Cálculos matemáticos POR EL MÉTODO DE MEDIDA DIRECTA DE ÁNGULOS

Transcripción

1 Cálculos matemáticos POR EL MÉTODO DE MEDIDA DIRECTA DE ÁNGULOS Para realizar este cálculo es necesario contar con el croquis dibujado en la hoja de registro y trazado, con las mediciones recabadas durante el trabajo de campo en los levantamientos planimétricos con tránsito y longímetro. Los cálculos matemáticos de este ejemplo se harán para obtener las coordenadas rectangulares de los vértices de la poligonal irregular, y por medio de productos cruzados obtendrá el área total, de esta forma podremos graficar el terreno de manera rápida y precisa. A continuación observarás la figura que utilizaremos en este ejemplo, la cual fue obtenida de la hoja de registro anexa a este subtema:

2 Paso 1. Cálculo del perímetro Primero debes sacar el perímetro (P) del polígono, para ello es necesario sumar las distancias medidas directamente en el trabajo de campo, empleando la siguiente fórmula: De acuerdo con la fórmula, los datos que necesitamos son las cinco medidas de los lados de la poligonal, como podrás observar a continuación:

3 Sustituyendo los valores obtenemos: Paso 2. Suma de los ángulos interiores Ahora debes sumar los ángulos interiores del polígono utilizando la siguiente fórmula: Los datos recabados de la hoja de registro son los siguientes: A= 81º 51 B = 65º 59 C = 152º 32 D = 116º 17 E = 123º 23

4 Para efectuar esta suma en tu calculadora, realiza lo siguiente: Una vez colocado el valor de nuestra primera cifra, oprime la tecla de la operación que vas a efectuar (en este caso, el signo más + ) e introduce, realizando nuevamente los pasos anteriores, la cifra siguiente. Esta operación la efectuarás hasta concluir todos los ángulos que sumarás. Como en este caso son cinco, colocamos nuestra última cifra en la calculadora y oprimimos la tecla igual =. El resultado de la suma de los ángulos es el siguiente:

5 Esta sumatoria la podrás hacer también a mano, sólo considera que al trabajar en sistema sexagesimal los valores no deben exceder a 60 minutos o 60 segundos; de lo contrario, deberás dividir entre este mismo valor, como te mostramos a continuación: Paso 3. Comprobación del cierre angular Ahora calcula la comprobación del cierre angular, como ya lo hemos estudiado. A) Suma de ángulos interiores Para la suma de los ángulos interiores, emplearemos la siguiente fórmula:

6 Donde: n = Número de vértices o lados del polígono. Como en este caso son cinco lados, sustituimos este valor en la fórmula: Al efectuar la resta del paréntesis obtenemos: El resultado final será:

7 B) Error angular El error angular se calcula restando la suma de los cinco ángulos interiores del polígono que estamos calculando, con el cierre perfecto de un pentágono, utilizando la siguiente fórmula: Sustituye los valores solicitados en la fórmula, de la siguiente manera:

8 Esta operación la realizarás con ayuda de tu calculadora: Cuando hayas colocado el primer valor, oprime la tecla de la operación que harás (en este caso, el signo de menos - ) e introduce la siguiente cifra siguiendo los pasos uno y dos de la ilustración anterior; finalmente, oprime la tecla igual =. El resultado del error angular es el siguiente: Una vez calculado el error angular, determinaremos el margen de error permitido a nuestro cálculo.

9 C) Tolerancia angular ( ) En este inciso realizaremos las operaciones para establecer qué margen de error tiene mi cálculo, es decir, determinaremos la tolerancia angular ( ). En levantamientos planimétricos con tránsito y longímetro siempre se aplica la siguiente fórmula: Dónde: = Tolerancia angular, expresada en sistema sexagesimal. = Símbolo de más menos. 1 = Constante angular para levantamientos con tránsito. n = Número de vértices o lados de un polígono, en este caso un pentágono. A continuación, sustituimos el valor de n, es decir 5, en la fórmula: Y calculamos su raíz cuadrada. Obtendremos el siguiente resultado:

