EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD II

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1 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD II En los ejercicios de la hoja de repaso anterior hemos recordado el cálculo de límites y los conceptos de continuidad local y global. En esta relación vamos a comenzar a aplicar dichos conceptos. Un problema de aplicación determina un contexto en el que se deben aplicar los conceptos aprendidos. Para tener éxito en los problemas debemos estar seguros de conocer bien los conceptos y cómo se relacionan con las situaciones de aplicación. Recordemos los conceptos: Continuidad en un punto: Una función f(x) se dice que es continua en un punto x 0 si se cumplen: i) x 0 pertenece al dominio de f(x) ii) lím x x 0 f(x) = lím x x + 0 f(x) = f(x 0 ) 1. Qué puede significar que una función sea continua en un punto? En general, que una función sea continua en un punto nos está indicando que la magnitud que describe la función varía ligeramente del valor de la magnitud en x 0 cuando nos distanciamos ligeramente de x 0. Por ejemplo, si pensamos en la temperatura de una habitación a lo largo de un día podemos convencernos de que la temperatura variará a lo largo del tiempo pero de una forma çontinua, sin saltos instantáneos. Otro ejemplo podría ser la altura de una persona a lo largo de su vida. Nadie crece 3 cm. por ejemplo, de forma instantánea Qué puede significar que una función presente una discontinuidad en un punto? De una u otra forma una discontinuidad nos indica un cambio brusco e instantáneo de la magnitud medida por la función. Los tipos de discontinuidad nos informan si el cambio brusco es permanente (inevitable) o, por el contrario, se trata de un cambio que se restablece de forma instantánea (evitable). Por ejemplo, si pensamos en la función que describe la evolución del IVA de tipo general, observamos que en septiembre de 2012 pasó del 18 % al 21 %, lo que describe un salto instantáneo del 3 %. De este modo, la función que describe el IVA de tipo general sufrió una discontinuidad en septiembre de 2012 (además como se mantuvo el nuevo tipo se trata de una discontinuidad inevitable) 1

2 2 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD II Así, la aplicación del concepto de continuidad nos ayuda a descubrir comportamientos en la evolución de una función, ya sean suaves (continuidad) o bruscos e instantáneos (discontinuidades). Si no entendemos bien el concepto y la información que nos transmite descubrir su aplicación en un problema se convierte en un mero juego de azar. Límites: El límite de una función nos informa sobre el comportamiento, de la magnitud descrita por la función, en las proximidades de un número o cuando la variable independiente crece (decrece) infinitamente. Es decir, nos indica el comportamiento asintótico (a lo que se aproxima sin llegar ) de la función. Por ejemplo, si disponemos de una función que describe la evolución de una población (por ejemplo de insectos) podríamos estar interesados en saber cuál será el comportamiento de la función a largo plazo se estabilizará en un número de individuos? aumentará sin control? Tenderá a desaparecer?... Todas estas preguntas se responden determinando el lím f(x). x + Así, el concepto de límite se utiliza cuando queremos conocer los valores a los que se aproxima la función cuando la variable independiente se aproxima a un valor o se hace arbitrariamente grande o pequeño, además de ser una herramienta para el estudio de la continuidad, derivabilidad... Ejercicio 1: En este ejercicio vamos a utilizar los concepto de función, de dominio y de límite para resolver problemas de aplicación en diferentes contextos. Fíjate en los comentarios y conclusiones del ejemplo e intenta hacer lo mismo en los problemas propuestos. 1. La especie Claviceps purpúrea está formada por un tipo de hongo que afecta a las explotaciones de centeno. En cierta explotación se ha observado que ante una plaga de dicho hongo el número de miles de plantas infectadas depende del tiempo según la expresión: P (t) = 2 + 5t2 t donde P (t) representa los millares de plantas infectadas y t el tiempo, medido en meses, desde que se detectó la plaga. a) Determine el número de plantas infectadas en el instante inicial b) Determine el número de plantas infectadas al quinto mes de haberse detectado la plaga c) Determine el número de plantas infectadas a largo plazo SOLUCIÓN: a) Puesto que P (t) nos indica los millares de plantas infectadas cuando han pasado t meses desde que se detectó la plaga, el número de plantas infectadas en el instante inicial será 1000 P (0). P (0) = = 2 2 = 1

