La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Primera parte PB01. Cuadernillo de diagnóstico personalizado

Transcripción

1 /5/ :28 pm Página 1 La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria Primera parte Cuadernillo de diagnóstico personalizado Elementos para la detección de necesidades de formación continua

2 /5/ :28 pm Página 2 El Cuadernillo de diagnóstico personalizado. Elementos para la detección de necesidades de formación continua fue elaborado en la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica, de la Secretaría de Educación Pública. D.R. Secretaría de Educación Pública, 2006, Argentina 28, Col. Centro, 06020, México D. F. 2

3 /5/ :28 pm Página 3 Maestra, Maestro: El presente es un reporte de los resultados académicos que obtuvo en el examen nacional para maestros en servicio. En este cuadernillo encontrará una descripción exhaustiva de los temas o aspectos que, a partir de los resultados de su examen, se ha identificado conveniente reforzar. La intención central de este documento es poner a su disposición información objetiva que seguramente le será útil para la toma de decisiones respecto a cómo continuar su proceso de formación continua. En este sentido, para algunos profesores lo más conveniente será profundizar en el estudio de los contenidos vinculados con su quehacer profesional que les ha resultado más complejo dominar; para otros, tal vez convenga consolidar los conocimientos donde se tiene un dominio incipiente; para los que ya han conseguido un alto aprovechamiento, quizá sea útil reflexionar sobre las opciones que pueden seguir apoyando su proceso de formación. Los exámenes nacionales para maestros en servicio contribuyen a valorar el dominio de contenidos básicos del quehacer docente, en congruencia con los propósitos y enfoques del Plan y programas de estudio; sin embargo, usted puede hacer una valoración más pertinente de su proceso de formación continua; por ello, le invitamos a reflexionar en lo siguiente: los conocimientos, habilidades, valores y actitudes desarrollados en la participación de procesos formativos se han transformado en ideas y herramientas para favorecer el aprendizaje de sus alumnos?, podría enunciar algunas de ellas? Si no ha ocurrido así, qué ha hecho falta? Las respuestas a estas interrogantes le ayudarán a identificar sus necesidades de estudio y a tomar una decisión académica, en relación con su trayecto de formación continua, que responda mejor a sus demandas profesionales. La formación continua no supone la acumulación sin sentido de conocimientos, sino la posibilidad de transformar las prácticas educativas en favor del aprendizaje de los alumnos. 3

4 /5/ :28 pm Página 4 Conviene hacer una precisión importante para el mejor uso del presente documento. El diseño de la prueba permite identificar el dominio de los aspectos generales y más representativos del campo por evaluar, por lo que es probable que existan aspectos muy específicos sobre los cuales no se presenta información. En este sentido, en el cuadernillo se señalan aquellas temáticas donde existen las problemáticas más frecuentes entre la población sustentante, de acuerdo con cada uno de los niveles de dominio alcanzados. Es recomendable que analice este informe de resultados junto con un asesor u otros colegas de su plantel o zona escolar, y posteriormente utilice los servicios de los Centros de Maestros a fin de que, en forma conjunta, se construyan estrategias de estudio que respondan a sus requerimientos personales de desarrollo profesional. Queremos expresarle que la Secretaría de Educación Pública hace patente su reconocimiento por ser un maestro que se interesa en su desarrollo profesional, consciente de los retos que enfrenta y responsable de emprender acciones para superarlos con el fin de estar en condiciones de ofrecer una educación de mejor calidad a las niñas y los niños que asisten a su escuela. A quienes somos responsables de impulsar los servicios de formación continua para los docentes, nos resultaría muy útil recibir sus opiniones y sugerencias en: Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio Mariano Escobedo No. 438, Col. Casablanca Delegación Miguel Hidalgo, C. P , México, D. F. o en la dirección de correo electrónico cgacms@sep.gob.mx 4

5 /5/ :28 pm Página 5 Cómo están estructurados los mensajes del cuadernillo de diagnóstico personalizado? Con la intención de que se familiarice con la información contenida en estos resultados, a continuación se presenta una descripción de la estructura de los mensajes. 1 Tema 2 Contenido específico La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria El papel de la estimación de resultados en la enseñanza de las matemáticas 4 Descripción del problema Es conveniente conocer y reflexionar acerca de la función y la importancia de desarrollar la habilidad para estimar resultados de problemas, operaciones y medidas. 5 Error más frecuente 6 Sugerencias de estudio En particular, se observan dificultades para reconocer el valor didáctico y la utilidad que tiene el hecho de solicitar a los alumnos que, antes de resolver un problema o una operación, o antes de medir algo, estimen el resultado. Asimismo, no se logra identificar aquellas situaciones que propician el desarrollo de esta habilidad. Por ejemplo, se ignora que la práctica de la estimación permitirá que los alumnos, antes de realizar cualquier cálculo, comprendan el problema y reflexionen sobre la relación entre los datos, o bien, que cuando ellos estiman una magnitud pueden darse una idea del resultado que obtendrán. Esto constituye una herramienta que les permitirá darse cuenta de si el resultado que obtienen en una operación o problema es factible o no. Se sugiere retomar el estudio de la actividad " Como cuánto es?", del capítulo I de la Guía de estudio del taller. Asimismo, leer el texto "Estimación", del libro de Lecturas del mismo taller. Pero, sobre todo, se invita a promover continuamente en los alumnos el desarrollo de la habilidad para estimar el resultado de operaciones, problemas y mediciones. 3 Símbolos Guía 5