10 Una vez calculado este valor, multiplícalo por la constante angular 1, puesto que nuestras unidades están expresadas en minutos, de la manera que se muestra en la ilustración: Al presionar la tecla igual =, observarás que en la calculadora aparecerán todos los valores en grados debido a que es un formato preestablecido. Obtendrás el siguiente resultado:

11 El resultado final lo representarás como sigue: D) Comparación de la tolerancia angular con el error angular Finalmente, haremos una comparación entre el valor de la tolerancia angular ( angular ( ), de acuerdo con la siguiente fórmula: y el error Como puedes observar, dicha comparación busca que la tolerancia angular sea mayor al error angular, por ello es importante sustituir los valores correspondientes y evaluar el resultado. Este resultado indica que si tu valor se encuentra entre 539º y 540º tu resultado ( está dentro de la tolerancia permitida. Concluimos que la tolerancia es mayor al error, por lo tanto, los resultados se aceptan para continuar los cálculos.

12 Paso 4. Corrección del error angular Existen diferentes maneras de llevar a cabo la corrección angular, las que te explicamos a continuación son las técnicas más recomendables y más utilizadas: (1) Si la suma de los ángulos interiores es mayor al cierre perfecto, pero está dentro de la tolerancia, la corrección se hará a los ángulos de mayor valor. (2) Si la suma de los ángulos interiores es menor al cierre perfecto, pero está dentro de tolerancia, la corrección se hará a los ángulos de menor valor. A) Selección de la técnica Como observaste en los paso 2 y 3, la suma de los ángulos interiores ( ) es mayor al cierre perfecto (540º), por lo tanto, emplearemos la técnica (1). La técnica a utilizar nos indica que el error angular ( los ángulos, como te explicaremos a continuación: ), es decir, los 2 se corregirán en B) Selección de ángulos Ahora determinaremos a qué ángulos aplicaremos la corrección angular con base en el error angular ( ). Es decir, si tenemos 2 de más, restaremos 1 a los 2 ángulos más grandes.

13 Una vez determinado lo anterior, observa tu hoja de registro y determina cuáles son los dos ángulos más grandes, como te mostramos a continuación:

14 C) Compensación angular Una vez seleccionados los ángulos ( y ), tendrás que restar 1 minuto a cada uno de ellos debido a que el cierre angular tiene 2 minutos de error (como se determinó en el paso 1). El resultado es y respectivamente. Los resultados obtenidos se tendrán que anotar en la tabla del registro, como se muestra a continuación:

15 Para que lleves un mejor control de la tabla de registro, te recomendamos trasladar los ángulos faltantes a la fila de ángulos compensados:

16 Paso 5. Cálculo de azimuts subsecuentes a partir del azimut de partida A continuación se calcularán los azimuts subsecuentes a partir de una dirección dada o azimut de partida. Recuerda, este dato se obtuvo en el trabajo de campo y fue anotado en la hoja de registro. Figura 1. Identificación del azimut de partida en la hoja de registro. La secuencia del cálculo que utilizarás obedece a la siguiente formulación:

17 A) Cálculo del azimut del lado A - B Ahora identifica los datos que utilizarás para determinar el azimut del lado A - B, de la siguiente manera: Una vez identificados los datos, sustitúyelos en la fórmula, como se muestra a continuación: El resultado que obtendrás es el siguiente:

18 Cada resultado obtenido te servirá para determinar los azimuts subsecuentes, es decir, tu azimut de partida cambiará como te mostraremos en los siguientes cálculos. Pon mucha atención. B) Cálculo de azimut del lado B - C Ahora identifica los datos que utilizarás para determinar el azimut del lado B - C: Una vez identificados los datos, sustitúyelos en la fórmula: El resultado que obtendrás es el siguiente:

19 Como te acabamos de explicar, al resultado se le restará 360º. Por tanto, el nuevo valor del azimut será el siguiente: C) Cálculo del azimut del lado C - D Ahora identifica los datos que utilizarás para determinar el azimut del lado C - D:

20 Una vez identificados los datos, sustitúyelos en la fórmula y realiza la operación: Como el resultado es mayor a 360º, resta este valor al resultado: El nuevo valor de la azimut de partida es: D) Cálculo del azimut del lado D - E Ahora identifica los datos que utilizarás para determinar el azimut del lado D - E: Una vez identificados los datos, sustitúyelos en la fórmula y realiza la operación:

