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Eva Segura Ayala
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3 Concept 1. El Poliedro CONCEPT 1 El Poliedro Objetivos de aprendizaje Identificar poliedros. Entender las propiedades de los poliedros. Usar la fórmula de Euler para resolver problemas. Identificar Poliedros regulares (Platónico). Introducción En capítulos anteriores tú aprendiste que un polígono es un a figura en dos dimensiones (planar) que está hecha por tres o más puntos unidos por segmentos de líneas. En ejemplos de polígonos se incluyen triángulos, cuadriláteros, pentágonos, u octágonos. Entonces un triángulo es un polígono con 3 lados, un pentágono es un polígono con 5 lados. Tú puedes usar polígonos para construir una figura en 3 dimensiones llamada poliedro (plural: poliedros). Un poliedro es una figura en 3 dimensiones que está hecha con caras de polígonos. Un cubo es un ejemplo de poliedro y sus caras son cuadrados (cuadriláteros). Poliedro o no Un poliedro tiene las siguientes propiedades: Es una figura tridimensional ( 3 dimensiones). Está formada por polígonos y sólo polígonos. Cada polígono es llamado una cara del poliedro. Las caras de los polígonos se unen a lo largo de segmentos llamados bordes. Cada borde une exactamente dos caras. Los bordes se encuentran en puntos llamados vértices. No existen aberturas entre los borde o los vértices. 1

www.ck12.org Ejemplo 1 Es la figura un poliedro? Si. Una figura es un poliedro si tiene todas las propiedades de un poliedro.

Tiene caras que se encuentran en bordes y bordes que se encuentran en los vértices. No tiene aberturas entre los bordes.

4 Ejemplo 1 Es la figura un poliedro? Si. Una figura es un poliedro si tiene todas las propiedades de un poliedro. Esta figura: Es tridimensional ( 3 dimensiones). Está construida completamente de polígonos planos (triángulos y rectángulos). Tiene caras que se encuentran en bordes y bordes que se encuentran en los vértices. No tiene aberturas entre los bordes. No tiene caras que no sean polígonos (e.g., curvas). No tiene caras cóncavas. Ya que la figura tiene todas las propiedades de un poliedro, es un poliedro. Ejemplo 2 Es la figura un poliedro? 2

www.ck12.org Concept 1. El Poliedro No. Esta figura tiene caras, bordes y vértices, pero todas sus superficies no son polígonos planos. Observa el final de la superficie marcada A.

5 Concept 1. El Poliedro No. Esta figura tiene caras, bordes y vértices, pero todas sus superficies no son polígonos planos. Observa el final de la superficie marcada A. Es plana, pero tiene un borde curvo, entonces no es un polígono. La superficie B no es plana (planar). Ejemplo 3 Es la figura un poliedro? No. La figura está hecha de polígonos y tiene caras, bordes, y vértices. Pero las caras no quedan juntas la figura tiene aberturas. La figura también tiene un traslape que crea una superficie cóncava. Por estas razones, la figura no es un poliedro. Cara, Vértice, Borde, Base Como se indicó arriba, un poliedro une caras a lo largo de bordes, y los bordes se juntan en los vértices. Los siguientes enunciados son verdaderos para cualquier poliedro: Cada borde une exactamente dos caras. Cada borde une exactamente dos vértices. Para ver por qué esto es cierto, mira este prisma. Cada uno de sus bordes une dos caras a lo largo de un solo segmento. Cada uno de sus bordes incluye exactamente dos vértices. Vamos a contar el número de caras, bordes, y vértices en unos poliedros típicos. La pirámide obtiene su nombre de su base, la cual es cuadrada. Tiene 5 caras, 8 bordes, y 5 vértices. 3

6 Otras figuras tienen un número diferente de caras, bordes, y vértices. Si hacemos una tabla que resuma los datos de cada una de las figuras, obtenemos: TABLE 1.1: Figura Vértices Caras Bordes Pirámide Cuadrada Prisma Rectangular Octaedro Prisma Pentagonal Ves un patrón? Calcular la suma del número de vértices y bordes. Luego comparar la suma del número de bordes: 4 TABLE 1.2: Figura V F E V + F Pirámide cuadrada Prisma rectangular octaedro

7 Concept 1. El Poliedro TABLE 1.2: (continued) Figura V F E V + F prisma pentagonal Ves el patrón? La fórmula que resume esta relación lleva el nombre del matemático Leonhard Euler. La fórmula de Euler dice, para cualquier poliedro: Fórmula de Euler para Poliedros o vértices + caras = bordes + 2 v + f = e + 2 Puedes usar la fórmula de Euler para encontrar el número de bordes, caras, o vértices en un poliedro. Ejemplo 4 Contar el número de caras, bordes, y vértices en la figura. Does it conform to Euler s formula? Hay 6 caras, 12 bordes, y 8 vértices. Usando la fórmula: v + f = e = Entonces la figura es conforme a la fórmula de Euler. Ejemplo 5 En un poliedro de 6 caras, hay 10 bordes. Cuántos vértices tiene el poliedro? Usa la fórmula de Euler. v + f = e + 2 v + 6 = v = 6 Fórmula de Euler Sustituir valores para f y e Resolver Hay 6 vértices en la figura. 5

