Modelos Matemáticos para el juego de El Gran DT

Transcripción

1 Modelos Matemáticos para el juego de El Gran DT F. Bonomo 1,2, G. Durán 2,3,4 y J. Marenco 1,5 1 Departamento de Computación, FCEyN, UBA 2 CONICET 3 Departamento de Matemática, FCEyN, UBA 4 Departamento de Ingeniería Industrial, FCFM, Universidad de Chile 5 Instituto de Ciencias, Universidad Nacional de General Sarmiento Diciembre de 2010

2 Descripción del juego Cada participante debe armar un equipo, con los jugadores del fútbol argentino, compuesto por 11 titulares y 4 suplentes. Dentro de los 11 titulares, se pueden armar 3 tácticas diferentes: 1 arquero, 4 defensores, 4 volantes y 2 delanteros (la única que existía hasta hace 2 campeonatos); ; o Los 4 suplentes son un arquero, un defensor, un volante y un delantero. Sólo son considerados para el juego en una determinada fecha si alguno de sus respectivos titulares no juega. Cada jugador tiene un valor monetario, que va de los $ (los que aún no debutaron en primera) hasta $ (Verón). Los equipos no pueden superar los 60 millones de pesos (por la mitad de este torneo se subió este valor a 65 millones).

3 Descripción del juego No puede haber más que 3 jugadores del mismo club en un equipo. Cada jugador titular suma o resta puntos en cada fecha por criterios subjetivos (la nota que le pone el diario, o si es catalogado como la figura de la cancha) y objetivos (si convierte goles, si no le convierten, si es expulsado, si es amonestado). Fecha a fecha se pueden cambiar titulares por suplentes de manera ilimitada y se pueden realizar hasta 4 transferencias (reemplazos donde se incorpora a un jugador que no pertenecía al equipo y se retira a uno que sí pertenecía).

4 Presentamos en esta charla diversas propuestas de modelos de optimización combinatoria para resolver problemas asociados con el juego de El Gran DT. La resolución de este tipo de modelos permite hallar una combinación óptima para problemas que involucran una cantidad predeterminada de opciones sujeta a ciertas restricciones (en este caso, el armado de un equipo con restricciones de presupuesto, cantidad de jugadores por equipo, etc.).

5 A continuación, presentamos una serie de modelos, que se encuentran clasificados en dos categorías. Los modelos a posteriori (descriptivos) se ejecutan al finalizar el campeonato (también podrían ejecutarse después de cada fecha), y permiten encontrar equipos óptimos de acuerdo con los resultados de todo el torneo (es decir, trabajan una vez conocidos los puntajes obtenidos por cada jugador). Los modelos a priori (prescriptivos) se ejecutan antes del inicio del campeonato y de cada fecha, y permiten generar equipos robustos con la información que se dispone de cada jugador.

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7 Modelo 1: Equipo fijo óptimo de titulares. Los 11 mejores titulares respetando las restricciones del juego. Se consideran sólo titulares, sólo se guardan $ para 4 suplentes de $ (pero a los efectos del puntaje sólo se consideran los titulares).

8 Modelo 1: Equipo fijo óptimo de titulares. E: equipos; J: jugadores; P: posiciones; x[j] binaria: x[i] = 1 es titular parámetros: equipo[j], posicion[j], precio[j], puntaje[j] (acumulado total) cant[p] (cantidad de titulares por posición) máx i J puntaje[i]x[i] s.a. i J precio[i]x[i] 58,800,000 i J:equipo[i]=e x[i] 3 e E x[i] = cant[p] p P i J:posicion[i]=p

9 Modelo 2: Equipo fijo óptimo con suplentes. Los suplentes sólo juegan cuando algún titular correspondiente no jugó.

10 Modelo 2: Equipo fijo óptimo con suplentes. Variables y parámetros: E: equipos; J: jugadores; P: posiciones; F : fechas; x[j] binaria: x[i] = 1 es titular y[j] binaria: y[i] = 1 es suplente pt[p F ] real: pt[p, k] = puntos del suplente en la posición p en la fecha k parámetros: equipo[j], posicion[j], precio[j], puntaje[j F ], juega[j F ], M[P F ] M[p, k] = máx j J:posicion[j]=p and juega[j,k]=1 puntaje[j, k] cant[p] (cantidad de titulares por posición)

