SITUACIONES DIDÁCTICAS EN EL CONTEXTO DE INGENIERÍA CIVIL: CASO INFILTRACIÓN DE AGUA EN UN SUELO ESPECÍFICO

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1 Capítulo3.Aspectosepistemológicosenelanálisisyelrediseñodeldiscursomatemáticoescolar SITUACIONESDIDÁCTICASENELCONTEXTODEINGENIERÍACIVIL:CASOINFILTRACIÓN DEAGUAENUNSUELOESPECÍFICO HipólitoHernándezPérez,RuthRodríguez,AdrianaAteneadelaCruz UniversidadAutónomadeChiapas,InstitutoTecnológicode México Monterrey Campodeinvestigación: Socioepistemología Nivel: Superior Resumen.Enlapresenteinvestigaciónseabordóelproblemadeinfiltracióndeaguaenun sueloespecífico,enconsecuenciaseexploróunasituacióndidáctica,considerandolanoción deprediccióncomoprácticasocialenlamodelaciónmatemáticadeestefenómenofísico.se partedelaepistemologíainicialdelbinomiodenewtonylaseriedetaylor,comomarcode referenciaparaelestudiodeldiseñodelasituación,dondelaprácticadepredicciónes incorporadadeformaintencional.alavezsereportalosresultadosylasargumentacionesde losalumnos,lascualesfueronobtenidasapartirdelosexperimentosrealizadasporlos estudiantes, éstos resultados es con la finalidad de tener elementos didácticos para resignificarlaseriedetaylorenlaasignaturadecálculoyecuacionesdiferenciales. Palabrasclave:Infiltración,predicción,resignificación,socioepistemología Problemática En este trabajo se presenta una problemática en la que enfrentamos con frecuencia en la modelaciónmatemáticaeningenieríacivil Cómoobtenerunmodelomatemáticoquerepresente la función de infiltración que estamos estudiando cuando los datos se obtienen experimentalmente? Cómopodemosexpresarunacurvasinotieneunaexpresiónmatemática sencilla?lafinalidadesdeaproximarelcomportamientodelacurva,silacurvaessuaveylos puntosrepresentativosyhacerunabuenaaproximacióndelaspartesquefaltanatravésdela predicciónylainterpolaciónpartiendodeunpuntolocalmenteconocido.(villalobos,2007). EnlarevisióndelplandeestudiosdelacarreradeIngenieríacivil,seencuentraquelamatemática espara:resolver,modelar,identificar,predecirlosproblemasyfenómenosquesepresentanenel entornosocial,mismosquedanunaideadeprediccióndelosfenómenosfísicos,peroenlos contenidosdecálculo,ecuacionesdiferenciales,físicaymateriasaplicadaeningenieríanoestán integradasenformaexplícitalanocióndepredicción(stewart,2006;zill,1993).enlamodelación matemáticaenhidrologíaexistenmodelosqueintentansimularelfenómenodeinfiltraciónen formaempíricasinalcanzarlacertezanecesariaparasupredicción.enestetrabajoseproponeun modelomatemáticoqueseaconfiable,retomandoprincipalmentelasdiferenciasdivididasde ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 977

2 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 Newtonparaobtenerunpolinomioqueseaproximealosvaloresexperimentales.Portanto,se plantea la siguiente hipótesis: la variación de la velocidad de infiltración es directamente proporcionalalasdiferenciasdelacapacidaddeinfiltracióninicialylacapacidaddeinfiltración finalcomoespropuestoen(gardner&widstoe,1921;horton,1940).enelprocesodeinfiltración deaguaenunsueloespecíficoconsideramosparasumodelaciónmatemáticalaprácticasocialde predicciónatravésdelaexploracióndeunasituacióndidácticarealizadaporlosestudiantes, partiendo con el estudio a priori de los datos registrados del experimento a través de un infiltrómetroconstruidoporlosestudiantes.lacondicióninicialylasvariacionesdelainfiltración laconsideramoscomopatronesdeunaepistemologíainicialdelbinomiodenewtonylaseriede Taylorcomomarcodereferenciaparaeldiseñodelasituacióndondelaprácticadepredicciónes incorporadaintencionalmente,yalavezreportamoslosargumentosdelosalumnosconla finalidaddetenerelementosderesignificarlaseriedetaylorenlamodelacióndelprocesode infiltraciónyenlasecuacionesdiferenciales. Antecedentes EnlasinvestigacionesdeCantoral(2001)yHernández(2006)mencionanqueelprocesodecambio enlanaturalezaseregistraenlavariacióndelasvariablesyelreconocimientodelosprocesosde prediccióndecortoalcance(lavariacióndelmovimientolocal)ylaprediccióndelargoalcance (estudiodelavariacióndelmovimientoglobal).elmovimientogeneralylosfenómenosdeflujoen particularposeen,entonces,herencia:elestadoulterior PPQdelfenómenodevariación PPPQ dependecompletamentedelascircunstanciasquecaracterizanalestadodefactop ylaevolucióndeunsistemaqueestácompletamentedeterminadoporsusprimerasvariaciones. Estaconexiónentreestadosprecisacomosustentoprimarioelreconocimientodelapredicción asociada con la variación y cambio en la naturaleza:pqes la variación de la variable independiente. Conestaideayenlanecesidaddepredecir,conocer,adelantar,Newtonestablecióelbinomioque hoyendíallevasunombredesarrolladoenuncontextodemovimientodeflujodeaguayfue dadocomo: ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 978

