Trapezoides, Rombos y Deltoides

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1 Trapezoides, Rombos y Deltoides CK1 Editor Say Thanks to the Authors Click (No sign in required)

2 To access a customizable version of this book, as well as other interactive content, visit AUTHOR CK1 Editor CK-1 Foundation is a non-profit organization with a mission to reduce the cost of textbook materials for the K-1 market both in the U.S. and worldwide. Using an open-content, web-based collaborative model termed the FlexBook, CK-1 intends to pioneer the generation and distribution of high-quality educational content that will serve both as core text as well as provide an adaptive environment for learning, powered through the FlexBook Platform. Copyright 014 CK-1 Foundation, The names CK-1 and CK1 and associated logos and the terms FlexBook and FlexBook Platform (collectively CK-1 Marks ) are trademarks and service marks of CK-1 Foundation and are protected by federal, state, and international laws. Any form of reproduction of this book in any format or medium, in whole or in sections must include the referral attribution link (placed in a visible location) in addition to the following terms. Except as otherwise noted, all CK-1 Content (including CK-1 Curriculum Material) is made available to Users in accordance with the Creative Commons Attribution-Non-Commercial 3.0 Unported (CC BY-NC 3.0) License ( licenses/by-nc/3.0/), as amended and updated by Creative Commons from time to time (the CC License ), which is incorporated herein by this reference. Complete terms can be found at Printed: March 11, 014

3 Concept 1. Trapezoides, Rombos y Deltoides CONCEPT 1 Trapezoides, Rombos y Deltoides Objetivos de aprendizaje Entender las relaciones entre las áreas de dos categorías de cuadriláteros: cuadriláteros básicos (rectángulos y paralelogramos ), y cuadriláteros especiales (trapezoides, rombos, y deltoides). Obtener fórmulas de áreas para trapezoides, rombos, y deltoides. Aplicar las fórmulas de áreas para estos cuadriláteros especiales. Introducción Usaremos las fórmulas de áreas para figuras básicas para trabajar las fórmulas de cuadriláteros especiales. Es un trabajo fácil convertir un trapezoide a un paralelogramo. También es fácil separar un rombo o un deltoide y reconstruirlo como un rectángulo. Una vez que hacemos esto, podemos obtener nuevas fórmulas de las anteriores. También necesitaremos revisar hechos básicos a cerca del trapezoide, rombo, y deltoide. Area de un trapezoide Recuerda que un trapezoide es un cuadrilátero con un par de lados paralelos. Las longitudes de los lados paralelos son las bases. La distancia perpendicular entre los lados paralelos es la altura, o la altitud, del trapezoide. Para encontrar el área del trapezoide, convertir el problema en uno de paralelogramo. Por qué? Porque tú ya conoces como calcular el área del paralelogramo. Haz una copia del trapezoide. Rota la copia 180. Coloca juntos los dos trapezoides para formar un paralelogramo. 1

4 Dos cosas para notar: a. El paralelogramo tiene una base que es igual a b 1 + b. b. La altitud del paralelogramo es la misma que la altitud del trapezoide. Ahora para encontrar el área del trapezoide: El área del paralelogramo es base altitud = (b 1 + b ) h. El paralelogramo se compone de dos trapezoides congruentes, entonces el área de cada trapezoide es un medio del área del paralelogramo. El área del trapezoide es un medio de (b 1 + b ) h. Area del Trapezoide con bases b 1 y b y una Altitud h Trapezoide con bases b 1 y b y altitud h A = 1 (b 1 + b )h ó A = (b 1+b )h Notar que la fórmula para el área de un trapezoide podría ser escrita también como el "Promedio de las bases por la altura." Esto podría ser un atajo conveniente para memorizar esta fórmula. Ejemplo 1 Cuál es el área del trapezoide que se muestra abajo?

5 Concept 1. Trapezoides, Rombos y Deltoides Las bases del trapezoide son 4 y 6. La altitud es 3. A = 1 (b 1 + b )h = 1 (4 + 6) 3 = 15 Area de un Rombo o Deltoide Primero vamos a comenzar con una revisión de algunas de las propiedades de rombos y deltoides. TABLE 1.1: Deltoide Rombo Lados Congruentes Pares Todos los 4 Angulos Opuestos congruentes 1 Par si. 1 Par tal vez Ambos pares si Diagonales Perpendiculares Si Si Diagonales bisectadas 1 Si. 1 tal vez Ambos si Ahora tú estas listo para desarrollar fórmulas de áreas. Seguiremos el comando: Enmárcalo en un rectángulo. Aquí está como tú puedes enmarcar un rombo en un rectángulo. 3

6 Nota que: La base y altura del rectángulo son los mismos que las longitudes de las dos diagonales del rombo. El rectángulo está dividido en 8 triángulos congruentes ; 4 de los triángulos llenan los rombos, entonces el área del rombo es un medio del área del rectángulo. Area del rombo con diagonales d 1 y d A = 1 d 1d = d 1d Podemos ir directamente con el deltoide. Seguiremos el mismo comando otra vez: Enmárcalo en un rectángulo. Aquí está como puedes enmarcar un deltoide en un rectángulo. Nota que: La base y altura del rectángulo son las mismas que las longitudes de las dos diagonales del deltoide. El rectángulo está dividido en 8 triángulos congruentes; 4 de los triángulos llenan el deltoide. Por cada triángulo dentro del deltoide, hay un triángulo congruente fuera del deltoide entonces el área del deltoide es un medio el área del rectángulo. Area del deltoide con Diagonales d 1 y d 4

