Ecuaciones Lineales en la forma Estándar

Transcripción

1 Ecuaciones Lineales en la forma Estándar Say Thanks to the Authors Click (No sign in required)

2 To access a customizable version of this book, as well as other interactive content, visit CK-12 Foundation is a non-profit organization with a mission to reduce the cost of textbook materials for the K-12 market both in the U.S. and worldwide. Using an open-content, web-based collaborative model termed the FlexBook, CK-12 intends to pioneer the generation and distribution of high-quality educational content that will serve both as core text as well as provide an adaptive environment for learning, powered through the FlexBook Platform. Copyright 2012 CK-12 Foundation, The names CK-12 and CK12 and associated logos and the terms FlexBook and FlexBook Platform (collectively CK-12 Marks ) are trademarks and service marks of CK-12 Foundation and are protected by federal, state, and international laws. Any form of reproduction of this book in any format or medium, in whole or in sections must include the referral attribution link (placed in a visible location) in addition to the following terms. Except as otherwise noted, all CK-12 Content (including CK-12 Curriculum Material) is made available to Users in accordance with the Creative Commons Attribution/Non- Commercial/Share Alike 3.0 Unported (CC BY-NC-SA) License ( as amended and updated by Creative Commons from time to time (the CC License ), which is incorporated herein by this reference. Complete terms can be found at Printed: March 11, 2013

3 Concept 1. Ecuaciones Lineales en la forma Estándar CONCEPT 1 Ecuaciones Lineales en la forma Estándar Objetivos de Aprendizaje Escribir ecuaciones equivalentes en la forma estándar. Encontrar la pendiente y el intercepto en y desde una ecuación en la forma estándar. Escribir ecuaciones en la forma estándar desde un gráfico. Resolver problemas del mundo real usando modelos lineales en la forma estándar. Introducción En esta sección, vamos a hablar acerca de la forma estándar para la ecuación de una línea recta. Se dice que la siguiente ecuación lineal está en forma estándar. ax + by = c Aquí a,b y c son constantes que no tienen factores en común y la constante a es un valor no negativo. Debes notar que la b en la forma estándar es diferente que la b en la forma pendiente intercepto. Existen unas cuantas razones por las que la forma estándar es útil y hablaremos sobre eso e esta sección. La primera razón es que la forma estándar nos permite escribir ecuaciones para líneas verticales, lo cual no es posible en la forma pendiente intercepto. Por ejemplo, vamos a encontrar la ecuación de la línea que pasa a través de los puntos (2, 6) y (2, 9). Vamos a tratar la forma pendiente intercepto y = mx + b Necesitamos encontrar la pendiente m = = 3 0. La pendiente es indefinida porque no podemos dividir entre cero. La forma punto pendiente y y 0 = m(x x 0 ) también necesita la pendiente, entonces no podemos escribir una ecuación para esta línea ya sea en la forma pendiente intercepto o en la forma punto pendiente. Ya que tenemos dos puntos en un plano, conocemos que una línea pasa a través de estos dos puntos, pero cómo encontramos la ecuación de esa línea? resulta que esta línea no tiene valor en y. Puedes notar que el valor de x en ambos puntos es dos para los diferentes valores de y, entonces podemos decir que no importa que valor de y es porque x será siempre igual a dos. Aquí está la ecuación en la forma estándar. 1 x + 0 y = 2 o x = 2 La línea pasando a través del punto (2, 6) y (2, 9) es una línea vertical pasando a través de x = 2. Debes notar que la ecuación de una línea horizontal no tendría variable x, ya que y sería siempre la misma a pesar del valor de x. Por ejemplo, una línea horizontal pasando a través del punto (0, 5) tiene esta ecuación en forma estándar. 0 x + 1 y = 5 o y = 5 1

