Flujo de Carga Newton-Raphson Acoplado Rápido con Técnicas para Orientar el Análisis en Caso de Divergencia.

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1 UNIVERSIDAD CENTRAL MARTA ABREU DE LAS VILLAS. Flujo de Carga Newton-Raphson Acoplado Rápido con Técnicas para Orientar el Análisis en Caso de Divergencia. Tesis presentada en opción al Título Académico de Master en Ingeniería Eléctrica. AUTOR: Ing Salvador Zamora Sorí TUTOR: M.Sc. Ing. José A. González-Cueto Cruz Santa Clara, 1998

2 Agradecimientos Deseo expresar mi eterno agradecimiento al tutor de este trabajo, M.Sc. José Antonio González-Cueto, por su permanente dirección y apoyo; a todos mis compañeros del CEE por el apoyo brindado; a todo el personal médico y paramédico de la sala de cuidados intermedios del hospital Arnaldo Milián Castro por ocasionarles un problema más en las largas estancias en su computadora, y a todos que de una forma u otra, han contribuido a la realización de este trabajo y muy especialmente a mi esposa y a mis padres, a los cuales nunca conseguiré compensar el tiempo y esfuerzo dedicado para que este trabajo llegase a feliz término.

3 Indice Resumen Introducción I Planteamiento del problema 1 II Finalidad del trabajo 2 Capítulo 1: Flujo de Carga. Antecedentes y Fundamentación Breve historia sobre los métodos de flujo de carga Definición del problema Algoritmos comúnmente empleados Método Gauss-Seidel usando Y bus Método Z barra Método Newton-Raphson N-R Formal (NRF) N-R Desacoplado (NRD) N-R Desacoplado Rápido (NRDR) Conclusiones 27 Capítulo 2: Método Newton-Raphson Acoplado Rápido Método propuesto para el análisis de flujo de carga Planteamiento del problema Análisis de los algoritmos disponibles Bases del algoritmo propuesto Método Newton-Raphson Acoplado Rápido Herramientas para orientar el análisis en caso de divergencia Planteamiento del problema Técnica propuesta Principios básicos Criterios para la inclusión de los principios básicos al NRAR Acciones a tomar Algoritmo general de la técnica propuesta adicionada al NRAR Conclusiones. 46

4 Capítulo 3: Diseño Orientado a Objeto del Programa Conceptos básicos de la teoría orientada a objetos Diseño orientado a objetos del programa de flujo de carga Representación de los objetos del SEP Estructura al nivel de objetos del PowerSys Estructura al nivel de las clases Diagrama de módulos Conclusiones 66 Capítulo 4: Aplicaciones Prácticas del Programa. Comparación Estructura del programa Módulo de flujo de carga Newton-Raphson Acoplado Rápido Entrada de datos Ejecución Salida de resultados Análisis de resultados Estudio comparativo Velocidad de convergencia Número de iteraciones Tiempo de cálculo y tamaño del sistema Prueba de la herramienta para orientar el análisis en caso de divergencia Conclusiones. 85 Conclusiones 86 Recomendaciones 87 Bibliografía 88 Anexos

5 Resumen En este trabajo se analizan los principales métodos de flujos de carga y se propone un algoritmo, basado en los métodos de Newton, que aprovecha la característica de convergencia de los mismos, mantiene la matriz jacobiana constante por lo que no es afectado por la relación X/R, hace un uso eficiente del espacio computacional y presenta alta velocidad de cálculo. Además en caso de divergencia retorna la solubilidad y brinda al operador una valiosa información para el análisis de la falta de solución. Se desarrolla un software, basado en las novedosas técnicas del diseño y programación orientado a objetos, para la implementación computacional del algoritmo propuesto. En el software se emplean técnicas de ordenamiento y factorización de matrices porosas. El mismo es insertado en el ambiente del paquete de programas para el análisis de Sistemas Eléctricos de Potencia: PSX. Por último se realiza pruebas para validar las características principales del mismo en un SEP de tres nodos.

6 INTRODUCCION Introducción I Planteamiento del problema. El acelerado desarrollo industrial, alcanzado en este siglo, trajo consigo un elevado incremento del consumo de electricidad provocando a su vez el desarrollo de las redes de transmisión de energía eléctrica y de la generación de electricidad. Para satisfacer la demanda eléctrica que se incrementaba cada día, las redes de transmisión se diversificaron considerablemente abarcando grandes expansiones territoriales. Surgieron así varias ideas entre las que se destaca la de interconectar los sistemas eléctricos pequeños para dar mayor confiabilidad al servicio eléctrico. Esto trajo como consecuencia un desarrollo sostenible de las técnicas para analizar los sistemas eléctricos de potencia (SEPs). Debido a la necesidad de analizar la expansión futura de las redes de transmisión y las condiciones de operación de los SEP en estado estable surgieron primeramente los analizadores de redes. Estos eran equipos en los cuales se montaba una maqueta a escala reducida del SEP con el fin de analizar los niveles de transmisión de potencia por las líneas y los niveles de voltajes en los diversos puntos de interés. Esta técnica se quedó obsoleta con surgimiento de las computadoras digitales, donde surge la necesidad de desarrollar técnicas numéricas para el análisis de los SEPs. Ya en la década del 50 se comenzaron a desarrollar las técnicas numéricas, notándose un incremento considerable de publicaciones científicas sobre este tema. En esta fecha, solamente en idioma inglés, se publicaron cerca de 200 artículos importantes[18]. A los métodos capaces de analizar estos problemas en los SEP se les llamó Flujo de Carga o Flujo de Potencia. Los primeros métodos desarrollados de flujos de carga que brindaban soluciones prácticas aparecieron en la literatura en el año 1956 propuesto por J. B. Ward y H. W. Hale [22]. Hoy día ya son muchas las técnicas desarrolladas para el cálculo de los flujos de carga.

7 INTRODUCCION Existen muchos problemas por los cuales los métodos de flujos de carga fallan y no brindan solución al caso planteado. Este tópico ha sido poco tratado en la literatura especializada, pero no por ello deja de ser un grave problema para todos los operarios de SEPs. II Finalidad del trabajo. La situación económica actual de nuestro país ha provocado que el SEN se opere muy cerca del límite de cargabilidad máxima, haciendo que ante cualquier contingencia de aumento de carga o pérdida de generación los métodos existentes de flujo de carga no brinden solución. Ligado a esto se presenta la posibilidad de operar el sistema de forma fraccionada, o sea con islas eléctricas y con diversas relaciones X/R. Todos estas necesidades hicieron que en el presente trabajo se propongan los siguientes objetivos: Proponer un método de flujo de carga con una alta probabilidad de convergencia para cualquier relación X/R del SEP. Proponer una técnica para brindar solución al problema en caso de divergencia del flujo de carga. Hacer el diseño e implementación orientada a objeto del algoritmo propuesto e introducirlo en el paquete de programas PSX para el análisis de los SEPs. Realizar un estudio comparativo para demostrar las potencialidades de las técnicas propuestas. Para dar cumplimiento a los objetivos de este trabajo el mismo se ha estructurado en cuatro capítulos. En el primer capítulo, se hace un breve análisis de los métodos de flujo de carga más comúnmente empleados. Con este análisis podemos estudiar las características principales de estos métodos con sus ventajas y desventajas. En el segundo capítulo, se propone un método de flujo de carga que satisface los requerimientos impuestos por el DNC así como una técnica para recuperar la solubilidad de las ecuaciones del flujo de carga, brindando una valiosa ayuda al análisis de las causas que 2

8 INTRODUCCION provocan la divergencia del algoritmo. Aquí se analizan las características del método propuesto y su comparación con los demás métodos desde el punto de vista teórico. En el tercer capítulo, se explica la técnica utilizada para la programación en computadoras del método propuesto. Aquí se brinda un análisis de los principales conceptos de la programación orientada a objetos y se realiza el diseño de nuestro software empleando esta novedosa técnica de diseño y programación. En el cuarto capítulo, se muestran algunas de las características más importantes del software desarrollado y se realiza un análisis de los resultados del mismo, donde se evidencian las potencialidades de las técnicas propuestas. 3

9 Capítulo 1 Flujo de Carga. Antecedentes y Fundamentación El Flujo de carga (FC) o flujo de potencia es una herramienta que permite el análisis en estado estable de un Sistema Eléctrico de Potencia (SEP) teniendo en cuenta las condiciones de operación del SEP. El FC es utilizado para estudios de planificación y diseño de la expansión futura de los SEPs, así como en la determinación de las mejores condiciones de operación. Se puede decir que el FC es la herramienta más utilizada en las empresas eléctricas para el estudio de los SEP. Todo esto ha llevado a que en los últimos 40 años, debido al desarrollo de la computación digital, se haya dedicado gran esfuerzo en la investigación y desarrollo de métodos numéricos para el proceso de cálculo de los FC. El FC nos permite conocer: Voltaje y ángulo de todas las barras del SEP. Flujos de potencia activa y reactiva en líneas y transformadores. Potencia reactiva de las unidades de generación. Potencia activa de determinado nodo para compensar las pérdidas de potencia en el SEP y cumplimentar el déficit de generación. Pérdidas de potencia activa y reactiva en el SEP. a partir de determinadas condiciones del SEP. Esta valiosa información ha permitido un incremento agigantado de su uso para diversos propósitos tal como la evaluación de seguridad ante salidas de líneas, transformadores, cargas y plantas generadoras y en propósitos más complicados como optimización y estabilidad. Además de ser usados para la planificación de la operación, la planificación de la red de transmisión y el control del SEP.

