Depto. de Ingeniería de Sistemas y Automática

Transcripción

1 Depto. de Ingeniería de Sistemas y Automática APUNTES DE INGENIERÍA DE CONTROL Daniel Rodríguez Ramírez Carlos Bordóns Alba Rev. 4/05/2007

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3 Índice general Lista de figuras XIII 1. Introducción al control por computador Conceptos básicos Ventajas e inconvenientes de un sistema de control por computador Funciones de un sistema de control por computador Estructuras de los sistemas de control Instrumentación específica de los sistemas de control por computador Software de control Secuencias y transformada Z Introducción Secuencia de ponderación Transformada en Z Transformadas de algunas señales típicas Propiedades de la transformada Z i

4 ii ÍNDICE GENERAL 2.5. Transformada Z inversa Serie infinita de potencias Descomposición en fracciones Función de transferencia en Z Proceso de muestreo Introducción Repaso de la transformada de Fourier Muestreo de sistemas continuos Reconstrucción de una señal muestreada Aliasing o enmascaramiento de frecuencias Obtención de la función de transferencia pulsada Análisis de sistemas muestreados Estabilidad en sistemas de control por computador El criterio de estabilidad de Jury Respuesta transitoria: relación con el diagrama de polos Errores en regimen permanente Errores en regimen permanente para sistemas en bucle cerrado Características frecuenciales. Correspondencia entre el plano s y el plano z Otras correspondencias

5 ÍNDICE GENERAL iii 5. Diseño de controladores discretos Discretización de reguladores continuos Aproximación rectangular hacia delante (Euler I) Aproximación rectangular hacia atras (Euler II) Aproximación bilineal (trapezoidal o Tustin) Correspondencia s z para las aproximaciones de la integral Rectangular hacia delante Rectangular hacia atrás Trapezoidal o Bilineal Estabilidad de las aproximaciones de la integral Método de diseño directo Causalidad Estabilidad Interna Errores en régimen permanente Control en un número finito de intervalos. Control dead-beat Control de sistemas discretos en el espacio de estados Representación de sistemas discretos en el espacio de estados Obtención de la representación de en espacio de estados de sistemas discretos Método de programación directa

6 iv ÍNDICE GENERAL Método de programación anidada La representación en espacio de estados de un sistema no es única Resolución de las ecuaciones del espacio de estados Procedimiento recursivo Matriz de transición de estados Método basado en la transformada Z Procedimiento alternativo para calcular (zi G) Discretización de las ecuaciones de estado continuas Controlabilidad y Observabilidad Controlabilidad Controlabilidad de la salida completa Observabilidad Principio de Dualidad Transformación de un sistema en formas canónicas Obtención de la forma canónica controlable Obtención de la forma canónica observable Colocación de polos mediante realimentación del vector de estados Condición necesaria y suficiente para la colocación arbitraria de polos Procedimientos para calcular K Procedimiento alternativo: la fórmula de Ackermann. 102

7 ÍNDICE GENERAL v Control Dead-Beat Observadores del estado Procedimiento iterativo para la estimación del estado Observador del estado completo Cálculo de K e Comentarios acerca del papel de K e Efectos de la adición del observador Observador de orden mínimo Control óptimo LQR Solución de la ecuación de Riccatti Filtro de Kalman Modelos de procesos y perturbaciones Introducción Perturbaciones deterministas a trozos Procesos estocásticos Modelos de procesos con ruidos Introducción a la identificación de sistemas Introducción Ideas básicas sobre identificación de sistemas

8 vi ÍNDICE GENERAL Planificación de los experimentos Selección del tipo de modelo Elección de un criterio Estimación de los parámetros Identificación en línea Identificación fuera de línea Validación del modelo Resumen del proceso de identificación Algunas propiedades Excitación persistente Convergencia e identificabilidad Identificación en bucle cerrado Niveles de supervisión y acondicionamiento Identificación por mínimos cuadrados El método de los mínimos cuadrados Algoritmo recursivo para identificación en linea Interpretación estadística Mínimos cuadrados ponderados Mínimos cuadrados extendidos y generalizados Estimación de los valores de continua

9 ÍNDICE GENERAL vii Utilización de los incrementos de las variables Cálculo de los valores medios Estimación de una constante Importancia del orden del modelo Identificación de sistemas con retardo o no lineales Consideraciones finales Control de sistemas con grandes retrasos Sistemas con retraso Representación matemática del retraso Problemática del control de sistemas con retraso El Predictor de Smith Efecto de los errores de modelado en el Predictor de Smith El Predictor PI El Predictor de Smith para sistemas en tiempo discreto Control de sistemas con respuesta inversa Control de procesos con perturbaciones medibles Introducción Control en cascada Estructura de un sistema de control en cascada

10 viii ÍNDICE GENERAL Sintonización de controladores en cascada Control anticipativo Consideraciones prácticas sobre los controladores anticipativos Control de procesos multivariables Introducción Sistemas multivariables Medida de las interacciones. Método de Bristol Control de procesos multivariables mediante desacoplo Introducción al control adaptativo Planteamiento del problema Clasificación grosso modo de los sistemas de control adaptativo Justificación del uso de control adaptativo Control adaptativo por modelo de referencia (MRAC) La regla del MIT Reguladores Autoajustables (STR) Introducción. Estructura general de los STR Algoritmos con estructura implícita y explícita Control por Mínima Varianza El regulador de mínima varianza generalizado

