MÉTODO ESTADÍSTICO DE SUBGRUPOS PARA TRATAMIENTO RESONANTE EN EL CÓDIGO PHOENIX5

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1 MÉTODO ESTADÍSTICO DE SUBGRUPOS PARA TRATAMIENTO RESONANTE EN EL CÓDIGO PHOENIX5 Boschetti, F 1., Casal, J 2., Fabisik, J 1., Lipiec, W 2., Olivius, P 2., Sardella, F 1., Villarino, E 1. 1 Departamento de Ingeniería Nuclear, INVAP S.E. Av. Cmte Luis Piedrabuena 4950, R8403CPV S.C. de Bariloche, Rio Negro, Argentina fnboschetti@invap.com.ar, men@invap.com.ar 2 Westinghouse Electric Sweden AB. Resumen. En el marco del proyecto de actualización del código de celda de Westinghouse, INVAP S.E. ha generado una biblioteca a 361 grupos. Esta estructura de grupo presenta un grado de detalle significativo en la región resonante y la metodología de subgrupos basada en diluciones equivalentes implementada en PHOENIX5 muestra inestabilidades numéricas en ciertos grupos de esta nueva estructura al realizar un modelado espacial detallado. Un nuevo método de subgrupos fue desarrollado para tener en cuenta este alto grado de detalle así como también requisitos adicionales, tales como la capacidad de tratar interacciones fuertes entre isótopos resonantes y gradientes de temperatura en los materiales resonantes a través de factores de correlación. Esta nueva metodología está basada en el método estadístico de subgrupos. Los parámetros de subgrupos necesarios para el cálculo son dependientes del problema, pues deben ser generados a la temperatura de la región donde se localizan los isótopos. Aunque este método fue optimizado para un mallado energético fino en el rango resonante, muestra una excelente precisión para una estructura de grupo menos detallada gracias a la incorporación de una corrección específica. La introducción de la aproximación variacional y técnicas de agrupamiento implican una reducción del tiempo computacional durante el tratamiento resonante. Más aun, no se han observado diferencias significativas en la sección eficaz apantallada o en el factor de multiplicación para un amplio rango de aplicación de la aproximación variacional. Los resultados muestran un gran nivel de precisión al ser comparados contra MCNP. Una serie de benchmarks de distribución radial de sección eficaz para isótopos resonantes en la barra combustible han sido preparados y analizados. Un caso de prueba con un perfil de temperatura radial fue también utilizado como verificación de las nuevas capacidades de la metodología implementada. Adicionalmente, se consideró un conjunto de benchmarks con el objetivo de comparar la calidad del nuevo método en factor de multiplicación contra MCNP, no solo al usar la biblioteca de referencia a 361 grupos, sino también la biblioteca de producción con una estructura de grupo menos detallada. 1 AATN XLII Reunión Anual

2 SUBGROUP STATISTICAL METHOD FOR RESONANCE TREATMENT IN PHOENIX5 CODE Boschetti, F 1., Casal, J 2., Fabisik, J 1., Lipiec, W 2., Olivius, P 2., Sardella, F 1., Villarino, E 1. 1 Nuclear Engineering Department, INVAP S.E. Av. Cmte Luis Piedrabuena 4950, R8403CPV S.C. de Bariloche, Rio Negro, Argentina fnboschetti@invap.com.ar, men@invap.com.ar 2 Westinghouse Electric Sweden AB. Abstract. In the frame of Westinghouse new lattice code project, INVAP S.E. has generated a 361 group library. This group structure has a significant detail in the resonance region and the subgroup methodology based on equivalent dilutions implemented in PHOENIX5 exhibit numerical instabilities in some resonance groups of this new energy structure when detailed spatial modeling is performed. A new subgroup method was developed to take into account this high level of detail and additional requirements, such as the capability of dealing with the strong interaction between resonance isotopes and with temperature gradients in the resonance materials by means of correlation factors. This new methodology is based on the subgroup statistical method. The subgroup parameters needed for the calculation are problem-dependent as they must be generated at the temperature of the region where the isotopes are localized. Although this method was specially optimized for a thin energy mesh in the resonance range, it shows excellent accuracy for coarse group structures with the incorporation of a specific correction. The introduction of the variational approximation and grouping techniques imply a huge reduction in computational time during the resonance treatment. Moreover, no significant differences were observed in the self-shielded cross-section or in the multiplication factor for a large application range of the variational approximation. The results show a high level of accuracy when comparing against MCNP. Benchmarks for radial distribution of cross-section for resonance isotopes inside a fuel rod were prepared and analyzed. A test case with radial temperature profile was also used for the verification of the new capabilities of the implemented methodology. Additionally, a set of benchmarks was performed to compare the quality of the new method in multiplication factor against MCNP, not only when using the 361 group reference library but also when using the coarse group structure production library. 2 AATN XLII Reunión Anual

