Desarrollar procesos de solución de situaciones problema relacionadas con la forma, el área de la superficie y el volumen de pirámides.

Transcripción

1 DESCUBRIENDO MEDIDAS A PARTIR DE LA FORMA Resolución de problemas relacionados con pirámide Introducción Figura 1. Pirámide de Guiza Objetivos de aprendizaje Desarrollar procesos de solución de situaciones problema relacionadas con la forma, el área de la superficie y el volumen de pirámides. Reconocer las pirámides a partir de los elementos que la componen. Caracterizar objetos con forma de pirámides a partir del área de su superficie. Caracterizar objetos con forma de pirámides a partir del volumen. La forma piramidal en el mundo En la antigüedad la forma piramidal representaba poderío y una prolongación para estar más cerca del cielo. A continuación observa estructuras arquitectónicas con forma de pirámide. SM_M_G09_U02_L04_M 1

2 En la figura 2 se observa el hotel Luxor, localizado en las Vegas, Nevada. Para la construcción se tomó como referencia el antiguo Egipto. Tiene más de 4,500 habitaciones organizadas en pirámide. El hotel recibe el nombre de Luxor por la antigua ciudad de Luxor (antigua Tebas). Figura 2. Luxor hotel Chichén Itzá. Es uno de los principales sitios arqueológicos de la península de Yucatán, en México. Sitio que conmemora la civilización maya. Figura 3. Chichén Itzá La pirámide de Jafra. Es una pirámide de Egipto perteneciente a la Necrópolis de Guiza. Sus características técnicas: 215 m. de lado, 143,5 m. de altura y m3 de volumen. Figura 4. La pirámide de Jafra La Pirámide Roja. Debe su nombre actual al color rojizo de los bloques. Está situada en Dahshur. Fue construida por el faraón de la cuarta dinastía Seneferu. Sus dimensiones son 220 m. de lado, 105 m. de altura y m 3 de volumen. Figura 5. La pirámide roja SM_M_G09_U02_L04_M 2

3 Guía de observación de la animación Observa detenidamente el video presentado por el docente. Luego responde: Qué tienen en común las figuras mostradas? Qué figuras las conforman? Podrías decir cuál es el nombre de este objeto? Describe la figura mostrada? SM_M_G09_U02_L04_M 3

4 Dibuja algunos objetos cotidianos que tengan la forma mostrada en la animación. SM_M_G09_U02_L04_M 4

5 Actividad 1 Observo con atención el video. Aprendo definiendo conceptos Figura 6. Desarrollo de pirámide Cuáles figuras geométricas forman las pirámides? Describa que es una pirámide: SM_M_G09_U02_L04_M 5

6 Actividad 2 Escribe la definición de la figura presentada: Actividad 3 Podrías trazar las líneas más importantes de la siguiente pirámide, dale un número del 1 en adelante, a cada una, y en ese orden responde para la definición en la hoja de solución: Figura 7. Pirámide hexagonal Línea: Definición: SM_M_G09_U02_L04_M 6

7 Línea: Definición: Línea: Definición: Línea: Definición: Línea: Definición: Línea: Definición: Línea: Definición: SM_M_G09_U02_L04_M 7

8 Actividad 4 Con base al cuadro de la clasificación de las pirámides, escribe el tipo de pirámide a la cual pertenecen las fotografías; cuántos vértices, cuántas aristas, qué base y qué tipo de pirámide es. Pirámide Recta: es aquella en la que todas sus caras laterales son triángulos equiláteros o isósceles y la altura cae al punto medio de la base. Pirámide Regular: es aquella que tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales Clasificación de las pirámides Tronco de Pirámide: es la parte de la pirámide limitada por un corte paralelo a la base y separado de la parte que contiene al vértice Pirámide oblicua: es aquella en la que alguna de sus caras laterales no es un triángulo equilátero o isósceles Pirámide irregular: Es la pirámide con una base de figura irregular. Figura 8. Clasificación de las pirámides SM_M_G09_U02_L04_M 8

9 Vértices: Aristas: Base: Tipo de pirámide: Figura 9. Pirámide cestia Vértices: Aristas: Base: Tipo de pirámide: Figura 10. Templo Shakaden Vértices: Aristas: Base: Tipo de pirámide: Figura 11. La pirámides de Guiza Vértices: Aristas: Base: Tipo de pirámide: Figura 12. Pirámide del sol SM_M_G09_U02_L04_M 9

10 Actividad 5 Construye, de acuerdo al siguiente desarrollo, pirámides de diversos tamaños. Indica las medidas que usaste. Figura 13. Desarrollo de pirámide SM_M_G09_U02_L04_M 10

11 Figura 14. Desarrollo de pirámide hexagonal SM_M_G09_U02_L04_M 11

12 Figura 15. Desarrollo de pirámide SM_M_G09_U02_L04_M 12

13 Actividad 6 Describo procesos para generalizar algoritmos. h hl ap Figura 16. Pirámide regular de base cuadrada De acuerdo a la información anterior como hallarías el área lateral. Describe y justifica tu respuesta Observa la figura interna sombreada Qué figura se forma? Cuáles son las partes de un triángulo rectángulo? Si conoces el valor del cateto más largo, y el valor del cateto más corto cómo podemos hallar el valor de la hipotenusa? El valor de la medida de la hipotenusa en este caso la llamamos? SM_M_G09_U02_L04_M 13