11 ÍNDICE GENERAL ix Asignación de polos y ceros Algoritmo con estructura implícita Algoritmo con estructura explícita Controladores PID con autoajuste y Ajuste por tabla Introducción Función de autoajuste (autotuning) Funciones de autoajuste para PIDs Técnicas de ajuste basadas en la respuesta transitoria Métodos basados en las oscilaciones producidas al realimentar con un relé La técnica de ajuste por tabla o gain scheduling Controladores adaptativos industriales SattControl ECA40 y Fisher-Rosemount DPR Foxboro EXACT ABB Novatune Control Predictivo Basado en Modelo (MPC) Perspectiva histórica Conceptos básicos de control predictivo Estrategia de los controladores predictivos Elementos básicos

12 x ÍNDICE GENERAL Modelo de predicción Respuestas libre y forzada Función objetivo Obtención de la ley de control Revisión de los principales algoritmos Dynamic Matrix Control Model Algorithmic Control Predictive Functional Control Extended Prediction Self Adaptive Control Extended Horizon Adaptive Control Generalized Predictive Control Controladores predictivos Dynamic Matrix Control Predicción Perturbaciones medibles Algoritmo de control El caso con restricciones Extensión al caso multivariable Control Predictivo Generalizado Formulación del Control Predictivo Generalizado

13 ÍNDICE GENERAL xi Predicción óptima Obtención de la ley de control Ejemplo de cálculo Caso multivariable Otros aspectos del Control Predictivo Restricciones en Control Predictivo Tratamiento convencional de restricciones Restricciones en Control Predictivo Resolución del problema Gestión de restricciones Técnicas de búsqueda de soluciones factibles

14 xii ÍNDICE GENERAL

15 Índice de figuras 1.1. Selección de que datos se deben guardar, con que frecuencia y en que formato en los históricos de un sistema de control por computador Todos los sistemas de control por computador presentan mímicos más o menos realistas con la información de la planta Herramientas para creación de mímicos en un sistema de control por computador Los históricos presentan información relevante sobre la evolución de las variables monitorizadas bien en forma gráfica o numérica Tareas de un sistema de control por computador Sistema de control con estructura centralizada Sistema de control con estructura distribuida Sistema de control con estructura jerárquica Esquema de un sistema de control por computador Simulink es un lenguaje gráfico que se puede utilizar para programar algoritmos de control Secuencia de ponderación de un sistema Secuencias de entrada, salida y ponderación de un sistema xiii

16 xiv ÍNDICE DE FIGURAS 3.1. Esquema de un sistema de control por computador Muestrador mediante impulsos y mantenedor o retenerdor de orden cero Muestreador mediante impulsos como moduador Espectro en frecuencia de una señal muestreada, observándose como se repite el espectro original atenuado cada ω s = 2π T Uso de un filtro paso banda para obtener el espectro en frecuencia de la señal original a partir del de la muestreada Espectro en frecuencia de una señal muestreada con una frecuencia de muestreo insuficiente (tiempo de muestreo demasiado alto) para poder reconstruir la original Repeticiones en frecuencia del espectro de una señal muestreada en las que el tiempo de muestreo es el límite para poder reconstruir Ilustración del aliasing Evolución de una secuencia de la forma (4.3) para distintos valores de p i Frontera de la región de estabilidad en el plano z Región del espacio de coeficientes de un polinomio de la forma z 2 +a 1 z + a 2 = 0 en la que las raices están dentro del círculo unidad Respuestas transitorias correspondientes a la localización de varios polos complejos conjugados en el plano s (a). Respuestas transitorias a los correspondientes polos discretos (b) Respuestas transitorias correspondientes a la localización de varios polos complejos conjugados en los límites de las franjas periodicas del plano s (c). Respuestas transitorias a los correspondientes polos discretos (d) Respuestas ante un impulso para un sistema con un polo en el eje real. 45

17 ÍNDICE DE FIGURAS xv 4.7. Respuestas ante un impulso para un sistema con polos conjugados en el eje imaginario Respuestas ante un impulso para un sistema con polos conjugados dentro del circulo unidad Respuestas ante un impulso para un sistema con polos conjugados en el circulo unidad Regiones de interes en el plano s Puntos de interes en la franja primaria del plano s Lugares de atenuación constante en el plano s y z Lugares de frecuencia constante en el plano s y z Lugares de amortiguación y frecuencia natural constante en el plano s Lugares de amortiguación constante en el plano z Lugares de amortiguación y frecuencia natural constante en el plano z Aproximación rectangular hacia delante de la integral Aproximación rectangular hacia detras de la integral Aproximación bilineal de la integral Integral de u(t) para un periodo de muestreo Región de estabilidad en el plano s (sombreada) Transformación en el plano z de la región de estabilidad del plano s al aplicar la aproximación rectangular hacia delante (sombreada) Transformación en el plano z de la región de estabilidad del plano s al aplicar la aproximación bilineal (sombreada)