10 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN En el flujo de carga se considera que el sistema está balanceado, por lo que se hace una representación monofásica de todos los elementos del SEP. De aquí que todos los estudios que se hacen con FC sean estudios monofásicos. Las cinco propiedades principales que deben poseer los métodos de solución son[1]: (i.) Alta velocidad computacional: Esta es especialmente importante cuando se trata con grandes sistemas en aplicaciones de tiempo real (on-line) o aplicaciones que requieran análisis de múltiples casos de flujo de carga tal como evaluación de seguridad. (ii.) Baja capacidad de almacenamiento computacional: Esta es importante cuando se trata de grandes sistemas y en el empleo de computadoras con poca capacidad de almacenamiento, por ejemplo en mini-computadoras para aplicaciones on-line. (iii.) Seguridad en la obtención de la solución: Es necesario obtener solución para todos los casos que se requieran estudiar incluso los que tengan problemas de mal condicionamiento para estudios de salidas de elementos del SEP y aplicaciones en tiempo real. (iv.) Versatilidad: Capacidad del flujo de carga para manejar características convencionales y especiales (por ejemplo: ajuste de taps de transformadores y diversas representaciones de elementos del SEP). Además de ser indicado para incorporarlo en procesos más complicados. (v.) Simplicidad: Método fácil de diseñar e implementar computacionalmente. El método a usar esta determinado un poco por el tipo de solución que se necesite: Exacto ó Aproximado No ajustado ó Ajustado Off-line ó On-line Un caso ó Múltiples casos La primera columna relaciona los requerimientos necesarios para flujo de carga óptimo (FCO) y estudios de estabilidad y la segunda columna los necesarios para evaluación de seguridad del SEP. Existen soluciones que necesitan de una mezcla de propiedades de ambas columnas. Cada aplicación específica tiene sus particularidades y requerirá poseer determinadas características según el estudio a realizar. 5

11 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN En este capítulo se hace una breve historia sobre los orígenes y desarrollo de los algoritmos de FC, así como un esbozo general de la fundamentación de los métodos más comúnmente usados. 1.1 Breve historia sobre los métodos de flujo de carga. Antes del advenimiento de las computadoras digitales las soluciones de los flujos de carga se obtenían usando analizadores de redes. El primer método de solución práctico para computadoras digitales apareció en la literatura en 1956 y seguidamente las referencias [5] [10] [23]. Estos primeros métodos iterativos empleaban la matriz Y de barras y fueron diseñados para las primeras generaciones de computadoras que requerían mínimos recursos de almacenamiento. Aunque ellos ejecutaban satisfactoriamente muchos problemas, su convergencia era muy lenta y a menudo no convergían. Este incentivo superó las deficiencias y posibilitó el desarrollo de los métodos que se basan en la matriz Z de barra [2] [3] [12], los cuales convergen con mayor seguridad pero sacrifican notablemente algunas ventajas de los métodos iterativos de Y de barra como son la velocidad de cálculo y los requerimientos de almacenamiento cuando son aplicados a grandes sistemas eléctricos. Aproximadamente durante este mismo tiempo fue desarrollado el método de Newton-Raphson (N-R) el cual presenta poderosas propiedades de convergencia [21], [22], pero fue computacionalmente incompetitivo. El mayor adelanto en el cálculo de SEPs fue a mediados de 1960, cuando Tinney y otros desarrollaron un método de eliminación ordenada muy eficiente para el trabajo con matrices porosas [20]. Uno de los mayores éxitos obtenidos fue en su aplicación en el método de N-R lo que produjo una dramática reducción de velocidad de cálculo y requerimiento de almacenamiento. Esto hizo al método de Newton muy atractivo y altamente competitivo computacionalmente, por lo cual fue adoptado no solo por los ingenieros de SEP sino también por los especialistas de la industria para la solución de sistemas eléctricos. También se desarrollaron métodos empleando programación no lineal y métodos híbridos pero estos solo crearon interés académico pues no fueron aceptados por los usuarios de FC. El método N-R y sus técnicas derivadas han sido los que mejor han satisfecho los requerimientos para el tipo de problema planteado y para su programación en computadoras. 6

12 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN 1.2 Definición del problema. La definición completa del problema requiere del conocimiento de cuatro variables en cada nodo del sistema: P : Potencia activa en el nodo. Q : Potencia reactiva en el nodo : V : Magnitud de voltaje en. θ : Ángulo del voltaje en. Solamente se conocen a priori dos de ellas, el objetivo del flujo de carga es resolver el problema encontrando las restantes variables del nodo. En forma general definimos tres tipos de nodos: Nombre Siglas Datos Incógnitas Voltaje no controlado PQ P, Q V, θ Voltaje controlado PV P, V Q, θ Balance B V, θ P, Q (i.) (ii.) (iii.) Nodo de voltaje no controlado: Nodo donde se especifica la P y la Q. En el SEP se corresponde con nodos de carga. Se supone que las P y la Q no se vean afectadas por variaciones de voltaje en el nodo. Nodo de voltaje controlado: Nodo donde se especifica la potencia activa total inyectada en el nodo y la magnitud de voltaje que será mantenida constante por una inyección de potencia reactiva en el nodo. Este tipo de nodo corresponde generalmente a aquellos que tengan unidades generadoras que se le fije su potencia activa generada por un gobernador de velocidad y un voltaje por un regulador de voltaje o un nodo donde existe capacitor shunt capaz de brindar la potencia reactiva necesaria para fijar el voltaje. Nodo de balance: Este nodo surge porque en el sistema no se conocen las pérdidas hasta que no se disponga de todas las magnitudes de las variables en todos los nodos. Por lo que se necesita un nodo donde se inyecte la potencia activa y reactiva necesaria para satisfacer las pérdidas y toda la carga que falte por servir. A este nodo se le fija por tanto el voltaje y ángulo por lo que sirve como referencia para el SEP. Un nodo de voltaje 7

13 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN controlado (PV) del SEP se selecciona como balance (B). La analogía en la práctica es la unidad generadora que lleva la frecuencia, aunque no tiene que ser esta necesariamente. En forma general, la red está formada por elementos lineales y es por lo tanto lineal, o sea: I = Y V (1.1) bus bus bus obtener I bus a partir de V bus es un caso lineal, pero obtener V bus a partir de las I bus en cada nodo es no lineal y da lugar a diversas formas de calcularlo. El algoritmo general de la solución de FC se puede ver en la figura 1.1. Primeramente son leídos los datos del SEP como son: la potencia activa y reactiva de carga de cada nodo, las conexiones de la red y sus impedancias y a su vez se forma la matriz admitancia. Se leen los voltajes iniciales en todos los nodos. En caso de no disponerse se puede suponer 1 + j0 para los nodos PQ y V + j0 para los PV. Entrada: Leer los datos del sistema y las cargas y generaciones especificadas. Leer las especificaciones de voltaje en los nodos. A partir de los datos formar la matriz admitancia del sistema Ybus. Inicializar todos los voltajes y ángulos de los nodos del sistema Actualizar los voltajes y ángulos para satisfacer las condiciones de carga y generaciones. No Se satisfacen las condiciones especificadas Si Imprimir los resultados. Figura 1.1 Diagrama de fujo del algoritmo de solución general para flujo de carga. 8

14 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN El ciclo iterativo se termina cuando para los voltajes y ángulos obtenidos sean satisfechas las condiciones de potencia activa y reactiva en cada nodo. Esta condición es aceptada cuando los errores de potencia en todos los nodos sean menores que cierta tolerancia (en el caso de los algoritmos que chequea la convergencia por potencia) o la diferencia de voltajes y ángulos entre la iteración y -1 sea menor que la tolerancia especificada (caso de algoritmos que chequean el incremento del voltaje). Cuando se termina el proceso se calcula los flujos de potencia por los enlaces y las pérdidas totales del SEP. 1.3 Algoritmos comúnmente empleados. En la literatura consultada podemos constatar que existe un gran número de métodos para el cálculo de flujos de potencia [19]. Pero están todos enmarcados en tres algoritmos generales: (i.) Métodos de Y bus. (ii.) (iii.) Métodos de Z bus Métodos de Newton Entre los métodos de Y bus vistos podemos encontrar los siguientes: Relajación, Gauss, Gauss- Seidel, Glimn y Stagg, Zero Mismatch, Ward y Hale, Ajuste secundario. Los métodos de Y bus pueden ser agrupados sobre el algoritmo de Gauss y de Gauss-Seidel fundamentalmente. Todos estos métodos tienen como características fundamentales que al utilizar la matriz de admitancias aprovechan su simetría y su gran número de elementos ceros. Esto provoca grandes ahorros en espacio computacional. También tienen la característica que el tiempo de ejecución por iteración es muy bajo y directamente proporcional al número de nodos n. Como el número de iteraciones es proporcional al tamaño del sistema, para un sistema grande de orden n, el tiempo total de cálculo será aproximadamente n 2. Esto provoca que estos métodos sean menos competitivos que otros existentes. Los métodos de Z bus más empleados son: Algoritmo de la matriz Z, Método iterativo de Gauss usando Z bus, Método iterativo de Gauss-Seidel usando Z bus, Método híbrido de Newton y matriz Z bus. Mayor cantidad de variantes pueden analizarse en [4]. La característica fundamental de estos 9

15 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN métodos radica en su buena convergencia incluso ante problemas mal condicionados, pero presenta la deficiencia de requerir alta capacidad de almacenamiento. También presenta dificultades de convergencia cuando el SEP tiene muchos nodos PV y cuando las potencias especificadas en los nodos son muy grandes. El tiempo de cálculo por iteración es mayor que los restantes métodos. Los métodos de Newton que se muestran en la literatura son: Newton-Raphson formal, Newton- Raphson desacoplado y Newton-Raphson desacoplado rápido. Estos métodos tienen muy buena convergencia aunque fallan ante problemas mal condicionados. Aprovechan las técnicas de ordenamiento y factorización de matrices esparzas lo que le permite aumentar la velocidad de cálculo y ahorrar los recursos de almacenamiento comparado con los restantes métodos. En la referencia [17] se realiza un estudio comparativo entre diversos métodos. Hemos mencionado la mayoría de los métodos existentes para FC ahora analizaremos los métodos que más se han empleado Método Gauss-Seidel usando Y bus Este método fue el más utilizado en los primeros tiempos donde se disponía de poca memoria central en las computadoras. Está basado en la aproximación nodal según la ecuación (1.1); de esta podemos obtener que: n I = Y V (1.2) i j= 1 ij j Para todo nodo que se conozca P i y Q i se puede plantear: I P jq i i i = (1.3) * Vi igualando las ecuaciones (1.2) y (1.3) Pi jq * V i i = n j= 1 Y V = Y V + despejando V i de (1.4) obtenemos: ij j ii i n j= 1 j i Y V ij j (1.4) 10

16 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN n 1 Pi jqi V = i YijVj (1.5) * Y ii Vi = j j 1 i Como vimos en el epígrafe 1.2 (Definición del problema), los flujos de carga se resuelven de forma iterativa asignando unos valores iniciales a los voltajes y ángulos y calculando los nuevos valores a partir de los estimados y de P y Q especificados en cada barra. En este algoritmo la ecuación (1.5) es el corazón del algoritmo iterativo. En este algoritmo, a diferencia del de Gauss, se toma el último valor obtenido para el cálculo de la próxima ecuación. El proceso iterativo es repetido hasta que se cumplan las dos condiciones: + 1 Vi,real Vi,real < tolerancia y + 1 Vi,imag Vi,imag < tolerancia. A este proceso de solución de las ecuaciones de flujo se le conoce como el método iterativo de Gauss-Seidel. Inclusión de nodos de generación (PV) Las barras de voltaje controlado deben tratarse de forma diferente. En estos nodos antes de evaluar (1.5) se calcula el reactivo en el nodo mediante: n n * 1 1 Q i = Im Vi YijVj + YijVj (1.6) j= 1 j= i Existen dos variantes: (i.) Q min Q i Q max : Entonces se calcula el voltaje por (1.5) y se ajusta el modulo al valor especificado y se obteine θ i mediante: V V i,corr = Vi y se continúan los cálculos de la V i i iteración. (ii.) Si Q i esta fuera de los límites, se fija en el límite y se trata el nodo como PQ. Convergencia. La experiencia con el método ha dado lugar a que se pueda reducir considerablemente el número de iteraciones si la corrección de voltaje en una barra es multiplicada por un factor que incremente 11