3 1. INTRODUCCIÓN Con el objetivo de mejorar las capacidades del código de celda PHOENIX5 frente a una biblioteca con estructura fina de 361 grupos (SHEM) [1], se evaluaron varios métodos de tratamiento resonante. De este modo los métodos Estadístico (ST), Ribon y SPM implementados en el código DRAGON [2,3] mostraron la capacidad de solucionar los inconvenientes presentados en el método de subgrupos del código PHOENIX5. Sin embargo las implementaciones realizadas en DRAGON mostraron un alto costo computacional; asimismo un análisis teórico de todos los métodos logró determinar que el método ST cumple con las expectativas deseadas y permite incorporar nuevas capacidades como la posibilidad de tratar perfiles de temperatura por medio de la correlación ECCO [4], la posibilidad adicional de incorporar técnicas de agrupamiento de isótopos resonantes y la aproximación variacional [5], reduciendo notoriamente el tiempo computacional sin pérdida significativa de precisión en los cálculos, con la ventaja de reducir al máximo el conjunto de datos nucleares necesarios. El modelo ST difiere de los modelos de Resonancia Ancha (WR) y Angosta (NR); este modelo considera resonancias angostas, numerosas y estadísticamente distribuidas a lo largo del grupo. Es un modelo que puede ser empleado en todo el rango resonante con precisión aceptable sin la necesidad de la utilización del parámetro de Goldstein-Cohen en el modelo de Resonancia Intermedia (IR) [6]. De esta manera, se implementó en el código PHOENIX5 una variante del método ST con mejoras en el tratamiento de perfiles de temperatura y optimizado para reducir el costo computacional. 2. MÉTODO TEÓRICO El objetivo final de cualquier tratamiento resonante consiste en la evaluación de, las secciones eficaces (XSs) apantalladas para cualquier reacción en un grupo y región, la cual es formalmente definida por la Ec. (1). (1) La metodología general de subgrupos se basa en las siguientes consideraciones: Partiendo de una ecuación simplificada de transporte, todas las integrales de Riemman en energía son remplazadas por integrales de Lebesgue en XS total. Estas integrales de Lebesgue son discretizadas con tablas de probabilidad. La ecuación resultante, se llama ecuación de subgrupos y presenta la forma de una ecuación ordinaria de transporte. Puede ser resuelta por medio de probabilidad de colisiones, ordenadas discretas o método de características para el sistema heterogéneo bajo análisis. 3 AATN XLII Reunión Anual

4 La metodología de subgrupos presente en PHOENIX5 [7] parte del hecho de representar un sistema heterogéneo por un sistema homogéneo equivalente; las simplificaciones realizadas al término fuente han permitido reducir notoriamente el número de cálculos de transporte necesarios para la metodología; sin embargo estas simplificaciones efectuadas limitan la posibilidad de representar correctamente el apantallamiento espacial, la correcta interacción de los isótopos resonantes de la mezcla y los posibles gradientes de temperatura en las regiones resonantes. El modelo ST permite darle un mayor detalle al término fuente incorporando la posibilidad de contemplar los puntos antes mencionados MODERACIÓN EN EL RANGO RESONANTE En el rango resonante la reacción de scattering elástico conlleva a un efecto de moderación pura. Un conjunto de aproximaciones son necesarias como base de partida en la obtención de las ecuaciones de subgrupos del método ST: Las XSs de los isótopos no resonantes son considerados constantes en letargia para cada grupo. Se asume que la fuente de neutrones generada como consecuencia del scattering inelástico y las reacciones de fisión nuclear desaparecen en el rango energético de moderación. Se considera que la reacción de scattering es isotrópica en Laboratorio. [ ] [ ] (2) (3) donde + = Índice para denotar propiedades de isótopos no resonantes. * = Índice para denotar propiedades de isótopos resonantes. = Operador de moderación elástica para el isótopo. = Momento de orden cero de la expansión en polinomios de Legendre de la matriz diferencial de scattering para el isótopo APROXIMACIÓN DE LIVOLANT Y JEANPIERRE La ecuación anterior puede ser simplificada utilizando un conjunto de aproximaciones propuestas por Livolant y Jeanpierre [8]. El flujo neutrónico en cada región puede ser factorizado como el producto de un flujo resonante de 4 AATN XLII Reunión Anual

