Plan de clase (1/4) b) Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el mismo número?

Transcripción

1 Plan de clase (1/4) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen puntos muestrales en un espacio muestra, al tener que calcular la probabilidad de eventos. Consigna: En equipos, determinen el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar dos dados y observar los números de ambas caras, después contesten: a) Cuál es la probabilidad de que las dos caras tengan en número par? b) Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el mismo número? c) Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10? d) Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10 o 6? e) Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 10 y que ambos números sean iguales? Consideraciones previas: La idea fundamental de este plan es que los alumnos puedan identificar los puntos muestra que corresponden a un evento, teniendo a la vista el espacio muestral. Para este caso, se puede sugerir un arreglo rectangular incompleto para que los estudiantes lo completen. Es importante resaltar que se trata de dos dados, y por lo tanto el par (3, 2) es un punto muestra diferente de (2, 3), puede pensarse en dos dados de distinto color, de manera que, por ejemplo, el primer par puede ser: dado blanco 3, dado rojo 2; mientras que el segundo sería: dado blanco 2, dado rojo 3. Así puede entenderse que el espacio muestra consta de 36 puntos muestra o sucesos (1,1) 2 (2,5) 3 (3,4) 4 (4,3) 5 (5,2) 6 (6,6) En este plan sólo se trata de que los alumnos identifiquen puntos muestra y los cuenten para determinar la probabilidad, considerada ésta como la frecuencia relativa que resulta de dividir los casos favorables entre los casos posibles. Por ejemplo, en el inciso a), hay que ubicar en el espacio muestra todos los pares en los que ambos números son pares, (9 de 36), por lo que la probabilidad es 9/36 = ¼.

2 Los incisos d) y e) tienen una dificultad adicional porque se trata de la probabilidad de eventos compuestos. En el primer caso son dos eventos mutuamente excluyentes, suma 10 o suma 6, no tienen elementos en común. En el segundo caso, suma 10 y números iguales los alumnos notarán que sólo hay un punto muestra que cumple con esta condición. Si se presentan las diferentes formas de expresar la probabilidad (fracción, decimal o %), hay que aprovecharlas para analizar sus equivalencias y conversiones. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

3 Plan de clase (2/4) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen eventos dependientes e independientes y que calculen su probabilidad. Consigna: En equipos, calculen la probabilidad de los siguientes eventos. a) Cuál es la probabilidad de que en ambas caras aparezca el número 2? b) Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 7 o que ambos números sean iguales? c) Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 7 y que ambos números sean iguales? d) Cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ambas caras sea 4 y que ambos números sean iguales? Consideraciones previas: A diferencia del plan anterior en el que sólo se trata de identificar y contar puntos muestrales para determinar la probabilidad, en éste se trata de combinar dichos recursos con el cálculo de probabilidades y analizar la dependencia y la independencia de dos eventos. Los alumnos podrán determinar con facilidad, teniendo a la vista el espacio muestra, que la probabilidad en el inciso a) es 1/36. Con base en este resultado conviene plantear la pregunta: Se puede obtener este mismo resultado considerando la probabilidad de que salga 2 en cada uno de los dados? La probabilidad de que salga 2 cuando se lanza el dado blanco es 1/6; cuando se lanza el dado rojo también es 1/6; el producto 1/6 x 1/6 = 1 /36. Así, otra manera de calcular la probabilidad en el inciso a) es mediante lo que se llama regla del producto. Además, en los casos en los que es posible aplicar esta regla, se trata de eventos independientes. Dicho de otra manera, la probabilidad de que salga 2 en un dado NO altera la probabilidad de que salga 2 en el otro dado. El inciso b) es un caso de eventos mutuamente excluyentes en el que se espera que los alumnos apliquen la regla de la suma que ya ha sido estudiada. En el inciso c) se espera que los alumnos se den cuenta de que no hay puntos muestrales que cumplan con ambas condiciones (suma 7 y números iguales), por lo tanto la probabilidad es cero. El inciso d) requiere un análisis más minucioso por lo siguiente: En el espacio muestra se podrá apreciar que suma 4 y números iguales sólo hay un punto muestral, por tanto la probabilidad es 1/36. Sin embargo, aplicando la regla del producto como en el inciso

