AJEDREZ Y MATEMÁTICAS

Transcripción

1 Ciclo de Formación Complementaria en Ajedrez Dirección de Desarrollo Curricular y Relaciones Académicas Ministerio de Educación de la Provincia de Santa Fe AJEDREZ Y MATEMÁTICAS. Clasificación de cuadriláteros Juan Luis Jaureguiberry Coordinador del Plan de Ajedrez Escolar Ministerio de Educación de la Provincia de Santa Fe

2 Objetivos curriculares: º ciclo) Identificar figuras simples; º y º ciclo) Comparar lados, ángulos y diagonales de las figuras para construir conceptos y clasificarlas Enseñanza tradicional. Siempre muestra las figuras en la misma posición: «derechas».. Resigna la identificación y comparación de los ángulos internos de las figuras.. Soslaya la elaboración de criterios de inclusión para clasificarlas. Resultados. Los alumnos sólo identifican las figuras en la posición habitual.. Sólo perciben los lados y no los ángulos internos.. No desarrollan criterios lógicos para determinar lo que cada figura es. Enseñanza usando el Ajedrez. Hace aparecer figuras inclinadas con los movimientos en diagonal.. Promueve la comparación de todas las partes de las figuras.. Genera contradicciones e incomodidad, motiva debates. Resultados. Los alumnos identifican las formas en distintas posiciones.. Visualizan los ángulos internos como parte de las figuras.. Desarrollan el pensamiento crítico y la autonomía.

3 Actividad de diagnóstico (º fase) Qué forma tiene el tablero? Lo giramos Y ahora? Y por qué es un cuadrado? Es un cuadrado Ahora no es un diamante es un rombo porque tiene los lados iguales

4 Actividad de diagnóstico (º fase) Doblamos el tablero por la mitad Y lo usamos como regla y medida para trazar en el pizarrón la siguiente figura Es un cuadrado? No!!! Pero hice los lados iguales, como ustedes me dijeron. Dudan hay opiniones divididas y surgen justificaciones Es un cuadrado pero está torcido si lo miramos así (e inclinan la cabeza) Preguntamos quién es un alumno que está sentado y luego lo cambiamos de posición (parado, acostado) y lo miramos desde distintas posiciones: sigue siendo el mismo alumno.

5 . Un modelo de didáctica interdisciplinar para el ciclo ( y grado) de la escuela primaria Objetivos en Geometría. Identificación de rectángulos, cuadrados y rombos en distintas posiciones.. Construcción de regularidades por comparación de la longitud de sus lados y la amplitud de sus ángulos interiores.. Elaboración de criterios de clasificación y relaciones de inclusión. Objetivos en Ajedrez. Percepción de las opciones de movimiento de Torres, Alfiles y Caballos en jugadas.. Construcción de regularidades y simetrías en los recorridos de las Torres y los Alfiles y en los saltos de los Caballos.. Desarrollo de más recursos técnicos en la visión ajedrecística.

6 Los alumnos marcan los caminos de la Torre para ir en jugadas desde b hasta g y DICEN que forman un RECTÁNGULO Pero si preguntamos Por qué es un rectángulo? Se sorprenden, miran, piensan, algunos dicen porque tiene dos lados más largos y dos lados más cortos Buscamos palabras escondidas en el nombre RECTA - ÁNGULO Es un RECTÁNGULO porque tiene los cuatro ángulos interiores iguales (rectos)

7 Pero cuando los dos recorridos de la Torre forman CUADRADOS NO ACEPTAN que también son RECTÁNGULOS Pero cómo son los ángulos interiores de los cuadrados? Iguales, rectos Todos los cuadrados son rectángulos Pero sólo algunos rectángulos son cuadrados Cuáles? Solamente los rectángulos que tienen los cuatro lados iguales son cuadrados

8 Los alumnos marcan los caminos del Alfil para ir en jugadas de c a e y AHORA ACEPTAN que forman un RECTÁNGULO Pero les molesta que esté «torcido»!! Trabajamos de nuevo la relación forma - posición Si los cuatro ángulos interiores son iguales (rectos) es un RECTÁNGULO

9 Pero NO ACEPTAN que los RECTÁNGULOS formados por algunos recorridos del Alfil también son CUADRADOS Como máximo conceden que son ROMBOS Y tienen razón, pero NO por la posición, como ellos creen Cómo son los lados? Iguales Y los ángulos interiores? Iguales Si los lados son iguales y los ángulos interiores también son iguales (rectos), es un cuadrado