6 /5/ :28 pm Página 6 Cómo identificar los mensajes que corresponden a su nivel de dominio? Este cuadernillo ha sido diseñado para que identifique el mensaje o mensajes que corresponden a su nivel particular de dominio, de acuerdo con los resultados del examen nacional. Con la intención de que usted los ubique, es preciso realizar lo siguiente: 1) Revise, en su constancia de resultados, su calificación. Anótela aquí 2) Observe la tabla de la página siguiente y realice estas acciones: marque el rango de calificación que le corresponde. identifique el símbolo guía que corresponde a su nivel de dominio. Este símbolo le indicará, a lo largo de todo el cuadernillo, los mensajes que se relacionan con su desempeño en el examen. 3) Hojee todo el cuadernillo; busque, de acuerdo con su símbolo guía, los mensajes que le corresponden y márquelos de preferencia con algún marcatextos o lápiz de color. Es importante leer todas las recomendaciones. 4) Analice con detenimiento los mensajes que ha marcado en su cuadernillo. En ellos se dará cuenta de los principales temas, contenidos o situaciones que conviene revisar nuevamente y de los que, de acuerdo con las evidencias de su examen, no ha logrado todavía un dominio suficiente. Conviene que realice este análisis con colegas o asesores de su Centro de Maestros. 6

7 /5/ :28 pm Página 7 SI SU CALIFICACIÓN ES: ESPERADO a SUFICIENTE a a a INSUFICIENTE * INSUFICIENTE NO DOMINIO SÍMBOLO GUÍA USTED Ha mostrado un logro óptimo de los contenidos evaluados a través del examen. Cuenta con un dominio consistente de conocimientos y habilidades fundamentales para su quehacer profesional y útiles para continuar y profundizar sus procesos de formación con excelentes posibilidades de éxito. Está cerca de alcanzar el dominio esperado de los contenidos evaluados en el examen nacional. Muestra un alto dominio de conocimientos y habilidades fundamentales para su quehacer profesional y útiles para consolidar sus procesos de formación con altas posibilidades de éxito. Ha mostrado un dominio suficiente de los contenidos evaluados en el examen nacional. Posee un dominio regular de conocimientos y habilidades fundamentales para su quehacer profesional y necesario para avanzar en su proceso de formación con buenas posibilidades de éxito. Ha mostrado un dominio básico de los contenidos evaluados en el examen nacional. Manifiesta un dominio elemental de los conocimientos y las habilidades necesarias para mejorar su proceso de formación con posibilidades de éxito. Está cerca de lograr el dominio suficiente de los contenidos evaluados en el examen nacional, por lo que es recomendable retomar el estudio sistemático de los temas y aspectos que se evalúan en el examen y procurar su aplicación práctica en los procesos de mejora de los aprendizajes de sus alumnos. Ha mostrado un débil dominio de los contenidos evaluados en el examen nacional, por lo que se recomienda emprender el estudio de los temas y aspectos que se evalúan en el examen y procurar su aplicación práctica en los procesos de mejora de los aprendizajes de sus alumnos. Todavía no ha alcanzado el dominio de los contenidos evaluados, por lo que le invitamos a que retome el estudio de los temas y aspectos que se evalúan en el examen, analice cuidadosamente los materiales educativos de la SEP, aplique los nuevos conocimientos en su práctica profesional y busque el apoyo de un asesor en su Centro de Maestros. 7

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9 /5/ :28 pm Página 9 Recomendaciones específicas para apoyar su proceso de formación continua Cuadernillo de diagnóstico personalizado Elementos para la detección de necesidades de formación continua

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11 /5/ :28 pm Página 11 La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria Propósitos generales de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria Es importante conocer y tener siempre presente cuáles son los propósitos generales que se pretenden alcanzar con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas al término de la educación primaria. En particular, se ha detectado que se desconocen los propósitos explicitados en el Plan y programas de estudio y, por consiguiente, no se toman en cuenta al planear las actividades. Por otro lado, muchas veces se atribuye el carácter de propósitos a otros que no lo son. Por ejemplo, es muy común creer que un propósito general explícito en el Plan y programas es que los alumnos aprendan a resolver problemas de la vida cotidiana. Si bien esto es algo recomendable, en esencia, no está enunciado como uno de los propósitos generales de la enseñanza de las matemáticas. Es importante reconocer que los propósitos generales enuncian los conocimientos básicos que los alumnos deben adquirir y las habilidades que deben desarrollar, como la capacidad de anticipar y verificar resultados, la destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, de dibujo y de cálculo, entre otros. Se recomienda leer a profundidad la parte del enfoque de matemáticas del Plan y programas de estudio, e identificar y analizar los propósitos generales que se enumeran en esa sección, así como reflexionar cómo pueden lograrse a través de las situaciones didácticas que se trabajan con los alumnos. 11

12 /5/ :28 pm Página 12 La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria Conocimiento del Plan y programas de estudio de matemáticas Es necesario conocer la secuencia programática propuesta, para abordar diversos contenidos matemáticos a lo largo de la educación primaria. En particular, hay problemas para identificar en qué grado se trabajan algunos contenidos, por lo que no se reconoce la secuencia que siguen a lo largo de un grado escolar o de la primaria; al mismo tiempo, no se distingue cuáles contenidos constituyen una base o antecedente para otros. Por ejemplo, se ignora que los problemas de combinatoria y proporcionalidad se estudian desde cuarto grado, mientras que se piensa, erróneamente, que los alumnos de quinto grado ya han trabajado la multiplicación de decimales. Por otro lado, se cree que los alumnos de primer grado no pueden acceder al estudio de la superficie, el peso y la capacidad, pero el programa marca iniciar el trabajo con estas magnitudes desde primer grado. Otro error es considerar que deben estudiarse las líneas, luego los polígonos y al final los cuerpos geométricos, cuando lo correcto es iniciar con cuerpos geométricos, para de ahí abstraer la idea de polígono y, al último, la noción de línea. Se sugiere hacer de la consulta del Plan y programas de estudio, un hábito en la planeación didáctica. Cada vez que se vaya a iniciar el estudio de un contenido, analizar la secuencia que sigue a lo largo de todo el programa de educación primaria, cuáles contenidos son sus antecedentes y cuáles sus consecuentes. 12