21 Como el resultado es mayor a 360º, resta este valor al resultado para obtener el nuevo azimut de partida: E) Cálculo del azimut del lado E - A Ahora identifica los datos que utilizarás para determinar el azimut del lado E - A: Una vez identificados los datos, sustitúyelos en la fórmula y realiza la operación: Como el resultado es mayor a 360º, resta este valor al resultado para obtener el azimut de partida original:

22 Repaso Acabas de conocer los pasos para obtener los azimuts subsecuentes a partir del azimut de partida, enfatizando algunos puntos para que no existan dudas sobre su resolución, sin embargo este procedimiento lo puedes efectuar de forma directa, como se muestra en la siguiente secuencia de cálculo:

23 Una vez obtenidos todos los datos de los azimuts, anótalos en el registro de gabinete, como se muestra a continuación: Paso 6. Cálculo para determinar las proyecciones rectangulares sin corregir Las proyecciones rectangulares son la acción de trazar perpendicularmente todos los lados del polígono en un plano de proyección, siempre que se conozca su ángulo y distancia. A continuación te presentamos un ejemplo: Figura 2. Proyección rectangular. El plano de proyección son los ejes norte-sur y este-oeste (w) del plano cartesiano, el ángulo es el azimut y la distancia A B es la medida del lado del polígono.

24 Para calcular las proyecciones rectangulares sin corregir de cada uno de los lados del polígono, utilizarás las siguientes fórmulas: Enseguida te mostramos cómo hacer este cálculo, tomando en cuenta las distancias de la poligonal medidas directamente en campo y los azimuts que se calcularon en el paso 5. Estos datos deberán estar integrados en la hoja de registro, como se muestra a continuación:

25 A) Cálculo de las proyecciones rectangulares sin corregir del lado A - B Ahora calcularemos las proyecciones rectangulares X y Y sin corregir del lado A B de la poligonal. Los datos que utilizaremos son la distancia A B ( m) y el ángulo de la azimut de la poligonal (298º 22 ). Identifica los datos en tu hoja de registro: Utilizando las fórmulas que mencionamos anteriormente: Sustituye los valores:

26 Ahora obtén el seno del ángulo de la azimut: El resultado aparecerá en tu calculadora al presionar la tecla igual =.

27 Para obtener el coseno del ángulo de la azimut, realiza los siguientes pasos: El resultado aparecerá en tu calculadora al presionar la tecla igual =.

28 Una vez que obtuviste los valores, sustitúyelos en la fórmula y realiza la multiplicación correspondiente: B) Cálculo de las proyecciones rectangulares sin corregir del lado B - C Ahora calcularemos las proyecciones rectangulares X y Y sin corregir del lado B - C de la poligonal. Los datos que utilizaremos son la distancia B - C (63.20 m) y el ángulo de la azimut de la poligonal (184º 21 ). Identifica los datos en tu hoja de registro, como te mostramos en el inciso anterior. Sustituye estos valores utilizando las fórmulas correspondientes: Ahora obtén el seno y coseno del ángulo de la azimut y sustituye los datos:

29 Para obtener el resultado final, realiza la multiplicación correspondiente: C) Cálculo de las proyecciones rectangulares sin corregir restantes Ahora calcularemos las proyecciones rectangulares X y Y sin corregir de los lados C D, D E y E A de la poligonal, sustituyendo los valores directamente en la fórmulas y realizando las operaciones correspondientes. Las distancias y azimuts las podrás identificar en la hoja de registro. Lado C - D Lado D - E Lado E A

30 D) Anota los resultados de las proyecciones rectangulares sin corregir en la hoja de registro Como te mencionamos al inicio de este paso, el plano de proyección son los ejes X y Y del plano cartesiano, los cuales corresponden a este-oeste y norte-sur respectivamente, cada uno con un valor negativo y positivo.

31 Cuando el resultado de la proyección en X sea positivo, se anotará en la hoja de registro en la columna E ; si es negativo, en la columna W. Por lo tanto, cuando el resultado de la proyección en Y sea positivo, se anotará el resultado en la columna N ; si es negativo, en la columna S. Como puedes observar, los valores positivos corresponden al lado Este de la proyección X y al Norte de la proyección Y ; por lo tanto, los valores negativos serán el lado Oeste (W) y Sur de la proyección X y Y, respectivamente.