7 Concept 1. Trapezoides, Rombos y Deltoides A = 1 d 1d = d 1d Resumen de la lección Observamos el principio de no necesitamos reinventar la rueda en en el desarrollo de las fórmulas de área en esta sección. Si deseábamos encontrar el área de un trapezoide, vimos cómo la fórmula para un paralelogramo nos proporcionó lo que necesitábamos. De la misma manera, la fórmula para un rectángulo era fácil de modificar para darnos una fórmula para rombos y deltoides. Uno de los resultados más notables es que la misma fórmula trabaja tanto para rombos y deltoides. Puntos a considerar Tú usarás conceptos de áreas y fórmulas después en este curso, así como también en la vida real. Area de la superficie de figuras sólidas: la cantidad de la superficie exterior. Probabilidad Geométrica: posibilidades de tirar un dardo y aterrizar en una parte dada de una figura. Alfombra para pisos, pinturas para paredes, fertilizante para el pasto, y más: áreas necesitadas. Nota técnica - software de geometría Observaste antes que el área de un rombo o un deltoide depende de la longitud de las diagonales. A = 1 d 1d = d 1d Esto significa que todos los rombos y deltoides con las mismas longitudes diagonales tienen la misma área. Puedes tratar usando software de geometría para experimentar lo que sigue. Construir dos segmentos perpendiculares. 5

8 Ajustar los segmentos para que uno o ambos segmentos sean bisectados. Dibujar un cuadrilátero en que los segmentos son las diagonales de él. En otras palabras, dibujar un cuadrilátero para el cual los puntos finales de los segmentos son los vértices. Repetir con la misma perpendicular, segmentos bisectados, pero haciendo un rombo o deltoide diferente. Repetir para diferentes rombos y deltoides. A pesar de la figura específica del rombo o del deltoide, las áreas son todas las mismas. La misma actividad puede ser hecha en una geoboard. Colocar dos bandas de goma perpendiculares de forma que una o ambas sean divididas en dos. Luego colocar otra banda de goma para formar un cuadrilátero con sus vértices en los puntos finales de los dos segmentos. Un número de rombos y deltoides diferentes pueden ser hechos con las mismas diagonales preparadas, y por lo tanto la misma área. Ejercicios de repaso Quadrilátero ABCD tiene vértices A(,0),B(0,),C(4,), y D(0, ) en un plano de coordenadas. 1. Mostrar que ABCD es un trapezoide.. Cuál es el área de ABCD? 3. Probar que el área de un trapezoide es igual al área de un rectángulo con la misma altura que la altura del trapezoide y base igual a la longitud de la mediana del trapezoide. 4. Mostrar que la fórmula del trapezoide puede ser usada para encontrar el área de un paralelogramo. 5. Sasha dibujó este esquema para unas incrustaciones en madera que él está haciendo. 10 es la longitud del lado inclinado. 16 es la longitud del segmento de línea horizontal. Cada sección sombreada es un rombo. Las secciones sombreadas son rombos. Basados en el dibujo, cuál es el área total de las secciones sombreadas? 6. Dibujar 4 puntos en un plano de coordenadas. Los puntos son los vértices de un rombo. El área del rombo es 4 unidades cuadradas Tyra diseñó el logotipo para una nueva compañía. Ella usó tres deltoides congruentes.

9 Concept 1. Trapezoides, Rombos y Deltoides Cuál es el área de todo el logotipo? 8. En la figura de abajo: ABCD es un cuadrado AP = PB = BQ DC = 0 pies Cuál es el área de PBQC? En la figura de abajo: ABCD es un cuadrado AP = 0 pies PB = BQ = 10 pies 9. Cuál es el ára de PBQC? 10. Qué parte fraccionada es el área de PBQD del área ABCD? 7

10 Respuestas 1. Pendiente de AB = 1, pendiente de DC = 1 AB DC son paralelas.. pendiente de AD = 1 AB y DC son las bases, AD es una altitud. AB = DC = AD = + = 8 = = 3 = 4 + = 8 = A = (b 1 + b )h = ( + 4 ) = 6 ( ) Para un paralelogramo, b 1 = b = b (las bases son dos de los lados paralelos ), entonces por la fórmula del trapezoide el área es: (b 1 + b )h = (b + b)h = bh = bh. 5. La longitud de la diagonal larga de uno de los rombos es 16. La longitud de la otra diagonal es 1 (cada rombo está hecho de triángulos rectos). ] El área total es [ d1 d = d 1 d = 16 1 = 19. = 1 6. Muchos rombos funcionan, siempre que el producto de las longitudes de las diagonales sea cm pies cuadrados pies cuadrados