Trabajo de Diploma Modelación de la capacidad de carga de cimentaciones superficiales apoyados en suelos no homogéneos.

Transcripción

1 UNIVERSIDAD CENTRAL MARTA ABREU DE LAS VILLAS FACULTAD DE CONSTRUCCIONES DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Trabajo de Diploma Modelación de la capacidad de carga de cimentaciones superficiales apoyados en suelos no homogéneos. Autor: Lissett María Pérez Martínez. Tutor: Dra. Ana Virginia González-Cueto. Santa Clara

2 PENSAMIENTO El futuro tiene muchos nombres. Para los débiles es lo inalcanzable. Para los temerosos, lo desconocido. Para los valientes es la oportunidad. Víctor Hugo

3 DEDICATORIA A mis padres Normita y Rey por todo su amor y apoyo incondicional; a mi hermana Laura y a mi mima por estar en todo momento conmigo; y a pipo, papá y mamá que desde donde estén, sé que hoy se sienten orgullosos de mí.

4 AGRADECIMIENTOS A Dios por haberme guiado en todo momento. A mis padres y hermana por vivir intensamente conmigo cada momento de esta travesía, por ser más que mi familia mi vida entera, mi guía mi razón de vivir. A mi abuela Norma por estar siempre al pendiente de mí. A mis abuelos Margarita y Raúl. A toda mi familia, en especial a mi tía Nerelys por ser la mejor tía del mundo y por estar siempre ayudándome en todo a pesar de la distancia. A mi tutora la Dra. Ana Virginia González-Cueto por todo su apoyo incondicional, por guiarme y ayudarme en todo. Al Dr. Gilberto Quevedo por la ayuda brindada. A Claudia María, Luis Enrique Gálvez y Denis, por la ayuda que me bridaron para la realización de esta tesis. Al Dr. Luis Orlando Ibáñez por su preocupación. A mis amigas Maribí, Inés, Lizbeth, Yoana y Dayana por estar estos cinco años presente en las buenas y malas, por ser buenas consejeras y amigas en todo momento. A Juan Pablo por su inmenso apoyo en todo este tiempo. Al resto de mis compañeros de aula, en especial a mis compañeras de cuarto por el tiempo que hemos compartido a lo largo de estos 5 años. A mis profesores por la formación integral que inculcaron en mí. En especial a mis abuelos Gustavo (pipo) y Toto (papá) que, aunque hoy no estén presentes vivieron conmigo la mitad de este sueño y siempre quisieron mi formación como profesional. A todos muchas gracias

5 RESUMEN Casi todas las teorías planteadas acerca de capacidad de carga son válidas para suelos homogéneos, la estratificación plantea un problema de heterogeneidad en principio no resuelto. En la práctica se presentan con frecuencia cimentaciones poco profundas en suelos estratificados, lo que ha obligado, por otra parte, al uso de soluciones aproximadas con las que se espera poder llegar a resultados razonables. El propósito de esta investigación es construir un modelo no lineal 3D basado en el Método de Elementos Finitos (MEF), que permitan el análisis de la capacidad de carga en cimentaciones superficiales sometidas a cargas verticales, en suelos que presenten la condición de no homogeneidad, empleando el ABAQUS Donde los resultados obtenidos en la modelación se comparan con resultados analíticos como los expuestos en la propuesta de normativa cubana, la solución de Button para un sistema de dos estratos cohesivos y la solución dada por Meyerhof y Hanna.

6 ABSTRACT Almost all theories raised about capacity are valid for homogeneous soils; stratification poses a problem of heterogeneity in principle unresolved. In practice often, occur in shallow foundations laminated flooring, which has forced the other hand, the use of approximate solutions that expected to reach reasonable results. The purpose of this research is to build a nonlinear 3D model based on the Finite Element Method (FEM) which enable the analysis of the carrying capacity in shallow foundations subjected to vertical loads in soils that present the condition of homogeneity, using the ABAQUS Where the results of the modeling are compared with analytical results as set forth in the proposal of Cuban legislation, the solution Button for a two cohesive strata and the solution given by Meyerhof and Hanna.

7 ÍNDICE GENERAL TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN...I CAPÍTULO I: Estado del conocimiento Introducción Diseño geotécnico de la cimentación Métodos de diseño Capacidad de carga Modelos clásicos de capacidad de carga Cálculo de la capacidad de carga según la Propuesta de normativa cubana: Capacidad de carga para suelos estratificados Cálculo de la capacidad de carga en suelos no homogéneos según la Propuesta de normativa cubana Cimentaciones en suelos estratificados puramente cohesivos. (Badillo, 1967) Capacidad de carga de suelos estratificados: Suelo más fuerte sobre suelo más débil. (Das, 2001) Modelación de problemas ingenieriles Modelación numérica Método de Elementos Finitos (MEL) Modelación en 3D Modelos constitutivos aplicables al suelo Conclusiones parciales CAPÍTULO II: Conformación del modelo para suelos no homogéneos, en el ABAQUS CAE Versión Introducción Definición de la herramienta computacional Implementación del ABAQUS, en la modelación del problema Modelación del material Metodología para la aplicación de las cargas Modelación de las cargas... 39

8 ÍNDICE GENERAL Obtención del valor de carga límite de falla mediante una curva tensodeformacional Evaluación de distintos métodos de generar una carga que haga fallar por cortante al suelo Modelación de la geometría Geometría de la malla de elementos finitos Forma geométrica del elemento finito propuesto Calibración del mallado Otros aspectos a considerar Modelación del cimiento El efecto de la profundidad de cimentación y la modelación del peso propio Conclusiones parciales CAPÍTULO III: Verificación de los resultados del modelo con la propuesta de normativa actual Introducción Análisis del Diseño Geotécnico del cimiento a evaluar Casos de estudio. Diseño Teórico Procesamiento y análisis de resultado. Comparación con el M3D Estrato de suelo débil sobre estrato de suelo más resistente Suelos puramente cohesivos Suelos Cohesivos Friccionales Estrato de suelo fuerte sobre estrato de suelo débil Suelos puramente cohesivos Análisis de la influencia de los parámetros que intervienen en el método de Button en un suelo puramente cohesivo, duro sobre blando Suelos cohesivos friccionales Ejemplo de un diseño geotécnico de una cimentación superficial apoyada en un estrato de suelo cohesivo puro débil sobre uno cohesivo puro más fuerte Ejemplo de un diseño geotécnico de una cimentación superficial apoyada en un estrato de suelo puramente cohesivo fuerte sobre uno puramente cohesivo débil Conclusiones parciales