32 Una vez que se determinó dónde serán colocados los resultados de las proyecciones, anota tus datos en la hoja de registro, como se muestra a continuación: Suma los resultados de cada columna:

33 La condición de esta sumatoria es que los resultados de las proyecciones X sean las mismas, es decir, las sumatorias de las columnas Este y Oeste (W) deben ser cantidades iguales. Este no es el caso, como podrás observar en la siguiente tabla:

34 Lo mismo sucede con las dos columnas del eje Y : los valores de las columnas Norte y Sur no son las mismas. Observa la siguiente tabla para verificarlo. Al observar las sumatorias notamos que existen diferencias; por lo tanto, dichas cantidades no cumplen la condición solicitada. Entonces debemos calcular el factor de corrección de las proyecciones angulares para finalmente corregirlas. Paso 7. Cálculo para determinar las proyecciones rectangulares corregidas Para obtener las proyecciones angulares corregidas es necesario efectuar el siguiente procedimiento, te sugerimos tener a la mano la hoja de registro con todos los datos que hemos integrado.

35 A) Cálculo del error de cierre en la sumatoria X y Y Primero se calcula el error en el eje X con los valores de las sumatorias de Este y Oeste (W), utilizando la siguiente fórmula: Es decir: Los datos que utilizaremos son: Al sustituir los valores en la fórmula y realizar la resta correspondiente obtenemos:

36 Enseguida se determina el error en el eje Y, realizando el mismo procedimiento que en X, pero utilizando los valores de las sumatoria de las columnas Norte y Sur. Por lo tanto, la fórmula que emplearemos es la siguiente: Los datos que utilizaremos son: Al sustituir los valores en la fórmula y hacer la resta correspondiente obtenemos:

37 B) Cálculo para determinar el factor de corrección para las proyecciones X y Y El factor de corrección en X se representa con el símbolo (Kx) y es igual al error en X (Ex) entre la suma de las sumatorias de la columna Este ( ) con la columna Oeste ( ), como se muestra en la siguiente fórmula:

38 Los datos que utilizarás son el error en X que calculaste en el inciso anterior ( ) y las sumatorias de las columnas Este ( ) y Oeste ( ) que se encuentran en la hoja de registro. Sustituye estos valores en la fórmula: A continuación, realiza la suma solicitada:

39 Enseguida divide los valores calculados para obtener el factor de corrección: Ahora continuaremos con el cálculo del factor de corrección en Y siguiendo el procedimiento anterior, pero utilizando el error en Y que calculaste en el inciso anterior ( ) y la suma de las sumatorias de las columnas Norte ( ) y Sur ( ) que se encuentran en la hoja de registro.

40 Por tanto, la fórmula que emplearemos es la siguiente: Sustituye los valores en la fórmula: Realiza la suma solicitada para obtener el siguiente resultado: Enseguida divide los valores calculados para obtener el factor de corrección: O bien:

41 C) Cálculo para determinar las correcciones respectivas de las proyecciones X y Y Utilizando el factor de corrección, obtenido en el inciso anterior, determinaremos las correcciones respectivas de la proyección X. Para ello emplearemos la siguiente fórmula: Es decir: Los datos que emplearemos son el factor de corrección en X ( ) y cada uno de los valores de las proyecciones sin corregir en X que se encuentran en la hoja de registro, respetando el orden descendente que tienen.

42 Sustituyendo cada uno de los valores en la fórmula y realizando la multiplicación correspondiente, obtenemos los siguientes resultados: Siguiendo el mismo desarrollo, calcularemos las correcciones en Y utilizando el factor de corrección en Y ( ) y cada uno de los valores de las proyecciones sin corregir en Y que se encuentran en la hoja de registro, respetando el orden descendente que tienen.

43 La fórmula que emplearemos cambiará de la siguiente forma: Es decir: Sustituyendo cada uno de los valores en la fórmula y realizando la multiplicación correspondiente obtenemos los siguientes resultados:

44 Anotar los resultados obtenidos en la hoja de registro, como se muestra a continuación:

45 Suma la columna de las correcciones en X y en Y, deberán ser igual al error de la sumatoria en X y Y calculado en el inciso A de este mismo paso. Es decir, los valores resultantes serán (Ex = 0.07 m) y (Ey = 0.23 m), respectivamente.