11 Modelo 2: Equipo fijo óptimo con suplentes. s.a. máx i,k J F puntaje[i, k]x[i] + pt[p, k] p,k P F precio[i](x[i] + y[i]) i J 60,000,000 i J:equipo[i]=e x[i] + y[i] 3 e E i J:posicion[i]=p x[i] = cant[p] p P i J:posicion[i]=p y[i] = 1 p P ( j J:posicion[j]=p and juega[j,k]=0 x[j])m[p, k] pt[p, k] p, k P F puntaje[j, k]y[j] pt[p, k] p, k P F j J:posicion[j]=p

12 Modelo 3: Equipo fijo óptimo con suplentes y usando cambios. En cada fecha se determina qué cambios se realizan (o sea, quiénes son titulares y quiénes son suplentes). Variables y parámetros: E: equipos; J: jugadores; P: posiciones; F : fechas; F : fechas desde la segunda. x[j F ] binaria: x[i, k] = 1 juega de titular en la fecha k y[j F ] binaria: y[i, k] = 1 juega de suplente en la fecha k parámetros: equipo[j], posicion[j], precio[j], puntaje[j F ] cant[p] (cantidad de titulares por posición)

13 Modelo 3: Equipo fijo óptimo con suplentes y usando cambios. s.a. máx i,k J F puntaje[i, k]x[i, k] x[i, k] + y[i, k] 1 i, k J F precio[i](x[i, k] + y[i, k]) 60,000,000 k F i J i J:equipo[i]=e x[i, k] + y[i, k] 3 e, k E F i J:posicion[i]=p x[i, k] = cant[p] p, k P F i J:posicion[i]=p y[i, k] = 1 p, k P F x[i, k] + y[i, k] x[i, k 1] y[i, k 1] = 0 i, k J F

14 Modelo 4: Equipo perfecto. Equipo fijo óptimo con suplentes, usando cambios y las 3 transferencias permitidas por el reglamento. En cada fecha se determina qué transferencias se realizan, quiénes son titulares y quiénes son suplentes.

15 Modelo 4: Equipo perfecto. Variables y parámetros: E: equipos; J: jugadores; P: posiciones; F : fechas; F : fechas desde la segunda. x[j F ] binaria: x[i, k] = 1 juega de titular en la fecha k y[j F ] binaria: y[i, k] = 1 juega de suplente en la fecha k z[j F ] binaria: z[i, k] = 1 es jugador nuevo a partir de la fecha k parámetros: equipo[j], posicion[j], precio[j], puntaje[j F ] cant[p] (cantidad de titulares por posición)

16 Modelo 4: Equipo perfecto. s.a. máx i,k J F puntaje[i, k]x[i, k] x[i, k] + y[i, k] 1 i, k J F precio[i](x[i, k] + y[i, k]) i J 60,000,000 k F i J:equipo[i]=e x[i, k] + y[i, k] 3 e, k E F i J:posicion[i]=p x[i, k] = cant[p] p, k P F i J:posicion[i]=p y[i, k] = 1 p, k P F x[i, k] + y[i, k] x[i, k 1] y[i, k 1] z[i, k] i, k J F x[i, k] + y[i, k] z[i, k] i, k J F 1 (x[i, k 1] + y[i, k 1]) z[i, k] i, k J F i J z[i, k] 3 k F

17 Resultados Gran DT Clausura 2009 Equipo óptimo Modelo 2

18 Resultados Gran DT Clausura 2009 Modelo Puntaje Tiempo Ganador GranDT 1279? Modelo seg Modelo hs Modelo seg Modelo min

19 Resultados Gran DT Apertura 2009 Modelo Puntaje Tiempo Ganador GranDT 1375? Modelo seg Modelo min Modelo seg Modelo hs.