10 Los alumnos marcan los dos saltos de los Caballos para ir a b y a d por dos casillas diferentes y ACEPTAN que forman ROMBOS Y por qué son rombos? son como diamantes Cómo son los cuatro lados? Iguales, cada lado es un salto de Caballo Las figuras que tienen los cuatro lados iguales son ROMBOS

11 Pero NO ACEPTAN que los CUADRADOS formados por algunos saltos de los Caballos también son ROMBOS Cómo son los cuatro lados? Iguales Todos los cuadrados son rombos Pero solamente algunos rombos son cuadrados Cuáles? Sólo los rombos que tienen los cuatro ángulos interiores iguales (rectos) son cuadrados

12 Conclusiones en Ajedrez: opciones de movimiento en jugadas Las opciones de la TORRE para ir a la misma casilla en jugadas siempre forman RECTÁNGULOS (que si tienen los lados iguales son cuadrados) Las opciones del ALFIL para ir a la misma casilla en jugadas siempre forman RECTÁNGULOS (que si tienen los lados iguales son cuadrados) Las opciones del CABALLO para ir a la misma casilla en jugadas siempre forman ROMBOS (que si tienen los ángulos rectos son cuadrados)

13 Conclusiones de Geometría: rectángulos, rombos y cuadrados Los cuadriláteros que tienen sus ángulos internos iguales (rectos) son rectángulos Los cuadriláteros que tienen sus lados iguales (congruentes) son rombos Los cuadriláteros que tienen sus lados iguales y sus ángulos internos iguales (rectos) son cuadrados Los cuadrados son rectángulos y rombos a la vez.

14 . Un modelo de didáctica interdisciplinar para el ciclo ( y grado) de la escuela primaria Objetivos en Geometría. Identificación de cuadriláteros regulares: paralelogramos y trapecios.. Construcción de regularidades por el paralelismo entre sus lados y la amplitud de sus ángulos interiores.. Elaboración de criterios de clasificación y relaciones de inclusión. Objetivos en Ajedrez. Percepción de las opciones de movimiento de la Dama en jugadas.. Construcción de regularidades y simetrías en los recorridos de la Dama, combinando movimientos de Torre y Alfil.. Fundamentación del valor superior de la Dama en posiciones abiertas y finales.

15 Les pedimos a los alumnos que marquen las casillas a las que puede ir la Dama desde g, para llegar a b en la jugada siguiente. Moviendo sólo por filas y columnas (como una Torre). b. g Moviendo sólo en diagonal (como un Alfil). f. c Combinando un movimiento como Torre y otro como Alfil. d. e. b. g

16 Cuando los alumnos marcan los dos caminos que tiene la Dama moviendo las dos veces como Torre, forman un RECTÁNGULO Identifiquemos pares de lados opuestos: b-b opuesto de g-g g-b opuesto de g-b Cómo son entre sí los pares de lados opuestos? Paralelos Los cuadriláteros que tienen sus pares de lados opuestos paralelos se llaman PARALELOGRAMOS

17 Ahora sabemos que los caminos de la Dama moviendo las veces como Alfil forman un PARALELOGRAMO RECTANGULAR. Podemos decir que todos los rectángulos son paralelogramos? Sí, porque todos los rectángulos tienen sus lados opuestos paralelos Y los cuadrados y los rombos? También son paralelogramos Y habrá paralelogramos que no sean rectángulos? Veamos

18 Cuando los caminos de la Dama combinan movida de Torre y de Alfil pueden formar PARALELOGRAMOS NO RECTANGULARES Tienen sus pares de lados opuestos paralelos pero sus ángulos internos NO son iguales: son paralelogramos pero NO son rectángulos

19 Clasificación de paralelogramos: cuadriláteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos Los paralelogramos cuyos dos pares de lados opuestos son paralelos pero cuyos ángulos internos no son rectos son paralelogramos no rectangulares Los paralelogramos que tienen sus lados iguales son rombos Paralelogramos no rectangulares Los paralelogramos que tienen sus ángulos internos iguales (rectos) son rectángulos Paralelogramos Los paralelogramos que tienen sus lados y sus ángulos iguales son cuadrados. Los cuadrados son rectángulos y rombos a la vez.