14 Calcula el valor de la altura de la cara lateral de una pirámide de base cuadrada de 12 cm de arista básica, y 14 cm de altura. h 14cm hl ap 12cm Figura 17. Pirámide cuadrangular SM_M_G09_U02_L04_M 14

15 Calcula el valor del área lateral de una pirámide de base cuadrada de 12 cm de arista básica y 14 cm de altura. Con los datos encontrados en el punto anterior, halla el área de una cara lateral (triángulo). Observa la cantidad de caras laterales que tiene la pirámide en estudio. Concluye como hallarías el área lateral. h 14cm hl ap 12cm Figura 18. Pirámide cuadrangular SM_M_G09_U02_L04_M 15

16 Actividad 7 Calcula el valor del área total de una pirámide de base cuadrada de 12 cm de arista básica y 14 cm de altura. h 14cm hl ap 12cm Figura 19. Pirámide cuadrangular SM_M_G09_U02_L04_M 16

17 Actividad 8 Calcula el valor del volumen de una pirámide de base cuadrado de 12 cm de arista básica y 14 cm de altura. h 14cm hl ap 12cm Figura 20. Pirámide cuadrangular SM_M_G09_U02_L04_M 17

18 Actividad 9 Ejercicio de aplicación Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de la pirámide de base cuadrada, de aristas básicas 26 y 18 cm, y de arista lateral 15 cm. 18 cm 15 cm Figura 21. Pirámide truncada 26 cm 4 cm Responde: Qué figura identificas como cara lateral del tronco de la pirámide? Qué elementos vez en esa figura?,, Utiliza las plantillas de las siguientes hojas para realizar los procedimientos. Luego llena los espacios vacíos El área de una cara lateral es: Observa el número de caras laterales para hallar el área lateral de la pirámide truncada Cuántas son? Ahora puedes hallar el área total de la pirámide truncada: SM_M_G09_U02_L04_M 18

19 Ten en cuenta para el volumen hallar la altura del tronco de la pirámide. Área de cara lateral SM_M_G09_U02_L04_M 19

20 Área lateral total SM_M_G09_U02_L04_M 20

21 Área total del tronco de pirámide SM_M_G09_U02_L04_M 21

22 El volumen de la pirámide truncada Para hallar el volumen se necesitará: A trapecio= h (B+b) A cuadrado= L L 2 SM_M_G09_U02_L04_M 22

23 Actividad 10 Calcular el área total y el volumen de la pirámide oblicua de base cuadrada de aristas 15 cm y 23 cm de altura. Pasos para el área total. Observa el número de caras laterales Halla el área de cada una de las caras laterales teniendo en cuenta tus conocimientos previos del área de un triángulo. Realiza las operaciones pertinentes 23 cm 15 cm Figura 22. Pirámide oblicua SM_M_G09_U02_L04_M 23

24 Actividad 11 Socializar La pirámide de Keops tiene como medidas aproximadas 230,3 m de lado y 146,6 m de altura. Se decidió aplicar un impermeabilizante sobre las paredes. Cuántos metros cuadrados de pirámide se necesitan impermeabilizar? Cuál es el volumen de la pirámide de Keops aproximadamente? Compara las repuestas con otros dos compañeros; si coinciden las respuestas socialízalo con el grupo en general, y en caso contrario, desarróllalo en equipo y socializa la nueva respuesta. Figura 23. Pirámide de Guiza SM_M_G09_U02_L04_M 24

25 DESCUBRIENDO MEDIDAS A PARTIR DE LA FORMA Resolución de problemas relacionados con pirámide Definición de pirámide 1 Poliedros cuya base es un polígono cualquiera, y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide. Elementos de una pirámide: Vértice Cara Lateral Altura Altura Lateral Base Convenciones Figura 24. Pirámide pentagonal Poliedros cuya base es un polígono cualquiera, y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide. h = Altura de la pirámide hl = Altura de las caras laterales A L = Área lateral total A T = Área total A B = Área de la base o de la base mayor según sea el caso A b = Área de la base menor B =Medida de la arista de la base mayor b= Medida de ala arista de la base menor V = Volumen Cada pirámide consta de los siguientes elementos: Base: es el polígono que delimita a la pirámide, cuyos vértices no coinciden con en el vértice de la pirámide. La totalidad de la siguiente información sobre la Definición y Elementos de la pirámide, ha sido tomada de Vitutor (2014) Tipos de pirámides. Obtenido de SM_M_G09_U02_L04_S 1