3 Capítulo3.Aspectosepistemológicosenelanálisisyelrediseñodeldiscursomatemáticoescolar m n m n m mn m2n m3n ( PPQ) P AQ BQ CQ DQetc n 2n 3n 4n Donde: m n A P, m mn m2n B AQ, C BQ, D CD n 2n 3n Sielexponente m esunnúmeroenterononegativo,entonceselbinomiodenewtonesuna n seriefinita,sielexponenteesunnúmerofraccionarioounnúmeronegativoentonceselbinomio denewtonesunaserieinfinita. SegúnEdward(1979),Taylorpublicasuserie,basándoseenelargumentodeinterpolaciónde Gregory Newtonylasdiferenciasfinitasllegóalpolinomioqueseconocecomoelpolinomiode interpolacióndenewton: yy 2 3 k1 k 0 ky0 k( k1)/ 2 y0 k( k1)( k2)/ 6y0... k y0 y0 xxo En esencia, Taylor consideró el siguiente proceso: x xo kx; k, y tomando a la x variacióndelavariableindependientemuypequeña ( x 0),kmuygrande,xfija,llegóa construirlasiguienteserie: yy0( xx0) y0/ x( xx0) y0/ 2( x) ( xx0) y0/ 6( x).... Donde, representandiferencialeséstafórmulaeslaseriedetaylororiginaleinterpretala razóndefluctuacióncomoderivada.ensíntesis,elbinomiodenewtonylaseriedetaylorson instrumentosdepredicciónenuncontextodevariación. Lainfiltracióndeaguaatravésdelasuperficiedelsueloyhaciaadentrodelmismo,producidopor lasfuerzasgravitacionalesycapilares.ladiferenciaentreelvolumendeaguaquellueveenuna cuencayelqueescurreporsusalidarecibeelnombredepérdidas,debidoalainfiltracióny vaporización.lainfiltraciónjuegaunpapelimportanteenlarelaciónlluviayescurrimientoy,por lotanto,enlosproblemasdediseñoypredicciónasociadosaladimensiónyoperacióndeobras hidráulicas.elsistemadedistribucióndeaguapotablededijon,proyectadoyconstruidopordarcy amediadosdelsigloxix,elrealizaunestudiosdeinfiltraciónyestableque laperdidadecargaa ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 979

4 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 travésdeunlechofiltranteesproporcionalalavelocidaddelacorriente ynoasuraízcuadrada, comoseveníaaplicandoerróneamentelaleydetorricelliatodo(levi,1989). Enelprogramadehidrología,delacarreradeIngenieríacivil,seabordaeltemadeinfiltracióny en el texto de Aparicio (1989) trata el fenómeno de infiltración de agua en suelos citando diferentes métodos empíricos, pero el método que citamos en esta investigación y el que pretendemosquelosestudiantesreconstruyanatravésdeunasituacióndidácticaeseldehorton, verfigura1.elsupusoqueelcambioenlacapacidaddeinfiltraciónpuedeserconsiderada proporcionalaladiferenciaentrelacapacidaddeinfiltraciónactualylacapacidaddeinfiltración final(gardner&widstoe,1921;horton,1940). f p f c f o f kt ce Donde: fp : Capacidad de infiltración (mm/h), k : Factor de proporcionalidad llamado también parámetrodedecrecimiento f c :Capacidaddeinfiltraciónfinal, f 0:Capacidaddeinfiltración inicial( ).teseltiempotranscurridodesdeeliniciodelainfiltración. Figura1.Representaciongraficadela tendenciadelainfiltraciónrespectoal tiempo. Fuente:Aparicio(1989). Marcoteórico EnlainvestigacióndeHernández(2006)hacenénfasisquenosólolosaspectoscognitivosestánen juegoenlaconstruccióndelobjetomatemáticosinoenlaprácticasocialqueconduceala ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 980