9 ÍNDICE GENERAL CONCLUSIONES GENERALES RECOMENDACIONES BIBLIOGRAFÍA... 84

10 INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN Karl Terzaghi expresó: La mecánica de suelos es la aplicación de las leyes de la Mecánica y la Hidráulica a los problemas de ingeniería que tratan con sedimentos y otras acumulaciones no consolidadas de partículas sólidas, producidas por la desintegración mecánica o descomposición química de las rocas, independientemente de que tengan o no contenido de materia orgánica. La mecánica de suelos es la rama de la ciencia que incluye teorías sobre el comportamiento de los suelos sujetos a cargas, basados en simplificaciones necesarias dado el actual estado de la técnica; investigación de las propiedades físicas de los suelos reales; y la aplicación del conocimiento teórico y empírico a los problemas prácticos. (Das, 2007) El suelo es la parte superficial de la corteza terrestre, conformada por minerales y partículas orgánicas producidas por la acción combinada del viento el agua y procesos de desintegración orgánica, además constituye el componente principal de la mayoría de los proyectos de construcción. La capacidad del suelo de la base que soporta la acción de las cargas sin que se produzcan fallas generales por resistencia a cortante dentro de la masa de suelo se le denomina capacidad de carga. La teoría de Terzaghi cubre el caso más general de suelos con cohesión y fricción, y su impacto en la mecánica de suelos ha sido de tal trascendencia que aún hoy es muy utilizada para la determinación de la capacidad de carga en cimentaciones superficiales. De forma similar, para un modelo que mantiene las mismas características explicadas para el método Terzaghi, pero con una forma diferente de las superficies de falla, se encuentra el considerado por Meyerhof. Actualmente según la normativa cubana se utiliza el método de Brinch-Hansen, como un método donde se incluyen todos los factores en la determinación de la capacidad de carga de la base de la cimentación. Hoy en día existe un alto nivel de desarrollo en la modelación numérica mediante programas de propósitos generales basados en el Método de los Elementos Finitos (MEF) como: ABAQUS, ANSYS, COSMOS, LUSAS y NASTRAN, ha permitido estudiar I

11 INTRODUCCIÓN los problemas geotécnicos desde una perspectiva general. ABAQUS es un programa destinado a resolver problemas de ciencias e ingeniería y está basado en el método de los elementos finitos. El programa puede resolver casi todo tipo de problemas, desde un simple análisis lineal hasta simulaciones complejas no lineales. ABAQUS 6.13 posee una extensa librería de elementos finitos que permite modelar virtualmente cualquier geometría, así como su extensa lista de modelos que simulan el comportamiento de una gran mayoría de materiales, permitiendo su aplicabilidad en distintas áreas de la ingeniería, por lo que se define como la herramienta computacional a emplear en la simulación del comportamiento mecánico del suelo. El propósito de este trabajo es construir un modelo no lineal 3D basado en el Método de Elementos Finitos (MEF) para el análisis de la capacidad de carga en suelos no homogéneos, bajo una cimentación sometida a cargas verticales y excéntricas empleando el ABAQUS 6.13 que además de ser una alternativa económica, posibilita describir el comportamiento tenso-deformacional de sólidos, evaluar conceptos, estudiar fenómenos como la concentración y propagación de tensiones en el interior de la masa de suelo a un costo mínimo de recursos, y nos permitirá establecer el modelo deseado. Para verificar estos modelos, se compararán los resultados de capacidad de carga alcanzados, con los obtenidos analíticamente por la normativa cubana. Problema Científico: Cómo será el desarrollo real de las superficies de falla por capacidad de carga para las cimentaciones superficiales apoyadas en suelos no homogéneos? La generación de un modelo en 3D, por MEF en el Software ABAQUS CAE Versión 6.13, permitirá comprobar el comportamiento de las cimentaciones superficiales para las condiciones de Cuba? Hipótesis: Mediante la constitución de un modelo computacional en 3D que represente una cimentación superficial apoyada en suelo no homogéneo con sus características reales, II

12 INTRODUCCIÓN se podrá analizar con mayor facilidad y precisión el comportamiento de la capacidad de carga de dicho suelo en las condiciones cubanas. Objetivo General: Analizar el comportamiento de la capacidad de carga de las cimentaciones superficiales apoyadas en suelos no homogéneos, y bajo cargas centradas y excéntricas, a través de la construcción de un modelo computacional en 3D mediante la aplicación del Método de los Elementos Finitos (MEF). Objetivos Específicos: 1. Analizar el estado del conocimiento sobre el tema objeto de estudio para determinar cuáles son las tendencias investigativas contemporáneas y definir la línea de trabajo a seguir. 2. Seleccionar la herramienta computacional a utilizar para la realización del modelo tridimensional. 3. Construir y calibrar el modelo tridimensional. 4. Comparar los resultados obtenidos mediante el modelo 3D con los resultados producto de modelos analíticos. 5. Aplicar los resultados del modelo en el diseño de cimentaciones superficiales en Cuba. Tareas científicas: 1. Estructuración del trabajo de diploma con ayuda del tutor. 2. Consultar bibliografía científica actualizada que permita realizar un estudio profundo de las teorías sobre el comportamiento del suelo para su modelación en condición de no homogéneos para la escritura del Capítulo 1. III

13 INTRODUCCIÓN 3. Definir los criterios de selección de la herramienta computacional a utilizar, basándose en la compatibilidad con el alcance de la investigación para la realización del modelo 3D para la redacción del Capítulo Definir los parámetros fundamentales de modelación en cuanto a material, geometría, cargas y vínculos con el medio o condiciones de frontera 5. Ejecutar el programa y validar el modelo mediante contraste de resultados. Novedad científica: La novedad científica será la generación de un modelo en 3D, por MEF en el Software ABAQUS CAE Versión 6.13 que permita evaluar el comportamiento de la capacidad de carga de cimentaciones superficiales apoyadas en suelos no homogéneos. Justificación y uso de los resultados: Los resultados obtenidos en el trabajo permitirán la validación de los cambios propuestos en las normativas de diseño geotécnico de cimentaciones superficiales en Cuba, y proponer cambios en los métodos de cálculo de capacidad de carga actuales que están vigentes en la misma, de ser necesarios. Valor teórico y práctico de la investigación: El trabajo tiene valor teórico y práctico fundamentalmente. Desde el punto de vista teórico se verificarán resultados científicos importantes referentes al comportamiento de los modelos de capacidad de carga en suelos no homogéneos, para cimentaciones superficiales. En el orden práctico, se obtendrán resultados que se introducirán en las normativas de diseño de cimentaciones superficiales en el país. Estructura del trabajo de Diploma: Capítulo 1. Revisión del Estado del Conocimientos. IV