17 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN la magnitud de corrección para que el voltaje sea más cercano al valor al que se está aproximando. Este factor lleva el nombre de factor de aceleración. De manera general se puede plantear: V () i,acel = ( 1) () ( 1 α) V + αv i,acel i El valor de α debe estudiarse para cada sistema en particular. Por lo general α=1.6 y no puede exceder de 2 si la convergencia está por ocurrir. Este problema se puede plantear como dos factores uno para la parte real y otro para la imaginaria del voltaje; no obstante los factores serán de iguales magnitudes. Se aconseja para redes de alta interconexión α=1.4 y para redes radiales 1.6. Algoritmo general 1. Leer datos. Determinar los elementos de Y bus. 2. Evaluar (1.5) teniendo en cuenta: (i.) Si el nodo de B no se evalúa. (ii.) Si el nodo es PV, se calcula primero Q según (1.6). Se usa la aceleración con el Vi calculado y se ajusta. 3. Chequear la convergencia. 4. Si no converge iter=iter+1 y volver a 2. Si converge continuar a Calcular las transferencias y las pérdidas. P jq P ij ji ij jq ji = V * i = V ( V V ) * j i j * y ij Yij + Vi Vi 2 * y ji ( Vj Vi ) Yji + Vj Vj 2 P = P + P ij Q = Q ij ji + Q ji (1.7) Principales características Como hemos visto el método de Gauss-Seidel es el más viejo de los métodos de solución de flujo de carga y presenta las siguientes características: Ventajas Es simple y digno de confianza. Tolerante a condiciones de bajo voltaje y pobres en potencia reactiva. Utiliza poca memoria computacional. Desventajas El tiempo de cálculo se incrementa con el tamaño del sistema.[15] Baja velocidad de convergencia[15] Baja capacidad de convergencia cuando se requiere altos niveles de transferencia de potencia activa.[19] 12

18 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN Método Z barra La gran diferencia existente entre los métodos que usan Y bus y los que usan Z bus radica en que la ecuación (1.1) se resuelve de la siguiente forma: V = Y I = Z I (1.8a) bus 1 bus bus bus bus Otra versión del método elimina la ecuación del nodo de balance de (1.1) antes de invertir. Esto trae que el sistema de ecuaciones sea de orden (n-1): V = Z I + CE (1.8b) bus bus bus s Donde la Z bus de la ecuación (1.8b) es diferente a la (1.8a); en la (1.8b) no se incluyen los elementos en derivación (shunt). En el caso (1.8b), al sacar el nodo de balance como referencia, los shunts tienen que ser representados por inyecciones de corriente en el nodo, de aquí que no se incluyan en la matriz Z bus de (1.8b) porque no existe físicamente el nodo de tierra o nodo 0. En cualquiera de las versiones el algoritmo iterativo es el mismo. Primero se calcula las fuentes de corrientes por la expresión (1.3) y después el vector de voltajes por (1.8). Para los nodos PV se determina Q i por (1.6) utilizando los voltajes de la iteración anterior, antes de aplicar (1.3) y al igual que en el método Gauss-Seidel usando Y bus, se reajusta el módulo del voltaje después de efectuar (1.8) De forma semejante al anterior, el proceso iterativo se detiene cuando las diferencias entre las partes real e imaginaria de los voltajes de nodo correspondiente a una iteración y a la anterior son menores que cierta tolerancia, calculándose posteriormente la P y la Q del nodo de balance, así como los flujos de potencia en todas las ramas. Matrices Z bus La diferencia existente entre las matrices Z bus usadas en (1.8a) y (1.8b) radica en que el primero toma como nodo de referencia la tierra y en el segundo método el de balance. En este primer caso (1.8a) se hace necesario crear al menos en un nodo un enlace artificial a tierra bien fuerte para 13

19 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN evitar dificultades numéricas cuando se obtiene la Z bus. Si esto no se tiene en cuenta pudiera estar la matriz Y bus mal condicionada o singular y no se pudiera invertir. Este problema se puede resolver conectando una admitancia shunt bien grande en el nodo de balance. Estas matrices pueden ser formadas a través del algoritmo constructivo de Z bus o a través de la inversión de la Y bus. Con las novedosas técnicas de factorización de matrices no será necesario invertir la matriz lo que traería ventajas computacionales. Convergencia. La convergencia de este método es muy rápida comparada en cuanto a número de iteraciones con los métodos que usan la Y bus, típicamente, según [19], se plantea que para sistemas medianos se logra la convergencia a unas 8 iteraciones y para sistemas grandes en un alrededor de 20; pueden ser muchas más. Mientras menos nodos PV tenga el sistema mejor converge. También favorece la convergencia el hecho de que las impedancias de las líneas sean pequeñas y que las potencias especificadas en los nodos no sean grandes[19]. Algoritmo general 1. Formar la matriz Z bus, o en su defecto la Y bus y hallar la inversa. 2. Establecer los valores iniciales de V i y θ i. 3. Si el nodo es PV, se calcula primero Q según (1.6). Si se pasa de algún límite fijarlo en el valor especificado ya sea en el máximo o en el mínimo. 4. Calcular las fuentes de corriente por (1.3). 5. Para todos los nodos PV cuyo valor de Q i calculado en 3 no se halla fijado al límite, reajustar el modulo del voltaje al valor establecido. 6. Chequear la convergencia. 14

20 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN 7. Si no converge y no se ha llegado al número máximo de iteraciones: iter=iter+1 y retornar a 8. De lo contrario pasar a Calcular los nuevos valores mediante (1.8) y retornar a Si se alcanzó el número máximo de iteraciones y no converge, terminar, si no pasar a Calcular las transferencias y las pérdidas. Principales características Como hemos visto el algoritmo de solución de Z bus es similar al de Y bus con la salvedad que se usa la matriz Z. El mismo presenta las siguientes características: Ventajas Alta velocidad de convergencia. Desventajas La capacidad de almacenamiento se ve afectada por n 2.[19] La formación de la matriz Z lleva mucho esfuerzo computacional. Un cambio en la red requiere de un gran número de operaciones. La convergencia se ve afectada por enlaces de impedancias altas y por nodos con elevadas potencias especificadas.[19] El tiempo por iteración es mayor que el Y bus Método Newton-Raphson El método numérico de N-R es un algoritmo iterativo para resolver simultáneamente un conjunto de ecuaciones no lineales para un mismo número de variables desconocidas. [1] [11] [15] [17]. Sea el siguiente conjunto de ecuaciones no lineales: ( x m ) b f = para = 1 n y m = 1 n (1.9) En cada iteración del método N-R se aproxima el sistema no lineal a una sistema de ecuaciones lineal. Esta linealización puede ser ejemplificada al caso de una sola variable. 15

21 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN En la figura 1.2 x p es el estimado inicial de la solución con un error Δx p en la iteración p. Entonces: f p p ( x x ) = b + (1.10) Esta ecuación puede ser expandida por el teorema de Tylor: f p p p p p p ( ) ( ) ( ) ( x ) p x x = f x + x f x + f ( x ) + = b 2 + (1.11) 2! f x Tangente a f x x p b x p+1 Solución x p x Figura 1.2. Aproximación lineal de una variable. Si el estimado inicial de p x esta cerca de la solución entonces el error Δx p es pequeño y pueden despreciarse los términos de orden superior de la serie de Taylor. Quedando: f p p p ( x ) x f ( x ) = b reordenando nos queda: + (1.12) p p p ( x ) = f ( x ) x b f (1.13) donde f (x p ) no es más que la derivada de todas la ecuaciones del sistema evaluada en el estimado x p. La matriz cuadrada de las derivadas de primer orden es la Jacobiana del sistema evaluada en x p. p p ( x ) = J x b f (1.14) El nuevo valor de la variable puede ser obtenido despejando Δx p y aplicando: 16

22 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN x p+ 1 = x p + x p (1.15) El método es fácilmente extendido a un sistema de N ecuaciones y N incógnitas. Los elementos de J se definen como: J f m = (1.16) x m representando la pendiente de la tangente de f(x) evaluada en x p. Como se observa en este método llegamos a la solución cuando f(x p ) = b, o sea cuando los Δx p sean cero. Este método aproxima linealmente por lo que el error obtenido la primera vez no nos dará la solución deseada del sistema y tendremos que con los nuevos valores obtenidos de x p+1 volver a calcular las funciones f(x p+1 ) y obtener los nuevos errores (Δx p+1 ). Este proceso se repite iterativamente hasta que los errores sean cero o menor de una cierta tolerancia. El algoritmo N-R converge de forma cuadrática si las funciones tienen primera derivada continua en la vecindad de la solución, la matriz jacobiana es no singular y los estimados iniciales están cerca de la solución real [1]. Mientras más lineal es el problema más rápido y seguro converge el método. La irregularidad de la función en la región de interés puede demorar la convergencia, fallar totalmente o conducir a una solución no útil. La aplicación de este método a la solución de flujos de carga ha originado algunas variantes las cuales serán analizadas a continuación N-R formal.(n-r) Partiendo de la ecuación general que gobierna la red para el nodo : I (1.17) = YmVm la potencia en el nodo está dada por: S = P + jq = V I = V * m Y * V m (1.18) 17

23 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN donde Y * m = G m jb m n ( G m jbm ) * S = P + jq = V V (1.19) m= 1 El producto de los fasores V y V * m puede ser expresado como sigue: V V * m = jθ jθm j( θ θm ) ( V e )( V e ) = V V e = V V m m m ( cosθ + jsen θ ) ( θ = θ θ ) m m m m m (1.20) Para aplicar el método de N-R la expresión de potencia compleja (1.19) tiene que ser separada en dos partes reales. Puesto que estas expresiones no son analíticas y no pueden ser diferenciadas en forma compleja. Puede usarse ya sea en coordenadas polares como en rectangulares, de aquí obtenemos dos ecuaciones: P = P( V,θ) o P = P( e,f ) y Q = Q( V,θ) o Q = Q( e,f ) En coordenadas polares nos queda: n m= 1 ( G cosθ + B sen θ ) P = V V (1.21) n m= 1 m m m m m ( G senθ B cosθ ) Q = V V (1.22) m m m donde los elementos de G m y B m son los correspondientes a la matriz Y bus. m m Siguiendo el procedimiento general formamos las funciones de error como b-f(x) (1.10) según corresponda al tipo de nodo: (i.) Para nodos PQ: sp P = P P sp Q = Q Q (ii.) Para nodos PV sp P = P P 18

