CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT

Transcripción

1 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT Estudiar el moviment és important: és el fenomen més corrent i fàcil d observar en la natura. Tot l Univers està en constant moviment: els astres que es desplacen pel cel, un nen que juga, un ocell que vola, etc. Els conceptes de vida i moviment estan estretament units, fins al punt que considerem la capacitat que tenen per a moure s per si mateixos una de les característiques més evidents dels éssers vius. En aquesta unitat estudiarem els elements i les magnituds que utilitza la Cinemàtica per a determinar el moviment d una partícula. I els coneixements adquirits et permetran analitzar els moviments més corrents que s esdevenen en el nostre entorn.

2 188 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT Per a repassar Moviment (4t) El moviment és un canvi de posició respecte d un punt fix que s agafa com a referència. Trajectòria (4t) Rep el nom de trajectòria el conjunt de les posicions successives que té el mòbil. Depenent de la trajectòria, els moviments poden ser rectilinis i curvilinis. La velocitat mitjana és el quocient entre l espai recorregut pel mòbil i el temps utilitzat per a fer-lo. La velocitat instantània és la velocitat que té el mòbil en un moment donat. La velocitat es mesura en m/s (SI) i en km/h. Acceleració (4t) L acceleració mitjana és el quocient entre la variació de la velocitat que ha experimentat un mòbil i l interval de temps que ha utilitzat en aquesta variació, a = v t v 0. Es mesura en m s 2. t L acceleració instantània és l acceleració que té un mòbil en un moment donat. Moviment rectilini i uniforme (4t) Un mòbil té moviment rectilini i uniforme quan es desplaça en línia recta amb velocitat constant. L espai recorregut s obté amb l equació e = v t. Moviment rectilini uniformement accelerat (4t) Aquest moviment es dóna quan el mòbil es desplaça en línia recta amb acceleració constant. Les equacions són: v t = v 0 + a t, per a esbrinar la velocitat en qualsevol instant. e = v 0 t + 1/2 at 2, per a esbrinar l espai recorregut. Caiguda lliure de cossos Quan un cos es mou sota l acció de la gravetat es diu que té moviment de caiguda lliure. És un cas particular del moviment rectilini i uniformement accelerat (a = g = 9,8 m s 2 ). Moviment circular (4t) Un mòbil té moviment circular quan la trajectòria és una circumferència. Si el fa amb velocitat constant, el moviment rep el nom de circular uniforme. La velocitat angular és l angle recorregut en la unitat de temps. Es mesura en voltes o revolucions per minut, (rpm) i en radians per segon. Un radian és l angle en el qual l arc corresponent té una longitud igual a la del radi amb què s ha traçat aquest arc. Una circumferència (360 ) correspon a 2 p radians.