14 INTRODUCCIÓN Capítulo 2. Conformación del modelo para suelos no homogéneos, en el ABAQUS CAE Versión 6.13 Capítulo 3. Verificación de los resultados del modelo con la propuesta de normativa actual. o Para suelos Cohesivos y Cohesivos-Friccionales. Capítulo 4. Solución de un caso real. Valoración de resultados. Además incluye conclusiones, bibliografía y anexos. V

15 CAPÍTULO I: Estado del conocimiento Introducción. Los dos criterios básicos que se deben cumplir en el análisis y diseño de una cimentación superficial son los requisitos de estabilidad y deformación. El requisito de estabilidad se asegura de que la base no se somete a una falla de corte bajo carga, mientras que la deformación asegura que la liquidación de una estructura se encuentra dentro del límite de tolerancia de la superestructura. En consecuencia, una evaluación de la estabilidad de la fundación y el requisito de la deformación en cualquier sitio dado es de máxima prioridad, sabiendo el costo devastador del fracaso. Algunos estudios sobre la estabilidad y la deformación de bases han sido reportados por los estudiosos incluyendo Terzaghi (1943); Vesic, (1973); Akpila (2007a); Akpila (2007b) y Akpila et al. (2008). El requisito de estabilidad, chequea la capacidad de carga, esta depende de las características de la cimentación y de la estructura, del coeficiente de seguridad adoptado y del tipo de suelo (gravas, arenas, limos, arcillas o combinaciones de ellas). Las propiedades del suelo son espacialmente parámetros variables que causan depósitos de suelos heterogéneos. En este capítulo se hará referencia al estado actual de los métodos analíticos para el cálculo de la capacidad de carga de cimentaciones superficiales apoyadas en suelos no homogéneos; así como el estado de la modelación numérica en 3D a través de programas que implementan el método de elementos finitos (MEF) Diseño geotécnico de la cimentación. La parte inferior de una estructura se denomina generalmente cimentación y su función es transferir la carga de la estructura al suelo en que ésta descansa. Una cimentación adecuadamente diseñada es la que transfiere la carga a través del suelo sin sobresforzar a éste. Sobresforzar al suelo conduce a un asentamiento excesivo o bien a una falla a cortante del suelo, provocando daños a la estructura. Por esto, los ingenieros geotecnistas y estructurales que diseñan cimentaciones deben evaluar la capacidad de carga de los suelos. (Das, 2007) Capítulo I: Estado del conocimiento. 1

16 Al diseñar una cimentación se definen los principales parámetros de la misma como las dimensiones del área en planta y la profundidad a la que se deberá cimentar. Pues el diseño geotécnico consiste en proyectar la cimentación de la forma más funcional y económica posible, teniendo en cuenta la naturaleza del terreno, de modo que se obtenga la seguridad suficiente y unas deformaciones permisibles según la estructura que se soporte, manteniendo siempre el criterio de diseño por estabilidad como premisa indispensable de diseño Métodos de diseño. Hoy en día existe un gran avance en la ingeniería geotécnica, pues han sido varios los métodos que se han venido utilizando para el diseño (Becker 1996; Quevedo 1987; MacGregor 1989; Ovesen, 1993; González-Cueto 1997, 2001), donde se ha cambiado en lo fundamental la forma de introducir la seguridad en el mismo, destacándose de forma general los siguientes: - Método de los Esfuerzos Admisibles (MEA). - Método del Factor de Seguridad Global (MSFG). - Método de los Estados Límites (MEL). Según la Propuesta de normativa cubana, el diseño de la cimentación se realizará por el Método de Estados Límites, el cual se basa en la obtención de un diseño donde las cargas y las tensiones a las que está sometido el suelo en las bases de los cimientos, así como las deformaciones y desplazamientos que ellas originan en dichas bases estén cerca de los límites permisibles y nunca lo sobrepasan. En el diseño de las cimentaciones se establecen dos Estados Límites: 1 er Estado Límite o Estado Límite Último: Estado Límite donde se garantiza que no ocurra el fallo por capacidad de carga de la base de la cimentación, diseñándose para lograr la resistencia y estabilidad de la estructura, bajo la acción de las solicitaciones existentes con sus valores de cálculo. En el mismo se introducen coeficientes parciales de seguridad para las cargas y las propiedades de los suelos. Capítulo I: Estado del conocimiento. 2

17 La ecuación que rige el diseño del 1 er Estado Límite es: Y1* Y2*/ s (1.1) Dónde: Y1*: función de las cargas actuantes con sus valores de cálculo Y2*: función de las cargas resistentes con su valor de cálculo para una probabilidad del 95%. s: coeficiente de seguridad adicional, que depende de las condiciones de trabajo generales de la obra y el tipo de fallo. Durante el diseño por este Estado Límite, se supone un estado de inminente falla y se garantiza su no ocurrencia con la introducción de los coeficientes de seguridad parciales, con lo que se mide de forma más racional la precisión de cada estimación, siendo suficiente, para las condiciones de Cuba, tomar tres grupos de coeficientes de seguridad: para las cargas actuantes, la resistencia del material y para las condiciones de trabajo general de la obra. (Quevedo, 1987) 2 do Estado Límite o Estado Límite de Servicio: Estado Límite que garantiza la funcionalidad de la estructura, chequeándose que todos los desplazamientos o deformaciones que se originan en la base de la cimentación debido a la acción de las cargas no sobrepasen los límites permisibles, de forma tal que se asegure la correcta explotación de la estructura, así como la figuración, para elementos de hormigón armado, con los valores de servicio. La ecuación del 2 do Estado Límite es similar: Y1 Y2permisible (1.2) Dónde: Y1: función de las deformaciones que se producen en la estructura. Y2permisible: función de las deformaciones límites permisibles en la obra. Capítulo I: Estado del conocimiento. 3