5 Capítulo3.Aspectosepistemológicosenelanálisisyelrediseñodeldiscursomatemáticoescolar adquisicióndelconocimiento,dondeelpropósitodelamatemáticaeducativaesladeesclarecery evidenciarlaexistenciaderelacionesentreelconocimientoyprácticassociales,esdecir,enfatizar la componente social sistemáticamente con otras dimensiones: epistemológica, cognitiva, didácticadelconocimientomatemático.laaproximaciónsocioepistemológica,eselresultadode laconjuncióndeestasdimensiones,comomarcoteórico,enparticularenestetrabajo,mostramos elpapeldelaprácticasocialdelapredicciónenlamodelacióndelprocesodeinfiltracióndeagua enunsueloespecíficocomootraformadereorganizarelcálculo. Enbasealoanteriorseparteconunaepistemologíacomomarcodereferenciaparaeldiseñode lasituacióndondelaactividadhumanaesincorporadaalaepistemologíaconintencionalidad,en estafaseserealizaunestudioaprioriapartirdelahipótesisdescriptivaypredictorapropuesto con la intención que los estudiantes experimenten y argumenten para la reconstrucción de significados del proceso de infiltración. El diseño de situaciones es planteado en el sentido propuestoporcordero(1998)e S0 E1 1 0 S,esdecir,unaepistemologíainicial, situaciónpuestaenescena,modificacióndelaepistemologíainicial,situaciónpuestaenescena, esteprocesoformaunciclo,demaneraquenuestrainvestigaciónrobustecerálaepistemología inicial de la cual partimos a través de profundizar en los aspectos socioepistemológicos del fenómeno de infiltración de agua en un suelo específico y responder nuestra pregunta de investigación. Situacióndidáctica Lasituacióndidácticafuediseñarundispositivopormediodelcualsehizolecturadeltiempoyla variacióndelaalturadelacolumnadeaguadentrodeldispositivollamadoinfiltrómetro(verla figura2),conlafinalidaddemedirlainfiltracióndeaguaenunsueloespecífico(arcillaarenosa). Portanto,elprocedimientoeselsiguiente: 1) Introducirloscilindros5cmenelsuelo,comenzandoconelmáspequeño.Sepuede utilizarunmartilloparagolpearelcilindrocontarlasuperficie. 2) Añadiraguaentrelosdoscilindros.Manteneraproximadamenteigualelniveldelcilindro externoalniveldelcilindrointerno.observarqueelniveldeaguaenelcilindroexterior bajamásrápidamentequeeldelcilindrointerior.añadiraguaalcilindrointernojustopor ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 981

6 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 encimadelalíneadereferenciasuperior.observarqueelcilindrodelexteriornodebe saliraguaenlasuperficie. 3) Cuandoelniveldelaguaenelcilindrointernoalcancelamarcasuperiordereferencia,se registraeltiempoqueindicaelcronómetroenlahojadedatosdeinfiltración. 4) Mientrasseestátomandoeltiempohayquemantenerelniveldelaguaigualenambos cilindros,esdecir,contiranteconstante. 5) Cuandoelniveldeaguaenelcilindrointernoalcanzalamarcainferiordereferencia,se registraeltiempo.eseeseltiempodefinalización,obtengaelintervalodetiempo. 6) Calculeelpuntomediodeltiempoylavelocidaddelflujoconlosdatosobtenidos 7) Serepitenlospasos2al5. Eldispositivofueconstruidoporcadaequipodecincoestudiante,lasmedicionesdelaprácticase llevóacabodeacuerdoalprocedimientoanterior,yseenlacualtienenlossiguientesregistros. Figura 2. El infiltrómetro es un dispositivo de dos cilindros concéntricosde20cmdelargo, con20cmy40cmdediámetro respectivamente,estedispositivo es enterrado cinco centímetros en el suelo, manteniendo un tiranteconstantedeagua. Resultados Elequipo1,registralasmedicionesdeltiempoylavariacióndelacolumnadeaguayobtienela velocidaddeinfiltración,verlatablaylagráficano.1.yargumentan Quélavelocidadde filtraciónqueposeelatierradependedirectamentedelacantidaddeaguaqueseencuentre concentradaenesta,locualsepuedeapreciarquealiniciodelaprácticalavelocidaddefiltración ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 982