24 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN En estos nodos no se pueden formular expresiones de errores de reactivo porque no se conoce la Q sp y el ΔV siempre se cero pues el voltaje se mantiene constante. (iii.) Nodo de balance No tiene ninguna ecuación pues en él no se conoce ni la P ni la Q. Formando la expresión (1.14) nos queda: P Q p 1 p 1 H = J p 1 p 1 N L p 1 p 1 p θ p V V p 1 (1.23) La primera ecuación de (1.23) representa los errores de potencia activa para todos los nodos PQ y PV y la segunda ecuación representa los errores de reactivo en todos los nodos PQ. La matriz de 4x4 es la Jacobiana. La división de cada error ΔV p por V p-1 no afecta numéricamente el algoritmo y simplifica algunos términos en la matriz jacobiana. Los términos de la jacobiana quedan: H m P = θ m = V V m ( G senθ B cosθ ) m m m m H P = θ = Q B V 2 N m = V m P V m = V V m ( G cosθ + B senθ ) m m m m P N = V = P + V G V 2 J m Q = θ m = V V m ( G cosθ + B senθ ) m m m m J Q = θ = P G V 2 L m = V m Q V m = V V m ( G senθ B cosθ ) m m m m L = V Q V = Q B V 2 19

25 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN La representación polar tiene ventajas computacionales con respecto a la forma rectangular. Las ecuaciones de P solo están presentes en los nodos PQ y PV y las Q solo en los nodos PQ. En los sistemas más viejos el uso de funciones trigonométricas aumentaba el tiempo de calculo, hoy día eso no es una limitante. Las submatrices de la jacobiana son porosas igual a la Y bus. Para solucionar eficientemente el problema se utilizan técnicas de factorización y ordenamiento. Convergencia. Existen múltiples técnicas para mejorar la convergencia en el N-R [1] [11]. Las dos más conocidas son: (i.) Limitar los incrementos de voltaje y ángulo en cada iteración. (ii.) Seleccionar buenos valores de arranque. Generalmente se emplea el arranque plano 1+j0 para los nodos PQ y V+j0 para los PV. Esto a veces no da buenos resultados por lo que: Si se conocen valores anteriores deben usarse. Hacer una o dos iteraciones con el método iterativo Y bus antes de N-R. Hacer una iteración de un flujo de corriente directa (CD) (despreciando las pérdidas de potencia activa) para determinar condiciones de ángulos y otro flujo para determinar 1 0 magnitudes de voltaje, o sea: [ θ] = [ H] [ P ] y [ V 1 0 ] = [ L] [ Q ] V. De forma general las propiedades de convergencia del N-R completa las del G-S. Por esto aveces muchos programas traen ambos método de solución de FC. Una iteración del N-R equivale en tiempo a aproximadamente 7 del G-S. Para un SEP de 500 nodos el G-S hace 500 iteraciones y el N-R lo hace en mucho menos. Algoritmo general 1. Establecer valores iniciales de voltajes y ángulos para todos los nodos PQ. El voltaje se puede tomar igual al de balance y el ángulo como cero. 2. Hacer una iteración de un flujo de CD para obtener ángulos iniciales. Obtener los valores de [ΔP] y [H]. 20

26 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN Hallar la inversa de [H] y calcular el [Δθ]. Calcular [θ] = [θ] + [Δθ] Obtener los valores de [ΔQ] y [L] Hallar la inversa de [L] y calcular el [ΔV/V] Calcular [V] = [V] + [ΔV/V] 3. Obtener los valores de ΔP, ΔQ, H, J, N, L por las expresiones anteriormente relacionadas. Así como Q i para los nodos PV. 4. Si se ha logrado una convergencia inicial, continuar; si no pasar a Comprobar para los PV si las Q i están dentro de los límites permisibles. En aquellos nodos donde se infrinjan los limites se cambian a PQ, estableciendo el ΔQi y los términos de J y L correspondientes. 6. Si se ha alcanzado la convergencia definitiva o el número máximo de iteraciones permisibles pasar a Determine la inversa de [J]. 8. Obtenga los nuevos valores de θ i y V i, mediante la aplicación de (1.23), incremente el número de iteraciones y retorne al punto Obtenga la P y la Q del nodo de balance y los flujos de potencia por las ramas. Principales características Este método ha sido ampliamente usado en todo el mundo por su característica de convergencia y velocidad de cálculo. Sus principales características son: Ventajas Razón de convergencia cuadrática.[1] El tiempo de cálculo crece linealmente con el tamaño del sistema. [15] Puede resolver sistemas fuertemente cargados incluso con defasajes superior a los 90 º. [1] La solución no es perturbada por sistemas mal condicionados ni es critica la localización del nodo de balance. Desventajas La convergencia se afectada por los estimados iniciales de las variables. [15] Maneja una gran cantidad de información lo que le aumenta los requerimientos de almacenamiento. Se necesita recalcular la jacobiana en cada iteración. La rugosidad de la función en la región de interés puede demorar la convergencia, fallar totalmente o conducir a una solución no útil.[1] 21

27 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN N-R Desacoplado (NRD). Debido a las buenas características de convergencia del N-R Formal se decide mejorar las deficiencias que presenta en cuanto requisitos de memoria y eficiencia computacional. El principio en el que se basa todo esto es el siguiente: (i.) Un cambio en el ángulo del voltaje principalmente afecta al flujo de potencia activa y P Q prácticamente no afecta al reactivo., o sea que >>. θ θ (ii.) Un cambio en la magnitud de voltaje principalmente afecta al flujo de reactivo y no al de Q P activo, o sea que: >> V V La incorporación de estas consideraciones en la matriz jacobiana (1.23) trae que los términos de J y N sean despresiados. Entonces el sistema es separado en dos sistemas de ecuaciones que queda según: [ ] = [ H][ θ] P (1.24) [ Q] = [ L][ V ] (1.25) V Estas ecuaciones están totalmente desacopladas ya que las correcciones de ángulo se calculan solamente a partir de los errores de potencia activa, mientras que las correcciones de voltaje se calculan solo a partir de los errores de reactivo. Se ha notado que la ecuación (1.25) es relativamente inestable en alguna medida de la solución exacta debido a la no-linealidad de las funciones. Para mejorar la característica de convergencia se reformula el problema como errores de corriente, o sea [ ] = [ A][ θ] P V y Q V quedando: P V (1.26) Q = V [ C][ V] (1.27) 22

28 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN Estas ecuaciones se resuelven usando el valor más actualizado de V y θ disponible. [A] y [C] son matrices porosas y no simétricas en valor y ambas dependen de V y θ. Tienen que ser calculadas y triangularizadas en cada iteración. Además pueden hacerse varias suposiciones para el cálculo de la matriz jacobiana como: U = 1.0pu y G m <<B m. Esto provoca que la matriz sea simétrica. Al dividir los P y los Q por el voltaje las expresiones de potencia calculada quedan: P Q V V = = n m= 1 n m= 1 V m V ( G cosθ + B senθ ) m m m m m ( G senθ B cosθ ) m m m m (1.28) (1.29) Convergencia. Para mejorar su convergencia se le aplica los mismo principios que al Formal. A pesar de esto la convergencia de N-R Desacoplado podemos decir que tiene una característica lineal a diferencia de la cuadrática del N-R Formal lo que provoca que requiera un mayor número de iteraciones. Algoritmo general 1. Establecer valores iniciales de voltajes y ángulos para todos los nodos PQ. El voltaje se puede tomar igual al de balance y el ángulo como cero. Formar [A] y [C] y obtenga sus inversas. 2. Obtener los valores de ΔP. Chequear la convergencia de ΔP 3. Si no converge ΔP obtener los nuevos valores de θ i mediante (1.26). 4. Obtener los valores de ΔQ utilizando los nuevos ángulos. Chequear la convergencia de ΔQ. 5. Si no converge ΔQ obtener los nuevos valores de V i mediante (1.27). 6. Si convergen los ΔP y los ΔQ comprobar para los PV si las Q i están dentro de los límites permisibles. En aquellos nodos donde se infrinjan los limites se cambian a PQ, estableciendo el ΔQi. 7. Si se ha alcanzado la convergencia definitiva o el número máximo de iteraciones permisibles pasar a Incremente el número de iteraciones, obtenga [A] y [C] y sus inversas y retorne al punto Obtenga la P y la Q del nodo de balance y los flujos de potencia por las ramas. 23

29 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN Este algoritmo puede cambiar su estructura para aprovechar los ángulos calculados en el lazo P-θ en la obtención de la matriz [C] del lazo Q-V. O sea se puede establecer un esquema iterativo dividido en dos bloques, aprovechando los nuevos valores obtenidos en uno para el cálculo del otro. Principales características Este método ha sido usado en todo el mundo por su característica de convergencia y velocidad de cálculo. Sus principales características son: Ventajas Es simple y eficiente computacionalmente Razón de convergencia lineal. Confiable en convergencia al igual que el formal. Rápida convergencia inicial[1] En capacidad de almacenamiento aventaja al formal. Ahorra de un 30 a un 40% respecto al formal.[1] El tiempo de calculo por iteración es menor que el formal de un 10 a un 20%[1]. Desventajas Requiere mayor número de iteraciones que el formal[1]. Se necesita recalcular las matrices [A] y [C] en cada iteración lo que hace que consuma esfuerzo computacional [1]. La irregularidad de la función en la región de interés puede demorar la convergencia, fallar totalmente o conducir a una solución no útil [1] Se ve afectada la convergencia por redes de alta relación R/X N-R Desacoplado Rápido (NRDR) Como se ha visto en los métodos anteriores los términos de las matrices son calculados en cada iteración lo que trae que hay que factorizar la matriz en cada iteración. Este método se basa en hacer una serie de transformaciones y/o suposiciones que provocan que las matrices del N-R Desacoplado sean constantes, por lo que el proceso de formación y triangularización se ejecute una sola vez. Las suposiciones que se hacen para mantener constantes las matrices de los lazos P-θ y Q-V son: (i.) V y V m = 1.0 pu (ii.) G m <<B m. En SEP con X/R >> 1. 24