18 xvi ÍNDICE DE FIGURAS 5.8. Transformación en el plano z de la región de estabilidad del plano s al aplicar la aproximación rectangular hacia atrás (sombreada) Diagrama de bloques de la representación en espacio de estados de un sistema LTI Diagrama de bloques de un sistema controlado por una realimentación del vector de estados Diagrama de bloques de un sistema LTI controlado mediante una realimentación del vector de estados que estima el estado con un observador Diagrama de bloques de un observador de orden completo Procesos estocásticos: realizaciones y variables aleatorias Modelo de Box-Jenkins Esquema de la identificación en línea Diagrama de flujo del proceso de identificación Ejemplo de señal de entrada del tipo PRBSS Diagrama de flujo del proceso de identificación mediante mínimos cuadrados recursivos Diagrama de Bode de un sistema de segundo orden (linea continua) y de un modelo de primer orden estimado para una entrada senoidal de frecuencia ω = 0,2 rad s Misma situación que en la figura 9.2 pero con una señal de entrada senoidal de frecuencia ω = 1 rad s Evolución de los parámetros identificados en un caso de sobreparametrización. 154

19 ÍNDICE DE FIGURAS xvii 9.5. Evolución de unos parámetros frente a otros para el modelo sobreparametrizado Ejemplo de sistema con retraso Sistema de control realimentado para un proceso con retraso t m Diagrama de Bode para distintos valores de un retraso puro e t ms Diagrama de Bode para distintos valores de un retraso puro t m s para el sistema C(s)G(s)e t ms con C(s) = 1 y G(s) = 10 1+s Diagrama de Bode para distintos valores de t m s para el sistema de la figura 10.4 con C(s) = 0, Sistema de control realimentado para un proceso con retraso donde el sensor se ha dispuesto antes del retardo Sistema de control en donde se realimenta la predicción de la salida mediante un modelo en bucle abierto Estructura del Predictor de Smith Bode de C(s)G(s) para el ejemplo Bode de C(s)G(s) para el ejemplo, desintonizando el controlador de manera que la ganancia sea cuatro veces menor Respuesta del sistema en bucle cerrado con el controlador desintonizado de manera que la ganancia sea cuatro veces menor Respuesta del sistema en bucle cerrado con el predictor de smith (trazo solido) comparada con la del lazo simple (trazo discontinuo) Respuestas del sistema en bucle cerrado con el predictor de smith cuando se tienen diversos errores en la estimación del retardo Estructura del Predictor PI

20 xviii ÍNDICE DE FIGURAS Algoritmo del Predictor de Smith Estructura de control para procesos con respuesta inversa Ejemplo de control de un sistema de fase no mínima con un PI usando un lazo simple de realimentación (trazo discontinuo) y la estructura de control para procesos con respuesta inversa propuesta en la figura Ejemplo de sistema con perturbación a la entrada Ejemplo de sistema con perturbación a la entrada Ejemplo de sistema con perturbación a la salida Sistema con perturbación a la salida controlado con un lazo simple de realimentación Sistema con perturbación a la salida controlado con un control anticipativo Sistema con perturbación a la salida controlado con un control anticipativo con control realimentado Respuesta de un sistema multivariable de dos entradas y dos salidas cuando se aplican escalones en sus entradas. Pueden observarse las interacciones en el hecho de que las salidas varían cuando las entradas respectivas están en reposo Representación de un sistema multivariable de orden Representación de un sistema multivariable de orden 2 en bucle cerrado con dos controladores multivariables Representación de un sistema multivariable controlado por desacoplo Respuesta del sistema multivariable del ejemplo cuando se aplican escalones en sus entradas Respuesta del sistema multivariable desacoplado cuando se aplican escalones en sus entradas

21 ÍNDICE DE FIGURAS xix Simulación del sistema multivariable en bucle cerrado Configuración genérica de un controlador adaptativo Sistema realimentado con actuador con característica v = f(u) Sistema realimentado con actuador con característica v = f(u) Respuestas en bucle abierto (izquierda) y cerrado (derecha) del sistema dado en (13.1) Respuestas en bucle abierto (izquierda) y cerrado (derecha) del sistema dado en (13.2) Configuración genérica de un controlador adaptativo por modelo de referencia (MRAC) Configuración genérica de un regulador o controlador autoajustable Configuración genérica de un regulador o controlador autoajustable División de polinomios para el ejemplo Estructura para la asignación de polos y ceros PID industrial moderno con función de autoajuste (ABB modelo ECA) Determinación de T y L por áreas Estructura usada en el método basado en oscilaciones de relé Configuración genérica de un controlador adaptativo con adaptación en bucle abierto Curva de ph para una solución de HCl M y NaOH M Característica aproximada de una sonda lambda

22 xx ÍNDICE DE FIGURAS La herramienta Novatune se comercializa actualmente con el sistema Advant 410 de ABB Estrategia del Control Predictivo Estructura básica del MPC Respuesta impulsional y ante escalón Respuestas libre y forzada Trayectoria de referencia Puntos de coincidencia Ley de control Punto de operación óptimo de un proceso típico Restricciones y punto de operación óptimo Restricciones en la señal de control Gestión de restricciones