13 /5/ :28 pm Página 13 La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria Recursos para la enseñanza de las matemáticas Es necesario conocer el momento oportuno para utilizar adecuadamente los diferentes recursos que sirven de apoyo para la enseñanza de las matemáticas, incluidos los materiales oficiales. En especial, se ha detectado que se ignora tanto la función que tienen algunos recursos (como la calculadora, el material concreto, el juego y los libros de texto) dentro de la enseñanza, como su uso apropiado. Por ejemplo, se piensa que la calculadora no puede contribuir a una mejor comprensión de los conceptos matemáticos; sin embargo, en realidad, un uso adecuado de este instrumento permite a los alumnos construir y reforzar conceptos. Por lo que respecta al material concreto, se le ha sobrevalorado; se considera que su papel es evitar la abstracción propia de las matemáticas y que siempre se debe usar antes del libro de texto; no obstante, el momento más adecuado para usarse depende de la actividad; de hecho, puede utilizarse, por ejemplo, para validar resultados. Asimismo, se piensa que basta con que los juegos sean atractivos y promuevan la competencia para que sean útiles desde el punto de vista didáctico; pero esto no es suficiente para que en realidad promuevan el aprendizaje. Se sugiere retomar el estudio de las actividades "El papel del juego en el aprendizaje de las matemáticas", "La calculadora en la clase" y "Nuestros materiales de trabajo" del capítulo I de la Guía de estudio del taller, así como leer los apartados "Función del libro de texto", "Importancia del material concreto en el aprendizaje de las matemáticas" y "Los juegos matemáticos", del Libro para el maestro. Cuarto grado. También se le invita a que, cuando utilice algunos de estos recursos, reflexione si realmente está promoviendo que los alumnos construyan su conocimiento matemático. De igual manera, es recomendable analizar el propósito, los contenidos y las habilidades que se ponen en juego al trabajar determinada actividad. 13

14 /5/ :28 pm Página 14 La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria El papel del maestro en la enseñanza de las matemáticas Es conveniente que el docente conozca cuál es su función durante el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, y que identifique las acciones más apropiadas para promover un aprendizaje significativo en los alumnos. Particularmente se detectan dificultades para identificar cuáles acciones por parte del profesor promueven realmente un trabajo autónomo de los alumnos. Por ejemplo, se cree que una de las funciones del maestro es supervisar el trabajo para que los alumnos no se equivoquen al resolver un problema o llevar a cabo una actividad. Sin embargo, esto no es recomendable, porque el error que puedan cometer los alumnos forma parte de su proceso de aprendizaje, y se recomienda que ellos mismos lo confronten y lo discutan con sus propios compañeros. Es importante erradicar la costumbre de que siempre ha de ser el maestro quien diga si los procedimientos o resultados son correctos o no; es conveniente devolver esta responsabilidad a los alumnos. Se sugiere leer el apartado "Recomendaciones didácticas generales", del Libro para el maestro. Segundo grado. (en particular, reflexionar sobre cada punto que se enuncia en la parte de "El papel del maestro en la enseñanza de las matemáticas"). Pero, sobre todo, se aconseja que, durante su desempeño en el salón de clases, el profesor reflexione si es promotor o inhibidor del trabajo autónomo de sus alumnos. 14

15 /5/ :28 pm Página 15 La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria El papel de la estimación de resultados en la enseñanza de las matemáticas Es conveniente conocer y reflexionar acerca de la función y la importancia de desarrollar la habilidad para estimar resultados de problemas, operaciones y medidas. En particular, se observan dificultades para reconocer el valor didáctico y la utilidad que tiene el hecho de solicitar a los alumnos que, antes de resolver un problema o una operación, o antes de medir algo, estimen el resultado. Asimismo, no se logra identificar aquellas situaciones que propician el desarrollo de esta habilidad. Por ejemplo, se ignora que la práctica de la estimación permitirá que los alumnos, antes de realizar cualquier cálculo, comprendan el problema y reflexionen sobre la relación entre los datos, o bien, que cuando ellos estiman una magnitud pueden darse una idea del resultado que obtendrán. Esto constituye una herramienta que les permitirá darse cuenta de si el resultado que obtienen en una operación o problema es factible o no. Se sugiere retomar el estudio de la actividad " Como cuánto es?", del capítulo I de la Guía de estudio del taller. Asimismo, leer el texto "Estimación", del libro de Lecturas del mismo taller. Pero, sobre todo, se invita a promover continuamente en los alumnos el desarrollo de la habilidad para estimar el resultado de operaciones, problemas y mediciones. 15