30 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN (iii.) cos( θ θ ) 1. 0 y sen( θ ) θ θ 0 m θ ya que la diferencia angular de una línea en condiciones normales de operación es muy pequeña. m m Estas suposiciones producen un efecto en los términos de las matrices [H] y [L]: H H m P = θ P = θ m = V V = V 2 B m B m L m = V m Q V m = V V m B m L = V Q V = V 2 B Como vemos los términos de las matrices dependen del modulo de los voltajes al cuadrado. Para evitarnos esto dividimos todas las expresiones por el voltaje y optamos por un esquema de errores de corriente. Además suponemos que los voltajes son 1.0 pu y por tanto los podemos eliminar de las ecuaciones, entonces nos queda: [ ] = [ B][ θ] P V (1.30) Q = V [ B][ V] (1.31) donde [ B ] es simétrica y formada por elementos reales y diferentes de cero, iguales a los negativos de las susceptancias de Y bus. Las expresiones de potencia calculada para este esquema de errores de corriente están expresadas en (1.28) y (1.29) Frecuentemente se hacen nuevas modificaciones para hacer más exitoso el método: (i.) Omitir en la matriz (1.30) la representación de aquellos elementos que predominantemente afectan el flujo de reactivo. Por ejemplo, los reactores y capacitores en derivación y se 25

31 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN seleccionan los taps de los transformadores como 1.0 pu. Igualmente se desprecia la resistencia en serie de las líneas. Lo que convierte a [ B ] [ B ] (ii.) Omitir en la matriz [ B ] de (1.31) el efecto de los tap de los transformadores desfasadores al o ponerlos en (1cis0 ). Las filas y las columnas de las barras de voltaje controlado se eliminan de la matriz. [ B ] [ B ] Representando de forma general (1.30) y (1.31) no queda: donde: [ ] = [ B ][ θ] P V (1.32) Q = V [ B ][ V] 1 B m = m y B = X m m B m = Bm m y B = 1 X m B m m B de orden n-1. Incluye solo las ecuaciones de los nodos PV y PQ. B de orden n-m-1. Incluye solo las ecuaciones de los PQ. (1.33) Convergencia. Este método al igual que el N-R y todos sus derivados se le toman una serie de acciones que hacen una convergencia más rápida y segura. En este método se aplica las mismas acciones que en el N-R Formal. Algoritmo general 1. Formar las matrices [B ] y [B ] y hallar sus respectivas inversas. 2. Establecer valores iniciales para los voltajes y ángulos. 3. Calcular para todos los nodos excepto es de balance P/V = P sp /V- P/V. 4. Si todos los P/V son menores de cierta tolerancia pasar al punto Calcular los nuevos ángulos θ i. p 1 θ + i = θ p i + θ p i 26

32 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN 6. Calcular para todos los nodos PQ, Q/V = Q sp /V Q/V. 7. Si todas las Q/V son menores que cierta tolerancia pasar al punto Calcular los nuevos valores de voltajes V i : V p+ 1 i = V p i + V 9. Si en la iteración no se ha ejecutado ni 5 ni 8, pasar a 10. En caso contrario si se ha alcanzado el número máximo de iteraciones pasar a 11, si esto último no sucede, incrementar el número de iteraciones y retornar a Calcular las Q i de todos los nodos PV. Si existieran valores fuera de los límites permisibles, se fija la Q i correspondiente en el límite, se pasa el nodo respectivo a PQ y se modifica la matriz [B ]. Se retorna al punto 6. De no efectuarse cambio de nodo, se reduce la tolerancia para la convergencia definitiva y se retorna a 3; de haberse realizado esto antes se pasa a Se obtienen la P y Q del nodo de balance y se calculan los flujo de potencia por las ramas. p i Principales características Este método surge con el objetivo de requerir menos espacio computacional y disminuir el tiempo de cálculo. Ha encontrado una amplia aplicación para diversos estudios. Sus características principales son: Ventajas Es simple y eficiente computacionalmente Razón de convergencia tiene una característica geométrica.[1] El hecho de tener las matrices constantes provoca que el método no se vea afectado por rugosidad de la función en la vecindad de la región interés. El espacio de almacenamiento requerido es el 60% del N-R Formal pero ligeramente más que el G-S[1]. Si los P/V y los Q/V son calculados eficientemente el tiempo de cálculo por iteración es 5 veces más rápido que el N-R Formal y aproximadamente de 2-3 más rápido que G-S[19] Los cambios en el sistema son fácilmente aceptados[1]. Desventajas Requiere mayor número de iteraciones que el formal y el desacoplado. El espacio de almacenamiento requerido es ligeramente mayor que el G-S. Pierde sus propiedades de convergencia en redes que no tengan alta relación X/R [15] 27

33 CAPÍTULO 1: FLUJO DE CARGA. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTACIÓN 1.4 Conclusiones En este capítulo se ha hecho un bosquejo general de los métodos más usados para análisis de flujo de carga prestando atención a las características principales y sus implicaciones computacionales. Además solo se han tocado algunos tópicos de los FC y otros se han omitido. Uno de los tópicos no tocados es el referente a la separación del sistema en partes. Este tópico perdió atención especial debido al desarrollo de las técnicas de matrices porosas. La partición del sistema es también una forma para evitar el excesivo número de operaciones en la factorización y triagularización de las matrices. El tópico de los equivalentes para FC es de gran importancia especialmente para el control y monitoreo en tiempo real. Otro tópico no mencionado es el referente a la simulación de los enlaces de alto voltaje a corriente directa. Otra característica no analizada es la no-unicidad de la solución del FC. De todos los métodos analizados nos resulta el más ventajoso atendiendo a velocidad de cálculo y seguridad de convergencia el N-R Desacoplado Rápido para redes de alta relación X/R y para todo tipo de red el N-R Formal. El Formal presenta una característica cuadrática de convergencia y el NRDR una lineal. Sin embargo NRDR reduce significativamente el esfuerzo computacional y a pesar de incrementar el número de iteraciones es más rápido en tiempo de cálculo que el Formal. [1][15] Atendiendo a todas las características de los diversos métodos proponemos en el siguiente capítulo un método para el análisis de FC que tiene las características de alta velocidad de cálculo y bajos requerimientos computacionales al igual que NRDR y además que no se ve afectado por la relación X/R del SEP. A pesar de todos los esfuerzos encaminados a mejorar la convergencia de los métodos de flujos de carga, cuando el SEP está muy cargado, aún no son capaces de brindar solución. En el próximo capítulo le añadimos al método propuesto una serie de criterios prácticos para brindar solución cuando tienda a diverger. 28

34 Capítulo 2 Método Newton-Raphson Acoplado Rápido El propósito de este capítulo es desarrollar un método de flujo de carga que permita obtener siempre la solución del estado de operación de la red eléctrica que se analice, cualquiera que sean las condiciones especificadas para la red. El mismo será capaz de analizar redes con cualquier relación de X/R. Se basa en el método de Newton-Raphson mediante una jacobiana con valores constantes. Se prevé el empleo de ayudas para la convergencia en caso de bajos voltajes así como también en altas transferencias de potencia activa por las ramas. Se tiene como única solución ajustada el control de los límites de reactivo en los nodos de generación (PV). En este capítulo el objetivo principal es dividido en dos, uno es el desarrollo de un algoritmo para el cálculo de flujo de carga con buenas características de convergencia y que no se vea afectado por la relación X/R del SEP ni por la formación de islas eléctricas; y otro es adicionar a este algoritmo determinados criterios para recuperar la solubilidad del SEP cuando el algoritmo propuesto tienda a diverger. 2.1 Método propuesto para el análisis de flujo de carga En este epígrafe proponemos un método para resolver flujos de carga en SEP de cualquier relación X/R a alta velocidad y con pocos recursos computacionales.

35 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO Planteamiento del problema La carencia de recursos energéticos que está atravesando nuestro país afecta, sin lugar a dudas, a todos los renglones de la economía nacional siendo uno de los más tocados la Unión Nacional Eléctrica (UNE). Esta es la encargada de generar y transmitir toda la energía eléctrica necesaria para nuestro país. Los que operan el Sistema Electroenergético Nacional (SEN) tienen la ardua misión de tratar de satisfacer la mayor demanda posible con la generación disponible. Para esto se realiza un estudio para encontrar los límites de cargabilidad del SEN. Este estudio se realiza a través de un flujo de carga en el cual se conoce de antemano la demanda a satisfacer y se va eliminando paulatinamente generación del SEN. Hoy día el límite se da cuando sencillamente el flujo de carga deja de converger; no dándose alternativas de solución ante estos casos. Los flujos de carga dejan de brindar solución antes del límite de cargabilidad del SEP. Este problema requiere en primer lugar de un flujo de carga con buenas características de convergencia y con alta velocidad de cálculo. Todo problema de flujo de carga queda enmarcado en parte por el tipo de solución que se desea obtener partiendo de los estudios que se van a realizar. Se requiere un algoritmo que brinde una solución exacta, sin soluciones ajustadas, off-line y que solo ejecute un solo caso. Bajo los requerimientos anteriores y conociendo los métodos de flujo de carga presentados en el capítulo 1, se propuso buscar un algoritmo de flujo de potencia que respondiera a los siguientes requerimientos técnicos: (i.) Alta velocidad computacional comparable con el NRDR. (ii.) Baja capacidad de almacenamiento y esfuerzo computacional comparable con el NRDR. (iii.) Seguridad en la obtención de la solución o convergencia para redes de cualquier relación X/R comparada con el N-R Formal. (iv.) Permitir el análisis de SEP con varias islas eléctricas. Buscaremos cual de los métodos existentes satisface nuestros requerimientos. 30

36 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO Análisis de los algoritmos disponibles Para la selección del algoritmo a usar se realizó un estudio de las características de los métodos más usados. El análisis se realizó valorando de cada método sus desventajas como se muestra a continuación: El método Gauss-Seidel (G-S) tiene muy baja velocidad de convergencia y requiere un aumento del número de iteraciones con el incremento del tamaño del SEP. El método de la Z bus la capacidad de almacenamiento se ve afectada por el número de nodos al cuadrado lo que para SEPs grandes requiere mucha capacidad de almacenamiento, además la formación de la matriz Z lleva mucho esfuerzo computacional. El método N-R Formal (NRF) maneja una gran cantidad de información lo que aumenta los requerimientos de almacenamiento considerablemente, además necesita recalcular la matriz jacobiana en cada iteración demandando gran esfuerzo computacional y haciendo muy lento los cálculos de cada iteración. El método N-R Desacoplado (NRD) necesita recalcular las matrices [A] y [C] en cada iteración lo que hace que consuma un esfuerzo computacional apreciable. Además se ve afectada su seguridad de convergencia por redes de alta relación R/X. El método N-R Desacoplado Rápido (NRDR) cumple con casi todos los requisitos pero se ve grandemente afectada su convergencia por redes de alta R/X. De todo el análisis realizado llegamos a la conclusión que ningún método existente cumple con las necesidades antes expuesta por lo que se decide desarrollar un nuevo algoritmo que satisfaga los requerimientos propuestos en subepígrafe