20 Resultados Gran DT Clausura 2010 Modelo Puntaje Tiempo Ganador GranDT 1227? Modelo seg Modelo min Modelo seg Modelo min

21 Resultados Gran DT Apertura 2010 Modelo Puntaje Tiempo Ganador GranDT 1394? Modelo seg Modelo min Modelo seg Modelo min

22 Prensa Equipo Perfecto 2008: 2068 puntos (gap 0,16 % después de 12hs) Ganador GranDT 2008 (Martin Yelen): 1307 puntos

23 Prensa Equipo Perfecto Clausura 2009: 1990 puntos Ganador GranDT Clausura 2009 (Leonardo Varas) 1279 puntos

24 Descripcio n del juego Prensa Equipo Perfecto Apertura 2009: 2173 puntos Ganador GranDT Apertura 2009 (Lucı a Zanel) 1375 puntos

25 Prensa Equipo Perfecto Clausura 2010: 2027 puntos Ganador GranDT Clausura 2010 (Alberto Wul) 1227 puntos

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27 Sobre la composición del equipo Diseñamos un modelo que dados los puntajes estimados que aportaría cada futbolista por fecha (estimación que debe hacer el usuario), arma el equipo óptimo teniendo en cuenta las restricciones del juego. Generamos un índice por jugador, ponderando 50 % al promedio del campeonato pasado, y 50 % a las fechas jugadas hasta el momento (3 al inicio del juego). Buscamos maximizar el índice del equipo sujeto a cumplir con las condiciones del juego.

28 Modelo Variables y parámetros: E: equipos; J: jugadores; P: posiciones x[j] binaria: x[i] = 1 juega de titular y[j] binaria: y[i] = 1 juega de suplente parámetros: equipo[j], posicion[j], precio[j], indice[j] cantmax[p], cantmin[p] (cantidad máxima y mínima de titulares por posición)

29 Modelo máx i J indice[i]x[i] + 0, 1indice[i]y[i] s.a. i J x[i] + y[i] 1 i J precio[i](x[i] + y[i]) 60,000,000 x[i] + y[i] 3 e E i J:posicion[i]=p x[i] cantmax[p] p P i J:posicion[i]=p x[i] cantmin[p] p P i J x[i] = 11 y[i] = 1 p P i J:equipo[i]=e i J:posicion[i]=p

30 Cómo hacer las transferencias y los cambios fecha a fecha? Actualizamos el índice de los jugadores con los resultados de la fecha que acaba de terminar. Sumamos un 2 % a la ponderación del torneo actual (48-52; 46-54, etc). Maximizamos el índice del equipo sujeto a la realización de las 3 transferencias. Observación: Corremos el modelo varias veces para conseguir varios sets de transferencias. Se elige a través del juicio experto del usuario. Se pueden incluir otros escenarios, por ejemplo, cómo hago para incluir a determinado jugador?

31 Modelo Variables y parámetros: E: equipos; J: jugadores; P: posiciones x[j] binaria: x[i] = 1 juega de titular y[j] binaria: y[i] = 1 juega de suplente parámetros: equipo[j], posicion[j], precio[j], indice[j] cantmax[p], cantmin[p] (cantidad máxima y mínima de titulares por posición) Equi1 (equipo actual)

32 Modelo máx i J indice[i]x[i] + 0, 1indice[i]y[i] s.a. i J x[i] + y[i] 1 i J precio[i](x[i] + y[i]) 60,000,000 x[i] + y[i] 3 e E i J:posicion[i]=p x[i] cantmax[p] p P i J:posicion[i]=p x[i] cantmin[p] p P i J x[i] = 11 i J:posicion[i]=p y[i] = 1 p P x[i] + y[i] 11 i J:equipo[i]=e iinequi1

33 Equipo inicial Apertura 2009

34 Equipo (Tercera fecha GDT)

35 Cómo le fue al modelo en el Apertura 2009? Fecha Predicción Puntaje Real 4 97, , , , , , , , , , , , , , , ,66 74 Total 1355,