3 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD II 3 por lo tanto el número de plantas infectadas en el instante inicial fue de 1000 plantas. b) Al quinto mes de haberse detectado la plaga la población de plantas infectadas será igual a 1000 P (5) ya que el tiempo se mide en meses. P (5) = = = 4, ,704 luego el número de plantas infectadas al quinto mes será, aproximadamente, de 4704 plantas. c) A largo plazo significa cuando el tiempo crece arbitrariamente, por lo tanto el número de plantas infectadas a largo plazo será: 1000 lím t + P (t) si calculamos el límite obtenemos: 2 + 5t 2 lím P (t) = lím t + t + t = lím 5t 2 t + t = 5 2 por lo tanto el número de plantas infectadas a largo plazo será de 5000 plantas. 2. Una empresa estima que el beneficio que obtiene por cada unidad de producto que vende depende del precio de venta según la función: B(x) = 3x2 + 12x 9 (x + 1) 2 siendo B(x) el beneficio y x el precio por unidad del producto, ambos expresados en euros. a) Determine el dominio de definición de la función beneficio b) Determine el beneficio unitario que obtendría la empresa si el producto se fija a un precio de 2 euros la unidad. c) Determine el rango de precios para los que se obtiene un beneficio positivo. d) Estime el beneficio unitario si se fijara un precio del producto muy grande. SOLUCIÓN: a) B(x) es una función racional, para la que se anula el denominador en x = 1. Cómo x representa el precio fijado por la empresa para el producto, no tiene sentido fijar precios negativos por lo tanto, el dominio de la función será: (Describe el dominio) Dom(B) =

4 4 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD II b) (Completa el argumento) El beneficio unitario obtenido por la empresa para un precio de 2 euros se obtiene sustituyendo... B(2) = (Completa la conclusión) por lo tanto el beneficio será... c) (Completa el argumento) Debemos determinar los valores de x para los que se tiene un beneficio positivo. Para obtener dichos valores debemos estudiar el signo de... Para estudiar el signo tendremos que determinar los valores del dominio donde B(x) es cero y estudiar el signo de la función dentro del dominio. Por último determinaremos el conjunto de puntos donde B(x) > 0. (Realiza los cálculos)

5 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD II 5 (Escribe la conclusión) En consecuencia... d) La estimación del beneficio cuando se fija un precio muy grande para el producto será lím B(x). x + (Realiza los cálculos) (Escribe la conclusión) En consecuencia La familias de cierta población presentan un gasto en ocio, G(x) en euros, que está relacionado con sus ingresos mensuales, x en euros, a través de la expresión: G(x) = 0,01x si 0 x x x+42 si x > 600 a) Estudiar las discontinuidades del gasto en ocio. El gasto en ocio de una familia es sensiblemente distinto si sus ingresos son ligeramenteïnferiores o superiores a los 600 euros? Justifica tu respuesta. b) Estudiar el gasto en ocio de las familias con alto poder adquisitivo. Es posible afirmar que si los ingresos de una familia crecen indefinidamente su gasto en ocio también lo hará? Justifica tu respuesta.

6 6 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD II 4. El saldo bancario de un profesor durante los 30 días del mes de abril se ajustan a la función: S(t) = 400t+1600 t+1 si 0 t < t 2000 t 19 si 20 t 30 donde S(t) representa el saldo en euros y t los días transcurridos desde el comienzo del mes. Se pide: a) Determinar el dominio de definición de S(t). b) Con qué saldo comenzó el mes de abril? Con qué saldo lo terminó? c) Es correcto afirmar que el saldo varió continuamente a lo largo de todo el mes? Si tu respuesta es negativa comenta qué crees que pudo haber pasado