20 Pero los caminos de la Dama combinando movida de Torre y de Alfil también pueden formar figuras como éstas: Tienen solamente un par de lados opuestos paralelos En estos ejemplos son paralelos los lados marcados en rojo (movimientos en diagonal) Estas figuras se llaman TRAPECIOS

21 Si un camino de la Dama combina movida de Torre y de Alfil y el otro camino, movidas de Alfil, se pueden formar estos TRAPECIOS Como tienen ángulos consecutivos iguales (rectos) se llaman TRAPECIOS RECTÁNGULOS

22 Pero si un camino de la Dama combina movida de Torre y de Alfil y el otro camino combina movidas de Alfil, también se pueden formar estos otros TRAPECIOS RECTÁNGULOS:

23 Y si un camino de la Dama combina movida de Torre y de Alfil y el otro camino combina movidas de Torre, también se pueden formar estos otros TRAPECIOS RECTÁNGULOS:

24 trapecios isósocels paralelogramos no rectangulares trapecios rectángulos paralelogramos rectangulares Juan Jaureguiberry Materia: Ajedrez y Matemáticas Con los caminos puedo formar cuadriláteros regulares

25 . Un modelo de didáctica interdisciplinar para o año de la escuela secundaria (continuación del problema anterior) Objetivos en Probabilidad. Cálculo de combinaciones.. Análisis exhaustivo con elementos fijos y variables.. Uso de la simetría para obtención de soluciones. Objetivos en Geometría. Identificación de triángulos rectángulos.. Identificación de ángulos opuestos por el vértice.. Elaboración de criterios de semejanza de triángulos. Objetivos en Ajedrez. Percepción de las opciones de movimiento de la Dama en jugadas.. Construcción de regularidades y simetrías en los recorridos de la Dama, combinando movimientos de Torre y Alfil.. Fundamentación del valor superior de la Dama en posiciones abiertas y finales.

26 Permutaciones con repetición: importa el orden Permutaciones con repetición de n objetos tomados en grupos de a r tomados de a P rep. = =,,,,,,,,,,,, n P r rep. = n r Permutaciones con repetición de tres números:, y,,,,,, tomados de a P rep. = = 9,,,,,, Cuántos autos se pueden patentar con el sistema de letras y números? Cuántos autos tienen patente AAA? No necesito saber la fórmula: son mil AAA 000 hasta AAA dígitos (n) tomados de a (r) 0 P rep. = 0 =.000 Cuántos autos tienen patente 000? letras (n) tomadas de a (r) P rep. = = 9. Total:.0 =

27 Permutaciones: no hay repetición e importa el orden Permutaciones sin repetición de n objetos tomados en grupos de a r n P r = n! (n-r)! De cuántas maneras puedo ordenar las bolas de billar? P =! = n P n = n! (0! = ) Permutaciones sin repetición de tres números:, y tomados de a! P = (-)! = tomados de a! P = (-)! =,,,,,,

28 Combinaciones: no importa el orden de los elementos (bingo) Cuando hago conmutaciones tomando de a dos letras del alfabeto: ab = ba las combinaciones son la mitad de la permutaciones Cuando hago conmutaciones tomando de a tres letras del alfabeto: abc = acb = bac = bca = cab = cba las combinaciones son la sexta parte de la permutaciones Las combinaciones se obtienen dividiendo la cantidad de permutaciones por el factorial de la cantidad de elementos que tomo (r!): n C r = n! = r! r! (n-m)! n P r Permutaciones de cuatro números:,, y tomados de a dos Combinaciones de cuatro números:,, y tomados de a dos! P = (-)! (...) = = (.)! C =! (-)! (...) = = (.) (.),,,,,,,,,,,,

29 Los doce cuadriláteros regulares agotan las alternativas? Si tengo caminos distintos de la Dama para ir desde g hasta b y los combino de a dos entre sí, cuántas posibles combinaciones tengo? Recordemos que calculo combinaciones porque no importa el orden en que realizo la agrupación de pares de caminos (es lo mismo ab que ba) Las combinaciones de (n) tomadas de a (r) son: n! r! (n-r)!! = =! (-)! (. ). (..... ) = simplificando =. = combinaciones Y nosotros tan contentos porque habíamos encontrado! Se animan a pensar cuáles son las otras combinaciones de caminos de la Dama para ir desde g hasta b?

30 La Dama puede combinar movidas de Torre y Alfil formando dos cuadriláteros irregulares

31 La Dama puede combinar movidas de Torre y Alfil formando dos triángulos rectángulos

32 La Dama puede combinar movidas de Torre y Alfil formando º par de triángulos rectángulos

33 La Dama puede combinar movidas de Torre y Alfil formando º par de triángulos rectángulos

34 Y figuras irregulares (banderines??)