36 Cómo le fue al modelo en el Apertura 2009? Posición del modelo en el torneo: Puntaje del primero: 1375 Posición que hubiera tenido el modelo de tener los puntos de la predicción: 7 Cantidad de jugadores:

37 En qué trabajamos para ajustar las predicciones? Queremos conseguir una predicción de los puntajes futuros de los jugadores más ajustada a la realidad (no usar una mera ponderación de los promedios de los últimos campeonatos). Si consiguiéramos estas predicciones más ajustadas, a partir de ahí podemos aplicar nuestro modelo de optimización. Buscamos identificar qué factores influyen en la actuación de un jugador en el próximo partido: sus últimas actuaciones; es local o visitante; a quién enfrenta; en qué estadio juega; juega Copa la semana anterior o posterior; juega un clásico; qué táctica usa el entrenador. El desafío pasa por usar estas covariables para predecir la variable aleatoria que representa al puntaje de cada jugador.

38 Cuáles de estas ideas fueron implementadas en el Clausura 2010? La actuación en el torneo anterior tiene menos peso que la que el jugador tiene en el torneo actual. Factor de ponderación del índice de cada jugador de acuerdo a si el equipo que integra es local o visitante (1,1 para los locales; 0,9 para los visitantes). Factor de ponderación del índice de cada jugador de acuerdo a la posición en la tabla del equipo que enfrenta el equipo que integra (0,9 para los 5 primeros; 1 para los del medio; 1,1 para los 5 últimos). Implementamos un equipo random para compararlo con el equipo del modelo.

39 Cómo le fue al modelo en el Clausura 2010? Fecha Predicción Puntaje Real 5 97, , , , , , , , , , , , , , ,68 88 Total 1353,

40 Cómo le fue al modelo en el Clausura 2010? Posición del modelo en el torneo: (en el 1 % mejor de la competencia) Puntaje del primero: 1227 Posición que hubiera tenido el modelo de tener los puntos de la predicción: 1 Puntaje del equipo random: 899 (posición ). Cantidad de jugadores:

41 Qué hicimos para el Apertura 2010? Usamos un modelo de predicciones similar al del campeonato anterior. Ajustamos con más detalle el índice de ponderación que considera al rival en cada partido (ya no es lo mismo enfrentar al primero que al quinto, por ejemplo). Consideramos no sólo los promedios de las actuaciones de los jugadores, sino también las varianzas (preferimos elegir jugadores más estables ). En las últimas fechas ponemos un ponderador por definición del torneo, esto quiere decir que se les sube un poco el índice global de cada jugador, a aquellos jugadores de equipos que juegan por algo importante (definición del campeonato, clasificación a la Copa). Las 4 transferencias que permite ahora el juego (antes eran 3) le da al modelo la posibilidad de explorar muchas más posibilidades de mejorar al equipo fecha a fecha. Cómo le fue?

42 Notables mejoras en predicciones y puntajes Fecha Predicción Puntaje Real 4 89, , , , , , , , , , , , , , , ,56 85 Total 1531,

43 Y cómo le fue en el torneo? Posición del modelo en el torneo con sus 1322 puntos: 643 (con jugadores!!!) Puntaje del primero: 1394 Posición que hubiera tenido el modelo de tener los puntos de la predicción: 1 Posición del modelo en la ciudad de Buenos Aires: 127 Posición del modelo en Villa Urquiza: 3 Posición del modelo entre los menores de 12 años (juega con el nombre de mi hija!!): 7

44 Problemas similares en la industria Planificación de la producción con demanda incierta. Si conociéramos la demanda podemos aplicar los modelos de optimización a posteriori. Pero si no la conocemos debemos analizar los históricos de demanda, y aplicar alĺı los modelos a priori (algo similar a lo que ocurre con las actuaciones históricas de los jugadores de fútbol). Otra aplicación similar: Finanzas. Definición de una cartera de acciones en función de comportamientos históricos de las acciones de diferentes empresas.