3 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 189 Qüestions bàsiques 1> En quin tipus de moviment la velocitat mitjana coincideix amb la velocitat instantània? Intenta-ho Recorda que si una magnitud és constant, tindrà sempre el mateix valor en qualsevol moment. 2> Es diu que el guepard és un animal capaç d arribar a córrer a 30 m/s. Calcula n la velocitat en km/h. Intenta-ho Per a utilitzar els factors de conversió, recorda les equivalències: 1 km = m; 1 h = s 3> Quant de temps tardarà el guepard a recórrer 1 km si manté la velocitat de 30 m/s? Intenta-ho Tingues en compte el tipus de moviment amb què es desplaça el guepard i utilitza l equació corresponent. 4> Des d un pont deixes caure un objecte i observes que triga 1,5 s a arribar a l aigua. Quina és l altura del pont? Intenta-ho Es tracta d una caiguda lliure. En aquest cas, considera positiu el valor de la gravetat. 5> Un automòbil passa de 90 km/h a 115 km/h en 8 s. Quina acceleració té el cotxe? Intenta-ho Et demanen l acceleració mitjana. Recorda que es mesura en m s 2. 6> Un cotxe parteix del repòs amb acceleració constant d 1,8 m s 2. Després de 20 s d accelerar, quina distància haurà recorregut el vehicle? Intenta-ho D acord amb el tipus de moviment, utilitza l equació corresponent. 7> Un ciclista inicia el moviment per un carrer amb una acceleració constant fins a arribar a una velocitat de 36 km/h en 10 s. Quina n és l acceleració? Quina distància ha recorregut en el temps indicat? Intenta-ho Observa que el ciclista parteix del repòs; aquest fet equival a una dada numèrica. Suposem que el carrer és recte. Una vegada identificat el moviment del ciclista, utilitza les equacions corresponents. 8> Un avió que parteix del repòs accelera uniformement fins a aconseguir una velocitat d enlairament de 75 m/s en 10 s. Amb quina velocitat en km/h s enlaira l avió? Quina longitud de pista ha recorregut fins a agafar el vol? Intenta-ho Es tracta d un moviment rectilini amb acceleració constant. Utilitza els factors de conversió per al canvi d unitats. 9> Un disc gira a 30 rpm. Calcula aquesta velocitat en radians per segon. Calcula la freqüència i el període d aquest moviment. Intenta-ho Recorda quants radians té una circumferència. Període és el temps en segons que triga a fer una volta. El valor de la freqüència coincideix amb l invers del període. 10> Un ciclista recorre la pista circular de 50 m de radi d un velòdrom amb una velocitat constant de 36 km/h. Quant de temps triga a fer una volta a la pista? Quantes voltes fa en 10 minuts? Intenta-ho Encara que el moviment és circular, et demanen l espai recorregut amb velocitat constant. Pots calcular totes les preguntes utilitzant l equació de l espai en un moviment uniforme. Recorda el valor de la longitud de la circumferència.

4 190 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT La Cinemàtica estudia el moviment sense tenir-ne en compte les causes. La Dinàmica estudia el moviment i n analitza les causes. 5.1 Dues ciències per a estudiar el moviment Suposem que en un moment donat un avió sobrevola casa vostra. Si teniu curiositat per conèixer més bé aquest fenomen, podeu plantejar-vos una sèrie de preguntes, com ara quant de temps tardarà l avió a desaparèixer per l horitzó?, quina distància recorrerà en un minut?, va sempre a la mateixa velocitat?, etcètera. Per a respondre aquestes preguntes no necessiteu saber per què es mou l avió. En canvi, hi ha preguntes més complexes, com ara quina força exerceix el motor?, quina potència desenvolupa?, quina energia consumeix?, etc., la resposta a les quals requereix més informació. Primerament heu de conèixer les característiques dels motors, que són els causants del moviment de l avió. Com veus, hi ha dues maneres d estudiar el moviment: prescindint de les causes que l originen, que és el que fa la Cinemàtica, o tenint-les en compte, com passa amb la Dinàmica. Dedicarem una unitat a cadascuna d aquestes dues ciències del moviment. 5.2 Quèéselmoviment? Fig Rotació i translació. Quan la politja es mou no canvia de lloc. Però sí que ho fa la galleda quan ascendeix. Des de ben petits tenim un concepte intuïtiu que ens permet afirmar si un cos, en un moment donat, està en repòs o en moviment. Quin criteri utilitzem per a distingir-ho? Se sol dir que un cos es mou quan canvia de lloc. No obstant això, aquest criteri no és precís, perquè hi ha cossos que es mouen sense canviar de lloc. Per exemple, la politja de la figura 5.1, quan gira al voltant del seu eix, es troba sempre en el mateix lloc. Hem de distingir, doncs, entre dos tipus de moviment: el de translació i el de rotació. Un cos té moviment de translació quan tot el cos, agafat en el seu conjunt com un sol punt, canvia de lloc o de posició. Fig Rotació. En un moviment de rotació, els punts del sòlid que gira canvien de lloc descrivint circumferències. En canvi, en el moviment de rotació són els diferents punts P 1, P 2... del cos els que canvien de lloc (fig. 5.2), però no ho fa el cos en conjunt. Un punt només pot tenir moviment de translació. En general, quan un cos gira al voltant d un eix fix es mou, però no es desplaça. Aquest moviment rep el nom de moviment de rotació. Fig Translació. L automòbil es mou perquè s allunya del semàfor. Per tant, si considerem que el cos que es mou és un punt, el criteri que vam donar és correcte. En aquest curs només tractarem el moviment de translació. Per això estudiem la Cinemàtica del punt material. Més endavant explicarem què s entén per punt material. Si d un automòbil (fig. 5.3) només tenim en compte el moviment de translació, l estem considerant com un punt que canvia de posició respecte d un semàfor, per exemple. Si aquesta posició no varia, direm que està en repòs respecte del semàfor.