5 estructura fina con una distribución regular en letargia (flujo isotrópico). Esta última distribución es llamada flujo macroscópico y representa el comportamiento asintótico del flujo neutrónico entre las resonancias. Esta distribución es definida en términos de la moderación de los isótopos no resonantes, la cual actúa como operador suavizante del flujo neutrónico. (4) De este modo, incorporando las consideraciones anteriores en la Ec. (2), es posible obtener una ecuación fuente sobre el rango resonante expresada en flujo microscópico. [ ] [ ] (5) 2.3. OPERADOR DE SUBGRUPOS Como fue mencionado previamente, es necesario pasar de integrales de Riemann en energía a integrales de Lebesgue con el objetivo de hallar la ecuación de transporte expresada en término de subgrupos. La conexión está dada por funciones de densidad de probabilidad. { } { ( )} [ ( )] (6) Sin embargo existen distintas posibilidades al considerar la dependencia de. ( ) ( ): En este caso dos isótopos diferentes están presentes a la misma temperatura interactuando el uno con el otro. Surge un factor de correlación entre ambos isótopos,. Este factor para el caso del modelo ST puede expresarse del siguiente modo:. Asimismo, esta aproximación puede ser aceptable cuando la estructura energética considerada tiene grupos lo suficientemente finos en el dominio energético con efectos de solapamiento de resonancias. Esta aproximación falla cuando los isótopos y corresponden al mismo isótopo a diferentes temperaturas; para ello se 5 AATN XLII Reunión Anual

6 contempla el uso de la correlación ECCO, de modo tal de tener en cuenta estos efectos mencionados. ( ) ( ) : este caso se corresponde con el operador de moderación, donde surge una correlación entre los términos difusivos y de colisión; esto implica tener en cuenta la probabilidad de alcanzar una XS total como consecuencia de una colisión en la XS total. Mediante la aplicación del modelo ST, este factor de correlación puede ser simplificado, reduciendo notoriamente el conjunto de datos nucleares necesarios a disponer en la biblioteca PARÁMETROS DE SUBGRUPOS Considerando un medio infinito y homogéneo, la ecuación de transporte en el rango resonante para una mezcla de isótopos puede ser simplificada como se muestra en la Ec. (7). [ ] { } (7) Al despreciar la moderación de los isótopos resonantes frente a la de los no resonantes es posible aproximar el flujo en función de la letargia con la siguiente expresión: donde (8) Finalmente la sección eficaz apantallada por NJOY puede ser calculada con la Ec. (9) para una reacción parcial, a una específica temperatura, a una dada dilución y un grupo de energía. (9) Un ajuste de la curva anterior [3,9,10], permitirá la obtención de los parámetros de subgrupos para un dado isótopo resonante aislado, en un medio infinito homogéneo; estos son los pesos ( ), las XSs parciales ( ), y las XSs parciales para la reacción considerada ( ) MÉTODO ESTADÍSTICO DE SUBGRUPOS La idea del método consiste en calcular un flujo relativo para cada uno de los isótopos resonantes del sistema, considerando la interacción del resto de los isótopos en la mezcla. La ecuación de transporte final para un subgrupo de un isótopo resonante en un grupo puede ser resumida en la Ec. (10). 6 AATN XLII Reunión Anual