46 D) Asignación de signos de las correcciones Ahora debemos establecer un signo para cada una de las correcciones, éste dependerá de la sumatoria de las proyecciones sin corregir, como te explicamos a continuación para las correcciones en X :

47 Para las correcciones Y realizamos el mismo procedimiento:

48 En la siguiente tabla se muestran los valores de las correcciones con los signos correspondientes. Una vez determinado el signo de la corrección, se calculan las proyecciones corregidas sumando o restando la corrección a cada uno de los valores de las proyecciones sin corregir.

49 E) Determinación de las proyecciones rectangulares corregidas Para determinar las proyecciones corregidas del eje X se utilizarán las proyecciones sin corregir en X y los valores de las correcciones calculadas en X. Estos datos se integraron en la hoja de registro; quedaron de la siguiente forma: Al hacer las operaciones solicitadas, es decir, al sumar o restar las correcciones a los valores de las proyecciones sin corregir, obtenemos los siguientes resultados:

50 Para determinar las proyecciones corregidas del eje Y se utilizarán las proyecciones sin corregir en Y y los valores de las correcciones calculadas Y. Estos datos se integraron en la hoja de registro; quedaron de la siguiente forma: Al efectuar las operaciones solicitadas, es decir, al sumar o restar las correcciones de los valores de las proyecciones sin corregir, obtenemos los siguientes resultados:

51 Una vez realizadas las operaciones vaciamos los resultados en la hoja de registro en las columnas que denominaremos proyecciones corregidas. Por último, suma cada columna de las proyecciones corregidas, como te mostramos a continuación:

52 Como puedes ver, ya no existe error en las proyecciones, es decir, el resultado de la sumatoria de la columna E es igual a la sumatoria de la columna W y el resultado de la sumatoria de la columna N es igual a la sumatoria de la columna S. Por lo tanto, se procederá a determinar las coordenadas rectangulares. Paso 8. Cálculo para determinar las coordenadas rectangulares Ahora determinaremos las coordenadas rectangulares, siguiendo el procedimiento que a continuación se describe: A) Asignación de una coordenada arbitraria para el vértice A Las coordenadas rectangulares se calculan asignando una coordenada arbitraria al vértice A. Esta primera coordenada deberá ser mayor a las sumatorias de las proyecciones corregidas (N-S y E-W), de manera que todas las coordenadas resulten positivas en todos los vértices, provocando que nuestra poligonal llegue a ubicarse en el primer cuadrante al momento del trazo. En nuestro caso, las coordenadas del primer vértice serán ( m) para X, cantidad que es mayor a m, y ( m) para Y, cantidad que es mayor a m; es decir, son mayores a las sumatorias de las proyecciones corregidas. Recuerda que la nomenclatura general para las coordenadas es: Por lo tanto, las coordenadas del primer vértice serán:

53 La cual representa nuestra coordenada de partida, como podrás observar en la siguiente tabla:

54 Dichos valores se sumarán o se restarán a las proyecciones corregidas de acuerdo con las indicaciones de la siguiente tabla: Enseguida se muestra el procedimiento de cálculo, aplicando las indicaciones anteriormente mencionadas.

55 B) Cálculo para obtener las coordenadas rectangulares del vértice B Para obtener la coordenada X del vértice B partimos del valor de la coordenada inicial en X del vértice A ( m) al cual le restamos el valor de la proyección W ( m) del vértice A. Estos datos se observan a continuación: Una vez identificados los datos, realiza la resta solicitada.

56 El valor 6.58 m representa la coordenada X del vértice B, por lo tanto, tendrás que colocar el resultado en la tabla; observa cómo:

57 Ahora calcularemos la coordenada Y del vértice B, aquí partiremos del valor de la coordenada inicial en Y del vértice A ( m) al cual le sumamos el valor de la proyección N (55.89 m) del vértice A. Estos datos se observan a continuación: Una vez identificados los datos, realiza la suma solicitada.