7 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD II 7 Ejercicio 2: Otra de las aplicaciones de los conceptos de límites y de continuidad se presenta en el ajuste de parámetros. En este tipo de ejercicio se nos presenta una familia de funciones, que dependen de uno o más parámetros, y se nos solicita que realicemos el ajuste de los parámetros para determinan las funciones, de la familia, que cumplen ciertas condiciones de continuidad. Fíjate en el ejemplo, observa los comentarios y cómo se aplican los conceptos. 1. Dada la función: x + 1 si x 1 f(x) = 3 ax 2 si x > 1 se pide: a) Para qué valores de a la función f(x) es continua en x = 1? b) Cuánto debe valer el parámetro a para que f(x) presente, en x = 1, una discontinuidad inevitable de salto finito igual a 5? SOLUCIÓN: a) Por definición, una función es continua en x = x 0 si se cumplen las siguientes condiciones: i) x 0 pertenece al dominio de f(x) ii) lím x x 0 f(x) = lím x x + 0 f(x) = f(x 0 ) En nuestro caso se nos pide que ajustemos el valor del parámetro a para que la función sea continua en el punto x = 1, por lo tanto debemos comprobar que: i) 1 pertenece al dominio de f(x) ii) lím f(x) = lím f(x) = f(1) x 1 x 1 + Que 1 pertenece al domino de f se cumple, evidentemente, porque la función contiene la relación 1 en la primera de sus ramas. Veamos qué valor debe tomar a para que se cumple la segunda condición: Límite por la izquierda: lím f(x) = lím x + 1 = = 2 x 1 x 1 Límite por la derecha: lím f(x) = lím 3 ax2 = 3 a (1) 2 = 3 a x 1 + x 1 + Valor de la función en x = 1: f(1) = = 2 Para que la función sea continua deben ser los tres valores iguales, por lo tanto tendremos que resolver la ecuación: 3 a = 2 a = 1 Conclusión: f(x) será continua en x = 1 si y sólo si a = 1.

8 8 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD II b) En este apartado se nos pide ajustar el parámetro a para que f(x) sea discontinua inevitable, de salto finito igual a 5 en el punto x = 1. Una función presenta una discontinuidad inevitable de salto finito cuando los límites laterales no son iguales y el valor del salto es igual a la diferencia entre el límite por la derecha y el límite por la izquierda. Es decir, se debe cumplir: lím f(x) lím f(x) = 5 x 1 + x 1 como los límites los hemos calculado en el paso anterior sólo nos resta imponer la condición para obtener la ecuación que determinará el valor de a: lím x 1 x 1 f(x) lím f(x) = (3 a) 2 = 5 1 a = 5 a = 4 + Conclusión: f(x) presenta en x = 1 una discontinuidad inevitable de salto finito 5 si y sólo si a = Dada la función: f(x) = x + 1 si x 2 b x si x > 2 se pide: a) Para qué valores de b la función f(x) es continua en x = 2? b) Cuánto debe valer el parámetro b para que f(x) presente, en x = 2, una discontinuidad inevitable de salto finito igual a 1? SOLUCIÓN: a) (Completa el razonamiento) Por definición, una función es continua en x = x 0 si...

9 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD II 9 En nuestro caso... Límite por la izquierda: Límite por la derecha: Valor de la función en x = 2:

10 10 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD II (Completa la resolución) Para que la función sea... (Completa la conclusión) CONCLUSIÓN: f(x) será... b) (Completa el razonamiento En este apartado se nos pide ajustar el parámetro b para que... (Completa la conclusión) CONCLUSIÓN: f(x) presenta en x = 2 una...

11 EJERCICIOS DE REPASO SOBRE LÍMITES Y CONTINUIDAD II Dada la función: f(x) = x + a si x 0 x 2 1 si x > 0 se pide: a) Para qué valores de a la función f(x) es continua en x = 0? b) Cuánto debe valer el parámetro a para que f(x) presente, en x = 0, una discontinuidad inevitable de salto finito igual a 3? 4. Dada la función: x 2 1 si x < 1 f(x) = x 1 b si x 1 se pide: a) Para qué valores de b la función f(x) es continua en x = 1? b) Cuánto debe valer el parámetro b para que f(x) presente, en x = 1, una discontinuidad inevitable de salto finito igual a 2? 5. Dada la función: f(x) = x 2 1 x+2 si x < 1 b 2 x 2 + 4x si x 1 se pide: a) Para qué valores de b la función f(x) es continua en x = 1? b) Cuánto debe valer el parámetro b para que f(x) presente, en x = 1, una discontinuidad inevitable de salto finito igual a 5?