7 [ ] (10) [ ] donde = XS total del isótopo no resonante. = XS del subgrupo para el isótopo resonante. = XS del resto de los isótopos resonantes con interacción. Incluye la corrección ECCO, para contemplar gradientes de Temperatura. = Término Fuente; genera acople entre los distintos subgrupos del isótopo resonante principal, y entre los distintos isótopos resonantes de la mezcla ACELERACIÓN DEL MÉTODO El método ST contempla la necesidad de resolver un gran número de ecuaciones de transporte con el objetivo de hallar los flujos parciales necesarios para apantallar las XSs. Sin embargo, las características del método facilitan la implementación de técnicas de agrupamiento de isótopos resonantes y la utilización de la aproximación variacional para disminuir notoriamente el número de cálculos de transporte sin reducción significativa en la precisión. Adicionalmente, el desacople de grupos de energía como consecuencia de la fuente simplificada de moderación hace al método potencialmente paralelizable ANALOGÍA MULTIGRUPO En la Ec. (10), es posible identificar para el isótopo resonante una sección eficaz total del subgrupo, una sección eficaz de self-scattering, y una fuente de acople entre los distintos subgrupos que no tiene en cuenta al subgrupo del isótopo resonante en cuestión. De esta manera, es posible escribir los términos como: 7 AATN XLII Reunión Anual

8 Por otro lado el término fuente puede ser reorganizado con las siguientes consideraciones: : valor de fuente fija para todos los isótopos resonantes y subgrupos considerados. Este término solo se ve modificado cuando nos movemos de región o cambiamos de grupo energético. : término fuente que acopla todos los subgrupos de un determinado isótopo. : término fuente que acopla todos los isótopos resonantes considerados (incluyendo sus respectivos subgrupos). La Ec. (10) puede reescribirse incluyendo la terminología anterior. { } { }, (11) En la Figura 1 se presenta un esquema de resolución iterativa para la Ec. (11). Figura 1. Esquema Iterativo de Resolución de la Ec. (11). 8 AATN XLII Reunión Anual

9 3. SBGCAL Con el objetivo de avanzar en el desarrollo del método, se realizó una implementación aislada previa a su incorporación en PHOENIX5. Este programa, solo acepta geometrías cilíndricas 1D para resolver probabilidades de colisión con condición de frontera blanca. Está basada en las subrutinas COPRAN y COLPROB [11] BENCHMARK Se procedieron a preparar dos benchmarks resonantes [12,13], con el objetivo de comparar XSs apantalladas y por grupo, resultantes de la aplicación del método ST contra las obtenidas por medio de MCNP BARRA COMBUSTIBLE PWR. TEMPERATURA UNIFORME Se consideró una barra combustible PWR con enriquecimiento del 4.5%, y se procedió a analizar la distribución de la sección eficaz apantallada a lo largo del radio de la misma para todos los grupos de la estructura SHEM-361. En las Figuras 2,3 y 4 se muestran los resultados obtenidos para ciertas energías en la cuales el 238 U presenta resonancias relevantes MCNP SBGCAL 0% 5950 abs [barn] Posición Radial [cm] Figura 2. XS apantallada para la Resonancia de 6.67 ev en el 238 U. 9 AATN XLII Reunión Anual

10 2200 MCNP SBGCAL 0% abs [barn] Posición Radial [cm] Figura 3. XS apantallada para la Resonancia de 36.7 ev en el 238 U MCNP SBGCAL 0% 1500 abs [barn] Posición Radial [cm] Figura 4. XS apantallada para la Resonancia de 66.0 ev en el 238 U. 10 AATN XLII Reunión Anual

11 abs [barn] 3.3. MÉTODO VARIACIONAL Tomando como referencia el benchmark de la sección anterior, es posible modificar el grado de aproximación variacional empleado en la resolución de las ecuaciones de transporte involucradas en el tratamiento resonante sin incurrir en una gran perturbación de las XSs incluso para altos porcentajes de la aproximación. En la Figura 5 se muestra el resultado de relajar el cálculo para una resonancia de importancia en el 238 U. Es posible observar que aún en casos de un gran porcentaje variacional el método sigue siendo robusto, pues no genera comportamientos anormales; por el contrario la XS apantallada se ve suavizada tomando valores cercanos al promedio en la pastilla MCNP SBGCAL 0% SBGCAL 20% SBGCAL 40% SBGCAL 60% SBGCAL 70% SBGCAL 100% Posición Radial [cm] Figura 5. XS apantallada para la Resonancia de 6.67 ev en el 238 U. Distintos porcentajes de Aproximación Variacional empleada en la Metodología. En función del análisis previo, es posible definir un error de la XS apantallada respecto del valor reportado por MCNP teniendo en cuenta cada región. (12) 11 AATN XLII Reunión Anual