16 /5/ :28 pm Página 16 La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria El papel de los problemas en la enseñanza de las matemáticas Es necesario identificar las características que se recomienda que reúna un problema para que realmente contribuya a la construcción de conocimientos. Se ha detectado que, erróneamente, se considera que es conveniente que los problemas planteados a los alumnos contengan alguna palabra "clave" para ayudarles en la resolución y se favorezca también la construcción del algoritmo convencional. Por ejemplo, se cree que un problema de resta es el que lleva palabras como "perdió", "gastó", "regaló", e incluso son enfatizadas al dictar el problema. No obstante, hay problemas que tienen estas palabras y no necesariamente se resuelven con una resta; por ejemplo: Al terminar el recreo, Dany se quedó con $5. Si durante el recreo se gastó $8, cuánto dinero tenía al comenzar el recreo? Si los niños atribuyen la palabra "clave" (gastó) a la resta y calculan 8 5, no llegarán al resultado correcto. Aquí la palabra "clave" resulta un factor de confusión para los niños que hayan construido la idea de que los problemas de "gastar" siempre se resuelven con una resta. Se sugiere leer la "Introducción" de cualquiera de los libros Lo que cuentan las cuentas de sumar y de restar o Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir (en particular, el apartado "Otras sugerencias para ayudar a los alumnos a trabajar con problemas"). Para dar riqueza al tipo de problemas que plantea a los alumnos, se sugiere leer el apartado "Otras variables que generan una mayor diversidad de situaciones problemáticas", del capítulo III de la Guía de estudio del taller. 16

17 /5/ :28 pm Página 17 Los números naturales y el Sistema Decimal de Numeración Actividades de enseñanza sobre el Sistema Decimal de Numeración Es importante desarrollar la habilidad para analizar las actividades que se plantean a los alumnos, con el fin de determinar si son convenientes o adecuadas para cumplir el fin didáctico que se establece. En particular, se detectan dificultades al identificar el propósito o el contenido matemático principal que se trabaja con un juego o determinada actividad relacionada con el Sistema Decimal de Numeración. Por ejemplo, se piensa que si la actividad involucra el trabajo con unidades y decenas es porque se está trabajando el valor posicional de las cifras y la notación desarrollada, lo cual no siempre es cierto. Existen problemas en los que se busca que los alumnos identifiquen la relación entre los diferentes órdenes, sin que tengan que identificar el valor posicional de cada una de las cifras o escribir el número en notación desarrollada. Algo similar ocurre cuando se trabaja con la descomposición en factores: de inmediato se cree que se está trabajando con los múltiplos de un número, lo cual está implícito, pero no necesariamente constituye el contenido principal. Se sugiere retomar el estudio de las actividades "Nuestros materiales de trabajo", del capítulo I de la Guía de estudio del taller, como ejemplo del tipo de análisis por realizar. No obstante que la identificación de propósitos y contenidos de una actividad es una habilidad que se desarrolla practicándola continuamente, se recomienda que el profesor, cada vez que inicie una actividad con sus alumnos, la analice e identifique estos aspectos. 17

18 /5/ :28 pm Página 18 Los números naturales y el Sistema Decimal de Numeración Secuencias de actividades o problemas para el estudio de los primeros números Es necesario conocer la propuesta y las recomendaciones que se dan en los materiales oficiales sobre la enseñanza y el aprendizaje de los primeros números. En particular, se detectan problemas para comprender la secuencia que se sugiere para este tema, de tal manera que hay dificultades para poder establecer el orden en que conviene presentar o trabajar las actividades de los libros de texto. Por ejemplo, es común que los maestros crean, erróneamente, que después de enseñar los números del 1 al 9 y el cero se enseñe el concepto de decena, y que, a partir de que los alumnos sepan del 1 al 10, y de 10 en 10 al 90, podrán formar cualquier número. También se equivocan al creer que a la enseñanza de la representación numérica del 1 al 9 le sigue la enseñanza de la representación numérica del 11 al 15. En los materiales oficiales, la serie del 11 al 15 se enseña antes del concepto de decena, porque los nombres de estos números no tienen una relación clara con su descomposición en decenas y unidades, como sí la tienen, por ejemplo, el 24 o el 72 (no decimos "diez y tres": decimos "trece"). De ahí que en la propuesta actual se estudian como un bloque completo antes de introducir la decena. Se sugiere retomar el estudio de la actividad "Nuestros materiales de trabajo", del capítulo I de la Guía de estudio del taller, y leer el apartado "Los números, sus relaciones y sus operaciones" en las "Recomendaciones didácticas por eje", del Libro para el Maestro. Primer grado. También es importante identificar las lecciones sobre la enseñanza de los primeros números en el libro del texto de los alumnos, y analizar la secuencia didáctica ahí plasmada. 18

19 /5/ :28 pm Página 19 La suma y la resta Estructura de problemas aditivos Es necesario reflexionar acerca de las variables didácticas que hacen que los problemas aditivos tengan diferente grado de dificultad. En particular, es común considerar que los problemas con números mayores son más difíciles que los que tienen números menores. También se cree, erróneamente, que si los alumnos dominan el algoritmo de la suma o la resta están en posibilidades de resolver cualquier problema que implique alguna de estas operaciones. Por ejemplo, se cree que el problema: Carlos tiene 70 canicas. Jugó y ganó otras 20. Cuántas canicas tiene ahora Carlos?, es más difícil que el problema: Carlos jugó y perdió 5 canicas. Si ahora tiene 12 canicas, cuántas tenía antes de jugar?, lo cual es incorrecto. El segundo problema es más difícil, porque su estructura es más compleja, independientemente del rango numérico que maneja. En el primer problema se trata de encontrar el estado final (la cantidad que se tiene al final); en el segundo problema se trata de encontrar el estado inicial (la cantidad que se tenía al principio) y, aunque mencione la palabra "perdió", uno de los procedimientos para resolverlo es realizar la suma: = 17, de ahí que para los alumnos resulte difícil. Se recomienda trabajar la actividad "Problemas aditivos con distintas estructuras", del capítulo III de la Guía de estudio del taller, en donde se remitirá a la lectura "Problemas fáciles, problemas difíciles", del libro de Lecturas del mismo taller. También es conveniente analizar los problemas aditivos del libro de texto del grado que está trabajando, e identificar su estructura. 19

