindro que tenga por base un círculo del mismo radio, r, que la esfera, y una altura de, 2r. A esfera = A l cilindro = P perímetro de la cirunferencia.altura= 2..r.2.r= 4..r 2 El volumen de una esfera de radio, r, es, 2/3 del volumen del cilindro que se ajusta por completo a dicha esfera, es decir, del volumen de un cilindro que tenga por base un círculo del mismo radio, r, que la esfera, y una altura, 2r. El volumen de una semiesfera es igual a un tercio del volumen de un cilindro cuya altura y diámetro de la base coincidan con el diámetro de la semiesfera. También se verifica que el volumen de media esfera sumado al volumen de un cono que tuviese como base un círculo de igual radio que la semiesfera y por altura el radio de ésta coincide con un cilindro que tenga por base un círculo del mismo radio que la semiesfera y por altura el radio de la misma. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 404

43 Vesfera Vcilindro Vcono r. r. r. r r. 1. r de donde 2 4 Vesfera 2.. r. r Para hallar el área y el volumen de una esfera también se puede hacer uso de la esfera bioclimática. Su superficie está formada por decenas de pequeños triángulos que dan la sensación de una esfera casi perfecta. Si se une cada vértice de los triángulos con el centro de la esfera se forman decenas de pirámides triangulares cuyo volumen es también, aproximadamente, el volumen de la esfera. Llamando: B 1, B 2, B 3,..., B n el área de los triángulos de la esfera bioclimática. h la altura de las pirámides que se obtienen al unir los vértices con el centro de la esfera. El volumen de la esfera, V, será aproximadamente: V esfera B1. h B2. h B3. h B. B1 B2 B3... Bn. h n h haciendo que el número de triángulos sea cada vez mayor, en el límite: Las alturas de las pirámides se aproximan al radio, r, de la esfera. h= r La suma de las áreas de las bases de las pirámides se aproxima al área, S, de la superficie esférica. S= B 1 +B 2 +B B n se tiene entonces ABase ddeccadappirámide. altura A. r Vesfera 3 3 igualando este valor del volumen de la esfera con el de su expresión conocida, resulta: A. r 4. r de donde se deduce la expresión de la superficie de la esfera. A esfera = 4..r 2 Si un plano corta a la superficie esférica determinada sobre ella las siguientes figuras esféricas: polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 405

44 Circunferencia máxima Es la sección de la superficie esférica determinada por un plano que pasa por el centro de la esfera. El radio de la circunferencia máxima es igual al radio de la esfera. Se corresponde con los meridianos de la superficie terrestre. Circunferencia menor Es la sección de la superficie esférica determinada por un plano que no pasa por el centro. Se corresponde con los paralelos de la superficie terrestre. El paralelo que pasa por el centro de la esfera es también una circunferencia máxima. Casquete Cada una de las partes que se forman en la superficie esférica al cortarla por un plano perpendicular al diámetro del semicírculo que la originó. Es la parte de la superficie esférica comprendida entre un plano que corta perpendicularmente al diámetro del semicírculo que la originó y su polo. A casquete = 2..R.h V casquete =. h. Zona esférica 2 3 R h 3 Es la parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos perpendiculares al diámetro del semicírculo que la originó. La superficie determinada en la esfera por dos planos que la corten y que sean paralelos a la base del cilindro que se ajuste por completo a dicha esfera es igual a la superficie correspondiente de dicho cilindro. A zona esférica = 2..R.h h 3. r ' 3. r V zona esférica =. h Si los planos que cortan a la esfera no son simétricos con respecto al centro de la esfera, entonces las circunferencias que delimitan la superficie de la zona esférica tendrán distintos radio, siendo el de una de ellas, r, y el de la otra, r. polígonos y cuerpos geométricos Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan- Xuvia 406