4 Escribir Ecuaciones Equivalentes en Forma Estándar Tanto tú has aprendido, a cómo escribir ecuaciones de líneas en la forma pendiente intercepto y en la forma punto pendiente. Ahora verás como escribir ecuaciones en forma estándar. Ejemplo 1 Reescribir las siguientes ecuaciones en forma estándar. a) y = 5x 7 b) y 2 = 3(x + 3) c) y = 2 3 x Solución Necesitamos reescribir las ecuaciones para que todas las variables estén a un lado de la ecuación y el coeficiente de x no sea negativo. a) y = 5x 7 Sustraer y de ambos lados. 0 = 5x y 7 Sumar 7 en ambos lados. 7 = 5x y La ecuación en la forma estándar es : 5x y = 7 b) y 2 = 3(x + 3) Distribuir el 3 en el lado derecho. y 2 = 3x 9 Sumar 3x en ambos lados. y + 3x 2 = 9 Sumar 2 en ambos lados. y + 3x = 7 La ecuación en forma estándar es : y + 3x = 7 c) y = 2 3 x Encontrar el común denominador para todos los términos en la ecuación. En este caso, el común denominador es igual a 6. ( Multiplicar todos los términos en la ecuación por 6. 6 y = 2 3 x + 1 ) 6y = 4x Sustraer 6y de ambos lados. 0 = 4x 6y + 3 Sustraer 3 de ambos lados. La ecuación en forma estándar es : 3 = 4x 6y 4x 6y = 3 Encontrar la Pendiente y el intercepto La forma pendiente intercepto y la forma punto pendiente de la ecuación para una línea recta contienen explícitamente ambas la pendiente de la ecuación, pero la forma estándar no. Ya que la pendiente es una característica tan 2

5 Concept 1. Ecuaciones Lineales en la forma Estándar importante de una línea, es útil descifrar cómo podrías encontrar la pendiente si te dieran la ecuación de la línea en forma estándar. ax + by = c Vamos a reescribir esta ecuación en la forma pendiente intercepto resolviendo la ecuación para y. Sustraer ax de ambos lados. Dividir todos los términos por b. y = ax + c y = a b x + c b Si comparamos con la forma pendiente intercepto y = mx+b, vemos que la pendiente, m = a b y el intercepto y = c b. Otra vez, debes notar que la b en la forma estándar es diferente que la b en la forma pendiente intercepto. Ejemplo 2 Encuentra la pendiente y el intercepto y de las siguientes ecuaciones escritas en forma estándar: a) 3x + 5y = 6 b) 2x 3y = 8 c) x 5y = 10 Solución La pendiente m = a b y el intercepto y = c b. a) 3x + 5y = 6 m = 3 5 y el intercepto y = 6 5 b) 2x 3y = 8 m = 2 3 y el intercepto y = 8 3 c) x 5y = 10 m = y el intercepto y = 5 = 2 Escribir Ecuaciones en la Forma Estándar Desde un Gráfico Si nos han dado un gráfico de una línea recta, es bastante simple escribir la ecuación en la forma pendiente intercepto leyendo la pendiente y el intercepto y desde el gráfico. Vamos a ver ahora cómo escribir la ecuación de la línea en forma estándar si nos han dado el gráfico de la línea. Primero, recuerda que para graficar una ecuación desde la forma estándar podemos usar el método de cobertura para encontrar los interceptos de la línea. Por ejemplo, vamos a graficar la línea dada por la ecuación 3x 2y = 6. Para encontrar el intercepto x, cubre el término y (recuerda, el intercepto x es donde y = 0). 3x = 6 x = 2 el intercepto x es (2, 0) Para encontrar el intercepto y, cubre el término x (recuerda, el intercepto y es donde x = 0). 3

6 3y = 6 y = 3 El intercepto y es (0, -3) Colocamos los interceptos y dibujamos una línea a través de ellos que se extiende en ambas direcciones. Ahora queremos aplicar este proceso en reversa. Si tenemos el gráfico de la línea, deseamos escribir la ecuación de la línea en forma estándar. Ejemplo 3 Encontrar la ecuación de la línea y escribirla en forma estándar. a) b) 4

7 Concept 1. Ecuaciones Lineales en la forma Estándar c) Solución a) Observamos que el intercepto x es (3,0) x = 3 y el intercepto y es (0, 4) y = 4. Observamos que en forma estándar ax + by = c, Si cubrimos el término y, obtenemos ax = c Si cubrimos el término x obtenemos by = c Necesitamos encontrar los números que cuando son multiplicados con los interceptos dan la misma respuesta en ambos casos. En este caso, vemos que multiplicando x = 3 por 4 y multiplicando y = 4 por -3 se obtiene el mismo resultado. (x = 3) 4 4x = 12 y (y = 4) ( 3) 3y = 12 Por lo tanto, a = 4,b = 3 y c = 12 y la forma estándar es: 4x 3y = 12 b) Observamos que el intercepto x es (3,0) x = 3 y el intercepto y es (0,3) y = 3. Los valores de las ecuaciones para los interceptos son ya los mismos, entonces a = 1, b = 1 y c = 3. La forma estándar es: x + y = 3 c) Observamos que el intercepto x es ( 3 3,0) x = 3 2 y el intercepto y es (0,4) y = 4. 5

