Actividad Presentaciones de proyectos de grado. Variables estadísticas

Transcripción

1 Objetivo 1. Describir las principales variables estadísticas que se deben usar en los informes de proyectos de grado y demás informes de investigación del Grupo de Investigación Estructuras y Sísmica. A continuación se definen las variables estadísticas mínimas que se deben usar en los informes. Media o promedio Sea (xx 1,..., xx ) una muestra de n observaciones de una variable aleatoria xx definida por una población determinada, entonces la media, xx, se define mediante la ecuación 1. xx = ii=1 xx ii (1) donde xx es la variable aleatoria y es el número de datos (tamaño de la muestra). Varianza Dada una muestra aleatoria (xx 1,..., xx ), la varianza, ss 2, se define mediante la ecuación 2. 2 ss = ii=1 (xx ii xx ) 2 1 (2) donde xx es la variable aleatoria, xx es la media, y es el número de datos (tamaño de la muestra). Se divide por 1 debido a que, de esta forma, la medida de variabilidad resultante se convierte en el mejor estimador de la varianza poblacional. Lo que implica que, si el valor de la varianza es muy grande, los datos están muy dispersos alrededor de la media y expresa una gran variabilidad. Desviación estándar La desviación estándar, s, se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza y se obtiene mediante la ecuación 3. ss = ss 2 (3) donde ss 2 es la varianza. Coeficiente de variación Se define mediante la ecuación 4. cccc = ss xx (4)

2 donde ss es la desviación estándar y xx es la media. El coeficiente de variación expresa la dispersión relativa de un conjunto de datos; es decir, describe la desviación estándar relativa a la media y se expresa usualmente en porcentaje. Coeficiente de correlación Se define mediante la ecuación 5. rr = SS xxxx ii=1(xx ii xx ) 2 ii=1(yy ii yy ) 2 = SS xxxx SS xxxx SS yyyy (5) donde Sxy se obtiene mediante la ecuación 6, xx es la variable independiente, yy es la variable dependiente, xx y yy son las medias (promedios) de los datos, y es el número de datos (tamaño de la muestra). SS xxxx = ii=1 (xx ii xx ) (yy ii yy ) = ii=1 xx ii yy ii ( ii=1 xx ii ) ( ii=1 yy ii )/ (6) El coeficiente de correlación expresa la fuerza de la relación lineal entre x y y. Cuando el valor r es cercano a cero, esto puede indicar que no existe ninguna relación entre las variables o la ausencia de una relación lineal. En la Figura 1 se muestran varios ejemplos de gráficas con diferentes valores del coeficiente de correlación. En el programa Microsoft Excel, el coeficiente de correlación se puede obtener como la raíz cuadrada del coeficiente de determinación R 2. (a) (b) (c) (d) Figura 1. Ejemplos de resultados del coeficiente de correlación: (a) r está cerca de +1, (b) r está cerca de -1, (c) r está cerca de 0, y las variables no están relacionadas y (d) r está cerca de 0, y las variables están relacionadas no linealmente (Montgomery et al., 2011).

3 Valores máximo y mínimo El valor máximo es cuando la variable aleatoria xx toma el mayor valor en una población determinada. Al contrario del valor máximo, el valor mínimo es cuando la variable aleatoria xx toma el menor valor en una población determinada. Mediana La mediana xx, es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra una vez la muestra se ha ordenado, y se define mediante la ecuación 7. xx (+1)/2, xx = xx /2 +xx (/2)+1 2 iiiiiiiiii, pppppp (7) Percentiles y cuartiles La mediana divide los datos en dos partes iguales. Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales, los puntos de división se conocen como cuartiles. El primer cuartil, q1, es un valor que tiene aproximadamente la cuarta parte (25%) de las observaciones por debajo de él, y el 75% restante por encima de él. El segundo cuartil, q2, tiene aproximadamente la mitad (50%) de las observaciones por debajo y por encima de él. El segundo cuartil es exactamente igual a la mediana. El tercer cuartil, q3, tiene aproximadamente las tres cuartas partes (75%) de las observaciones por debajo de él. Si más de una observación satisface la definición de cuartil, entonces se utiliza el promedio de ellas como cuartil. Diagrama de caja y bigotes Es una presentación visual que describe, al mismo tiempo, las características de un conjunto de datos tales como el centro, la dispersión, la desviación de la simetría y la identificación de observaciones que se alejan de manera poco usual del resto de los datos. En la Figura 2 se muestra la descripción del diagrama de caja y bigotes. Los bigotes se extienden hasta el valor mínimo dentro de 1.5 H desde el primer cuartil Los bigotes se extienden hasta el valor máximo dentro de 1.5 H desde el tercer cuartil Primer cuartil Segundo cuartil Tercer cuartil Valores extremos Valores extremos Valor lejano 1.5 H 1.5 H H 1.5 H 1.5 H Figura 2. Descripción del diagrama de caja y bigotes (Montgomery et al., 2011).