23 Capítulo 1 Introducción al control por computador 1.1. Conceptos básicos El control por computador surge de la evolución del control análogico clásico (usado extensivamente en sistemas mecánicos, eléctricos y electrónicos), en la cual el computador se ve como medio para ampliar las capacidades y funcionalidades de los sistemas de control. Esa incorporación del computador digital comienza ya en etapas tan tempranas del desarrollo de los computadores como la década de En esa época el uso que se le daba al computador en los sistemas de control era el de supervisor de los lazos de control análogico tradicional. El siguiente paso es el de sustituir directamente a los controladores análogicos (habitualmente de tipo PID) en lo que se vino a llamar el Control Digital Directo. En este tipo de control el computador calcula la señal de control que se aplicará directamente al proceso. La década de los 70 ve la aparición de los microprocesadores como sustitutos en un solo circuito integrado de los principales componentes de un computador. La dramática reducción de costes, espacio y consumos unido a la escalada en prestaciones hace que se contemple dedicar un sistema basado en microprocesador a cada lazo de control, descargando de tareas al computador central. Esto lleva a la aparición de los sistemas de control distribuidos en los que diversos computadores se reparten las distintas tareas de control de una planta. Esos computadores se conectarán entre si mediante diferentes topologías de red, propiciando la aparición de normas de interconexión específicas de los entornos industriales: los buses de campo. Dentro de las redes se pueden establecer 1

24 2 VENTAJAS E INCONVENIENTES DE UN SISTEMA DE CONTROL POR COMPUTADOR jerarquías entre los diversos controladores y computadores conectados. Así se establecen diversos niveles de supervisión y control. En épocas más reciente, los sistemas de control han ido ocupando cada vez más campos de aplicación de los controladores clásicos como por ejemplo el sector de automoción y los sistemas de control de vuelo. Por otra parte el abaratamiento y simplificación de estas tecnologías han hecho que acaben aplicando incluso en el entorno doméstico dentro del campo de la domótica. El avance de este tipo de sistemas de control es tal que hoy en dia ya no se concibe ninguna aplicación de control automático de cierta complejidad en la que no se haga uso del control por computador como tecnología principal. Esta tecnología tiene su propia idiosincracia, diferente a la de la tecnología clásica, de ahí que surja una teoría específica que trata con estos sistemas: la teoría del control por computador Ventajas e inconvenientes de un sistema de control por computador Toda tecnología nueva suele venir cargada de ventajas pero también suele presentar nuevos inconvenientes. En esta sección se describirán brevemente ambas características. Dentro de las principales ventajas del control por computador podemos encontrar: Los sistemas de control por computador son más eficientes a la hora de controlar sistemas complejos. Además al ser sistemas programables, se pueden incorporar algorítmos de control más sofisticados que los que se pueden realizar con componentes analógicos. Mayor flexibilidad a la hora de cambiar la sintonía o incluso el algoritmo de control de un lazo determinado. Esta mayor flexibilidad viene dada por el hecho de que el software es intrínsecamente más flexible que el hardware. Mayor precisión en los cálculos. Con instrumentación analógica alcanzar una alta precisión en los cálculos es muy caro, mientras que con los computadores digitales la precisión en muchos casos es arbitraria. Invariabilidad de los cálculos. No hay envejecimiento ni derivas ya que los cálculos se realizan usando aritmética digital.

25 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CONTROL POR COMPUTADOR 3 Centralización de la información en un sistema que coordina todas las funciones. Información con marcas precisas de tiempo. Los sistemas de control por computador presentan muchas funciones adicionales y complementarias como por ejemplo visualización de la información, gestión de históricos, alarmas, cálculos estadísticos sobre el rendimiento, etc... Por otra parte los sistemas de control por computador también presentan inconvenientes, entre ellos: Coste elevado. Este coste es además muy dependiente del número de lazos de control que se hayan de implementar. Problemas de fiabilidad. Si hay mucha centralización, todo depende de un computador. Se ha de usar un equipo de respaldo (backup) que releve al computador principal en caso de fallo de este. Las estructuras de control distribuido palian este problema al no existir un computador central que deba ocuparse de todo Funciones de un sistema de control por computador Las tareas que un sistema de control por computador realiza van más allá de las de control que realiza un sistema de control clásico. El primer grupo de funciones que se pueden enumerar es la de adquisición y tratamiento de datos. El sistema adquiere las señales y realiza operaciones de adecuación entre las que se encuentran: Filtrado de señales. Linealización de la característica de sensores y actuadores. Conversión a unidades de ingeniería. Además de esas funciones de tratamiento de la señal se realizan otras tareas entre las que se incluyen:

26 4 FUNCIONES DE UN SISTEMA DE CONTROL POR COMPUTADOR Almacenamiento de los datos adquiridos en históricos. Se seleccionan que datos se almacenarán y en que formato (ver figura 1.1). Cálculos auxiliares: rendimientos, consumos, etc... Análisis estadísticos. Figura 1.1: Selección de que datos se deben guardar, con que frecuencia y en que formato en los históricos de un sistema de control por computador. Otra de las tareas más importantes de un sistema de control es la de presentar la información disponible del sistema al operador. El objeto de esta información es el de la monitorización y supervisión de la planta. Esta tarea se realiza dentro del interfaz hombre-máquina (MMI o HMI) que desempeña entre otras las siguientes tareas de comunicación con el usuario: Presentación de la información de la planta (medidas de sensores, valores en los actuadores, etc... ) mediante un mímico o sinóptico (ver figura 1.2). Estos mímicos se refrescan en tiempo real por lo que el operador tiene en todo momento una visión clara de lo que ocurre en la planta. Todos los sistemas de control por computador incluyen librerías y herramientas para crear mímicos más o menos realistas de la planta que se controla (ver figura 1.3). Otra de las tareas del MMI es la gestión de alarmas ante condiciones anormales de operación de la planta y su presentación al operador. Las alarmas se traducen en avisos al operador y se pueden tratar en función de su importancia. Además las incidencias y alarmas se almacenan en las bases de datos del sistema de control por computador.