37 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO Bases del algoritmo propuesto. De todos los métodos analizados los que más se acercan a nuestros requerimientos y además los de mejores resultados son los basados en el algoritmo general de Newton-Raphson [1]. Por lo que el algoritmo a proponer debe estar basado en los principios de esta metodología general. El algoritmo a proponer debe aprovechar la velocidad de convergencia y el ahorro del esfuerzo computacional del método NRDR y además el algoritmo no se puede ver afectado por la relación X/R del SEP. Por otra parte vemos que el NRF tiene característica de convergencia cuadrática y no se ve afectado por la relación X/R pero requiere de gran esfuerzo computacional. El mayor esfuerzo en este aspecto está dedicado a la formación de la matriz jacobiana y su factorización en cada iteración. Este gran esfuerzo tiene que ser evitado para poder cumplir los requerimientos del problema planteado. Tomando experiencia del NRDR, bajo determinadas suposiciones se puede mantener constante la matriz jacobiana lo que implicaría que el esquema a adoptar será de errores de corrientes (igual al NRDR) y no de errores de potencia como lo es el NRF. Esto provocaría que la característica de convergencia no sea cuadrática sino que sea a una característica geométrica haciendo que aumente el número de iteraciones respecto al NRF para obtener una solución exacta. La jacobiana constante significa que se forma y factoriza una sola vez lo que reduce grandemente el esfuerzo computacional y contribuye a aumentar la velocidad de computo por iteraciones. Además significa que la pendiente de la función evaluada en cualquier punto es constante, lo que trae que la convergencia del método sea más lenta pero no se va a ver afectado por rugosidad de la función en la región de interés por lo que se hace más poderoso ante este caso. Este algoritmo que se propone donde se forma la jacobiana completa y la mantiene constante se le ha denominado Newton-Raphson Acoplado Rápido (NRAR). 32

38 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO Método Newton-Raphson Acoplado Rápido. Partiendo de las siguientes expresiones del NRF [1]: P Q p 1 p 1 H = J p 1 p 1 y los términos de la jacobiana: H P N L p 1 p 1 p θ p V V p 1 ( G senθ B cosθ ) (2.1) m = = V Vm m m m m (2.2) θ m H N m P 2 = = Q BV (2.3) θ P ( G cosθ + B senθ ) = Vm = V Vm m m m m (2.4) Vm P = G V (2.5) N V = P + V 2 J J L m m Q ( G cosθ + B senθ ) = = V Vm m m m m (2.6) θ m P 2 = = P G V (2.7) θ Q ( G senθ B cosθ ) = Vm = V Vm m m m m (2.8) Vm L Q 2 = V = Q BV (2.9) V Se puede observar que los términos de la jacobiana dependen del módulo y ángulo de los voltajes los cuales varían en cada iteración. Para mantener constantes estos términos se toman las siguientes suposiciones: (i.) V y V m 1.0 pu (ii.) cos( θ θ ) 1. 0 y sen( θm) θ θm 0 m θ ya que la diferencia angular de una línea en condiciones normales de operación es muy pequeña. 33

39 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO Además, dividimos las expresiones de P y Q entre el voltaje del nodo. Aplicando todas las suposiciones antes vistas y optando el esquema de errores de corriente nos queda el problema formulado de la siguiente manera: P Q p 1 p 1 V V p 1 p 1 B = G serie serie quedando los errores de corriente: G B total total θ V p p (2.10) P V = P V sp P V = P V sp n m= 1 V m ( G cosθ + B sen θ ) m m m m (2.11) Q V Q = V sp Q V Q = V sp n m= 1 y los términos de la jacobiana de (2.2) a (2.9) quedan: B P V m ( G sen θ B cosθ ) n serie V serie V m = H m = = Bm = H = = θm θ = m m 1 P V G = G B m m m m (2.12) P B B (2.13) total total m = Nm = G m G N = = G Vm V Q m Q V = (2.14) Q G G (2.15) n serie V serie V m = J m = = G m = J = = θm θ = m m 1 L Q V = B total total m = m = m = Vm V B m Q V = L = B (2.16) De esta forma queda formulado la base teórica del método que proponemos y a continuación se muestra algunos procedimientos para mejorar la característica de convergencia. Convergencia. A pesar de la muy buena característica de convergencia de este método existen múltiples técnicas para mejorarla. Los tres acciones más conocidas son: (i.) Limitar los incrementos de voltaje y ángulo en cada iteración. 34

40 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO (ii.) Seleccionar buenos valores de arranque. Generalmente se emplea el arranque plano 1+j0 para los nodos PQ y V+j0 para los PV. Esto a veces no da buenos resultados por lo que sí se conocen valores anteriores deben usarse. (iii.) Los controles de reactivo en los nodos PV son adicionados al algoritmo de FC después de haberse alcanzado una convergencia inicial. De forma general las propiedades de convergencia del NRAR son muy buenas presentando una característica geométrica. Algoritmo general. 1. Leer los valores iniciales de voltaje y ángulo en todas las barras. En caso de no existir una solución previa ajustar a un arranque plano, o sea en PQ: 1+j0 y en PV: V+j0. 2. Obtener la matriz jacobiana del SEP [J] (2.10) 3. Calcular ΔP, ΔQ. 4. Chequear la convergencia. 5. Si converge pasar a 6. Si no pasar a Después de alcanzada determinado nivel de convergencia, comprobar los límites de reactivo en los nodos PV si no pasar a 7. En caso de violación ajustar el reactivo al límite violado y pasar el nodo a PQ y retornar a 3. Si no hay violación pasar a Calcular los nuevos valores de V y θ. Retornar a Si la tolerancia es la final pasar a 9, de lo contrario ajustar la tolerancia al valor final y retornar a Calcular la potencia generada en el balance, los flujos por la líneas y las pérdidas totales. Principales características Ventajas Desventajas 1. Es simple y eficiente computacionalmente. 1. Requiere mayor número de iteraciones que el formal. 2. Razón de convergencia geométrica. 3. Utiliza poca memoria computacional. 4. Tiene alta velocidad de convergencia. 5. No se ve afectado por la relación X/R de la red. 35

41 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO 6. Puede resolver sistemas fuertemente cargados. 7. Puede resolver casos con islas eléctricas. A pesar de todas sus posibilidades de convergencia cuando el sistema está fuertemente cargado el método no converge. Se ha comprobado experimentalmente que cuando no converge este algoritmo tampoco lo hace el Formal y el NRDR. En estos casos se pierde la solubilidad del sistema y por tanto se trata de buscar una herramienta para brindar una solución como ayuda al análisis de la red. Esto se puede lograr con la intervención de diversos criterios. 2.2 Herramientas para orientar el análisis en caso de divergencia. Hasta aquí se ha hecho un análisis exhaustivo de los métodos de flujo de carga así como la propuesta de un nuevo algoritmo capaz de satisfacer las necesidades propuestas en el subepígrafe Ahora analizaremos el caso cuando diverjan los flujos de carga y no se disponga de solución alguna. La mayoría de los algoritmos de FC simplemente notifican al usuario que el sistema diverge forzando al mismo a recurrir a un proceso de pruebas o a métodos heurísticos para determinar que parámetros o controles debe modificar para retornar el caso a la solubilidad. En este epígrafe se propone una herramienta que retorna el sistema a la solubilidad y orienta al análisis en caso de divergencia Planteamiento del problema. Cuando se incrementa la carga del SEP aparecen grandes transferencias de potencia por las ramas y voltajes inadecuados en nodos, esto trae que las ecuaciones de flujo de carga no tengan solución. Como se vio en la introducción del epígrafe, los FC no dan información alguna sobre el problema presentado ni sugieren que controles o parámetros se necesitan modificar. 36

42 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO Este problema se está presentando hoy día en el Sistema Electroenergético Nacional (SEN) ya que existe muy poca capacidad de generación y se trabaja el sistema muy cerca del límite de solubilidad. A la hora de analizar cualquier salida de generación, por determinada causa, el FC no brinda solución. Es por ello que se necesita de una herramienta capaz de brindar solución ante tales casos y además ayudar al usuario al análisis de las causas que provoca la divergencia mostrando el efecto provocado por la salida de generación del sistema Técnica propuesta. Hasta ahora se ha dedicado muy poca atención a este problema. La carencia de estas técnicas ha provocado que los SEP se operen en un estado muy seguro para evitar que una muy probable contingencia ocurra y el caso se torne no soluble. [6] [7] [8] [14] [16] [24] En [14] se propone un método que recupera la solubilidad del flujo de carga calculando primeramente la distancia óptima entre el punto de carga real del SEP y la frontera de solubilidad. Esta distancia da una medida de cuan lejos están las condiciones del sistema de una solución. Posteriormente, calcula un factor de sensitividad para cada medida práctica que se proponga de antemano (por ejemplo: adición de un capacitor o reactor, salida de carga ya sea de toda o parte de la P o Q de un nodo o fracción de ellas para mantener el factor de potencia). Este método tiene la desventaja de preconcebir las medidas a emplear para recuperar la solubilidad; además la solución brindada puede ser inservible para ayudar al operario a analizar los parámetros que verdaderamente se ven más afectados y que provocan la divergencia. Otro algoritmo [16] brinda solución a problemas mal condicionados. El método se basa en encontrar un factor óptimo que al multiplicarse por el incremento de voltaje y ángulo se acerca a la solución, esto provoca que número de iteraciones disminuya. Este algoritmo no se ve afectado por el estimado inicial de los voltajes y ángulos ni por errores de simple precisión al realizar un gran número de operaciones. En caso de divergencia se comporta como los restantes flujos de carga. 37