20 /5/ :28 pm Página 20 La suma y la resta Estrategias didácticas para erradicar concepciones erróneas de los alumnos Es de suma importancia conocer estrategias adecuadas para lograr que los alumnos abandonen las concepciones erróneas que tienen con respecto a la suma y a la resta. Es común pensar que cuando los alumnos se equivocan al sumar o restar, basta con explicarles nuevamente el procedimiento para erradicar el error. En general, se desconocen otras estrategias, como el planteamiento de contraejemplos, el uso de material concreto para verificar resultados, la confrontación y validación por parte de otros compañeros, y la continua práctica de la estimación para que el alumno detecte cuando un resultado es ilógico. Por ejemplo, cuando un alumno pasa a mostrar a sus compañeros un procedimiento erróneo y los convence de que es correcto, no es muy recomendable que el maestro invalide directamente el procedimiento y les explique un procedimiento correcto. Resulta más significativo para los alumnos si plantea un ejemplo en el que el procedimiento equivocado arroje un resultado visiblemente erróneo, y sean ellos mismos quienes se den cuenta del error cometido. Se recomienda leer los apartados "El papel del maestro en la enseñanza de las matemáticas" y "Los errores en la resolución de problemas", de las "Recomendaciones didácticas generales" del Libro para el maestro. Segundo grado. También es aconsejable que, cuando algunos de sus alumnos cometan errores, el docente trate de aplicar las estrategias sugeridas en los materiales de apoyo, y que sólo recurra a la explicación directa cuando dichas estrategias no hayan sido suficientes. 20

21 /5/ :28 pm Página 21 La suma y la resta Problemas que impliquen la suma y la resta y diversos algoritmos de estas operaciones Es conveniente resolver diversas situaciones problemáticas que involucren la suma y la resta, profundizar en el estudio de los algoritmos convencionales y no convencionales para sumar y restar, y comprender que los principios del sistema decimal de numeración son la base de cada uno de los pasos del algoritmo. Es muy común que los errores, al resolver problemas aditivos, consistan en no considerar adecuadamente todos los datos implicados en el problema, más que en las operaciones mismas. Por otro lado, no se ha reflexionado en los fundamentos de cada uno de los pasos de los algoritmos convencionales o no convencionales para sumar y restar, sobre todo en la comprensión del valor posicional de las cifras (unidades, decenas, centenas, etc.). Por ejemplo, el algoritmo convencional de la suma indica que se debe iniciar sumando unidades, después decenas y así sucesivamente. Sin embargo, en una suma con números de tres cifras, es posible iniciar por las centenas, luego las decenas y al final las unidades, siempre y cuando se respete el valor posicional de las cifras. Se sugiere estudiar la actividad "Los procedimientos para sumar y restar", del capítulo III de la Guía de estudio del taller, así como resolver las lecciones de los libros de texto de quinto y sexto grados que trabajan la resolución de problemas aditivos y, de ser posible, revisar el libro Lo que cuentan las cuentas de sumar y de restar. 21

22 /5/ :28 pm Página 22 La suma y la resta Secuencias de actividades o problemas para el estudio de la suma y la resta Es conveniente desarrollar la habilidad para ordenar secuencias de actividades o problemas que se refieran a la enseñanza y aprendizaje de la suma y la resta, de acuerdo con las recomendaciones didácticas que se dan para estos contenidos en los materiales de apoyo. En particular, se piensa, erróneamente, que todo lo relacionado con la resta es más difícil que la suma, y suelen ordenarse situaciones didácticas según este criterio. Por ejemplo, ante dos situaciones, una de suma y otra de resta, no se presta atención a otras variables didácticas, como el uso de material o gráficos, la magnitud de los números, la estructura de los problemas, etc., sino que se piensa que la situación de resta debe ir después de la situación de suma. No obstante, hay varias situaciones de resta que pueden resultar más fáciles que alguna de suma. Se sugiere repasar la actividad "Nuestros materiales de trabajo", del tema I del capítulo III de la Guía de estudio del taller, así como analizar las secuencias didácticas relacionadas con la suma y la resta de números naturales planteadas en los libros de texto (en particular, los de primero y segundo grados, en donde hay más lecciones dedicadas al trabajo con estas operaciones). 22

23 /5/ :28 pm Página 23 La multiplicación y la división Errores al resolver problemas de multiplicación o división. Estrategias más adecuadas para erradicarlos Es conveniente desarrollar tanto la habilidad para reconocer los errores que los alumnos suelen cometer al resolver las operaciones de multiplicación o división o problemas que involucran estas operaciones, así como posibles estrategias didácticas para el tratamiento de estos errores. Es muy común creer que la mayoría de los errores que cometen los alumnos al resolver una multiplicación o división, se debe sólo a que tienen un dominio limitado del valor posicional de las cifras. Si bien es cierto que el entendimiento de este concepto matemático es una condición necesaria pero no suficiente para abordar las operaciones básicas, también lo es el hecho de que dentro de los algoritmos de estas operaciones existen otros aspectos que desempeñan un papel muy importante, como el saber interpretar correctamente el resultado al resolverlas. Por ejemplo, dentro de la secuencia didáctica para abordar el algoritmo de la multiplicación por dos cifras, se plantea el uso de arreglos rectangulares como una práctica previa al algoritmo convencional. El uso de estos arreglos es conveniente porque permite al alumno comprender algunos pasos que conforman el algoritmo de esta operación, como el dejar un espacio en blanco al multiplicar por decenas. Se sugiere leer los apartados "El papel del maestro en la enseñanza de las matemáticas" y "Los errores en la resolución de problemas", de las "Recomendaciones didácticas generales" del Libro para el maestro. Segundo grado. También es aconsejable que, cuando algunos de sus alumnos cometan errores, el docente trate de aplicar las estrategias sugeridas en los materiales de apoyo, y que sólo recurra a la explicación directa cuando dichas estrategias no hayan sido suficientes. 23