18 En este 2 do Estado Límite, al analizar el comportamiento del suelo, se debe chequear la tensión límite de linealidad, de forma tal que se verifique el comportamiento lineal del mismo, según la siguiente ecuación: P R (1.3) Dónde: P : Tensión bruta del suelo. R: Presión Límite de Linealidad del suelo. Garantizando que se satisfaga el cumplimiento de esta condición, se pueden calcular las deformaciones que sufre la estructura por métodos lineales, los cuales son los más empleados en la actualidad para este fin. Además según se establece en la Norma Cubana, (Quevedo, 1994) siempre que el parámetro deformacional que caracteriza el suelo sea el Módulo General de Deformación de la base Eo, es necesario chequear el comportamiento lineal del mismo, y esto ocurre en la práctica en la mayoría de los diseños que se realizan sobre arenas, por lo que esta condición debe ser verificada en la generalidad de los casos. Para el desarrollo de esta investigación se realizará el diseño por el primer Estado Límite, chequeando la capacidad de carga, ya que el propósito del trabajo es modelar este parámetro para cimentaciones superficiales apoyadas en suelos no homogéneos Capacidad de carga La capacidad de carga en cimentaciones superficiales se puede definir como la carga por unidad de área bajo la fundación bajo la cual se produce la falla por corte, es decir, es la mayor presión unitaria que el suelo puede resistir sin llegar al estado plástico. Al cargar un suelo de fundación su superficie sufre asentamientos que se pueden graficar en función de la carga unitaria o presión media. La falla de la fundación supone asientos importantes, giro y vuelco de la estructura, según la estructura y el tipo de suelo la falla puede producirse de tres formas: Capítulo I: Estado del conocimiento. 4

19 - Por rotura general: Se produce una superficie de rotura continua que arranca en la base de la zapata y aflora a un lado de la misma a cierta distancia. Esta es la rotura típica de arenas densas y arcillas blandas en condiciones de cargas rápidas sin drenaje. - Por rotura local: Se plastifica el suelo en los bordes de la zapata y bajo la misma, sin que lleguen a formarse superficies continuas de rotura hasta la superficie. Esto es típico en arcillas y limos blandos y en arenas medias a sueltas. - Por punzonamiento: La cimentación se hunde cortando el terreno en su periferia con un desplazamiento aproximadamente vertical. Fig. 1.1: Naturaleza de la falla en el suelo por capacidad de carga, a) Falla general, b) Falla local de corte, c) Falla de corte por punzonamiento Modelos clásicos de capacidad de carga. Capítulo I: Estado del conocimiento. 5

20 Existen varios métodos generales con los que se puede calcular la capacidad de carga de un suelo entre los que se encuentran las teorías de Terzaghi, las de Meyerhof y las teorías de Brinch Hansen. (Cordero, 2013) Teoría de Terzaghi Terzaghi (1943) fue el primero en presentar una teoría para evaluar la capacidad de carga de cimentaciones superficiales, la cual dice que una cimentación es superficial si la profundidad Df de la cimentación es menor o igual al ancho de la misma. Esta teoría cubre el caso más general, se aplica a suelos con cohesión y fricción, y su impacto en la Mecánica de Suelos ha sido de tal trascendencia que aun hoy es posiblemente la teoría más usada para el cálculo de capacidad de carga en los proyectos prácticos, especialmente en el caso de cimientos poco profundos. Terzaghi desprecia la resistencia al corte del suelo situado sobre la profundidad de fundación Df al que se considera como una sobrecarga actuando sobre la fundación: q = γ Df (1.4) Dónde: q = Carga γ = Peso específico del suelo Df = Profundidad del desplante Fig. 1.2: Modelo de falla según Terzaghi. Capítulo I: Estado del conocimiento. 6

21 Se propone un mecanismo de falla para una zapata continua uniformemente cargada y el sector de fallas se divide en tres zonas: La zona I es una cuña que actúa como si fuese parte de la zapata (estado activo), sus límites forman ángulos de 45º+ ᵠ/2 con la horizontal. La zona II es una cuña de corte radial, dado que las líneas de falla son rectas con origen en A y espirales logarítmicas con centro en A. La frontera AD forma un ángulo de 45º- ᵠ/2 con la horizontal. La zona III, es donde se desarrollan las superficies de deslizamientos que corresponden al estado pasivo de Rankine, pues sus límites forman ángulos de 45º- ᵠ/2. Con esta hipótesis la capacidad de carga resulta: qbr=cn c +γdn q +0,5 γbn γ (1.5) Dónde: qbr: Máxima capacidad de carga, kn/m2 C: Cohesión efectiva, kpa γ: Peso específico, kn/m3 d: Profundidad del cimiento, m B: Ancho del cimiento, m Nc, Nq, Nγ: Factores de capacidad debido a la cohesión (c), a la sobrecarga (q) y al peso del suelo (γ), y se obtienen en función del ángulo de fricción interna (φ). Para suelos arenosos sueltos o arcillosos blandos, la falla ocurrirá antes, disminuyéndose la capacidad de carga en 1 ó 2 tercios. (2 C /3; 2 tg(φ) /3). (Jiménez & R. Jalixto-CuyoJ. Pampas -Quiroga, 2014) A partir de las consideraciones de Terzaghi, otros autores e instituciones prestigiosas (Brinch - Hansen 1961,1970; Sokoloski 1960; SNIP 1984; ANSI 1980; Eurocódigo 1997), han coincidido en la estructura de la expresión, observándose algunas variaciones en cuanto a los valores de los factores de capacidad (Nc, Nq, Nγ) a partir de considerar distintos modelos de falla. Capítulo I: Estado del conocimiento. 7