5 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 191 No has d oblidar que La localització d un punt en l espai respecte d un altre punt que agafem com a referència rep el nom de posició. Moviment d un punt és un canvi de posició respecte d un altre punt que s agafa com a referència. Repòs i moviment són dos termes relatius, ja que depenen de l objecte de referència (un fanal està en repòs respecte del carrer, però està en moviment si agafem el Sol com a referència). Moviment absolut és aquell en el qual el punt de referència es considera fix respecte del punt que es mou. Moviment relatiu és aquell en el qual el punt canvia de posició respecte d un altre que també es mou. ACTIVITATS 1> Indica quines afirmacions són correctes. El moviment és: a) Un canvi de lloc. b) Un canvi de lloc si el cos que es mou és un punt material. c) Un desplaçament. d) Un canvi de posició. 2> Escriu tres exemples de moviments absoluts i tres de moviments relatius. 3> Assenyala les afirmacions correctes. El moviment d un cotxe que es desplaça per una carretera és respecte d una gasolinera: a) Rotació c) Absolut b) Translació d) Relatiu 4> Indica si el cotxe de l activitat anterior, respecte d un camió al qual vol avançar, té moviment absolut o relatiu. 5.3 Elements fonamentals del moviment En tot moviment cal distingir tres elements bàsics: l objecte que es mou, el sistema de referència que s utilitza i la trajectòria seguida pel mòbil. L objecte que es mou: un punt material Per a conèixer el moviment que realment té un cos cal conèixer el de tots els seus punts. Un automòbil que es desplaça per una carretera, a més d experimentar un moviment de translació, té altres moviments: el de balanceig en agafar un revolt, el de capcineig en un canvi de rasant, etc., i el moviment particular dels diversos components: el volant, les rodes, els pistons, etcètera. No ens interessa considerar aquests moviments, per la qual cosa prescindirem de tots els components del cotxe i de les dimensions que té, i el tractarem com si fos un punt material. Com que en la natura no existeix un mòbil amb massa i sense dimensions, és a dir, en realitat, una idealització o un model ideal de l existència, els científics sovint empren models físics per a simplificar l estudi de la natura. Hi ha molts objectes que en moure s es comporten com a punts materials. Tot depèn del sistema de referència escollit. Per exemple, un automòbil no es comporta com un punt per a qui el condueix; no obstant això, sí que ho fa respecte de l agent de trànsit que sobrevola la carretera amb helicòpter. Un model és una idealització mental o gràfica que permet simplificar l estudi d un fenomen. Encara que és un producte de la imaginació, el model té un gran avantatge: és prou senzill per a analitzar l efecte de les lleis fonamentals de la Física en el seu comportament. Perquè un model acompleixi bé la seva missió cal que sigui senzill, que concordi amb els fets experimentals i que sigui extrapolable; és a dir, que permeti aplicar les conclusions a altres fenòmens fins a formular noves lleis. Anomenem punt material un cos les dimensions del qual no es tenen en compte.