26 Caras laterales: cada uno de los triángulos laterales que delimitan a la pirámide, y que al menos un vértice coincide con el de la pirámide. Aristas: son los lados de la base o de las caras laterales. Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, superior aristas laterales. Vértices: son los puntos en donde se encuentran cada par de aristas. Altura: es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice o ápice de la pirámide. Altura lateral: es la altura de cualquiera de sus caras laterales. Apotema: es la distancia entre el centro de la base a cualquiera de sus lados. Pirámide Recta: es aquella en la que todas sus caras laterales son triángulos equiláteros o isósceles y la altura cae al punto medio de la base. Pirámide Regular: es aquella que tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales Clasificación de las pirámides Tronco de Pirámide: es la parte de la pirámide limitada por un corte paralelo a la base y separado de la parte que contiene al vértice Pirámide oblicua: es aquella en la que alguna de sus caras laterales no es un triángulo equilátero o isósceles Pirámide irregular: Es la pirámide con una base de figura irregular. Figura 25. Clasificación de las pirámides SM_M_G09_U02_L04_S 2

27 Pirámide Altura cara lateral hl 2 =(h) 2 +(ap) 2 hl= (h) 2 +(ap) 2 ) Área lateral A L =(B hl) (# Caras laterales) 2 Área Total A T =A B +A L Volumen V=(A B h) 3 Tronco de una pirámide Es el cuerpo geométrico que resulta al cortar una pirámide con un plano paralelo a la base y separar la parte que contiene al vértice. Elementos de una pirámide: La sección determinada por el corte es la base menor. La base mayor es el polígono paralelo a la base menor. Las caras laterales son trapecios isósceles. La altura de la cara lateral es la altura de cada trapecio isósceles. La altura es la distancia entre las 2 bases. Altura cara lateral hl 2 =h 2 +(B-b) 2 2 Área lateral A L =hl (B+b) (# Caras laterales) 2 Área Total Volumen A T =A B +A b +A L V= h (A B + A b + A B A b 3 SM_M_G09_U02_L04_S 3

28 DESCUBRIENDO MEDIDAS A PARTIR DE LA FORMA Resolución de problemas relacionados con pirámide 1. Cuál es el volumen de una pirámide con base triangular de lados iguales a 13.5 cm y una altura de 7.25 cm? 2. Sabemos que una pirámide tiene una altura de 34.8 cm y un volumen de 542,64 cm 3 y A cuánto equivale el área de la base? 3. A cuánto equivale la altura de una pirámide si sabemos que el área de la base es 405 cm 2 y el volumen de 7852 cm 3? SM_M_G09_U02_L04_A 1

29 Lista de figuras Figura 1. Pirámide de Guiza Loro, A. (2005, marzo 01).Pirámide de Keops [fotografía].obtenido de: wikipedia/commons/e/e3/kheops-pyramid.jpg Figura 2. Luxor hotel Ramz. (2005, Marzo 23).Luxor hotel [fotografía]. Obtenido de: Figura 3. Chichén Itzá Elelicht. (2011, Marzo 26). El castillo [fotografía] obtenido de commons/7/73/chichen_itza_el_castillo.jpg Figura 4. La pirámide de Jafra Ogrebot. (2006, Julio 27).La pirámide de Kefrén [fotografía].obtenido de org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/khafre%27s_pyramid343.jpg/800px-khafre%27s_pyramid343. jpg Figura 5.. La pirámide roja Nomo. (2006, Julio 15). Dashchur-snofru-red [fotografía].obtenido de wikipedia/commons/e/e4/dahschur-snofru-red.jpg Figura 6. Desarrollo de pirámide Figura 7. Pirámide hexagonal Figura 8. Clasificación de las pirámides Figura 9. Pirámide Cestia 3impact. (2010, diciembre31).vista nocturna san Paolo [fotografía].(s.l)obtenido de: wikimedia.org/wiki/file:piramide_cestia_(roma)_veduta_notturna_dalla_torre_di_porta_san_paolo. jpg Figura 10. Templo shakaden Jose. (2006, Septiembre 9). Súper templo SHAKADEN. [Fotografía]. Obtenido de: com/photos/zell0ss/ / Figura 11. Las pirámides de Guiza Ikiwaner. (2006, Junio 19). Las pirámides de Guiza [Fotografía]. Egipto. Obtenido de Figura 12. Pirámide del sol Nateirma. (2004,mayo 8).Pirámide del sol[fotografía].teotihuacánhttp://es.wikipedia.org/wiki/pir%- C3%A1mide_(arquitectura)#mediaviewer/File:Teonate.JPG Figura 13. Desarrollo de pirámide SM_M_G09_U02_L04_A 2

30 Figura 14. Desarrollo de pirámide hexagonal Figura 15. Desarrollo de pirámide Figura 16. Pirámide Cuadrangular Figura 17. Pirámide cuadrangular Figura 18. Pirámide cuadrangular Figura 19. Pirámide Cuadrangular Figura 20. Pirámide Cuadrangular Figura 21. Pirámide truncada Figura 22. Pirámide oblicua Figura 23. Pirámide de Guiza Loro, A. (2005, marzo 01).Pirámide de Keops [fotografía].obtenido de: wikipedia/commons/e/e3/kheops-pyramid.jpg Figura 24. Pirámide pentagonal Figura 25. Clasificación de las pirámides Bibliografía Vitutor (2014) Tipos de pirámides. Obtenido de SM_M_G09_U02_L04_A 3