27 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CONTROL POR COMPUTADOR 5 Figura 1.2: Todos los sistemas de control por computador presentan mímicos más o menos realistas con la información de la planta. Figura 1.3: Herramientas para creación de mímicos en un sistema de control por computador.

28 6 FUNCIONES DE UN SISTEMA DE CONTROL POR COMPUTADOR Los sistemas de control por computador son capaces además de ayudar o asistir en la toma de decisiones sobre la manera de operar el sistema. Suele ser habitual el uso de simuladores que permiten ensayar y ver el efecto de cambios en la planta sin tener que realizarlos sobre el sistema real. Complementando a los simuladores se pueden encontrar en algunos sistemas de control por computador programas de inteligencia artificial como los sistemas expertos, que tienen la misión de sugerir cual es la posible solución a cualquier incidencia que se presente o indicar los puntos de funcionamiento o modos de operación que sean más productivos. Es decir, un sistema experto emula el conocimiento de un experto humano. Otra de las funciones mas importantes de un sistema de control por computador es la de almacenar históricos (ver figura 1.4) de todas las variables (sensores, actuadores, etc... ) que se considere necesario (no necesariamente sólo las que se muestran en los mímicos). Esta información es de gran utilidad para analizar el funcionamiento del proceso, estudiar el efecto de cambios en la operación del sistema y averiguar las causas de fallos y alarmas. Figura 1.4: Los históricos presentan información relevante sobre la evolución de las variables monitorizadas bien en forma gráfica o numérica. Además de las tareas de adquisición de datos y de monitorización otras dos tareas fundamentales de un sistema de control por computador son el telemando y el control en sí mismo (figura 1.5. El telemando consiste en la posibilidad que se le da al operador de modificar manualmente desde el puesto de control los valores de actuadores, etc... Por otra parte en la tarea de control, el computador cierra el bucle de realimentación dejando al operador la tarea de cambiar los puntos de consigna o referencia a seguir.

29 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CONTROL POR COMPUTADOR 7 Figura 1.5: Tareas de un sistema de control por computador Estructuras de los sistemas de control Los sistema de control por computador presentan distintos tipos de estructuras en función de la forma en la que se conectan los distintos elementos, de la concentración de funciones en ellos y de las tareas asignadas. Una de las primeras estructuras en emplearse fue la estructura centralizada. En esta estructura un sólo computador central realiza todas las tareas antes mencionadas (ver figura 1.6). Aunque esta estructura estaba plenamente justificada cuando los computadores eran muy costosos, presenta bastantes problemas. En primer lugar se depende de un sólo equipo para todas las tareas. Si éste falla todo falla. Por tanto la fiabilidad de esta estructura es baja. Por otra parte la instalación es costosa en el sentido de que el cableado se complica mucho al tener que conectarse todos los elementos de la planta al computador. En la práctica además es necesario tener un computador de reserva o al menos paneles de controladores convencionales. Esta estructura es bastante rígida y dificil de ampliar. Figura 1.6: Sistema de control con estructura centralizada.

30 8 ESTRUCTURAS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Una estructura alternativa es la estructura distribuida. En esta estructura (ver figura 1.7), diversos elementos de control y computadores se conectan a traves de una red (llamada bus de campo) que reparte datos y señales entre ellos. Esta estructura es más fiable y redundante por lo que hay una mayor seguridad ante fallos. Las tareas y responsabilidades se reparten entre los distintos elementos y se obtiene mayor rapidez de procesamiento y respuesta. Además el coste de instalación es menor pues los controladores se situan más cerca de los elementos de medida y control. Sin embargo se impone la necesidad de definir y usar estándares de interconexión y protocolos de comunicaciones. Figura 1.7: Sistema de control con estructura distribuida. Finalmente, en los sistemas de control distribuidos puede además imponerse una estructura jerárquica (ver figura 1.8), en las que se definen distintos niveles de complejidad en los elementos de control y en las tareas que estos realizan. Los niveles más bajos vendrán ocupados por controladores de bajo nivel, sensores inteligentes y actuadores. Los niveles intermedios estarán ocupados por controladores programables, autómatas y computadores con software de control. Los niveles más altos estarán ocupados por máquinas más complejas y computadores con el software más complejo. Es de destacar que los tiempos de ciclo de estos elementos son más largos cuanto más alto sea el nivel.