22 Los factores Nc, Nq, Nγ están en función del ángulo de fricción interna φ. Para el caso particular de Nγ, el intervalo de valores es muy amplio dependiendo de los autores, las condiciones de los suelos analizados, y de las regulaciones establecidas en cada país. En la actualidad existen 3 tendencias para el análisis de Nγ. La tendencia clásica, representada por Brinch Hansen y Meyerhof, cuyos valores son los más bajos y conservadores de todos; otro grupo de valores propuestos por autores más jóvenes, y que en la mayoría de los casos se encuentran incluidos y respaldados por Normas y Códigos de reconocido prestigio internacional, cuyos valores recomendados de Nγ son superiores a los clásicos, y existe un tercer grupo de autores que recientemente se salen un poco fuera de la media de los valores de Nγ propuestos como posibles por los autores anteriores llegando a obtener cifras mayores considerablemente, y que no han sido admitidos por normativa alguna y quizás por el propio hecho de ser demasiado osados en sus cálculos. Todos estos autores, sin excepción, han obtenido un resultado común, y es el aumentar el valor de Nγ respecto a los valores clásicos. (Quevedo & Gonzales- Cueto, 2000). Con el objetivo de corregir la expresión y lograr una mayor aproximación a los datos experimentales se han planteado algunas correcciones sobre la base de considerar factores de influencia que Terzaghi no tuvo en cuenta. Teoría de Meyerhof Meyerhof propone considerar la carga centrada en un ancho menor al real considerando que una faja de cimiento de ancho 2e no contribuye a la capacidad de carga, recomendando sustituir B por B =B-2e (1.6). Además considera todo el terreno por encima del nivel de cimentación, considerando un mecanismo de falla de la siguiente forma: Capítulo I: Estado del conocimiento. 8

23 Fig. 1.3: Modelo de falla según Meyerhof. El mecanismo de falla de una cimentación a poca profundidad está dividido en tres cuñas: La primera ABB es una cuña de esfuerzos uniformes que se puede considerar en estado activo (Rankine). La segunda ABC es una cuña limitada por una curva de espiral logarítmica y es una zona de esfuerzo cortante radial. La tercera BCDE es una cuña que se considera en estado pasivo (Rankine). La línea BD es llamada Línea de Meyerhof y se considera que en esta superficie actúan los esfuerzos normales Po y los tangenciales So producto de la cuña BDE. Llegando Meyerhof a la siguiente fórmula para determinar la capacidad de carga del suelo en un cimiento: qbr=cn c +PoN q +0,5 γbn γ (1.7) Dónde: Po: Esfuerzos normales. Teniendo Po γh y Nc, Nq, Nγ, un valor numérico diferente a los de la teoría de Terzaghi y no dependen únicamente del ángulo de fricción interna (φ), sino también de la profundidad, forma de la cimentación y aspereza de su base. En Cuba se trabaja principalmente con las teorías de Brinch Hansen ya que son las que se adecuan más a las condiciones del país. Capítulo I: Estado del conocimiento. 9

24 Teoría de Brinch Hansen La solución dada por Brinch Hansen (1970) tiene en cuenta la corrección de Meyerhof, e incluye otros factores de corrección como: Forma de la cimentación (S(γ;c;q) ). Para un caso real, las dimensiones del cimiento son finitas y conocidas. Profundidad de cimentación (d(γ;c;q) ). A mayor profundidad mayor capacidad resistente de la base. Inclinación de la carga (i(γ;c;q) ). La inclinación produce una alteración en la distribución de tensiones disminuyendo la capacidad de carga. Inclinación del terreno (g(γ;c;q) ). La capacidad de carga varía respecto al ángulo de inclinación del terreno. Teniendo en cuenta la estructura de la expresión planteada por Terzaghi y las correcciones hechas por sus sucesores, la expresión general para la capacidad de carga en suelos saturados, queda definida como: qbr= 0.5γB Nγ Sγ iγ dγ gγ + C NcScicdcgc + q*nqsqiqdqgq (1.8) Dónde: B : lado efectivo menor de la cimentación según lo propuesto por Meyerhof. N, S, i, d, g, Nc, Sc, ic, dc, gc, Nq, Sq, iq, dq, gq,: Factores de influencia Cálculo de la capacidad de carga según la Propuesta de normativa cubana: Para el chequeo de la capacidad de carga por el estado límite de estabilidad, según la NC XX: 2004, debe cumplirse la siguiente condición: N* Qbt* (1.9) Los valores de las cargas de cálculo se determinan a partir de: N * = N γ f (1.10) H* = H γ f (1.11) M * = M γ f (1.12) N* = N * + QC + QR (1.13) Capítulo I: Estado del conocimiento. 10

25 En el caso de cimientos aislados se puede suponer a: Q C + Q R = 20 b l d (1.14) Dónde: 20 kn/m 3 peso específico promedio del hormigón y el suelo situado por encima del nivel de cimentación. Las expresiones anteriores están en función de las combinaciones de carga para el diseño por estabilidad con sus valores de cálculo. Fig. 1.4: Esquema de la cimentación donde se simboliza los parámetros para la determinación de qbr. El valor de la Q*bt (ver figura 4) para cimientos rectangulares se determina a partir de: Qbt* = b l ( qbr q γs + q ) (1.15) La norma utiliza el método de Brinch Hansen, explicado anteriormente para la determinación de la capacidad de carga de los suelos, donde modifica el valor de Nγ Capítulo I: Estado del conocimiento. 11

26 considerado a partir de los resultados obtenidos de investigaciones realizadas en Cuba e internacionalmente, que ha dado buenos resultados en su utilización en numerosos países, incluidos Cuba. Suelo φ y C - φ qbr*= 0.5γ*B Nγ Sγ iγ dγ gγ + c*ncscicdcgc + q *NqSqiqdqgq (1.16) Suelo C (ϕ = o). qbr* = 5.14 c* (1 + sc + dc - ic - gc ) + q * (1.17) q * = γ 1 * d + q sc * (1.18) Dónde: γ 1 *: Peso específico de cálculo por encima del nivel de cimentación, en el caso de existir más de un estrato en esta zona se toma un promedio ponderado de estos valores. γ 2 *: Peso específico de cálculo por debajo del nivel de cimentación, hasta una profundidad 1.5 B L : Lado mayor entre l y b B - Lado menor entre l y b N γ, N, N : Factores de la capacidad de carga, que están en función de ϕ * determinados C q en tablas o por expresiones numéricas Capacidad de carga para suelos estratificados. Las ecuaciones para la capacidad de carga mostradas anteriormente, implican casos en que el suelo que soporta la cimentación es homogéneo y se extiende hasta una profundidad considerable. La cohesión, el ángulo de fricción y el peso específico del suelo fueron supuestos constantes en el análisis de la capacidad de carga. La estratificación plantea un problema de heterogeneidad en principio no resuelto. A continuación se muestran algunos métodos que permiten la determinación de la capacidad de carga última en suelos estratificados Capítulo I: Estado del conocimiento. 12