6 192 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT En resum: Partícula material o punt material és un terme relatiu que depèn de les dimensions que intervenen en cada problema concret. Un cos, independentment de la grandària, es considera un punt si les dimensions són negligibles, en comparació de la distància que hi ha des d aquest cos al punt de referència o en comparació de la trajectòria. Així, un vaixell es pot considerar un punt respecte de la costa. Un cotxe es pot considerar un punt respecte de la longitud de la carretera. La Terra en el moviment de translació es pot considerar un punt. El sistema de referència Fig Sistema cartesià de referència. Aquest sistema està format per un punt de l espai i tres eixos cartesians concurrents en aquest punt. Per a determinar la posició d un punt en qualsevol instant cal fixar un altre punt en l espai com a referència. El punt de referència escollit s agafa com a origen O de tres eixos cartesians (fig. 5.4), que constitueixen un sistema de referència cartesià. Així, la posició del punt P estarà determinada per les coordenades x, y i z d aquest punt. No has d oblidar que: El punt O de referència pot ser qualsevol objecte, real o imaginari, que està en repòs relatiu respecte del punt P. Un sistema de referència és inercial quan el punt O està en repòs o es mou amb una velocitat constant. La Terra es pot considerar un sistema de referència inercial, encara que realment no ho és, ja que té moviment de rotació sobre si mateixa. No obstant això, aquest moviment ens passa inadvertit. ACTIVITATS 5> Indica si és fals o vertader: a) Es pot estudiar el moviment prescindint del sistema de referència. b) El moviment és un canvi de lloc. c) Un punt només pot tenir moviment de translació. d) La Terra es pot considerar un punt material quan es mou al voltant del Sol. 6> Observa la barca de la figura 5.5 i indica quina és l afirmació correcta: a) Té moviment relatiu respecte de l aigua i de la riba. b) Té moviment absolut respecte de la riba i relatiu respecte de l aigua. c) La barca només té moviment absolut. 7> Per a determinar la posició d un punt sobre un pla, quants eixos cartesians fan falta? 8> Per a determinar la posició d un vaixell a l oceà, quantes coordenades necessites? Quin nom reben? 9> Un cotxe es mou des d un semàfor i va per un carrer recte. Quantes coordenades necessites per a determinar la posició de l automòbil respecte del semàfor? Fig El moviment relatiu de la barca depèn del punt de referència. 10> A més del punt material, quins altres models utilitzats per la Física o la Química coneixes?

7 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 193 Trajectòria Fixa t en el punt P (x, y, z) de la fig Aquest punt estarà en repòs respecte del punt O si les coordenades continuen constants amb el temps, i estarà en moviment quan almenys una coordenada variï respecte d aquest punt. Quan el punt P es mou, les coordenades van agafant diferents valors. El conjunt de punts corresponents a aquests valors formen una línia que rep el nom de trajectòria. Trajectòria és el lloc geomètric de les posicions successives que agafa un punt mòbil en l espai. Fig Coordenades d un punt en l espai. Si aquest punt es mou, les coordenades varien, i donen lloc a una línia anomenada trajectòria. EXEMPLE 1 Un punt es mou en el pla Oxy segons les equacions: x = t 1; y = 2 t a) Quin significat tenen aquestes equacions? b) Dibuixa la trajectòria d aquest punt. Solució a) En moure s el punt en un pla, la seva posició està determinada, a cada moment, per dues coordenades (x, y). Les equacions donades indiquen com varia aquesta posició amb el temps. Per tant, les diverses posicions que agafa el punt en el transcurs del temps s obtenen donant valors a t en aquestes equacions. t x y aytolacoruna.es/fisica/ document/applets/hwang/ ntnujava/vector/vector_s.htm Es tracta d una simulació applet per a sumar vectors en dues i tres dimensions. b) Les posicions ( 1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6) són punts de la línia que forma la trajectòria (fig. 5.7). Es tracta d una recta. Fig Trajectòria rectilínia del punt descrit en l exemple 1. Les magnituds són les variables que intervenen en un fenomen o les característiques d un cos que es poden mesurar. Les magnituds físiques poden ser escalars o vectorials.