31 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CONTROL POR COMPUTADOR 9 Figura 1.8: Sistema de control con estructura jerárquica Instrumentación específica de los sistemas de control por computador Los sistemas de control por computador poseen instrumentación específica diferente de aquella que encontramos en los sistemas convencionales (ver figura 1.9). Algunos de esos elementos son inherentes a la naturaleza digital de estos sistemas, por ejemplo los convertidores analógico/digital y digital/analógico. Estos convertidores traducen las señales analógicas de los sensores a valores numéricos entendibles por el computador (y al reves) y lo hacen de manera cuantizada con una resolución que viene determinada por el número de cifras binarias (bits) asignadas a cada medida proporcionada por el convertidor. Por otra parte un sistema de control por computador lee los valores de los sensores y manda los valores correspondientes a los actuadores sólo en determinados instantes de tiempo generalmente separados por un intervalo de tiempo fijo (intervalos de muestreo). Es decir son elementos muestreados y discretos. Para mantener la aplicación de los valores en los actuadores se emplean mantenedores de señal. El tipo más común es el mantenedor de orden cero (MOC) que mantiene la señal constante entre intervalos de muestreo. Aparte de los elementos anteriormente mencionados en un moderno sistema de control por computador podemos encontrar otros elementos más sofisticados como sensores inteligentes que proporcionan las medidas ya tratadas, filtradas y/o digitalizadas. Además pueden realizar operaciones con distintas medidas o inferir magnitudes indirectamente a partir de otras.

32 10 SOFTWARE DE CONTROL SINCRONÍA REF ERROR ENTRADA COMPUTADOR C. D/A + M.O.C. PLANTA C. A/D SALIDA PLANTA DISCRETIZADA Figura 1.9: Esquema de un sistema de control por computador. Finalmente hay que recordar que los distintos componentes se conectan a traves de redes de comunicaciones digitales llamadas buses de campo. Esas redes están regidas por diferentes protocolos de comunicaciones estandarizados Software de control Ya se han comentado las funciones de un sistema de control por computador. A la hora de programar un controlador hay que tener en cuenta que el programa se ejecuta siempre de manera cíclica, repitiéndose siempre tres bloques de acciones: 1. Medir u obtener las medidas de los sensores. 2. Calcular los valores que se aplicarán a los actuadores. 3. Mandar los valores a los actuadores. Otro factor a tener en cuenta es que los sistemas operativos han de cumplir diversas características para ser válidos en sistemas de control. Estos requisitos están normalmente relacionados con la temporización de tareas y la necesidad de garantizar que los programas que implementan algoritmos de controlador se ejecutarán en el tiempo necesario a toda costa. Los sistemas que cumplen esto son los que se suelen denominar sistemas operativos para operación en tiempo real o sistemas en tiempo real. Finalmente hay que destacar que existen diferentes posibilidades a la hora de programar un controlador, pudiéndose elegir entre implementarlo en un lenguaje de bajo nivel, en un lenguaje de proposito general, en un lenguaje específico del sistema de control o incluso un lenguaje gráfico (ver figura 1.10).

33 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN AL CONTROL POR COMPUTADOR 11 Figura 1.10: Simulink es un lenguaje gráfico que se puede utilizar para programar algoritmos de control.

34 12 SOFTWARE DE CONTROL

35 Capítulo 2 Secuencias y transformada Z 2.1. Introducción En un sistema de control por computador el algoritmo de control se concreta en un programa que calcula la salida del controlador cada cierto tiempo y lee (muestrea) la salida de la planta cada cierto tiempo. Las acciones ocurren por tanto cada cierto periodo de muestreo T: u(kt ), y(kt ) k = 0, 1,... Nótese que no solo el tiempo está discretizado sino que debido a la naturaleza digital del elemento de control (el computador) los valores de ambas señales son también discretos. El sistema de control por computador es por tanto un sistema discreto que recibe señales y k 1 y genera salidas u k. Los valores de esas señales a lo largo del tiempo forman secuencias, por ejemplo: {y k } = {0, 0, 1, 1,...} {u k } = {1, 1, 0, 2,...} Estas secuencias están relacionadas por ecuaciones en diferencias (análogas en sistemas discretos a las ecuaciones diferenciales en sistemas continuos): y k = a 1 y k 1 + a 2 y k a n y k n + b 0 u k + b 1 u k 1 + cdots + b m u k m Estas ecuaciones en diferencias constituyen una forma muy común de modelar sistemas discretos. 1 Nótese que con la notación y k se está indicando y(kt ), de manera que y k 1 = y((k 1)T ) y así sucesivamente. Por otra parte es habitual utilizar también la notación y(k),y(k 1), etc... 13

36 14 SECUENCIA DE PONDERACIÓN 2.2. Secuencia {k}={1,0,0, } de ponderación Denominaremos secuencia de ponderación {g k } = 0, g 1, } a la secuencia obtenida a la salida de un sistema discreto cuando a la entrada hay una secuencia de impulso unitario {δ k Discreto Sistema {gk}={g0,g1,g2, } g0g1g2... } = {1, 0, } (ver figura 2.1). Este es un concepto análogo al de re- Figura 2.1: Secuencia de ponderación de un sistema. spuesta impulsional y como veremos a continuación, permite caracterizar la salida de un sistema lineal. Nótese que cualquier secuencia {u k } puede expresarse de la forma: {u k } = l= l= u l {δ k l } aunque en general consideraremos que l comienza en 0. Así, por ejemplo, la secuencia {7, 4, 5} se puede poner como: {7, 4, 5} = 7 {1, 0, 0} + 4 {0, 1, 0} + 5 {0, 0, 1} donde u 0 = 7, {δ k } = {1, 0, 0}, u 1 = 4, {δ k 1 } = {0, 1, 0}, u 2 = 5, {δ k 2 } = {0, 0, 1}. Nótese que la secuencia {δ k i } es la secuencia {δ k } retrasada i tiempos de muestreo, y vale 1 en el instante de tiempo k = i y cero en los demás. Si a un sistema lineal se le excita con una secuencia de entrada {u k } (por ejemplo la ley de control calculada en cada instante por el computador), tal que se obtendrá una secuencia de salida: l= {u k } = u l {δ k l } l=0 l= {y k } = u l {g k l } l=0