8 Ejemplo 6 Una figura en 3 dimensiones tiene 10 vértices, 5 caras, y 12 bordes. Es un poliedro? Usa la fórmula de Euler. v + f = e + 2 fórmula de Euler Sustituir valores para v, f, y e Evaluar La ecuación no se mantiene, entonces la fórmula de Euler no aplica a esta figura. Ya que todos los poliedros son conforme a la fórmula de Euler, esta figura no debe ser un poliedro. Poliedros regulares Poliedros pueden ser nombrados y clasificados en un número de formas por lado, por ángulo, por base, por número de caras, etc.. Quizás la clasificación más importante es si un poliedro es o no regular. Recordarás que un polígono regular es un polígono cuyos lados y ángulos son todos congruentes. Un poliedro es regular si tiene las siguientes características: Todas las caras son las mismas. Todas las caras son polígonos regulares congruentes. El mismo número de caras se unen en cada vértice. La figura no tiene aberturas o agujeros. La figura es convexa no tiene muescas. Ejemplo 7 Es un cubo un poliedro regular? 6

www.ck12.org Concept 1. El Poliedro Todas las caras de un cubo son polígonos regulares cuadrados. El cubo es convexo porque no tiene superficies dentadas. El cubo es simple porque no tiene aberturas.

Poliedros semiregulares con frecuencia tienen dos diferentes tipos de caras, de las cuales ambas son polígonos regulares.

9 Concept 1. El Poliedro Todas las caras de un cubo son polígonos regulares cuadrados. El cubo es convexo porque no tiene superficies dentadas. El cubo es simple porque no tiene aberturas. Por lo tanto, un cubo es un poliedro regular. Un poliedro es semiregular si todas sus caras son polígonos regulares y el mismo número de caras se encuentran en cada vértice. Poliedros semiregulares con frecuencia tienen dos diferentes tipos de caras, de las cuales ambas son polígonos regulares. Prismas con un polígono regular en la base son una clase de poliedro semiregular. No todos los poliedros semiregulares son prismas. Un ejemplo de una figura que no es prisma se muestra a continuación. Poliedros completamente irregulares también existen. regulares e irregulares. Ellos están formados por diferentes clases de polígonos 7

www.ck12.org Entonces ahora surge una pregunta.

10 Entonces ahora surge una pregunta. Dado que un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares congruentes, es convexo y no tiene aberturas o agujeros, cuántos poliedros regulares existen actualmente? De hecho, te sorprenderías al aprender que pueden ser hechos sólo cinco poliedros regulares. Ellos se conocen como los sólidos Platónicos (o nobles). Nota que no importa cuanto trates, no puedes construir ningunos otros poliedros además de los de arriba. Ejemplo 8 Cuántas caras, bordes, y vértices tiene un tetraedro (ver arriba)? Caras : 4, bordes : 6, vértices : 4 Ejemplo 9 Qué poliedro regular tiene características de un icosaedro? Un triángulo equilátero. Ejercicios de repaso Identificar cada uno de las siguientes figuras tridimensionales:

11 Concept 1. El Poliedro Abajo está una lista de propiedades de un poliedro. Dos de las propiedades no son correctas. Encontrar las incorrectas y corregirlas. Es una figura tridimensional. Algunas de sus caras son polígonos. Las caras son polígonos y se unen a lo largo de segmentos llamados bordes. Cada borde une tres caras. 9

12 No existen espacios entre los bordes y vértices. Completar la tabla y verificar la fórmula de Euler para cada una de las figuras en el problema. TABLE 1.3: Figura # vértices # bordes # caras Prisma pentagonal Pirámide rectangular Prisma triangular Prisma trapezoidal 7. Respuestas Identificar cada una de las siguientes figuras tridimensionales: 1. prisma pentagonal 2. pirámide rectangular 3. prisma triangular 4. pirámide triangular 5. prisma trapezoidal 6. Abajo está una lista de propiedades de un poliedro. Dos de las propiedades no son correctas. Encontrar las incorrectas y corregirlas. Es una figura tridimensional. Algunas de sus caras son polígonos. Todas sus caras son polígonos. Las caras son polígonos y se unen a lo largo de segmentos llamados bordes Cada borde une tres caras. Cada borde une dos caras. No existen espacios entre los bordes y vértices. Completar la tabla y verificar la fórmula de Euler para cada una de las figuras en el problema. TABLE 1.4: Figura # vértices # bordes # caras Prisma pentagonal Pirámide rectangular Prisma triangular Prisma trapezoidal En todos los casos 9. vértices + caras = bordes

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