43 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO Con el objetivo de cumplimentar los requisitos presentados en el subepígrafe proponemos una técnica para la recuperación de la solubilidad Principios básicos Las ecuaciones de un FC pueden no tener solución ante problemas de cargabilidad por dos razones fundamentales: (i.) Alta transferencia de potencia por las líneas. (ii.) Magnitudes de voltaje intolerantes. Estos dos criterios obedecen a un estudio realizado de los métodos de flujos de carga basados en las técnicas de N-R y específicamente aquellos que usan la representación de las ecuaciones en forma polar. La transferencia de potencia por las líneas tiene un límite máximo. Cuando se requiere transferir potencia por encima de su límite provoca que la potencia real que se puede transferir disminuya y por tanto, las ecuaciones del FC no pueden converger. En condiciones de operación normal a medida que se aumenta la carga en el nodo de recibo, por la línea aumenta la potencia transferible (en este caso se cumplirá el balance de potencia en el nodo), esto se cumple hasta que la línea llegue al límite máximo de transferencia, a partir del cual, cuando se requiera más potencia en la carga menos se podrá transferir por la línea (en este caso no se cumplirá el balance de potencia en el nodo). Para superar este problema se recomienda inyectar potencia en el nodo de recibo y así disminuir la demanda de potencia a transferir por la línea. Posteriormente, se analizará, el tipo de potencia a inyectar en el nodo, ya sea activa o reactiva; este análisis tiene que hacerse teniendo en cuenta la sensibilidad de la transferencia respecto a la inyección. Cuando el SEP está fuertemente cargado los niveles de transferencias aumentan al igual que las pérdidas esto provoca una reducción de los niveles de voltaje. Esta reducción del módulo del voltaje afecta la potencia máxima transferible por las líneas, además de otras implicaciones. Desde el punto de vista práctico es inoperante un sistema con bajos voltajes por lo que se debe poner manualmente un límite de voltaje. Este límite responde a intereses teóricos y prácticos. Para 38

44 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO resolver este problema de bajo voltaje se le inyecta ya sea potencia activa o reactiva de acuerdo a lo que responda mejor el voltaje. Para tener en cuenta estos principios en el algoritmo de flujo de carga se necesita establecer criterios teóricos para su inclusión en el algoritmo Newton-Raphson Acoplado Rápido (NRAR) Criterios para la inclusión de los principios básicos al NRAR. Condición para la alta transferencia de potencia: La potencia que entra en el nodo de recibo en una línea de transmisión está dada por: r l 2 r l e r ( θ + θ θ ) P = G V + Y V V cos (2.17) Y r e donde: P r : potencia que entra en el nodo de recibo de la línea. G l : conductancia de la línea. Y l : módulo de la admitancia de la línea. V e : módulo del voltaje de envío. Vr: módulo del voltaje de recibo. θ Y : ángulo de la admitancia de la línea. θ e : ángulo del voltaje de envío. θ r : ángulo del voltaje de recibo. derivando la expresión respecto al V e, V r y θ e -θ r nos queda: P V P V P θ = 2G V + Y V cos( α) 0 r l r l e = r = Y V cos( α) 0 r l r = e = Y V V sen( α) 0 r l e r = er (2.18) (2.19) (2.20) 39

45 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO donde α = θ + θ θ. Y r e De la expresión (2.18) se obtiene: 2G V cos = ( ) l r α (2.21) YlVe y dividiendo (2.20) entre (2.19) nos queda que: tan ( α ) = 0 (2.22) De esta última expresión llegamos al criterio que α = 0. Sí α es cero se cumple que la diferencia entre el ángulo del envío menos el del recibo sea igual al ángulo de la impedancia de la línea (θ e - θ r = θ Y ), o sea cuando alguna línea del SEP cumpla que: θ e - θ r >= θ Y (2.23) entonces se está trasmitiendo la potencia máxima por la línea. Además se ha demostrado que cuando se cumple esa condición la relación (2.21) se hace igual a uno y ratifica que α = 0, por lo que ambas condiciones son similares e indican el criterio de sobretransferencia de potencia por la línea. Condición para voltajes inválidos En este caso el criterio queda bien claro solo resta averiguar si el módulo del voltaje en algún nodo del sistema está por debajo de su valor límite especificado. V i <= V limite (2.24) Este valor límite nos da una idea del estado de operación del SEP. Una condición de bajo voltaje no debe permitirse en el SEP pues provoca alteraciones en la transferencia de potencia y al final en la convergencia del caso Acciones a tomar Condición para la alta transferencia de potencia: Cuando existe algún enlace del SEP con sobretransferencia, o sea que cumpla la condición (2.23) se debe inyectar potencia en el nodo donde se reciba la potencia transferida de forma tal que se recupere la solubilidad. 40

46 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO Supongamos una línea que enlaza un nodo de envío de potencia (e) y un nodo de recibo de potencia (r). Dicha línea para determinada condición del sistema se encuentra por encima de la transferencia máxima impidiendo la convergencia de las ecuaciones del FC. En este caso comprobamos que se cumple la condición (θ e - θ r ) >= θ Y. Como vimos la solución que le vamos a dar es inyectar determinada cantidad de potencia activa ya sea en el nodo de envío o en el de recibo. Qué inyectar activo o reactivo?, en cuál nodo se inyecta? y Qué magnitud de potencia se inyectará?. Estas preguntas se contestan en el siguiente algoritmo desarrollado. En determinado momento del algoritmo del flujo de carga se inserta la siguiente metodología para responder las tres preguntas antes mencionada y así dar solución al SEP. 1. Calcular el ángulo de la admitancia de la línea, también llamado ángulo crítico. 1 (i.) Si la línea es de X>R se calcula mediante: θ = l Y tg X, de lo contrario se calcula R l mediante θ Y = 1 tan R l. Xl 2. Buscar la línea más cargada del SEP. (i.) Es la línea que tenga mayor relación: θe θ θ 3. La línea de mayor relación es seleccionada para corregir su transferencia a valores adecuados. 4. Para decidir qué inyectar si potencia activa o reactiva se busca a cual potencia es más sensible la diferencia angular y en cual de los dos nodos. Esto se realiza mediante los factores de sensitividad. (i.) Se calcula el vector de sensitividad [ θ ] Y de donde se extrae el factor de sensitividad P e correspondiente al nodo (e) y (r) debido a una inyección unitaria de potencia activa en Pe θe Pe θr Pe Pe el nodo de envío Fse = y Fsr =. La diferencia de Fse Fsr nos da la Pe Pe medida de la influencia que tiene la inyección de P e en la diferencia angular θ e - θ r. θ de donde se extrae el factor de sensitividad (ii.) Se calcula el vector de sensitividad [ ] P r correspondiente al nodo (e) y (r) debido a una inyección unitaria de potencia activa en r 41

47 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO el nodo de recibo Fs θ Pr e e = y Pr Fs θ Pr r r =. La diferencia de Pr Fs Fs nos da la medida de la influencia que tiene la inyección de P r en la diferencia angular θ e - θ r. (iii.) Se calcula el vector de sensitividad [ θ ] Qe Pr e Pr r de donde se extrae el factor de sensitividad correspondiente al nodo (e) y (r) debido a una inyección unitaria de potencia reactiva Qe θe Qe θr Qe Qe en el nodo de envío Fse = y Fsr =. La diferencia de Fse Fsr nos Q Q e da la medida de la influencia que tiene la inyección de Q e en la diferencia angular θ e - θ r. e (iv.) Se calcula el vector de sensitividad [ θ ] Qr de donde se extrae el factor de sensitividad (v.) correspondiente al nodo (e) y (r) debido a una inyección unitaria de potencia reactiva en el nodo de recibo Fs θ Qr e e = y Qr Fs θ Qr r r =. La diferencia de Qr Fs Fs nos da la medida de la influencia que tiene la inyección de Q r en la diferencia angular θ e - θ r. De estas cuatro diferencias: Qr e Qr r Pe Fs Fs Pr Fs Fs e e Qe Fs Fs Qr Fs Fs e e Pe r Pr r Qe r Qr r se escoge la de mayor modulo. Esta nos indica qué tipo de potencia se debe de inyectar y en cuál nodo. 5. Se responderá en este punto qué magnitud de potencia se inyectará (i.) Inyección de potencia activa: En este caso se inyecta una cantidad muy pequeña y se repite todo este proceso hasta que se haya inyectado la cantidad suficiente para resolver el problema. (ii.) Inyección de potencia reactiva: En este caso el nodo se deja libre de generación de reactivo para mantener el voltaje que estaba en el nodo antes de ocurrir la divergencia. 42

48 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO Condición para voltajes inválidos Ante esta condición, especificada por el criterio (2.24), se hace necesario tomar serias medidas con el objetivo de no permitir la divergencia total de las ecuaciones de FC. La acción a tomar en este caso es primeramente fijar el voltaje límite en el nodo y posteriormente inyectar una potencia para mantener dicho voltaje en el valor deseado. Qué inyectar en el nodo potencia activa o reactiva? y Qué magnitud de potencia se inyectará?. Se propone para esto la siguiente metodología: 1. Buscar el nodo de más bajo voltaje recorriendo todos los nodos del SEP. 2. A este nodo se le fija el voltaje en el límite especificado. 3. Se decide inyectar una potencia ya sea activa o reactiva. Para decidir esto se analiza los factores de sensitividad. (i.) Se calcula el vector de sensitividad [ V ] P i de donde se extrae el factor de sensitividad correspondiente al nodo (i) debido a una inyección unitaria de potencia activa Fs V Pi i i =. Este nos da una medida de la influencia que tiene la inyección de P i en la Pi magnitud de voltaje. (ii.) Se calcula el vector de sensitividad [ V ] Q i de donde se extrae el factor de sensitividad correspondiente al nodo (i) debido a una inyección unitaria de potencia reactiva Fs V Qi i i =. Este nos da una medida de la influencia que tiene la inyección de Q i en la Qi magnitud de voltaje. (iii.) El mayor factor de sensitividad decide el tipo de potencia a inyectar. Si Fs > Fs : se inyecta potencia activa. Pi i Qi i Pi Qi Si Fs < Fs : se inyecta potencia reactiva. i i 4. La magnitud de la potencia viene determinada como sigue: 43

49 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO (i.) (ii.) Inyección de potencia activa: En este caso se inyecta una cantidad muy pequeña y se repite todo este proceso hasta que se haya inyectado la cantidad suficiente para resolver el problema. Inyección de potencia reactiva: En este caso el nodo se deja libre de generación de reactivo para mantener el voltaje que se especifique en el paso Algoritmo general de la técnica propuesta adicionada al NRAR En el este subepígrafe se brinda el algoritmo general del método Newton-Raphson Acoplado Rápido para la solución de las ecuaciones de flujo de carga con las técnicas, expuestas en este capítulo, para orientar el análisis del SEP en caso de divergencia. 1. Leer los valores iniciales de voltaje y ángulo en todas las barras. En caso de no existir una solución previa ajustar a un arranque plano, o sea en PQ: 1+j0 y en PV: V+j0. 2. Obtener la matriz jacobiana del SEP [J] (2.10) 3. Fijar la tolerancia a un valor inicial mediante tol = 10*tolerancia final (TolF) 4. Calcular los errores de potencia activa y reactiva mediante (2.11) y (2.12). 5. Chequear la convergencia, mediante P i < tol y Q i < tol para todos los nodos. 6. Si converge y sí se ha inyectado potencia adicional en algún nodo pasar 7 sino pasar a Verificar que ninguna potencia reactiva generada sea negativa. Si esto pasa dejar el nodo como anteriormente estaba. 8. Si converge pasar a 15 sino a Calcular los nuevos valores de V y θ. Incrementar el número de iteraciones. 10. Chequear mediante el criterio (2.23) si hay líneas con sobretransferencia. En caso afirmativo seleccionar la más sobrecargada y pasar a 11 de lo contrario pasar A esta línea sobrecargada se le ajusta esa diferencia angular mediante los criterios vistos en el acápite Condición para la alta transferencia de potencia del epígrafe Ajustar el número de iteraciones a cero. 12. Chequear el criterio (2.24). Si existen nodos con voltajes por debajo del límite establecido escoger el nodo de más bajo voltaje y pasar a 13, en caso contrario pasar a