37 CAPÍTULO 2. SECUENCIAS Y TRANSFORMADA Z 15 pues por el concepto de secuencia de ponderación, a la secuencia {δ k l } le corresponde a la salida la secuencia {g k l }, que es la secuencia de ponderación {g k } retrasada l tiempos de muestreo. Esa expresión se puede desarrollar de manera que se obtiene: llegándose a: {y k } = u 0 {g 0, g 1, g 2, } + u 1 {0, g 0, g 1, } + u 2 {0, 0, g 1, } + = u 0 g 0 + u 0 g 1 + u 0 g u 1 g 0 + u 1 g u 2 g 0 + = g 0 {u k } + g 1 {u k 1 } + g 2 {u k 2 } + l= {y k } = g l {u k l } l=0 Esto implica que conociendo la secuencia de ponderación de un sistema podemos calcular la salida para cualquier secuencia de entrada. La expresión anterior es equivalente a: l= {y k } = g l {u k l } = {g k } {u k } (2.1) l=0 donde indica la operación de convolución entre la secuencia {g k } y la secuencia {u k }. Este resultado sin embargo no esconde que trabajar directamente con secuencias como aquí se ha mostrado es muy engorroso, al tener que estar enumerando los valores que toman dichas secuencias. Para resolver esto surge la transformada Z, que se verá a continuación Transformada en Z La transformada en Z cumple el mismo papel en sistemas discretos que la transformada de Laplace en sistemas continuos. Permite obtener la solución de ecuaciones en diferencias y por tanto representar señales y secuencias de una manera más compacta. Para entender la transformada en Z se parte de una señal continua x(t). Esta señal es muestreada con un tiempo de muestreo T. Eso implica que se registra una secuencia: x(0), x(t ), x(2t ),, x(kt ) Teniendo en cuenta que la función delta de Dirac δ(t kt ) vale 1 para t = kt y cero en todos los demás casos, es claro que la señal muestreada es igual a: x (t) = x(kt )δ(t kt ) k=0

38 16 TRANSFORMADA EN Z La transformada de Laplace de x (t) se calcula como: X(s) = L {x (t)} = x (t)e st dt 0 = [x(kt )δ(t kt )] e st dt 0 k=0 = [x(kt )δ(t kt )] e st dt k=0 0 = x(kt )e kt s k=0 Se define ahora una nueva variable z como: z = e T s y haciendo el cambio de variable la transformada Z de una secuencia {x k } queda como: Z {x k } = X(z) = x k z k (2.2) k=0 que como puede verse por el desarrollo anterior se ha obtenido de la transformada de Laplace de la señal muestreada Transformadas de algunas señales típicas Calcular la transformada Z puede ser bastante complejo, de ahí el uso de tablas con las transformadas de las señales más comunes. Algunas de las señales más sencillas si pueden calcularse fácilmente. Señal impulso. Esta señal tiene como secuencia asociada {δ k } = {1, 0, 0, } En este caso la transformada Z se calcula facilmente como: Z {δ k } = δ k z k = δ 0 z 0 = 1 k=0 Señal escalón. En este caso la señal es {u k } = {1, 1, 1, }

39 CAPÍTULO 2. SECUENCIAS Y TRANSFORMADA Z 17 En este caso la transformada Z se calcula fácilmente 2 como: Z {u k } = U(z) = u k z k = z k 1 = 1 z = z 1 z 1 Señal {a k }: k=0 k=0 Z { a k} = a k z k = k=0 ( a ) k 1 = z 1 a z k=0 = z z a Señal {e ak }. En este caso se aplica el resultado anterior con a = e a obteniéndose Z { e ak} = z z e a Aplicando consideraciones similares se puede ir obteniendo la transformada Z de las secuencias más habituales. En las tablas 2.1 y 2.2 se enumeran las transformadas Z de dichas secuencias y sus equivalentes en transformada de Laplace Propiedades de la transformada Z En esta sección se verán las propiedades más importantes de la transformada Z. 1. Linealidad. Se verifica que Z {a {x k } + b {y k }} = ax(z) + by (z) 2. Desplazamiento en k. Con este nombre se recogen dos resultados relacionados: a) Z {x k+n } = z n X(z). La demostración es muy sencilla. Basta tener en cuenta que: Z {x k+n } = x k+n z k tomando l = k + n 2 Este resultado es válido siempre que 1 z < 1. k=0 = x l z (l n) l=n( ) = z n X(z) n 1 x l z l l=0 = z n X(z) z n n 1 x l z l l=0

40 18 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z Cuadro 2.1: Tabla con las transformadas Z más usuales.