8 194 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 5.4 Magnituds del moviment Ja saps que hi ha certes característiques dels cossos i dels fenòmens naturals, anomenades magnituds, que es poden mesurar o avaluar a cada moment. Per a entendre el moviment és important conèixer les magnituds que utilitza la Cinemàtica en el seu desenvolupament. A més del temps, són les següents: posició, desplaçament, espai recorregut, velocitat i acceleració. L espai recorregut és una magnitud escalar, mentre que les altres són magnituds vectorials. Fig Vector de posició. La posició d un punt P queda definida pel vector que uneix el punt O amb el punt P. Fig Un vector es pot expressar com el producte del seu mòdul per un vector unitari que té la mateixa direcció i sentit. Fig Representació dels vectors unitaris segons els eixos cartesians. Posició Ja hem dit que la posició d un punt P és la seva localització en l espai. Hi ha dues maneres de localitzar un punt en l espai: mitjançant tres coordenades cartesianes P (x, y, z) i mitjançant un vector r, o també OP, que uneix l origen del sistema de referència amb el punt P i que rep el nom de vector de posició. L origen d aquest vector és sempre en l origen de coordenades i el seu extrem coincideix a cada instant amb la posició del punt mòbil (fig. 5.8). Les dues formes estan relacionades. Per a entendre la relació que hi ha entre les coordenades x, y, z d un punt i el seu vector de posició, has de recordar unes quantes nocions de càlcul vectorial. Unes quantes nocions de càlcul vectorial Un vector u es diu que és unitari quan el seu mòdul val 1: u = 1. Suposem que el vector a de la figura 5.9 té cinc unitats de longitud. Per tant, el mòdul és cinc vegades més gran que el mòdul del vector unitari u. D acord amb això, es pot escriure: a = 5 u = 5. En general, un vector qualsevol es pot expressar segons un vector unitari amb la mateixa direcció i sentit mitjançant el producte v = v u, en què v és el mòdul o longitud del vector v i u el vector unitari amb la mateixa direcció i sentit que v. Si anomenem u x, u y i u z els vectors unitaris que tenen la mateixa direcció i sentit que els semieixos cartesians (fig. 5.10), podrem expressar el vector de posició d un punt en funció d aquests vectors. La suma de dos vectors v 1 i v 2 s obté de la diagonal del paral lelogram construït sobre aquests vectors, agafant-los com a costats que parteixen del mateix vèrtex (fig. 5.11): s = v 1 + v 2. La posició del punt P (x, y) de la figura 5.12 és determinada pel vector r. v v Fig Suma de vectors. S aplica la regla del paral lelogram. Fig El vector r en funció dels vectors OA,OB r =OA + OB El vector r és la diagonal del paral lelogram OAPBO. Per tant, es compleix que: r = OA + OB = OA u x + OB u y = x u x + y u y ja que OA = x, OB = y. Aplicant el teorema de Pitàgores, podem calcular el mòdul d un vector si coneixem x i y, ja que r 2 = x 2 + y 2 r = Î x 2 + y 2.

9 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 195 En l espai, el vector de posició del punt P (x, y, z) és r = xu x + yu y + zu z. Quan el punt P es mou, el vector de posició variarà amb el temps, fet que es pot expressar de la manera següent: r (t) = x (t) u x + y (t) u y + z (t) u z Aquesta expressió rep el nom de posició instantània. Donant valors a t s obtenen les diverses posicions de la partícula mòbil en un interval de temps. El vector és un segment que està orientat: El moviment d una partícula s obté de les equacions x = 4 t, y = 2 t 2, on x i y es mesuren en metres i t, en segons. Calcula: a) La posició de la partícula en qualsevol instant. b)la posició en els instants t = 0, t = 2. c) On és la partícula al cap de 5 segons? d)a quina distància de l origen del sistema de referència es troba la partícula en aquest instant? Solució a) La posició de la partícula en qualsevol instant és determinada pel vector de posició: r = xu x + yu y = 4 tu x + (2 t 2) u y. b) En l expressió anterior substituïm els valors del temps que ens indiquen: Per a t = 0 r0 = (4 0) u x + (2 0 2) u y = 2 u y Per a t = 2 r2 = 8 u x + 2 u y En els instants t = 0 i t = 2 s, la partícula es troba en els punts P 0 (0, 2), P 2 (8, 2). c) Al cap de 5 s la partícula estarà en la posició r5 = 20 u x + 8 u y, és a dir, en el punt (20, 8). d) La distància en qüestió ve donada pel mòdul del vector r5: r 5 = Î x 2 + y 2 = Î = 21,5 m EXEMPLE 2 Té un punt d origen, O, i un extrem, P, que determina el sentit del vector OP. La direcció d un vector és determinada per la recta sobre la qual es recolza. El mòdul és un nombre real positiu que indica la longitud del vector i que determina el valor de la magnitud associada. Una magnitud vectorial es representa algebraicament amb una fletxa sobre el valor que té, v, o bé s escriu en negreta, v. En aquest llibre hem optat per la primera fórmula, ja que considerem que és més fàcil de reconèixer. ACTIVITATS 11> Escriu els vectors de posició corresponents als punts següents respecte de l origen. a) P 1 (2, 3, 5) b) P 2 ( 1, 0, 6) c) P 3 (0, 0, 2) 12> Un punt mòbil es desplaça per l espai d acord amb les equacions següents expressades en el SI: x = t + 2; y = 4 t 2; z = t 2 a) Completa la següent taula de valors: t x y z b) Esbrina la posició del punt mòbil per a t = 15 s. c) Escriu el vector corresponent a aquesta posició.