24 /5/ :28 pm Página 24 La multiplicación y la división Actividades y problemas para el estudio de la división Es necesario desarrollar la habilidad para ordenar una secuencia de actividades o problemas que se refieran a la enseñanza y aprendizaje de la división, así como reconocer los tipos de problemas que pueden ayudar a la construcción del algoritmo convencional. En particular, se desconoce que, al resolver cierto tipo de problemas de división, los alumnos pueden utilizar procedimientos informales y que éstos desempeñan un papel importante, ya que ocupan un lugar dentro de la secuencia de enseñanza, permiten a los niños dar significado a la operación y son el antecedente del procedimiento formal (en este caso, el algoritmo de la división). Por ejemplo, ante un problema tasativo, como: Se va a formar montones de 4 naranjas. Si se tienen 20 naranjas, cuántos montones se harán?, un procedimiento informal que usarán los alumnos es la suma iterada ( ), y este procedimiento surge de manera natural antes de que a los niños se les ocurra utilizar el cuadro de multiplicaciones. Por ello, dentro de una secuencia didáctica para la construcción del algoritmo de la división, el uso de procedimientos propios antecede al uso del cuadro de multiplicaciones. Se sugiere revisar: la secuencia didáctica para la enseñanza de la división plasmada en el libro Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir, la actividad "Del conteo a las cuentas", del capítulo IV de la Guía de estudio del taller, y en los libros de texto de primero a cuarto grados, las lecciones dedicadas al estudio de esta operación. 24

25 /5/ :28 pm Página 25 La multiplicación y la división Resolución de problemas de multiplicación y división Es necesario resolver problemas que impliquen las operaciones de multiplicar y dividir interpretando adecuadamente el resultado; asimismo, es importante reconocer las relaciones que existen entre los elementos de estas operaciones. Hay dificultades porque se piensa que, cuando se plantea un problema de división, el resultado es siempre el cociente tal y como aparece en la operación; sin embargo, en ocasiones se debe considerar el residuo o, incluso, éste podría ser el resultado del problema. Por otro lado, también se detectan dificultades para reconocer que el dividendo equivale al producto del cociente por el divisor más el residuo, o que la parte decimal de un cociente, multiplicada por el divisor, equivale al residuo de la división si al resolver la división no se obtienen decimales. Por ejemplo, el problema: En una escuela, 135 alumnos se van de excursión. Van a contratar autobuses para 40 pasajeros. Cuántos autobuses deben contratar?, puede resolverse con una división cuyo cociente es 3 y el residuo es 15 (obsérvese que el residuo implica que, en lugar de contratar 3 autobuses, se necesitan 4). Asimismo, existen problemas que se simplifican si se conocen las relaciones entre los elementos de la división; por ejemplo: Al resolver en una calculadora la división entre 25, en la pantalla aparece Si sólo se obtiene la parte entera del resultado, cuál es el residuo de esta división?, el residuo de la división se obtiene multiplicando 0.12 por 25. Se sugiere resolver la actividad " Qué nos sobra?", del capítulo III de la Guía de estudio del taller, y las lecciones de los libros de texto de quinto y sexto grados, referentes a la multiplicación y la división de enteros y decimales. 25

26 /5/ :28 pm Página 26 Geometría Análisis de situaciones de aprendizaje relacionadas con la geometría Es necesario desarrollar la habilidad para identificar los contenidos que se trabajan en una actividad y para ordenar una secuencia didáctica de situaciones de geometría. En especial, se detectan dificultades para reconocer los contenidos específicos que se trabajan en una construcción geométrica y para ordenar una serie de actividades en las que el alumno desarrolle la imaginación espacial relacionada con la simetría de las figuras. Por ejemplo, se cree, equivocadamente, que para el trazo de una figura que está formada sólo por cuadrados, es más importante saber el tipo de cuadrilátero que las características que distinguen a esa figura, como igualdad, paralelismo y perpendicularidad de sus lados. Asimismo, se piensa que reproducir un proceso de dobleces y cortes para obtener una figura simétrica, es más difícil que sólo imaginar si con dobleces y cortes puede obtenerse cierta figura, cuando en realidad no siempre es así, pues depende de otras variables, como la figura en sí misma, el número de dobleces, la posición, etcétera. Se recomienda estudiar nuevamente el tema "Simetría", y las actividades "Clasificando cuadriláteros " y "Los cuadriláteros y sus diagonales", de la Guía de estudio del taller. Pero, sobre todo, se invita a hacer una costumbre el hecho de analizar las actividades que propone a los alumnos, identificando los propósitos, los contenidos y el orden más adecuado para trabajarlas. 26

27 /5/ :28 pm Página 27 Geometría Imaginación espacial, figuras y cuerpos geométricos Es importante desarrollar la imaginación espacial, e identificar las principales características de figuras y cuerpos geométricos y su aplicación en la resolución de problemas. En particular, existen dificultades para identificar los criterios de clasificación y nombres de algunas figuras geométricas, así como para imaginarse mentalmente o reconocer la plantilla con que se puede armar determinado cuerpo geométrico. Se piensa que, para armar un cuerpo geométrico, existe sólo una forma de hacer el desarrollo plano o plantilla y no se considera que puede haber otras poco comunes. Para muchos docentes es difícil imaginar que con el siguiente desarrollo es posible armar un cubo debido a su poco parecido con la plantilla convencional. Se recomienda trabajar de nuevo las actividades 1 y 2 del tema "Los poliedros", y las actividades 2 y 3 del tema "Triángulos y cuadriláteros", de la Guía de estudio del taller. También se sugiere revisar las lecciones sobre imaginación espacial con cuerpos geométricos, que se trabajan en los libros de texto desde el segundo hasta el sexto grados y las referentes a los cuadriláteros. 27