8 Vamos a multiplicar la ecuación del intercepto x por 2 2x = 3 Luego vemos que podemos multiplicar el intercepto x otra vez por 4 y el intercepto y por 3. 8x = 12 y 3y = 12 La forma estándar es 8x + 3y = 12. Resolver Problemas del Mundo Real Usando Modelos Lineales en Forma Estándar Aquí hay dos ejemplos de problemas del mundo real donde la forma estándar de la ecuación es útil. Ejemplo 4 Nimitha compra fruta en su mercado de granja local. Este Sábado, las naranjas tienen un precio de $2 por libra y las cerezas tienen un costo de $3 por libra. Ella tiene $12 para gastar en fruta. Escribir una ecuación en forma estándar que describa esta situación. Si ella compra 4 libras de naranjas, cuántas libras de cerezas puede comprar? Solución Vamos a definir nuestras variables x = libras de naranjas y = libras de cerezas La ecuación que describe esta situación es: 2x + 3y = 12 Si ella compra 4 libras de naranjas, introducimos x = 4 en la ecuación y resolvemos para y. 2(4) + 3y = 12 3y = y = 4 y = 4 3 Nimitha puede comprar libras de cerezas. Ejemplo 5 Jethro patina parte del camino a la escuela y camina por el resto del sendero. El puede patinar a 7 millas por hora y puede caminar a 3 millas por hora. La distancia a la escuela es 6 millas. Escribir una ecuación en forma estándar que describa esta situación. Si Jethro patina por 1 2 hora, Cuánto tiempo necesita para caminar a la escuela? 6

9 Concept 1. Ecuaciones Lineales en la forma Estándar Solución Vamos a definir nuestras variables. x = horas Patina Jethro y = horas camina Jethro La ecuación que describe esta situación es 7x + 3y = 6 Si Jethro patina 1 2 una hora, introducimos x = 0.5 en la ecuación y resolvemos para y. 7(0.5) + 3y = 6 3y = y = 2.5 y = 5 6 Jethro debe caminar 5 6 de una hora. Resumen de la Lección Una ecuación lineal de la forma ax + by = c se dice que está en la forma estandar. Donde a,b y c son constantes (b es diferente que el intercepto y b) y a es un valor no negativo. Dada una ecuación en forma estándar, ax + by = c, la pendiente, a = a b, y el intercepto y= c b. El método de cobertura es útil para graficar una ecuación en la forma estándar. Para encontrar el intercepto y, debes cubrir el término x y resolver la ecuación restante para y. Asimismo para encontrar el intercepto x, debes cubrir el término y y resolver la ecuación restante para x. Ejercicios de Repaso Reescribir las siguientes ecuaciones en la forma estándar. 1. y = 3x 8 2. y 7 = 5(x 12) 3. 2y = 6x y = 9 4 x y = 2 3 (x 2) 6. 3y + 5 = 4(x 9) Encontrar la pendiente y el intercepto y de las siguientes líneas. 7. 5x 2y = x + 6y = x 8y = x 7y = x 9y = x + y = 3 Encontrar la ecuación de cada línea y escribirla en la forma estándar. 7

10

11 Concept 1. Ecuaciones Lineales en la forma Estándar Andrew tiene dos trabajos de medio tiempo. En uno le pagan $6 por hora y en el otro le pagan $10 por hora. El quiere hacer $366 por semana. Escribir una ecuación en la forma estándar que describa esta situación. Si sólo se le permite trabajar 15 horas por semana en el trabajo que le pagan $10 por hora, cuantas horas necesita trabajar por semana en el trabajo donde gana $6 por hora, con el fin de lograr su meta? 18. Anne invierte dinero en dos cuentas. Una cuenta le regresa 5% de interés anual y la otra le regresa 7%. Con el fin de no incurrir en una multa de impuestos, ella no puede ganar más de $400 en intereses por año. Escribir una ecuación en la forma estándar que describa este problema. Si ella invierte $5000 en la cuenta que le regresa 5% de intereses, cuánto dinero necesita invertir en la otra cuenta? Respuestas 1. 3x y = x + y = x 2y = x 4y = x 15y = x 3y = m = ( ) 5 2,b = m = ( ) 1 2,b = m = ( ) 1 8,b = m = ( ) 3 7,b = m = 1,b = m = 6,b = x 2y = x + 5y = x + 14y = x 8y = x = número de horas por semana trabajadas a $6 por hora de trabajo. y = número de horas por semana trabajadas a $10 por hora de trabajo. Ecuación 6x + 10y = 366 Respuesta 36 horas 18. x = cantidad de dinero invertido al 5% de interés anual. y = cantidad de dinero invertido al 7% de interés anual. Ecuación 5x + 7y = Respuesta $