10 196 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT Desplaçament Si en un moment donat un mòbil es toba en la posició P 0 (x 0, y 0, z 0 ) i al cap d un temps la seva posició és P 1 (x 1, y 1, z 1 ), direm que el mòbil s ha desplaçat des del punt P 0 fins al punt P 1. Aquest desplaçament es defineix amb un vector, anomenat vector desplaçament, Dr, que té les característiques següents: Té l origen en el punt de partida o posició inicial i l extrem en el punt d arribada o posició final, P 0 P 1 (fig. 5.13). El desplaçament entre dues posicions és sempre el mateix, independentment de la trajectòria que uneix aquestes posicions (fig. 5.14). Fig Vector desplaçament. Uneix la posició inicial i la final del mòbil. Fig Diferents trajectòries per a un mateix desplaçament. Fig Vector desplaçament. S obté restant els vectors de posició corresponents del punt d arribada i del punt de partida. El vector desplaçament s obté restant del vector de posició final el vector de posició inicial (fig. 5.15): Dr = r1 r 0 Per tant, si r1 = x 1 u x + y 1 u y + z 1 u z r0 = x 0 u x + y 0 u y + z 0 u z el vector desplaçament serà: Dr = (x 1 x 0 ) u x + ( y 1 y 0 ) u y + (z 1 z 0 ) u z = Dx u x + Dy u y + Dz u z en què Dx = x 1 x 0 ; Dy = y 1 y 0 ; Dz = z 1 z 0. Això vol dir que el desplaçament total equival a la suma de desplaçaments parcials al llarg dels eixos cartesians. EXEMPLE 3 x Fig Representació del moviment de l automòbil de l exemple 3. Un automòbil es mou en línia recta per una carretera. A les nou del matí és al punt quilomètric 40 i al cap de mitja hora és al punt quilomètric 100. Calcula el desplaçament que ha experimentat el cotxe en el temps indicat. Solució Si el cotxe es mou en línia recta, podem agafar com a sistema de referència el punt quilomètric 0 i la direcció de la carretera com a eix cartesià Ox. Per tant, el vector de posició en aquest cas és: r = xu x. En mitja hora, el cotxe s ha desplaçat des del punt P 0 (40 km, 0) fins al punt P 1 (100 km, 0) (fig. 5.16). Per tant, el desplaçament és: Dr = r1 r 0 = (x 1 x 0 ) u x = 60 u x km El cotxe s ha desplaçat 60 km des de l origen.