28 /5/ :28 pm Página 28 Geometría Las alturas de un triángulo Es necesario identificar correctamente las tres alturas de un triángulo. En particular, se tiene una concepción errónea de lo que es la altura de un triángulo. Se piensa que el triángulo tiene sólo la altura correspondiente al lado sobre el que parece apoyarse y se cree que ésta siempre es vertical. Por ejemplo, si observamos el siguiente triángulo, es común que se piense que la línea discontinua es la altura de este triángulo por el simple hecho de estar vertical, lo cual es un error. Se olvida que la altura se define como: la perpendicular que va del vértice al lado opuesto o a su prolongación. Como el triángulo tiene tres vértices con sus correspondientes lados opuestos, entonces tiene tres alturas. En el siguiente triángulo se han marcado correctamente, con líneas discontinuas y la letra a, las tres alturas; obsérvese que pueden estar en cualquier posición y, a veces, fuera del triángulo. a a a Se sugiere estudiar la actividad "Triángulos y alturas", del capítulo V de la Guía de estudio del taller, y resolver la lección "Acerca de las alturas", del bloque 4 del Libro de texto. Cuarto grado, y la lección "Triángulos y rectángulos" del Libro de texto. Quinto grado. 28

29 /5/ :28 pm Página 29 Geometría Los errores en la clase de geometría y su tratamiento didáctico Es importante identificar las concepciones geométricas erróneas que tienen los alumnos y las estrategias didácticas más recomendables para erradicarlas. En particular, se detectan dificultades relacionadas con el manejo de las ideas erróneas que tienen los alumnos acerca de los ángulos y las alturas de un triángulo (en específico, de un triángulo obtusángulo). Por ejemplo, se cree que, para que el alumno comprenda que la medida de un ángulo no depende de la medida de los lados, es necesario que se analicen conceptos como ángulo recto, cuando lo primordial es que el alumno construya el concepto de ángulo como giro. Por otro lado, se piensa que la dificultad de un alumno para identificar las alturas de un triángulo obtusángulo radica en que no ha identificado el ángulo obtuso, cuando en realidad es mucho más importante repasar el trazo de la perpendicular de un punto a un lado del triángulo (o a su prolongación), porque de este trazo depende la correcta identificación de la altura. Se recomienda revisar las actividades "Triángulos y alturas" (capítulo V) y "Nuestros materiales de trabajo" (del tema 4 del capítulo VI) de la Guía de estudio del taller, y el apartado "Ángulos", del Libro para el maestro. Cuarto grado. 29

30 /5/ :28 pm Página 30 Geometría Resolución de problemas geométricos Es necesario resolver problemas que impliquen el uso adecuado de las propiedades y características de figuras geométricas. En particular, se detectan dificultades en el manejo de ángulos y de las propiedades de figuras como el triángulo, el romboide y el círculo y, en especial, con su construcción y los criterios que las caracterizan. Por ejemplo, los ángulos obtusos son aquellos que miden más de 90º pero menos de 180º, y es común que ante un ángulo de este tipo no se tomen en cuenta las condiciones que permitirán determinar su medida exacta y sólo se haga una estimación del mismo, o bien, que en figuras como los romboides no se distinga que éstos se diferencian de los rectángulos precisamente por tener dos ángulos obtusos y dos agudos, en lugar de cuatro ángulos rectos. ángulo obtuso También se tiene la falsa idea de que los pasos de una construcción son únicos y no pueden variar, cuando en realidad pueden existir varios procesos de construcción, y dentro de un mismo proceso es importante identificar aquellos pasos que son esenciales bajo ciertas condiciones para obtener la figura deseada. Se sugiere revisar las actividades "Clasificando cuadriláteros" y "Los cuadriláteros y sus diagonales", de la Guía de estudio del taller. También es recomendable identificar y resolver las lecciones de los libros de texto de quinto y sexto grados, en que se trabajan construcciones geométricas, y las del libro de cuarto grado, que se refieren al tema de ángulos. 30

31 /5/ :28 pm Página 31 Medición Análisis de situaciones y secuencias didácticas para la enseñanza y el aprendizaje de la longitud Es importante identificar los propósitos de las actividades en donde se trabaja la longitud, y reconocer la secuencia didáctica propuesta en los materiales de trabajo para la enseñanza de esta magnitud: percepción, comparación directa o con un intermediario, y medición con unidades no convencionales y convencionales. En particular, se detecta cierta confusión entre lo que es medir con unidades arbitrarias y comparar con un intermediario; ambos tipos de actividades forman parte de la secuencia didáctica marcada en el programa, y que está plasmada de manera concreta en los libros de texto y los ficheros de actividades. También hay dificultades para identificar qué etapa de esa secuencia didáctica se trabaja en determinadas actividades. Por ejemplo, se cree que si para decidir cuál segmento es mayor que otro se usa un objeto, ese objeto es una unidad no convencional. Esto no siempre es correcto; si sólo se compara sin decir una medida, realmente no se está midiendo con unidades no convencionales, sino que se está comparando con ayuda de un intermediario. En la comparación directa o con un intermediario no necesariamente tiene que darse una medida (un número); en cambio, en la medición con unidades no convencionales o convencionales se da una medida (la tira mide 5 lápices, el segmento mide 3 centímetros, etc.). Se sugiere leer el texto "Sistemas decimales de medición", del libro de Lecturas del taller. Asimismo, se aconseja identificar las lecciones sobre longitud, de los libros de texto de los primeros tres grados, e identificar en ellas la secuencia didáctica propuesta en el texto que se sugiere líneas arriba. 31