41 CAPÍTULO 2. SECUENCIAS Y TRANSFORMADA Z 19 Cuadro 2.2: Tabla con las transformadas Z más usuales (continuación).

42 20 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z el término z n n 1 l=0 x l z l son condiciones iniciales (análogo a lo que ocurre en la transformada de Laplace), con lo que el resultado queda demostrado. b) Z {x k 1 } = z 1 X(z) y en general Z {x k n } = z n X(z). La demostración pasa por considerar una secuencia {y k } = {x k 1 }. La transformada Z de esta secuencia es: Y (z) = y k z k k=0 = x k 1 z k k=0 = z 1 x k 1 z (k 1) tomando k = k 1 k=0 = z 1 x k z k k ( = 1 ) = z 1 x 1 z + x k z k = z 1 X(z) k =0 teniendo en cuenta que x 1 = 0 Por tanto Z {x k 1 } = z 1 X(z) y en general se puede demostrar que Z {x k n } = z n X(z). Nótese que z 1 X(z) se corresponde con la secuencia {x k } retrasada en un tiempo de muestreo. Por tanto, se entiende que a z 1 se le conozca también como operador retraso. Análogamente, z n X(z) se corresponde con la secuencia {x k } retrasada n tiempos de muestreo. 3. Convolución. Se cumple que: { k } Z {{x k } {y k }} = Z x l y k l = X(z)Y (z) (2.3) 4. Teorema del valor final. El valor en k = de la secuencia {x k } viene dado por: l=0 x = lím k x k = lím z 1 (z 1)X(z) Nota: en algunos textos aparece como lím z 1 (1 z 1 )X(z). Por otra parte este teorema es válido si el límite existe. Ejemplo 2.1 Sea X(z) = z z 1 El valor final será x = lím z = 1 z 1 Este resultado es congruente con el hecho de que la secuencia es un escalón unitario.

43 CAPÍTULO 2. SECUENCIAS Y TRANSFORMADA Z Teorema del valor inicial. El valor inicial para k = 0 de la secuencia {x k } viene dado por: x 0 = lím z X(z) Ejemplo 2.2 Sea {x k } un escalón unitario. En este caso z x 0 = lím z z 1 = lím 1 z 1 1 z = Transformada Z inversa En esta sección trataremos el problema de obtener la representación temporal de un señal a partir de la transformada Z. Esto se hace a través de la llamada transformada Z inversa: Z 1 {X(z)} = {x k } La transformada inversa Z puede calcularse de diversas maneras. Además de usar tablas, se expondrán aquí dos métodos para calcularla: el método de división larga (también llamada de serie infinita de potencias) y el método por descomposición en fracciones simples Serie infinita de potencias El método consiste en realizar la división entre el numerador y el denominador de la transformada Z de manera que el cociente sea un polinomio en potencias de z. Los coeficientes de ese polinomio serán la representación temporal de la secuencia. Ejemplo 2.3 Sea X(z) = z z c obtener la representación temporal por el método de la división larga. En este caso, al realizar la división se obtiene: z z c = 1 + cz 1 + c 2 z 2 + c 3 z 3 +

44 22 TRANSFORMADA Z INVERSA es decir, los coeficientes forman la secuencia: {x k } = {1, c, c 2, c 3, } = {c k } Ejemplo 2.4 Sea Si se realiza la división se obtiene: X(z) = 0,1z 2 z 2 1,9z + 0,9 0,1z 2 z 2 1,9z + 0,9 = 0,1 + 0,19z 1 + 0,271z 2 + por lo que la secuencia sería {x k } = {0,1, 0,19, 0,271, } Descomposición en fracciones en lugar de X(z) directamente. Si ese término no está presente se puede descomponer directamente, de manera análoga a lo que se hace con la transformada de Laplace inversa para sistemas continuos. El método consiste en descomponer la representación en transformada Z en fracciones simples y aplicar las equivalencias correspondientes a cada fracción. Para ello basta con buscar en las tablas de la transformada Z. Un detalle a tener en cuenta es que cuando la transformada Z tiene en su numerador un termino z es mejor descomponer X(z) z

45 CAPÍTULO 2. SECUENCIAS Y TRANSFORMADA Z 23 Ejemplo 2.5 Sea X(z) = (1 e at )z (z 1)(z e at ) Aplicar el método de la descomposción en fracciones simples. Como se tiene el factor z en el numerador expandimos X(z) z : X(z) z = A z 1 + B z e at Se obtiene que A = 1 y B = 1, por tanto X(z) = z z 1 z z e at Mirando en la tabla de transformadas Z y sustituyendo se obtiene: {x k } = {1 e akt } Ejemplo 2.6 Sea X(z) = (1 e at ) (z 1)(1 e at ) La descomposición resulta ser Nótese que X(z) = (1 e at ) (z 1)(1 e at ) = 1 z 1 1 z e at 1 z 1 = z z 1 z 1 es decir corresponde a un escalón unitario retrasado, {1 k 1 }. Aplicando al otro término esta consideración se ve que corresponde con {e at (k 1) }. Por tanto: {x k } = {1 k 1 + e at (k 1) } Nótese que este tipo de términos aparecerá siempre en sistemas con retardo (en este caso el retardo es 1).