7 Capítulo3.Aspectosepistemológicosenelanálisisyelrediseñodeldiscursomatemáticoescolar encontradafuealta,mientrasquealtranscurrirdiferentesintervalosdetiempo,lavelocidadde filtraciónesmáslenta tiempo Inicio (seg) tiemp o Final (seg) interval o (min) punto Medio (min) velocid ad (mm/mi n) 0:00 0:55 0: :58 2:25 29/ :57 4:20 103/ :31 6:33 61/ :42 9:27 323/ :32 12:30 89/ :34 16:26 58/ :29 20:55 133/ :00 26:01 301/ :06 31:32 163/ Tabla1.TiempovsVelocidaddeinfiltración. Gráfica1tiempovsVelocidaddeinfiltración Elequipo2,registralassiguientesmediciones,verlatablaylagráficaNo.2.Yargumentanque La velocidaddeinfiltraciónsedeterminamidiendoeltiempoquetardaelaguadepositadaenun sueloenrecorrerunadistanciaconunpuntoinicialyunfinal.estavelocidadvacambiandoenel tiempoamedidaquelosporosdelsuelosevanllenandodeagua tiempo inicial (seg) tiempo final (seg) inter valos (seg) punto medio (seg) Velocida d (mm/mi n) Tabla2.TiempovsVelocidaddeinfiltración Gráfica2.TiempovsVelocidadde infiltración ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 983

8 ActaLatinoamericanadeMatemáticaEducativa23 Conclusiones Enestainvestigaciónencontramoselementosdeanálisisdelprocesodeinfiltracióndeaguaenun sueloarcillaarenaatravésdelosdatosdelamedicióndelexperimentoylarepresentacióngráfica delfenómenofísico.porlotanto,conlosdatosexperimentales,representadosenlasgráficasylos argumentos de los estudiantes se llega a un comportamiento similar en los propuestos por (Gardner&Widstoe,1921;Horton,1940).Losresultadosindicanquelavelocidaddelflujoenla infiltración es más lenta en el transcurso del tiempo debido a la saturación del suelo. En consecuenciaconlasituacióndidácticaseencontróunasólidaentidadconceptualquedapiea nuevosacercamientosdidácticosyquepuedenestarinmersosenlosestudiantesenunasituación escolar,enestecasolaprácticasocialdepredicción.enlasegundaetapa,sepretendediseñaruna situación que favorezca la construcción del modelo matemático de infiltración a través del binomiodenewtonyllegaracomprobarquelasoluciónesunaseriedetaylor,ésteprocesoes conlafinalidadderesignificarlaseriedetaylorenlamodelaciónmatemáticaafindeestablecer unareorganizacióndeldiscursomatemáticoescolarconsiderandocomoejeorganizadorlanoción depredicción. Referenciasbibliográficas Aparicio,F.(1989).FundamentosdeHidrologíadesuperficie.México:Limusa. Cantoral,R.(2001).Unestudiodelaformaciónsocialdelaanaliticidad.México:GrupoEditorial Iberoamérica. Cordero,F.(1998).Elentendimientodealgunascategoríasdelconocimientodelcálculoyanálisis: elcasodelcomportamientotendencialdelasfunciones.revistalatinoamericanadeinvestigación enmatemáticaeducativa(1) Edward,H.(1979).TheHistoricalDevelopmentoftheCalculus.U.S.A:Springer Verlag. Gardner,W.,Widstoe,J.(1921).ThemovementofsoilmoistureSoilSci.11: Hernández,H.(2006).Unavisiónsocioepistemológicadelamatematizacióndelmovimiento:del binomiodenewtonalaseriedetaylor.tesisdemaestríanopublicada.universidadautónomade Chiapas.México. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 984

9 Capítulo3.Aspectosepistemológicosenelanálisisyelrediseñodeldiscursomatemáticoescolar Horton,R.E.(1940).Anapproachtothephysicalinterpretetionofinfiltrationcapacity.SoilSci. AM.Proc.5, Levi, E. (1989).El agua según la ciencia. México: Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología. EdicionesCastellMexica,S.A. Stewart,J.(2006)Cálculodiferencialeintegral.México:Thomson Villalobos,C.(2007).Lainterpolaciónenlamodelaciónmatemáticadelprocesodeinfiltración. TesisdeLicenciatura,nopublicada.UniversidadAutónomadeChiapas.México. Zill,D.(1993).EcuacionesDiferencialesconAplicaciones.México:GrupoEditorialIberoamérica. ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 985