4 El diagrama presenta los tres cuartiles (y los valores mínimos y máximos) alineados vertical u horizontalmente sobre una caja. Para el diagrama de cajas y bigotes se requiere calcular la mediana y los otros dos cuartiles con los cuales se formará la caja, la cual tiene la mediana como eje central, y como lados los dos cuartiles. La distancia H se define como la distancia entre el cuartil superior y el cuartil inferior, tal como se muestra en la ecuación 8. HH = qq 3 qq 1 (8) donde qq 3 es el tercer cuartil y qq 1 es el primer cuartil. El paso corresponde a 1.5 veces la distancia, y se calcula mediante la ecuación 9. PPPPPPPP = 1.5 HH (9) Las cercas internas están ubicadas a un paso de los respectivos cuartiles y se definen mediante las ecuaciones 10 y 11. CCCCCC = qq 1 PPPPPPPP (10) CCCCCC = qq 3 + PPPPPPPP (11) donde CIi es la cerca interna inferior y CIs es la cerca interna superior. Si la cerca interna inferior da menor que el valor mínimo de la muestra, ésta se hace igual al valor mínimo; igualmente, si la cerca interna superior da mayor que el valor máximo, ésta se hace igual a dicho valor. Las cercas externas están ubicadas a un paso de las cercas internas y se definen mediante las ecuaciones 12 y 13. CCCCCC = CCCCCC PPPPPPPP (12) CCCCCC = CCCCCC + PPPPPPPP (13) donde CEi es la cerca externa inferior y CEs es la cerca externa superior. Se denominan valores adyacentes a los datos ubicados entre las cercas internas y los bordes de las cajas; sin embargo, por simplicidad no se grafican. Se denominan Valores extremos a los datos ubicados entre las dos cercas y merecen especial atención, ya que pueden ser valores atípicos que, en algunos casos, no pertenecen realmente a la distribución general de donde provienen los datos. Se denomina Valores lejanos a los valores ubicados por fuera de las cercas externas, y corresponden a valores extremos que requieren un mayor análisis que los valores atípicos.

5 Los diagramas de cajas y bigotes son muy útiles para comparar gráficas entre conjuntos de datos, ya que tienen un gran impacto visual y son fáciles de comprender. Por ejemplo, la Figura 3 presenta los diagramas de cajas y bigotes comparativos para el porcentaje de aporte de la contribución del tejido de fibra de carbono, CFRP, sobre la fuerza cortante del muro en tres reglamentos distintos. El examen de este diagrama revela que existe mayor variabilidad en el reglamento ACI 440, los menores porcentajes de aporte del CFRP los presenta el Bulletin 14, y el AC-125 presenta el mayor promedio del porcentaje de aporte del CFRP. 100 V f /V t, % ACI 440 AC-125 Bulletin 14 Figura 3. Diagramas de cajas y bigotes del porcentaje de aporte de la contribución del CFRP, Vf, sobre la fuerza cortante del muro, Vn (modificado de Echeverri y Carrillo, 2015). Microsoft Excel permite la elaboración de este tipo de diagramas mediante la opción Insertar\Gráficos\Cotizaciones\Volumen, apertura, máximos, mínimos, cierre o mediante la opción Insertar\Gráficos\Columna\Columna agrupada. Para usar la opción de Volumen, apertura, máximos, mínimos, cierre se debe organizar los datos como se presenta en la Tabla 1 y se deben tener mínimo cinco elementos a comparar para activar la función. Luego, mediante la edición de formato se organizan los colores, títulos y líneas. Tabla 1. Valores de los porcentajes de aporte de la contribución del CFRP, Vf, sobre la fuerza cortante del muro, Vn. Variables\ Reglamentos ACI 440 AC-125 Bulletin 14 Mediana, % Q1, % Máximo, % Mínimo, % Q3, %

6 Para realizar el diagrama de cajas y bigotes mediante la opción Insertar\Gráficos\Columna\Columna agrupada se grafican los valores mínimos y las diferencias entre cada una de las variables, es decir, los datos presentados en la Tabla 2. Los bigotes se obtienen mediante la opción Formato\Diseño\Agregar elemento de gráfico\ Barras de error\más opciones. Para los bigotes inferiores eligen las opciones: Dirección\Menos, Estilo final\con remate y Cuantía de error\porcentaje = 100% mientras se mantienen seleccionadas las barras correspondientes a la columna Q1- Mínimo. Para los bigotes superiores se eligen las opciones: Dirección\Más, Estilo final\con remate y Cuantía de error\ Personalizado\ Especificar valor y en la casilla Valor de error positivo se selecciona la columna Máximo- Q3. Este procedimiento se debe llevar a cabo mientras se mantienen seleccionadas las barras correspondientes a la columna Q3- Mediana. Luego, mediante la edición de formato se organizan los colores, títulos y líneas. Tabla 2. Valores y diferencias de los porcentajes de aporte de la contribución del CFRP, Vf, sobre la fuerza cortante del muro, Vn. Reglamentos\Variables Mínimo, % Q1-Mínimo, % Mediana-Q1, % Q3-Mediana, % Máximo-Q3, % ACI AC Bulletin Referencias Echeverri, F. & Carrillo, J. (2015). Evaluación de modelos de predicción de resistencia de muros de concreto para vivienda rehabilitados sísmicamente con CFRP. XI Congreso Chileno de Sismología e Ingeniería Sísmica, Santiago de Chile, Chile. Ledesma, m. L. (s.f.). Distribuciones muestrales. Universidad Nacional de la Plata. Moreno, l. A. (2003). Guías para un curso de estadística para la investigación. Medellin: Universidad Nacional de Colombia. Montgomery, D. Runger, G. y Faris Hubele, N. (2011). Enginerring statistics. Temple: John Wiley & Sons, Inc. Preparado por: Ing. Fabián Echeverry Revisado por: Ing. Julián carrillo, Ph.D.