32 /5/ :29 pm Página 32 Medición Resolución de problemas que implican la medida y el cálculo del volumen y la capacidad de objetos Por su uso en las matemáticas, en otras ciencias y en la vida cotidiana, es importante resolver problemas que involucren el cálculo de volúmenes y capacidades, tanto si se dan dimensiones como si, de manera implícita, se dan ciertos datos para inferir la medida que se pide. En específico, se detectan dificultades para establecer las relaciones y equivalencias entre las medidas de capacidad y las de volumen, y para calcular el volumen de un cuerpo con determinadas características. Por ejemplo, no se tiene claro que 1 dm 3 equivale a un litro; de ahí que, cuando se piden las dimensiones para un recipiente que tenga una capacidad determinada (100 litros, 1000 litros, etc.), no se pueden calcular correctamente tales dimensiones. Por lo regular se piensa, erróneamente, que un metro cúbico equivale a un litro, cuando en realidad equivale a 1000 litros. Se sugiere retomar el estudio del tema "La capacidad y el volumen", del capítulo VI de la Guía de estudio del taller, así como identificar y resolver las lecciones que traten estas magnitudes en los libros de texto de quinto y sexto grados. 32

33 /5/ :29 pm Página 33 Medición Errores ante problemas de medición Es importante desarrollar la habilidad para reconocer los errores conceptuales que tienen los alumnos, relacionados con la medición, así como identificar sus posibles causas. En particular, es común que los maestros no estén acostumbrados a analizar las respuestas de los alumnos. En ocasiones, una respuesta incorrecta no se debe sólo a un mal manejo de procedimientos convencionales o fórmulas; muchas veces, los errores tienen que ver con ideas equivocadas sobre un concepto. Por ejemplo, ante problemas de estimar medidas, se piensa que el conocimiento y uso de fórmulas es indispensable para resolverlos. Si el alumno no puede resolver un problema de estimación de una magnitud, cómo el área, es posible que aun cuando conozca un procedimiento o fórmula para calcularla, no tenga idea del tamaño de las unidades de medida que está manejando, y esto puede conducirlo fácilmente a cometer un error. Se sugiere desarrollar la habilidad para observar continuamente a los alumnos, identificar los errores que cometen, tratar de comprender o hallar las causas de esos errores y emprender estrategias adecuadas para que los alumnos abandonen tales concepciones erróneas. 33

34 /5/ :29 pm Página 34 Medición Resolución de problemas que impliquen las magnitudes longitud, área y peso Es necesario resolver diversos problemas en donde se empleen el cálculo y la medición de longitudes, áreas y el peso de objetos. En particular, se detectan dificultades para el cálculo indirecto de estas magnitudes, es decir, hacer inferencias a partir de ciertos datos que se dan de manera implícita y de ellos deducir la medida que se pide. Por ejemplo, se puede calcular el área de un triángulo sin saber las medidas de su base y su altura, siempre y cuando se tengan algunas condiciones que permiten inferir el área pedida; tal es el caso cuando el triángulo forma parte de una superficie mayor y se sabe el área de esta última y la parte que el triángulo forma de ella. Se recomienda resolver las actividades "Tres cuartas y una goma", "Cuadros chicos y grandes", "Las formas se transforman", "Balanzas y básculas", de la Guía de estudio del taller, así como identificar y resolver algunas lecciones que traten los temas de longitudes, áreas y peso en los libros texto de quinto y sexto grados. 34

35 /5/ :29 pm Página 35 Bibliografía BLOCK, DAVID et al., Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir, Libros del Rincón, SEP, México, FUENLABRADA, IRMA et al., Lo que cuentan las cuentas de sumar y de restar, Libros del Rincón, SEP, México, Secretaría de Educación Pública, La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Primera parte. Taller para maestros. Guía de estudio, SEP- PRONAP, México, 1995., La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Primera parte. Taller para maestros. Lecturas, SEP-PRONAP, México, 1995., Libro de texto. Matemáticas. Cuarto grado, SEP, México, 2002., Libro de texto. Matemáticas. Primer grado, SEP, México, 2004., Libro de texto. Matemáticas. Quinto grado, SEP, México, 2002., Libro de texto. Matemáticas. Segundo grado, SEP, México, 1997., Libro de texto. Matemáticas. Sexto grado, SEP, México, 2003., Libro de texto. Matemáticas. Tercer grado, SEP, México, 2002., Libro para el maestro. Matemáticas. Cuarto grado, SEP, México, 2002., Libro para el maestro. Matemáticas. Primer grado, SEP, México, 2002., Libro para el maestro. Matemáticas. Quinto grado, SEP, México, 2002., Libro para el maestro. Matemáticas. Segundo grado, SEP, México, 2002., Libro para el maestro. Matemáticas. Sexto grado, SEP, México, 2003., Libro para el maestro. Matemáticas. Tercer grado, SEP, México, 2002., Plan y programas de estudio. Educación básica. Primaria, SEP, México,

36 /5/ :29 pm Página 36 Cuadernillo de diagnóstico personalizado Elementos para la detección de necesidades de formación continua La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria Primera parte Se imprimió por encargo de la Comisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos, en los talleres de El tiro fue de ejemplares