12 En la Figura 6 se presenta un análisis del costo computacional en función del error para la resonancia en cuestión Error Temperatura [K] Número de Cálculos de Transporte [#] Error Transport Calc. [#] Porcentaje Variacional [%] Figura 6. Análisis del error y número de cálculos de transporte en función del porcentaje variacional empleado para la resonancia de 6.67 ev del 238 U BARRA COMBUSTIBLE PWR. TEMPERATURA DISTRIBUIDA Empleando el benchmark especificado en la sección anterior, pero considerando un perfil de temperatura en la pastilla como se muestra en la Temperatura Radios [cm] Figura 7. Perfil de temperatura a lo largo de la pastilla para una potencia característica de PWR. 12 AATN XLII Reunión Anual

13 Figura 7, se efectuó el análisis del método ST al incorporar la correlación ECCO, necesaria para contemplar el solapamiento de resonancias pertenecientes al mismo isótopo pero a distintas temperaturas. El perfil de temperaturas se obtuvo considerando una potencia característica de operación para un reactor del tipo PWR [14]. De este modo en la Figura 8 es posible observar la diferencia en la XS apantallada del 238 U para una resonancia característica de 6.67 ev al considerar una temperatura media o un perfil de temperaturas MCNP SBGCAL 0% SBGCAL 0% T=924.3 K 4400 abs [barn] Posición Radial [cm] Figura 8. XS apantallada para la Resonancia de 6.67 ev en el 238 U según se tenga en cuenta la distribución de temperaturas o una temperatura promedio de la pastilla. 4. PHOENIX5 El mismo conjunto de resultados anteriores fue verificado al implementar el método ST en PHOENIX5. En este caso, se incorporó adicionalmente la posibilidad de agrupar isótopos resonantes en categorías de modo tal de seleccionar isótopos representativos y representados. Esta selección se efectuó de forma tal de agrupar isótopos con características similares en el rango resonante y teniendo en cuenta la ubicación espacial de los mismos. Las mejoras en tiempo computacional respecto al método original ST son notorias, sin la necesidad de incurrir en fuertes aproximaciones. 13 AATN XLII Reunión Anual

14 4.1. BARRA COMBUSTIBLE PWR. FACTOR DE MULTIPLICACIÓN En la Tabla 1 se muestran los factores de multiplicación para los benchmarks de Temperatura uniforme y distribuida. Es posible observar la precisión lograda con la correlación ECCO respecto a MCNP. MCNP SD PHX5 [pcm] UO 2 T Uniforme (COLD) UO 2 T Uniforme (HFP) * UO 2 T Distribuida (HFP)/ECCO Tabla 1. Resultados para la Barra Combustible PWR en distintas condiciones.* Considerando las posibles limitaciones del código se comparó con el modelo realista de MCNP DOPPLER DEFFECT BENCHMARK. UO 2 En la siguiente Tabla se resumen los resultados para el benchmark en cuestión [15]. En este caso se analizan los resultados obtenidos para un combustible de UO 2 y diversos enriquecimientos bajo dos condiciones de operación: caliente cero potencia (HZP), y caliente plena potencia (HFP). El porcentaje de variacional empleado es del 5% y cada uno de los isótopos resonantes del problema han sido representados por sí mismos, siendo ellos: 235 U, 234 U, 238 U, 90 Zr, 91 Zr, 92 Zr, 94 Zr, 96 Zr. Estado de Operación HZP HFP PHX5 MCNP SD [wt.%] (8 Res Iso) [ ] Tabla 2. Resultados para el Doppler Deffect Benchmark (UO 2 ) DOPPLER DEFFECT BENCHMARK. MOX En este caso se procedió a analizar el mismo benchmark de la sección anterior pero para barra combustible tipo MOX-R. Se evaluaron los resultados al 14 AATN XLII Reunión Anual

