Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana UOM, 2013

Transcripción

1 Matemàtiques aplicades a la vida quotidiana Mercè Llabrés UOM, 2013

2 L aritmètica del rellotge: els codis de control 2 de 28

3 L aritmètica del rellotge 3 de 28

4 L aritme tica del calendari Si consideram els dies de la setmana, si estam a divendres i passen 3 dies, on estarem? Si miram els numerets d abaix resulta que 5+3=1 4 de 28

5 Aritmètica modular Fixem enter N > 1: Congruències a, b Z congruent mòdul N si N a b o, equivalentment si el residu de dividir a i b per N és el mateix Notació: a b (mod N) Exemple 53 5 (mod 8) 42 9 (mod 11) 5 de 28

6 Exemple Prenem N = 6; aleshores Z 6 té 6 elements: [0] = {..., 6, 0, 6, 12,... } [1] = {..., 5, 1, 7, 13,... } [2] = {..., 4, 2, 8, 14,... } [3] = {..., 3, 3, 9, 15,... } [4] = {..., 2, 4, 10, 16,... } [5] = {..., 1, 5, 11, 17,... } 6 de 28

7 Càlcul de la lletra de control de DNI Pel càlcul de la lletra de control del DNI, s utilitza l aritmètica modular a Z 23 : es consideren 23 lletres de l alfabet per fer la identificació amb el residu, una vegada eliminades aquelles que no existeixen en l alfabet internacional (com la ñ) o les dobles (com Ll o Ch) es calcula el residu de la divisió del número de DNI entre 23 i s assigna una lletra, segons la taula següent 7 de 28

8 Càlcul de la lletra de control de DNI Residu Lletra Residu Lletra 0 T 12 N 1 R 13 J 2 W 14 Z 3 A 15 S 4 G 16 Q 5 M 17 V 6 Y 18 H 7 F 19 L 8 P 20 C 9 D 21 K 10 X 22 E 11 B Exercici Comprova la lletra del teu DNI 8 de 28 Exemple: K =

9 9 de 28

10 10 de 28

11 Càlcul del dígit de control d un codi de barres Exercici Cerca codis de barres de productes que no tenguin el prefix espanyol 11 de 28

12 Operacions amb classes de congruència Sobre Z N : operacions de suma i de producte: [a] + [b] = [a + b] [a] [b] = [a b] 12 de 28

13 Aplicació: la prova del 9 Divisió: 13 de 28

14 Aplicació: la prova del 9 Multiplicació: 14 de 28

15 Exemple La taula de la suma a Z 6 és: + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [1] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [2] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [3] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [4] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [5] [5] [0] [1] [2] [3] [4] 15 de 28

16 Exemple La taula del producte a Z 6 és: [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [2] [0] [2] [4] [0] [2] [4] [3] [0] [3] [0] [3] [0] [3] [4] [0] [4] [2] [0] [4] [2] [5] [0] [5] [4] [3] [2] [1] 16 de 28

17 Proposició [a] Z N invertible mcd(a, N) = 1 Exemple Màxim comú divisor Donats a, b Z: Z 6 = {[1], [5]} mcd(a, b) major divisor comú positiu de a i b Mínim comú múltiple mcm(a, b) menor múltiple comú positiu de a i b 17 de 28

18 Algoritme d Euclides Donats a, b Z >0 l altoritme d Euclides serveix per calcular el mcd(a, b) A més, l algoritme extés d Euclides serveix per trobar dos enters x, y tals que mcd(a, b) = x a + y b L algortime d Euclides es bassa en el següent fet: el residu r de dividir a entre b és el mateix que el de dividir b entre r Com ho feim? de 28

19 Exemple mcd(4864, 3458): i r q x y r k 2 = r k 1 q k + r k x k = x k 2 q k x k 1 y k = y k 2 q k y k 1 Per tant, mcd(4864, 3458) = 38 = ( 45) de 28

20 Càlcul d inversos Si [a] invertible, es pot trobar l invers [a] 1 amb algorisme d Euclides estès: mcd(a, N) = 1 = x, sy : xa + yn = 1 = = [x][a] = 1 = [a] 1 = [x] Exemple Invers de 35 mòdul 2452: 1 = ( 17) [35] = [1191] Exercici Calcular l invers de [8] de 28

21 El sistema criptogràfic RSA Teorema petit de Fermat Si p és primer, aleshores n p n mòdul p Per exemple: n 2 n mòdul 2, perquè o tots dos són parells o tots dos són imparells mòdul 3: = 2184 = Teorema d Euler Si p, q són primers i n N, aleshores n n (p 1)(q 1) n mòdul p q 21 de 28

22 El sistema criptográfic RSA El sistema d encriptat RSA (R. Rivest, A. Shamir, L. Adleman, 1977) té 3 parts: Generació de claus Encriptat Desencriptat 22 de 28

23 El sistema criptográfic RSA Generació de claus: Trio dos primers grans de mida semblant p, q Faig N = p q Calcul (p 1)(q 1) Trio 1 < e < (p 1)(q 1) coprimer amb (p 1)(q 1) Trob d N tal que d e 1 mòdul (p 1)(q 1) Faig públics els valors de N i de e, guard els valors de p, q, d. A banda, hem de disposar d un mètode convingut per codificar textos en nombres naturals (comunicam nombres) 23 de 28

24 El sistema criptográfic RSA Generació de claus: Jo trio dos primers grans de mida semblant: 5 i 7 Calcul N = 5 7 = 35 Calcul (p 1)(q 1) = 4 6 = 24 Trio 1 < e < 24 coprimer amb 24: e = 7 (mal fet!) Trob d N tal que 7d 1 mòdul 24: d = 7 (7 7 1 = 48 = 2 24) Faig públics els valors de N = 35 i de e = 7, guard els valors de p = 5, q = 7, d = de 28

25 El sistema criptográfic RSA Encriptat: Quan em voleu comunicar un missatge: El tranformau en un nombre natural M (suposam M < N; si no, el feu a bocinets) Calculau M e mòdul N M enviau aquest valor M Exemple: Em voleu comunicar el número 8 Calculau 8 7 mòdul 35: és 22 (8 7 = = ) M enviau el de 28

26 El sistema criptogràfic RSA Desencriptat: Per llegir el missatge: Calcul M d mòdul N Dóna M Ho traduesc a text Exemple: Calcul 22 7 mòdul 35: 22 7 = = El missatge que rep és 8, com voĺıeu 26 de 28

27 El sistema criptogràfic RSA Per què el consideram segur? Es considera molt difícil descompondre n = p q en els seus factors p, q. Els nombres més grans que s han pogut descompondre amb algoritmes generals són , i ara p, q s agafen (100 milions d ordinadors com aquest tardarien més de 1000 anys, de mitjana, en descompondre el p q resultant) Sense conèixer una factorització de n, es considera molt difícil el problema d extreure arrels mòdul n; és a dir, donat X, trobar Y tal que Y e = X mòdul n Però no són problemes impossibles de resoldre: simplement no se saben resoldre prou aviat 27 de 28

28 Codificació missatges Xifrat de Cesar Missatges: M = Z 26 (blocs de 1 caracter llatí) Criptogrames: C = Z 26 Funcions d encriptació i desencriptació: E(m) = m + 3 mod 26, D(c) = c 3 mod 26 Exemple ATAQUEU s encripta en DWDTXHX 28 de 28