27 Cálculo de la capacidad de carga en suelos no homogéneos según la Propuesta de normativa cubana. Para los casos de bases de cimentaciones estratificadas, en las cuales a una profundidad de 1,5 B existan dos estratos de suelos diferentes, según la Propuesta de normativa cubana se presenta tres posibles casos a valorar. - El primer estrato más débil que el segundo: el diseño por capacidad de carga se realizará considerando las características físico mecánicas del primer estrato. - Ambos estratos tienen capacidades resistentes similares: puede tomarse la solución ingenieril de diseñarse directamente con las características físico - mecánicas del primer estrato. - El segundo estrato más débil que el primero: de ser así, la capacidad de carga de la base de la cimentación se obtendrá a partir de las características físico - mecánicas de ese segundo estrato, debiéndose garantizar la condición de diseño: NZ* Qbtz* (1.19) Dónde: NZ*: componente vertical total de la resultante de todas las solicitaciones de cálculo a la profundidad z donde aparece el segundo estrato. Nz* = N * + 20 b l d + γ21* H1 (b + H1) (l + H1) (1.20) γ21*: peso específico del primer estrato por debajo del nivel de cimentación. (Por debajo del nivel freático se toma el peso específico saturado). H1: espesor del primer estrato. Qbtz*: carga bruta de trabajo resistente a la estabilidad de la base a la profundidad z, determinada con las características físico mecánicas de cálculo del segundo estrato, las dimensiones de la cimentación ficticia situada a la profundidad z, que serán (b + H1), (1 + H1), y la profundidad de cimentación (d + H1). Capítulo I: Estado del conocimiento. 13

28 Fig. 1.5: Esquema de la cimentación apoyada en una estratificación donde se simbolizan los parámetros necesarios para chequear la capacidad de carga del segundo estrato. Considerando además: ezl* = (Ml* + Hl* (d + Hl))/(Nz*) (1.21) ebl* = (Mb* + Hb* (d + Hl))/(Nz*) (1.22) bz = (b + Hl) 2 ezb* lz = (l + Hl) 2 ezl* (1.23) (1.24) Capítulo I: Estado del conocimiento. 14

29 Siendo: ezl*, ebl*: excentricidad de las cargas con sus valores de cálculo a una profundidad (d + H1), en el sentido de l y b respectivamente. bz, lz : lados efectivos de la cimentación a una profundidad (d + H1), para b y l respectivamente. Lz : Lado mayor entre 1z y bz Bz : Lado menor entre 1z y bz De no cumplirse la condición (1.19) se aumentará el área de la base hasta lograr satisfacerla. Para los casos de las bases de cimentaciones muy estratificadas, en las cuales a una profundidad de 1.5 B existan más de dos estratos de suelos diferentes, no son válidas las expresiones definidas para la determinación de la capacidad de carga de las bases de las cimentaciones, debiéndose realizar un análisis específico de cada caso, pudiéndose apoyar para ello en los métodos de análisis de estabilidad de taludes o en otros procedimientos que se definan por el proyectista. ((NC), 2004) Cimentaciones en suelos estratificados puramente cohesivos. (Badillo, 1967). La frecuencia con que en la práctica se presentan cimentaciones poco profundas en suelos estratificados ha obligado, por otra parte, al uso de soluciones aproximadas con las que se espera poder llegar a resultados razonables. Frecuentemente, las soluciones empleadas para el caso están claramente inspiradas en las obtenidas para materiales homogéneos. Los casos más frecuentes de estratificación en la práctica son aquellos en que un estrato de arcilla firme se presenta sobre otro de arcilla suave o en que un estrato friccionante sobreyace a otro cohesivo poco resistente. En estos casos, el efecto de la estratificación es una distorsión en la superficie de falla, que tiende a crecer en el estrato débil y a tener desarrollos mínimos en el más fuerte. Obviamente, para que lo anterior suceda es preciso que la frontera del estrato débil no Capítulo I: Estado del conocimiento. 15

30 esté muy lejana del desplante del cimiento; en caso contrario, no se sabe muy bien cual sea el efecto del estrato débil, pero su efecto va haciéndose de menor importancia, según la separación aumente, al grado que cuando la separación es del orden de 2B, el efecto de su presencia es prácticamente despreciable. Para el caso de la secuencia de dos estratos arcillosos saturados, Button ha propuesto una solución basada en el análisis de superficies cilíndricas de fallas, en la que se dan los valores de capacidad de carga Nc, modificado para tomar en cuenta la presencia del estrato inferior, en función de la relación d/b, en que d es el espesor del estrato superior y B el ancho del cimiento y de la relación de las cohesiones de ambos estratos. La solución de Button cubre tanto el caso mencionado, en que el estrato más resistente es el superior, como el caso inverso, quizá menos frecuente en la práctica. En la gráfica se ve que el efecto del estrato débil es disminuir la capacidad de carga del fuerte y esta disminución depende tanto de la relación de cohesiones de ambos estratos, como de la relación d/b. Por el contrario, cuando el estrato débil está arriba, el hecho de tener un estrato resistente abajo hace que su capacidad de carga aumente. Si el estrato inferior es mucho más resistente que el superior, la superficie de falla es tangente a éste y no influye en la capacidad de carga la resistencia del estrato inferior, por alta que sea; esto se pone de manifiesto, para una cierta relación d/b, por la horizontalidad de las líneas de la figura, después de que se alcanza un cierto valor de C2/C1. Capítulo I: Estado del conocimiento. 16

31 Fig. 1.6: Solución de Button para un sistema de dos estratos cohesivos Capacidad de carga de suelos estratificados: Suelo más fuerte sobre suelo más débil. (Das, 2001) En la práctica se encuentran frecuentemente perfiles de suelo estratificado, en tales casos, la superficie de falla bajo carga última puede extenderse a través de dos o más estratos. La determinación de la capacidad de carga última en suelos estratificados se hace sólo en un número limitado de casos. A continuación se muestra el procedimiento para estimar la capacidad de carga de suelos estratificados propuestos por Meyerhof (1974) y Hanna (1978). La figura 1.7 muestra una cimentación superficial corrida soportada por un estrato de suelo más fuerte sobre un estrato de suelo más débil, extendida hasta una gran profundidad. Para los dos estratos de suelo, los parámetros físicos son los siguientes: Capítulo I: Estado del conocimiento. 17