15 considerar todos los isótopos resonantes representados por sí mismos (como la sección 4.2 pero adicionando 239 Pu, 240 Pu, 241 Pu, 242 Am y eliminando el 234 U) y agrupándolo de modo tal de tener un total de 4 isótopos representativos. El análisis se efectuó con un porcentaje de aproximación variacional del 5%, para los dos estados de operación de la sección anterior. Estado de Operación HZP HFP PHX5 PHX5 MCNP SD [ ] [PuO 2 wt.%] (11 Res Iso) (4 Res Iso) [ ] Tabla 3. Resultados para el Doppler Deffect Benchmark (MOX-R). El número de cálculos de transporte se reduce en un 55% en promedio al pasar de 11 a 4 el número de isótopos resonantes Macrocelda Combustible BWR La implementación del método requirió analizar los resultados obtenidos para Macroceldas de un elemento combustible característico de un reactor BWR. En este caso se adicionó la complejidad de la presencia de Gadolinio como veneno quemable en la configuración. Del mismo modo, se consideró la posibilidad de emplear todos los isótopos del sistema como representativos (ZrNat, 155 Gd, 156 Gd, 157 Gd, 158 Gd, 235 U, 238 U), y la posibilidad de agruparlos en 3 categorías distintas. Estado de Operación (7 Res Iso) (3 Res Iso) PHX5 PHX5 MCNP SD [ ] [ ] HFP 0% Vacío HFP 80% Vacío Frío Sin Boro Tabla 4. Resultados para un elemento combustible tipo BWR. En esta ocasión el número de cálculos de transporte se reduce en promedio en un 43% al aplicar la técnica de agrupamiento de isótopos resonantes. 15 AATN XLII Reunión Anual

16 4.5. Biblioteca de Producción a 61 grupos Considerando un espectro característico de un elemento combustible BWR, la biblioteca de 361g es condensada a una biblioteca con estructura energética más gruesa. Esta presenta 61g de modo tal de tratar correctamente las resonancias de un combustible tipo MOX y UO 2. Más allá de las hipótesis mencionadas para el método ST, los resultados obtenidos para esta estructura energética muestran ser lo suficientemente precisos como para considerar al método válido tanto en una estructura energética fina o gruesa en el rango resonante. En este último caso es necesario realizar correcciones para balancear los ritmos de reacción de los isótopos resonantes. En la Tabla 5 se presentan los resultados para la macrocelda combustible BWR a 61g. Estado de Operación (7 Res Iso) (3 Res Iso) PHX5 PHX5 MCNP SD [ ] [ ] HFP 0% Vacío HFP 80% Vacío Frío Sin Boro Tabla 5. Resultados para un elemento combustible tipo BWR a 61g. 5. CONCLUSIONES Con el objetivo de dotar al código de celda PHOENIX5 de la posibilidad de predecir correctamente un perfil radial de XS para una biblioteca a 361g, se ha implementado un módulo nuevo de tratamiento resonante basado en el método ST, logrando superar así las limitaciones observadas en el código. Sin embargo el método ST original ha sido modificado en su implementación permitiendo reducir notablemente el costo computacional. Las principales modificaciones se basan en el esquema iterativo adoptado y en el empleo de técnicas de agrupamiento de isótopos resonantes así como también en el uso de la aproximación variacional. Los resultados obtenidos tanto para la biblioteca fina a 361g como para la biblioteca de producción a 61g, han sido satisfactorios al ser contrastados contra MCNP. Los principales benchmarks resonantes presentados muestran una gran precisión al determinar los perfiles de XSs apantalladas a lo largo de un pin combustible PWR, no solo a una temperatura uniforme sino que también bajo un perfil de temperaturas característico, siendo necesario en este caso el empleo de la correlación ECCO. Asimismo los factores de multiplicación para barras combustibles PWR y macroceldas BWR son comparables con los obtenidos por medio de MCNP, no solo al representar todos los isótopos resonantes sino también al emplear las técnicas de agrupamiento con la consiguiente reducción en el tiempo de cálculo. 16 AATN XLII Reunión Anual

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