4 a), se podrá ver que: la probabilidad de suma 4 es 3/36 = 1/12; la probabilidad de números iguales es 6/36 = 1/6. Ahora bien, 1/12 x 1/6 = 1/72 y 1/72 1/36. Está claro que en este caso no es aplicable la regla del producto, por lo que se trata de dos eventos dependientes o no independientes. Otra manera de ver esto mismo es: si ya apareció una suma cuatro la probabilidad de que ambos números sean iguales es 1/3 y no 1/6 como se estableció originalmente. Por otra parte, si ya se sabe que los números son iguales la probabilidad de que la suma sea 4 es 1/6 y no 1/12 como se estableció al inicio. Hay dos ideas importantes que se espera dejar en claro en esta sesión y que están vinculadas a los eventos independientes. La primera es que dos eventos se consideran independientes cuando la aparición (o no aparición) de cualquiera de ellos no afecta la probabilidad asignada a la aparición del otro. La segunda es que dos eventos se consideran independientes cuando su probabilidad puede calcularse mediante la regla del producto. Observaciones posteriores: 4. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 5. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 6. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

5 Plan de clase (3/4) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). Intenciones didácticas: Que los alumnos analicen diversos experimentos de azar e identifiquen los eventos que son independientes, que adviertan que la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad asignada a la ocurrencia del otro. Consigna: Organizados en equipos analicen y resuelvan las siguientes situaciones. Situación 1. a) Calcular la probabilidad de obtener 1 y águila al lanzar un dado y una moneda. b) Calcular la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado, sabiendo que ya salió águila al lanzar la moneda. Situación 2. a) Cuál es la probabilidad de obtener un número par y menor que 4 al lanzar un dado? b) Sabiendo que ya salió par, cuál es ahora la probabilidad que sea menor que 4? Consideraciones previas: Igual que en los planes anteriores, las probabilidades pedidas pueden obtenerse a partir de la determinación del espacio muestral correspondiente. La atención de este plan se centra en identificar la dependencia o independencia de los eventos que se presentan en cada situación. En la primera se trata de eventos independientes, la aparición de uno no tiene efecto en la probabilidad de aparición del otro, la probabilidad de obtener 1 al lanzar el dado no depende del resultado de lanzar la moneda, siempre es 1/6, aún sabiendo que la moneda ya cayó águila. En cambio, en la segunda situación, se trata de eventos dependientes, la probabilidad de que el número sea menor que 4 es ½ (1, 2 y 3), pero si se sabe que ya salió par, el espacio muestra se reduce a (2, 4 y 6), de los cuales uno (el 2) es menor que 4, por lo tanto la probabilidad es 1/3. Para contribuir con la intención didáctica de este plan es conveniente que se analicen otras situaciones que incluyan eventos independientes, algunos ejemplos son: 1. Se lanzan cinco volados consecutivos y en todos ellos ha caído sol. Cuál es la probabilidad de que en el sexto volado también caiga sol? 2. Se va a realizar una rifa con 200 boletos que han sido numerados del 1 al 200. Todos los boletos se han vendido. El boleto ganador será el primero que se saque de una urna. Ana compró los boletos 81, 82, 83 y 84. Juan adquirió los boletos 30, 60, 90 y 120. Quién tiene más oportunidades de ganar? Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

6 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

7 Plan de clase (4/4) Escuela: Fecha: Profr. (a): Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen y utilicen la regla del producto para calcular la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. La mamá de Enrique y la Tía de Ana están embarazadas y próximamente darán a luz a sus bebés. Qué probabilidad hay de que las dos tengan un hijo varón? Crees que los eventos varón y varón son independientes? Explica por qué 2. Se lanzan simultáneamente un dado y una moneda. Cuál es la probabilidad de que caiga sol y el número 4? Explica por qué los eventos caer sol y número 4 son independientes. Consideraciones previas: Es muy probable que los alumnos obtengan por separado las probabilidades de cada evento en cada problema, para el primero ½ y ½ y para el segundo 1/6 y ½; sin embargo el asunto es averiguar cómo se relacionan estas medidas para obtener la probabilidad de que ocurran, en cada caso, los dos eventos a la vez, para el primero ¼ y para el segundo 1/12. Un arreglo rectangular o un diagrama de árbol permiten visualizar el espacio muestral y los casos favorables de cada situación. La aplicación de la regla del producto puede ser útil para confirmar la respuesta. Otros problemas que permitirán aplicar la regla encontrada son los siguientes: 1. Variantes del problema 2. Cuál es la probabilidad de que caiga águila y 2? Cuál es la probabilidad de que caiga sol y 6? Cuál es la probabilidad de que caiga águila y un número mayor que 4?, etc. 2. Pedro y Mario van a extraer sin mirar una canica de una caja que contiene dos amarillas, una verde y tres rojas. Si después de cada extracción se regresa la canica a la caja, cuál es la probabilidad de que Mario tome una canica roja y Pedro una amarilla? Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión?

8 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre