Cálculo I. 3. Objetivo general Resolver problemas de aplicación utilizando conceptos del cálculo diferencial e integral.

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1 Cálculo I 1. Aspectos generales del curso Unidad: Escuela de Matemática Nombre: Cálculo I Código: MAT002 Nivel: Bachillerato Periodo lectivo: II ciclo 2017 Tipo de curso: Regular Modalidad: Presencial Créditos: 4 Horas semanales: 11 Horas presenciales: 5 (3 teoría, 2 práctica) Horas docente: 5 Horas de atención al estudiante: 1 Horas de estudio independiente: 6 Requisitos: MAT001 Matemática General (Para estudiantes de Química Industrial y Bioprocesos Industriales, el requisito es el ingreso a carrera). 2. Descripción general del curso Este curso pretende brindar al estudiante una base sólida en el manejo del cálculo diferencial e integral, como herramienta práctica en el desarrollo de su carrera. Se estudian los conceptos teóricos que sirven de base para la resolución de ejercicios referentes a límites, derivadas e integrales de funciones reales en una variable; enfatizando en los procedimientos de optimización de funciones en una variable, que le proporcionarán las bases conceptuales necesarias para los cursos posteriores. Para que el estudiante tenga un óptimo desempeño en el curso, es fundamental que domine temas básicos de álgebra, resolución de ecuaciones, funciones y trigonometría, además de una actitud positiva y responsable propia de un estudiante universitario. 3. Objetivo general Resolver problemas de aplicación utilizando conceptos del cálculo diferencial e integral. 4. Objetivos específicos a. Desarrollar conceptos del cálculo diferencial e integral de funciones de una variable real. b. Resolver problemas que involucren el cálculo de derivadas e integrales de funciones de una variable real. c. Optimizar funciones reales de variable real. 1

2 5. Contenidos a. Límites de funciones reales de variable real (3 semanas) Noción intuitiva de límite. Cálculo de límites: por sustitución directa, simplificación, racionalización y cambio de variable. Teorema del encaje. Límites de funciones trigonométricas y sus inversas. Límites unilaterales. Límites infinitos. Límites al infinito. Continuidad y discontinuidad de funciones. b. Derivadas (3 semanas) Definición de la primera derivada de una función en un punto. Interpretación de la primera derivada como razón de cambio instantáneo. Interpretación geométrica de la primera derivada en un punto. Cálculo de rectas tangentes y de rectas normales a una curva. Función derivada. Teoremas sobre derivación de funciones: derivada de una suma, resta, producto, cociente y composición de funciones. Regla de la cadena. Teorema del valor medio y Teorema de Rolle. Derivadas de orden superior. Derivación implícita. Derivación logarítmica. c. Aplicaciones de la derivada (4 semanas) Problemas de razones de cambio. Extremos absolutos de una función continua. Extremos relativos a una función. Aplicación de la primera derivada al estudio del crecimiento de una función. Aplicación de la segunda derivada al estudio de la concavidad de una función. Criterios de primera, segunda y n-ésima derivada. Construcción de gráficas de funciones mediante su cuadro de variación (incluyendo asíntotas verticales, horizontales y oblicuas). Aplicación de la teoría de derivadas en resolución de problemas de optimización. Regla de L'Hopital. d. Integrales (4 semanas) La integral indefinida de una función como un conjunto de primitivas. Notación. Propiedades de la integral. Técnicas de integración: directa, por sustitución, por partes, por sustitución trigonométrica, por fracciones parciales, por sustitución de racionales, por sustitución de Weiestrass. Integrales de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. La integral definida mediante sumas de Riemman y propiedades fundamentales relacionadas con el álgebra de funciones. Cálculo de la integral definida. Teorema fundamental del cálculo. e. Aplicaciones de la integral (2 semanas) Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas bajo una curva y área entre curvas. 6. Estrategias metodológicas Las estrategias metodológicas incluyen la clase magistral, el trabajo individual, la discusión y reflexión sobre los conceptos matemáticos expuestos. Se requiere la participación activa de los estudiantes con el aporte de ideas y la resolución de ejercicios. Además, se considera importante que el estudiante evacúe sus dudas durante la clase y resuelva los ejercicios que el profesor asigne como trabajo complementario. Estos ejercicios pretenden fortalecer los conocimientos, habilidades y destrezas fomentadas en clase. Se recomienda el trabajo en grupo para completar apuntes, resolver ejercicios y compartir estrategias de resolución, además de asistir a las horas de atención de estudiantes ofrecidas por el profesor. Se pone a disposición de los estudiantes sitios web con materiales adicionales, ejercicios resueltos y videos explicativos, de modo que puedan profundizar y reforzar los temas vistos en clases. 2