32 Estrato Peso Específico Angulo de fricción del suelo Cohesión Superior γ1 Φ1 C1 Inferior γ2 Φ2 C2 Tabla 1.1: Parámetros físicos de dos estratos de suelo. Fig. 1.7: Capacidad de carga de una cimentación corrida sobre suelo estratificado. Bajo carga última por área unitaria (qu), la superficie de falla en el suelo será como muestra la figura 1.7. Si la profundidad H es relativamente pequeña comparada con el ancho B de la cimentación, ocurrirá una falla por cortante de punzonamiento en la capa superior de suelo seguida por una falla por cortante general en el estrato inferior, como Capítulo I: Estado del conocimiento. 18

33 muestra la figura 1.7a. Sin embargo, si la profundad H es relativamente grande, entonces la superficie de falla estará completamente localizada en el estrato superior de suelo, que es el límite superior para la capacidad de carga última, como muestra la figura 1.7b. La capacidad de carga última, qu, para este tipo de problema, lo muestra la figura 7a, y puede darse como: (1.25) Dónde: B: ancho de la cimentación. Ca: fuerza adhesiva. Pp: fuerza pasiva por unidad de longitud de las caras aa y bb. qb: capacidad de carga del estrato inferior del suelo. δ: inclinación de la fuerza pasiva Pp respecto a la horizontal. Note que, en la ecuación 1.25 (1.26) Dónde: Ca = adhesión Por lo tanto la ecuación 1.25 puede simplificarse a la forma siguiente: (1.27) Dónde KpH: coeficiente de la componente horizontal de la presión de la tierra. Sin embargo, sea (1.28) Dónde Ks: coeficiente de corte por punzonamiento Capítulo I: Estado del conocimiento. 19

34 Entonces: (1.29) El coeficiente del corte por punzonamiento Ks es función de q1/q2 y Φ1, o: Note que q1 y q2 son las capacidades de cargas últimas de una cimentación corrida de ancho B bajo carga vertical sobre las superficies de estratos gruesos homogéneos de suelo superior e inferior, o: (1.30) (1.31) Dónde Nc(1), Nγ(1) = factores de capacidad de carga para el ángulo de fricción Φ1 Nc(2), Nγ(2) = factores de capacidad de carga para el ángulo de fricción Φ2 Para el estrato superior de un suelo más fuerte, q1/q2 debe ser menor que 1. Fig. 1.8: Coeficiente K s de corte por punzonamiento según Meyerhof y Hanna Capítulo I: Estado del conocimiento. 20

35 La variación de Ks con q2/q1 y Φ1 se muestra en la figura 1.8, la variación de ca/c1 con q2/q1 en la figura 1.9. Si la altura H es relativamente grande, entonces la superficie de falla en el suelo estará completamente localizada en el estrato superior de suelo más fuerte (figura 1.7b). Para este caso: (1.32) Donde Nq(1) = factor de capacidad de carga para Φ = Φ1 y q = γ1df Fig. 1.9: Variación de c a /c 1 vs q 2 /q 1 basada en la teoría de Meyerhof y Hanna (1978) Combinando las ecuaciones 1.23 y 1.26 (1.33) Para cimentaciones rectangulares, la expresión anterior puede ampliarse a la forma: (1.34) Capítulo I: Estado del conocimiento. 21

36 Dónde: (1.35) (1.36) Dónde: Fcs(1), Fqs(1), Fγs(1) = factores de forma con respecto a la capa superior del suelo. Fcs(2), Fqs(2), Fγs(2) = factores de forma con respecto a la capa inferior del suelo. Existen casos especiales para la determinación de la capacidad de carga en suelos no homogéneos, estos son los que se presentan a continuación: 1. El estrato superior es una arena fuerte y el estrato inferior es arcilla suave saturada (Φ2 = 0). (1.37) (1.38) Por consiguiente: (1.39) Capítulo I: Estado del conocimiento. 22

37 Para la determinación de Ks: (1.40) 2. El estrato superior es arena más fuerte y el estrato inferior es arena más débil (c1=0, c2=0). La capacidad última de carga puede darse por: (1.41) Dónde: (1.42) (1.43) 3. El estrato superior es arcilla saturada más fuerte (Φ1 = 0) y el estrato inferior es arcilla saturada más débil (Φ2 = 0). La capacidad última de carga puede darse por: (1.44) (1.45) Capítulo I: Estado del conocimiento. 23

38 Para este caso: (1.46) 1.4. Modelación de problemas ingenieriles. La modelación se puede definir como una herramienta para el manejo práctico o teórico de un sistema por medio del cual se estudia un problema, aplicando relaciones constitutivas, físico-matemáticas, a dicha situación. Cuando se conoce el comportamiento del material, existen varias alternativas para resolver, mediante un modelo, la situación problémica y cada una constituye un método para hacerlo, ya sea analítico, empírico o numérico (Sotolongo & Ibañez, 2001). Un paso fundamental de la modelación consiste en la construcción o selección del objeto (tangible o abstracto) que reemplaza al objeto real en estudio. La forma como se reemplaza el objeto real de estudio define el tipo de modelación, el cual puede ser físico, matemático, análogo, lógico, etc. Cada tipo de modelación tiene sus ventajas, desventajas y requerimientos Modelación numérica. En la actualidad es difícil imaginar la ciencia sin la amplia aplicación de modelos matemáticos, aún más, disciplinas científicas como la mecánica, la física y sus múltiples divisiones pueden ser vistas como un conjunto ordenado de modelos matemáticos que se acompañan de un fundamento teórico sobre el nivel de veracidad con que estos modelos reflejan la realidad. Esto permite enunciar que a través de los modelos matemáticos las disciplinas científicas interactúan con la matemática. La modelación numérica es utilizada cuando las condiciones del problema son demasiado complicadas de representar matemáticamente, y los métodos analíticos se hacen poco abordables. (Sotolongo & Ibañez, 2001). Esta dificultad ha hecho que se desarrolle una serie de programas computarizados que sean capaces de implementar métodos numéricos tales como el Método de las Diferencias Finitas (MDF) y el Método de los Elementos Finitos (MEF), entre ellos se destacan : ANSYS 10.0, SDRC/IDEAS, Capítulo I: Estado del conocimiento. 24