50 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO 13. A este nodo se le aplica las acciones expuestas en el acápite Condición para voltajes inválidos del epígrafe Ajustar el número de iteraciones a cero. 14. Retornar a Chequear en todos los nodos PV que el reactivo generado esté por debajo del límite máximo. Si hay alguno pasado ajustar el reactivo generado al máximo posible, fijar el nodo a PQ y retornar a 4. En caso contrario continuar. 16. Chequear en todos los nodos PV que el reactivo generado esté por encima del límite mínimo. Si hay alguno pasado ajustar el reactivo generado al mínimo posible, fijar el nodo a PQ y retornar a 4. En caso contrario continuar. 17. Si la tolerancia está ajustada en la tolerancia final TERMINAR, sino ajustar tol al valor final comprobar la convergencia, en caso que converja TERMINAR sino retornar a 4. Este algoritmo primeramente tiene un flujo de carga con características muy favorables para la convergencia y en segundo lugar ante divergencia del flujo de carga tiene incluida una técnica capaz de hacer converger el caso haciendo modificaciones al SEP mediante inyecciones en los nodos más afectados. Esto es de gran ayuda al usuario del FC pues le brinda en cuál o cuáles nodos existe déficit de potencia para cubrir las condiciones que se imponen en el SEP. Este algoritmo ha sido probado en el Sistema Electroenergético Nacional (SEN). De la experiencia acumulada en el trabajo con el SEN se sugiere que dicho algoritmo brinda excelentes resultados haciendo un estudio en el que se agrave las condiciones de operación del mismo paulatinamente. De esta forma siempre da una solución adecuada y brinda una ayuda muy valiosa al operario del SEP. 2.3 Conclusiones En este capítulo se desarrolló un algoritmo de flujo de carga capaz de resolver una red con cualquier relación X/R donde no se pierde las propiedades de convergencia del Newton-Raphson Formal y además lo supera en velocidad de cálculo y esfuerzo computacional. También se 45

51 CAPÍTULO 2: MÉTODO NEWTON-RAPHSON ACOPLADO RÁPIDO propone una técnica que recupera la solubilidad del SEP ante casos de divergencia brindando ayuda para el análisis del caso que se analiza. En el algoritmo se previó la posibilidad de estudiar redes con islas eléctricas lo cual es de gran utilidad para estudios de flujo de carga en el SEN. Todos los criterios expuestos para recuperar la solubilidad del sistema son de gran utilidad para el operario ya que se brinda cuál nodo o zona del sistema es más afectada. Esta es la característica que hace muy poderoso al algoritmo propuesto en el análisis de SEP. 46

52 Capítulo 4 Aplicación Práctica del Programa. Comparación. Las tres últimas décadas han sido pródigas en el desarrollo de un gran número de programas para el análisis de SEPs. La mayoría de ellos fueron originalmente escritos para correr en forma de procesos por lotes (batch processing) en mainframe o en minicomputadoras. Con la introducción de los ambientes interactivos multiusuarios y multitareas, muchos de estos programas han sido actualizados con el objetivo de brindar una interface amigable a los usuarios. Sin embargo, la mayoría son capaces de analizar solo un aspecto de la operación de los SEPs, tales como flujos de carga, cortocircuitos, etc. Con frecuencia estos programas requieren de datos en formatos diferentes y necesitan del auxilio de otros programas de presentación para el análisis y la comprensión de los resultados, tales como graficadores, impresores, etc. USUARIOS DLL CORTOCIRCUITO DLL ESTABILIDAD EDITOR DLL FLUJO (D) DLL FLUJO (A) DLL FLUJO $ Figura 4.1 Representación esquemática del programa. En este capítulo se describe un programa llamado Power System explorer (PSX) desarrollado en el Centro de Estudios Electroenergéticos de la Universidad Central de las Villas, aplicando las

53 CAPITULO 4. APLICACIÓN PRÁCTICA DEL PROGRAMA. COMPARACIÓN. novedosas técnicas de Programación Orientada a Objetos. Este sistema integra varios programas de análisis de SEPs bajo una única base de datos y con una interface muy amistosa a sus usuarios. Este capítulo tiene como objetivos la presentación, sobre la interface de PSx, del programa de flujo de carga acoplado rápido con las técnicas para recuperar la solubilidad del sistema, propuesto en el capítulo 2, así como un análisis de los principales resultados 4.1 Estructura del programa PSx es un sistema desarrollado sobre Window s 95 aplicando las novedosas técnicas de Diseño y Programación Orientada a Objetos. Sus diferentes estudios se encuentran estructurados en varios módulos independientes, (fig. 4.1), desarrollados todos en el lenguaje de programación C++, y además en un editor que centra y dirige la comunicación, tanto entre los usuarios y el programa como entre el programa y sus diferentes módulos. El editor fue implementado en lenguaje de programación Pascal utilizando el sistema Borland Delphi 3.0. La comunicación con sus diferentes módulos se realiza a través de DLL (Dynamic Lin Libraries). Figura. 4.2 Monolineal del sistema. 68

54 CAPITULO 4. APLICACIÓN PRÁCTICA DEL PROGRAMA. COMPARACIÓN. El editor, brinda una interface cómoda y amigable a sus usuarios, manteniendo los mismos principios del sistema operativo Window s 95 sobre el cual se diseñó. Su base de datos es común para todos los módulos componentes, permitiendo además la facilidad de que, cuando se esté realizando un determinado estudio, los datos que se muestren sean los que correspondan a ese estudio. El cambio entre los diferentes programas o módulos matemáticos se realiza de una forma rápida y elegante. Los datos se editan en forma tabular, permitiendo una revisión rápida de todos los elementos del sistema analizado. El monolineal del circuito se representa en forma gráfica dando la posibilidad de ver en él los datos y resultados de los distintos estudios (fig. 4.2). Estas y otras características hacen de PSX un sistema muy interactivo. 4.2 Módulo de Flujo de Carga Newton-Raphson Acoplado Rápido El sistema PSX brinda cuatro estudios fundamentales: flujo de carga, flujo óptimo, cortocircuito y estabilidad dinámica. El estudio de flujo de carga tiene la opción de llevarse a cabo mediante dos métodos: uno, Newton-Raphson Desacoplado Rápido y otro, Newton-Raphson Acoplado Rápido. Figura 4.3 Interface de PSX. 69

55 CAPITULO 4. APLICACIÓN PRÁCTICA DEL PROGRAMA. COMPARACIÓN. Por ser el flujo de carga Newton-Raphson Acoplado Rápido el objetivo central del presente trabajo, todo el análisis de PSX se basará en las características del mismo. Para ello se subdivide el análisis en tres partes: la entrada de datos, la corrida y la salida de resultados Entrada de datos Con vistas a garantizar mayor comodidad y agilidad en la edición de los datos del sistema, y dando respuesta a los requerimientos de uno de sus usuarios principales, se ha seguido el principio de edición por tablas. Esto permite observar los datos de aquellos elementos con características similares en un mismo plano así como hacer modificaciones de una forma muy rápida. Se encuentran disponibles tablas de nodos, de líneas, de transformadores, de máquinas (fig. 4.3). En las diferentes tablas se puede editar de una forma muy rápida y cómoda los datos de los diversos elementos del sistema eléctrico de potencia. Además se brinda la posibilidad de ver el monolineal del esquema eléctrico que se está editando. Los datos requeridos para flujo de carga son: Barras: Líneas: Transformadores: 70

56 CAPITULO 4. APLICACIÓN PRÁCTICA DEL PROGRAMA. COMPARACIÓN. Generadores: Capacitores Shunts Capacitores Series Reactores Shunts Reactores Series Ejecución Una vez editado todos los datos del SEP se puede pasar a ejecutar el flujo de carga. Para la ejecución del FC a través del método de Newton-Raphson Acoplado Rápido se solicitan en la ventana de ejecución, según se muestra en la figura 4.4, los siguientes datos: número de iteraciones máximo, tolerancia final de la solución, límite inferior de voltaje permisible y límite de sobretransferencia permisible en líneas. Después de suministrar estos datos (de todos se Figura 4.4: Ventana de ejecución 71

57 CAPITULO 4. APLICACIÓN PRÁCTICA DEL PROGRAMA. COMPARACIÓN. brindan valores por defecto) se ordena la ejecución del FC. Una vez ejecutado el FC le brinda la información sobre la convergencia del caso, si se logró la convergencia, todos los resultados son pasados al formato de resultados y en caso contrario le brinda la posibilidad de revisar los resultados arrojados de la divergencia. Cuando el sistema no converge y las técnicas de ayuda a la convergencia, propuestas en el capítulo 2, deben actuar para recuperar la solubilidad del SEP le pregunta si desea realizar las inyecciones. En este momento el usuario puede elegir si desea estas acciones o no. El resultado de estas acciones es visualizado, siempre que el operario lo desee, en una ventana auxiliar para ello. Figura 4.5: Ventana de fin de la corrida Salida de resultados Una vez aceptado en la sección anterior la opción de mostrar los resultados cuando converge en la tabla de datos de barras se pueden ver los voltajes de operación y ángulo así como la potencia activa y reactiva total generada en cada nodo, como se muestra en la figura 4.6. En la tabla de los generadores se muestra la potencia reactiva que entrega cada máquina del SEP así como la potencia activa generada por la unidad de balance. También muestra una información general sobre la corrida del FC NRAR donde aparecen los resultados generales del flujo (figura 4.7), además de los resultados por zona del SEP y las transferencias entre las diversas zonas. En los resultados generales se muestra la potencia activa y reactiva total generada y la demandada así como las pérdidas totales del SEP. Además se brinda otra serie de información como el número de iteraciones en el cual logro la convergencia y el tiempo de cálculo, etc. 72

58 CAPITULO 4. APLICACIÓN PRÁCTICA DEL PROGRAMA. COMPARACIÓN. Figura 4.6 Resultados del flujo de carga en las barras de SEN. Figura 4.7 Reporte general de flujo de carga. 73