3 La asistencia a clases no es obligatoria. Sin embargo, para un óptimo desempeño en el curso, es indispensable la asistencia puntual a cada sesión. Los materiales del curso, ejercicios y documentación adicional de apoyo puede está disponible en el siguiente enlace: 7. Ausencia del profesor a clases Según el artículo 28 del Reglamento General sobre los procesos de Enseñanza y Aprendizaje de la Universidad Nacional, si un docente se ausenta de las clases, se deberán tomar las medidas que correspondan para garantizar el cumplimiento del programa del curso. Por esta razón, si pasados 20 minutos de la hora de inicio de clases el docente no ha llegado, los estudiantes deberán levantar una lista, en donde hagan constar la ausencia del profesor y entregarla en la recepción de la Escuela de Matemática. 8. Evaluación Su trabajo será evaluado por medio de tres exámenes parciales, cuyo valor es el siguiente: I Examen Parcial: 35% II Examen Parcial: 30% III Examen Parcial: 35% En la siguiente tabla se muestra el calendario de las evaluaciones: Prueba Fecha Hora Contenidos I Parcial Sábado 9 de setiembre 2:00 pm Reposición I Parcial Miércoles 20 de setiembre 8:00 am Límites y Derivadas II Parcial Sábado 7 de octubre 1:00 pm Aplicaciones de la Reposición II Parcial Miércoles 18 de octubre 8:00 am derivada III Parcial Lunes 13 de noviembre 7:00 am Integrales y aplicación Reposición III Parcial Lunes 20 de noviembre 8:00 am de la integral Extraordinario Lunes 27 de noviembre 8:00 am TODOS Las fechas y las horas de los exámenes están sujetas a la disponibilidad de aulas. La nota mínima para aprobar el curso es 7.0. En caso contrario, si la nota es superior a 6.0 el estudiante tendrá derecho a presentar el examen extraordinario para el que deberá pagar el derecho correspondiente en el Departamento Financiero. Este examen incluye todos los contenidos desarrollados en el curso y, para aprobarlo, el estudiante deberá obtener una nota igual o mayor que 7.0. El lugar donde se realizarán las pruebas se comunicará oportunamente. 3

4 9. Disposiciones para realizar las pruebas escritas 1. Para realizar las pruebas escritas es indispensable que el estudiante presente la cédula de identidad. 2. Si un estudiante no presenta ningún documento de identificación válido no podrá realizar la prueba. 3. Ningún estudiante puede abandonar el recinto de examen en los primeros treinta minutos de iniciada la prueba ni entrar en éste pasados treinta minutos. 4. No se contestan preguntas durante la administración de las pruebas; salvo que éstas sean de carácter general, en cuyo caso se aclararán en voz alta. 5. Los exámenes pueden hacerse con lápiz (parcial o totalmente). Los estudiantes que lo hagan no tienen derecho a realizar reclamos en la nota obtenida. 6. No se permite el préstamo de ningún tipo de materiales durante la administración de las pruebas. 7. No se permite el uso de celulares o algún otro dispositivo electrónico de comunicación durante la ejecución de las pruebas 8. Los exámenes deben realizarse en un cuaderno de examen con sus hojas debidamente grapadas, sin utilizar hojas sueltas durante la prueba. Únicamente se permite el uso de las hojas de tablas y fórmulas que el docente les confeccione. 9. No se permite el uso de calculadora programable o financiera, salvo que se indique lo contrario con anterioridad. 10. Ningún estudiante puede abandonar el recinto de examen durante la administración de la prueba, salvo que haya finalizado su examen. El estudiante que, por enfermedad u otra causa de fuerza mayor, no pueda efectuar una evaluación, debe presentar al profesor del curso (por escrito) la justificación con los documentos probatorios dentro de los cinco días hábiles posteriores a la fecha en que se realizó la prueba. Si procede repetir la evaluación, de común acuerdo se fijará la fecha y hora de su aplicación dentro de los ocho días hábiles siguientes a la presentación de la justificación. 10. Asistencia Obligatoria a las clases en Sede Interuniversitaria de Alajuela Según el oficio UNA-IA-CA-OFIC , remitido por la M.Sc. Elizabeth González Sandoval, Coordinadora Académica Sede Interuniversitaria de Alajuela; en la Sede Interuniversitaria existe la directriz: Que en los programas de los cursos de matemática que se imparten en la Sede Interuniversitaria de Alajuela se debe indicar que la asistencia es de carácter obligatorio y que a su vez con tres ausencias injustificadas pierden el curso. Por ende, los estudiantes que matriculen este curso en la Sede Interuniversitaria de Alajuela deben coordindar con su profesor sobre la manera en que se llevará a cabo el registro de asistencia del curso, el cual será el único medio probatorio de que los estudiantes asistieron a clases. Es responsabilidad de cada estudiante asegurarse de ser registrado como presente en cada una de las sesiones del curso, o bien presentar la justificación de la ausencia a la brevedad. Es fundamental señalar que esta normativa no modifica ningún aspecto de la evaluación descrita en esta carta, la cual fue analizada previamente. 4