39 ABAQUS, COSMOS, SAP2000, STAAD etc. (Chagoyén Méndez & Broche Lorenzo, 2005) Método de Elementos Finitos (MEL). En comparación con el resto de los métodos que se emplean para la investigación de problemas geotécnicos el Método de los Elementos Finitos (MEF), brinda varias facilidades, dentro de las que se señalan: Incorpora a su solución herramientas de cálculos mejor elaboradas. Es muy versátil a la hora de modelar geometrías complejas. Su uso se ha extendido para obtener soluciones a problemas con comportamiento no lineal del material. La capacidad de adecuación a diferentes efectos locales. Para adentrarse más en el contenido hay que destacar que una estructura discreta tiene su deformación definida por un número finito de parámetros que componen un vector de deformación. Para medios continuos el número infinito de posibilidades define una función vectorial que tiene tres componentes escalares: u (x, y, z) u = v(x, y, z) w(x, y, z) De forma general esta función u no puede conocerse ya que no se puede asegurar que existe una expresión analítica para su manejo y por tanto no puede calcularse. (Celigüeta, 2011) Precisamente para resolver este inconveniente se introduce el criterio de discretización que define al método en última instancia. La forma en la que se concibe este concepto es la siguiente: El continuo se divide por medio de líneas o superficies imaginarias en una serie de regiones contiguas y disjuntas entre sí, de formas geométricas sencillas y normalizadas, llamadas elementos finitos. Capítulo I: Estado del conocimiento. 25

40 Los elementos finitos se unen entre sí en un número finito de puntos, llamados nudos. Los desplazamientos de los nudos son las incógnitas básicas del problema, y éstos determinan unívocamente la configuración deformada de la estructura. Sólo estos desplazamientos nodales se consideran independientes. El desplazamiento de un punto cualquiera, viene unívocamente determinado por los desplazamientos de los nudos del elemento al que pertenece el punto. Para ello se definen para cada elemento, unas funciones de interpolación que permiten calcular el valor de cualquier desplazamiento interior por interpolación de los desplazamientos nodales. Estas funciones de interpolación serán de tal naturaleza que se garantice la compatibilidad de deformaciones necesaria en los contornos de unión entre los elementos. Las funciones de interpolación y los desplazamientos nodales definen unívocamente el estado de deformaciones unitarias en el interior del elemento. Éstas, mediante las ecuaciones constitutivas del material definen el estado de tensiones en el elemento y por supuesto en sus bordes. Para cada elemento, existe un sistema de fuerzas concentradas en los nudos, que equilibran a las tensiones existentes en el contorno del elemento, y a las fuerzas exteriores sobre él actuantes. Los dos aspectos más importantes de esta hipótesis, sobre los que hay que hacer hincapié son: La función solución del problema u es aproximada de forma independiente en cada elemento. Para una estructura discretizada en varios elementos, pueden utilizarse funciones de interpolación distintas para cada uno de ellos, a juicio del analista, aunque deben cumplirse ciertas condiciones de compatibilidad en las fronteras entre los elementos. La función solución es aproximada dentro de cada elemento, apoyándose en un número finito (y pequeño) de parámetros, que son los valores de dicha función en los nudos que configuran el elemento y a veces sus derivadas. (Beltrán, 1999) (Celigüeta, 2011) Capítulo I: Estado del conocimiento. 26

41 La malla de discretización, es un elemento básico dentro de la elaboración de un modelo y para su elaboración es necesario seguir ciertos criterios que definirán la exactitud de la aproximación, reduciendo los errores a marcos permisibles. Si se define una superficie como Ω, para construir una malla se comienza por dividir el dominio de Ω en un número finito E de subdominios Ω1; Ω2; ΩE llamados elementos finitos que no se solapan y cubren todo el dominio de Ω. Para evitar complicaciones innecesarias se asume que dicho dominio es poligonal y su frontera se compone de segmentos rectos (Brenner & Scott, 1994), de forma tal que todo lado de la frontera es o parte de ella o un lado de otro elemento, haciendo imposible que una situación como la de la figura tenga lugar: Fig. 1.10: Discretización no aceptada en el dominio de Ω. Como se aprecia, AB es un lado de Ω2 pero no lo es para Ω1. (Calderon & Gallo, 2011). Según Ibañez, 2001, la malla debe ser en sí, el fruto de un compromiso entre la capacidad de cálculo posible (número máximo de grados de libertad) y la precisión aceptable sobre los resultados numéricos. Además se recomienda: Lograr la mayor aproximación al problema mecánico en términos de geometría, condiciones de frontera y sistemas de cargas. Crear una malla lo suficientemente fina en las zonas más solicitadas, o sea donde se prevean la existencia de las mayores tensiones y/o deformaciones. Además también lo deben ser en zonas donde existan grandes cambios de curvatura. Capítulo I: Estado del conocimiento. 27

42 Definir elementos lo más parecidos a cuadrados, cubos o triángulos equiláteros para evitar la distorsión de los elementos y por tanto no introducir perturbaciones en los cálculos. (Sotolongo & Ibañez, 2001). Como resumen se puede destacar como grandes ventajas del MEF el hecho de facilitar el cálculo de sistemas continuos cuya complejidad propia hace inaplicables modelos analíticos tradicionales. En la mayoría de los casos, el riesgo de errores operativos se reduce a límites despreciables. La discretización permite observar el comportamiento del sistema en áreas muy específicas brindando la posibilidad de actuar sobre ellas de forma independiente (Ainsworth & Oden, 2000). Por otro lado el MEF presenta una serie de limitaciones que de ninguna forma desmeritan su aplicación ya que, en muchas ocasiones, son despreciables ante la objetividad de los resultados obtenidos. Estas son: El MEF calcula soluciones numéricas concretas y adaptadas a unos datos particulares de entrada, no puede hacerse un análisis de sensibilidad sencillo que permita conocer como variará la solución si alguno de los parámetros se altera ligeramente. Es decir, proporciona sólo respuestas numéricas cuantitativas concretas no relaciones cualitativas generales. El MEF proporciona una solución aproximada cuyo margen de error en general es desconocido. Si bien algunos tipos de problemas permiten acotar el error de la solución, debido a los diversos tipos de aproximaciones que usa el método, los problemas no-lineales o dependientes del tiempo en general no permiten conocer el error. En el MEF la mayoría de aplicaciones prácticas requiere mucho tiempo para ajustar detalles de la geometría, existiendo frecuentemente problemas de mal condicionamiento de las mallas, desigual grado de convergencia de la solución aproximada hacia la solución exacta en diferentes puntos, etc. En general una simulación requiere el uso de numerosas pruebas y ensayos con geometrías simplificadas o casos menos generales que el que finalmente pretende simularse, antes de empezar a lograr resultados satisfactorios. Capítulo I: Estado del conocimiento. 28