58 El valor m representa la coordenada Y del vértice B, por lo tanto, tendrás que colocar el resultado en la tabla: Una vez obtenidas las coordenadas rectangulares del vértice B, partiremos de estos datos para calcular el siguiente vértice, como observarás a continuación.

59 C) Cálculo para obtener las coordenadas rectangulares del vértice C Para obtener la coordenada X del vértice C partimos del valor de la coordenada en X del vértice B (6.58 m) al cual le restamos el valor de la proyección W (4.80 m) del vértice B. Estos datos se observan a continuación: Una vez identificados los datos, realiza la resta solicitada.

60 Coloca en la tabla el resultado m que representa la coordenada X del vértice C:

61 Ahora calcularemos la coordenada Y del vértice C, donde restaremos la coordenada en Y del vértice B ( m) al valor de la proyección S (62.96 m) del vértice B. Estos datos se observan a continuación: Una vez identificados los datos, realiza la resta solicitada.

62 Coloca en la tabla el resultado m que representa la coordenada Y del vértice C: Ahora partiremos de las coordenadas rectangulares del vértice C, para calcular las coordenadas del vértice D. C) Cálculo para obtener las coordenadas rectangulares de los vértices restantes Como pudiste ver, el procedimiento es muy sencillo; por ello, ahora realizaremos los cálculos faltantes sin profundizar en detalles. Toma en cuenta que debes partir del último cálculo realizado para calcular el siguiente vértice. Te sugerimos consultar el cuadro mostrado al inicio del paso 8 para determinar si sumarás o restarás la coordenada corregida.

63 La coordenada del vértice A se calcula nuevamente a modo de comprobación, considerando que sus resultados serán los mismos que determinamos como las coordenadas de partida.

64 Ahora que ya se determinaron las coordenadas rectangulares de cada uno de los vértices del polígono, se anotarán en el registro de gabinete: Estos resultados te servirán para determinar el área del polígono.

65 Paso 9. Cálculo para determinar el área de la poligonal Se calculará el área del polígono por el método de dobles productos cruzados, donde utilizaremos las coordenadas previamente calculadas, para ello realizarás el siguiente procedimiento: A) Obtención de los productos cruzados de las coordenadas Como te explicamos antes, los datos que utilizarás son las coordenadas en X y Y que acabamos de calcular. A continuación te los mostramos:

66 Una vez que ubicaste los datos que emplearás, multiplica de forma cruzada el primer valor de X por el segundo valor de Y, y así sucesivamente. Esto se hará con los demás valores de forma ordenada, es decir, de arriba hacia abajo. Observa la siguiente ilustración: A estas primeras multiplicaciones se les conocerá como productos hacía abajo; los resultados te los mostramos a continuación:

67 Estos resultados se anotarán en la hoja de registro, en la que agregarás una columna con el título Productos y un subtítulo con una flecha hacia abajo, como se muestra en la siguiente tabla:

68 A continuación se efectuará un procedimiento similar, pero ahora multiplicarás de forma cruzada el segundo valor de X por el primer valor de Y, así sucesivamente. Esto se realizará con los demás valores de forma ordenada, es decir, de arriba hacia abajo: A estas segundas multiplicaciones se les conocerá como productos hacía arriba. A continuación te mostramos los resultados:

69 Estos resultados se anotarán en la hoja de registro, en la que agregarás a la columna Productos un subtítulo con una flecha hacia arriba, como se muestra en la siguiente tabla: Una vez realizado el cálculo se sumará cada columna por separado, anotando el resultado, como se muestra en la siguiente tabla:

70 Ahora que se sumaron las dos columnas por separado, se calculará el área de la poligonal. B) Cálculo del área Pare realizar este cálculo, utilizaremos la siguiente fórmula: Es decir: Enseguida sustituiremos los resultados que obtuvimos de la sumatoria de las dos columnas: Al hacer las operaciones requeridas obtenemos el siguiente resultado (no olvides redondear tu resultado):

71 Ahora que ya calculamos todos los elementos del método medida directa de ángulos, ya tenemos los datos suficientes para realizar la representación gráfica. Glosario: Plano de proyección: Espacio geométrico donde es proyectado un objeto por medio de un trazo con un lápiz. Factor: Número o valor que se utiliza para realizar las correcciones por metro de cada una de las proyecciones rectangulares.