5 11. Hora de atención En la primera sesión de clases, cada profesor coordinará con sus estudiantes el horario de atención. 12. Cronograma Semana Fecha Contenidos julio 2 31 jul. - 5 ago agosto agosto agosto 6 29 ago. - 2 set setiembre setiembre setiembre Capítulo I Límites: Noción intuitiva de límite. Propiedades de los límites. Cálculo de límites: por sustitución directa, simplificación, racionalización y cambio de variable. Capítulo I Límites: Límites de funciones trigonométricas y sus inversas. Límites unilaterales. Teorema del encaje. Capítulo I Límites: Límites infinitos. Límites al infinito. Continuidad y discontinuidad de funciones. Capítulo II Derivadas: Definición de la primera derivada de una función en un punto. Interpretación de la primera derivada como razón de cambio instantáneo. Interpretación geométrica de la primera derivada en un punto. Cálculo de rectas tangentes y de rectas normales a una curva. Función derivada. Capítulo II Derivadas: Teoremas sobre derivación de funciones: derivada de una suma, resta, producto, cociente y composición de funciones. Regla de la cadena. Capítulo II Derivadas: Teorema del valor medio y Teorema de Rolle. Derivadas de orden superior. Derivación implícita. Derivación logarítmica. Hasta aquí los temas a evaluar en el I Examen parcial. Capítulo III Aplicaciones de las derivadas: Problemas de razones de cambio. Extremos absolutos de una función continua. Extremos relativos a una función. I Examen parcial: Sábado 9 de setiembre, 2:00 pm Capítulo III Aplicaciones de las derivadas: Aplicación de la primera derivada al estudio del crecimiento de una función. Aplicación de la segunda derivada al estudio de la concavidad de una función. Criterios de primera, segunda y n-ésima derivada. Construcción de gráficas de funciones mediante su cuadro de variación (incluyendo asíntotas verticales, horizontales y oblicuas). Capítulo III Aplicaciones de las derivadas: Aplicación de la teoría de derivadas en resolución de problemas de optimización setiembre Capítulo III Aplicaciones de las derivadas: Aplicación de la teoría de derivadas en resolución de problemas de 5

6 razones de cambio. Regla de L'Hopital. Hasta aquí los temas a evaluar en el II Examen parcial octubre octubre octubre octubre Capítulo IV Integrales: La integral indefinida de una función como un conjunto de primitivas. Notación. Propiedades de la integral. Integración directa, por sustitución y por partes II Examen parcial: Sábado 7 de octubre, 1:00 pm Capítulo IV Integrales: Integración por sustitución trigonométrica, por fracciones parciales, por sustitución de racionales Capítulo IV Integrales: Integrales de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Integración por sustitución de Weiestrass. Capítulo IV Integrales: La integral definida mediante sumas de Riemman y propiedades fundamentales relacionadas con el álgebra de funciones. Cálculo de la integral definida. Teorema fundamental del cálculo oct. - 4 nov noviembre Capítulo V Aplicaciones de la integral: Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas bajo una curva y área entre curvas. Capítulo V Aplicaciones de la integral: Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas bajo una curva y área entre curvas noviembre III Examen Parcial. Lunes 13 de noviembre, 7:00 a.m noviembre Entrega de promedios nov. - 2 dic. Examen extraordinario. Lunes 27 de noviembre, 8 a.m. Fechas importantes del II Ciclo 2017: Lunes 24 de julio: Inicio lecciones Martes 25 de julio: FERIADO. Día de la Anexión del Partido de Nicoya Miércoles 2 de agosto: FERIADO. Día de la Virgen de los Ángeles Martes 15 de agosto: FERIADO. Día de la Madre Viernes 15 de setiembre: FERIADO. Día de la Independencia Lunes 16 de octubre: FERIADO. Traslado Día del Encuentro de Culturas del jueves 12 Viernes 10 de noviembre: Último día de clases 13 al 18 de noviembre: Semana de exámenes finales 27 nov. al 1 dic.: Exámenes extraordinarios 6

7 13. Bibliografía recomendada Apóstol, T. (1985). Calculus (Vol. I y II). México DF, México: Reverté Ediciones S. A. Ayres, F. (1988). Cálculo Diferencial e Integral (Trad. L. Gutiérrez y A. Gutiérrez). Madrid, España: McGraw Hill. Courant, R. y John, F. (1999). Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático. México DF, México: Limusa. Demidovich, B. (1977). Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Moscú, Rusia: Editorial MIR. Finney T. (1997). Cálculo: una variable. México DF, México: Editorial Addison Weslie Longman. González, J. (2003). Introducción al Cálculo. San José, Costa Rica: Editorial UNED. Larson R., Hostetler R. y Edwards, B. (1999). Cálculo (Vol. 1). México DF, México: McGraw-Hill. Piskunov, N. (1969). Cálculo diferencial e integral (Tomo I). Moscú, Rusia: Editorial MIR. Simmons, G. (2002). Cálculo con Geometría Analítica (2ª ed.). México DF, México: McGraw Hill. Stewart, J. (2002). Cálculo (4ª ed.). México DF. México: Thompson Learning. Thomas, G. (2006). Cálculo: una variable (11ª ed.). México DF, México: Pearson Educación. Atentamente, ORIGINAL FIRMADO M.Sc. Alejandro Ugalde León Coordinador Cátedra MAT002 Cálculo I ORIGINAL FIRMADO Dr. Filánder Sequeira Chavarría Coordinador Cursos Servicio 7