11 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 197 EXEMPLE 4 Una partícula material es mou per l espai de manera que la seva posició en qualsevol instant s obté a partir de les equacions x = t 2 ; y = t 2, expressades en el SI. Calcula: a) On és la partícula en els instants t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s. b) El desplaçament en l interval de temps comprès entre zero i dos segons. Solució a) La posició de la partícula en qualsevol moment s expressa mitjançant el vector r = (t 2 ) u x + (t 2) u y, que per als instants donats agafa els valors r0 = 2 u y; r1 = u x u y; r2 = 4 u x. És a dir, es troba en els punts (0, 2), (1, 1) i (4, 0), respectivament. b) Per a esbrinar el desplaçament n hi ha prou de restar els vectors r 2 i r 0 : Dr = r 2 r 0 = (4 0) u x + + (0 ( 2)) u y = 4 u x + 2 u y ACTIVITATS 13> En Carles surt de casa a comprar el diari en un quiosc situat a 120 m de distància i després torna a casa. Quina afirmació és la correcta? a) En Carles s ha desplaçat 120 m. b) En Carles s ha desplaçat 240 m. c) En Carles no s ha desplaçat. d) En Carles ha recorregut 240 m. 14> Un ciclista es desplaça en línia recta 750 m. Si la seva posició final és a 1250 m del punt de referència, el ciclista va iniciar el recorregut des d una posició situada a: a) 750 m del punt de referència. b) 1250 m del punt de referència. c) 500 m del punt de referència. d) No es pot saber la posició de partida. Tria la resposta correcta. Espai recorregut No has de confondre espai recorregut amb desplaçament. Espai recorregut és la longitud de trajectòria que ha seguit el mòbil. És una magnitud escalar que coincideix amb el mòdul del desplaçament, només si el moviment és rectilini i si no canvia de sentit. Si llancem una pilota cap amunt, l espai recorregut coincideix amb el desplaçament mentre la pilota puja; però quan comença el descens, el desplaçament disminueix, i quan la pilota arriba al punt de partida, el desplaçament és nul. En canvi, l espai recorregut és igual al doble de l altura aconseguida. EXEMPLE 5 Una persona surt a passejar. Recorre 2 km cap al nord, després es dirigeix cap a l est i en recorre 1, i finalment, es dirigeix cap al sud i en recorre 4. Calcula: a) Quin espai ha recorregut? b) Quant val el desplaçament? Solució a) En la fig hi ha representats els diferents desplaçaments. L espai total recorregut són 7 km. b) El desplaçament és un vector amb sentit sud-est, i val: P 0 P 1 = Dr = Î (4 2) = Î 5 = 2,24 km Fig Desplaçament total. Correspon al vector P 0 P 1.

12 198 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT ACTIVITATS 15> Una vegada iniciat el moviment, l espai recorregut pot ser zero? Pot ser zero el desplaçament? Esmenta un exemple en què l espai recorregut i el desplaçament tenen el mateix valor. 16> Un ciclista recorre una pista circular de 20 m de radi partint del punt O en el sentit que indica la fletxa de la fig Calcula l espai recorregut i el desplaçament: a) Quan el ciclista és al punt A. b) Quan és al punt B. c) Quan és a C. d) Quan ha fet una volta completa. Fig Velocitat es/4eso/trayectoria/trayec0.htm En aquesta pàgina s ofereix una explicació amb simulacions interactives de la diferència entre desplaçament i trajectòria (espai recorregut). Per a determinar el moviment d una partícula cal conèixer com varia la posició d aquesta partícula en el transcurs del temps. La variació de la posició, l hem anomenada desplaçament. Per a relacionar el desplaçament que ha experimentat un mòbil amb el temps transcorregut introduïm una magnitud molt important en Cinemàtica: la velocitat. Podem distingir entre velocitat mitjana i velocitat instantània. Velocitat mitjana La velocitat mitjana es defineix com el desplaçament que experimenta el punt mòbil en la unitat de temps. És un vector que resulta de dividir el desplaçament produït entre l interval de temps utilitzat i que té la mateixa direcció i sentit que el vector desplaçament, ja que el temps és una magnitud escalar positiva. v = Dr Dt EXEMPLE 6 Si r (t) representa la posició del punt mòbil en l instant t i r (t + Dt) representa la posició al cap d un interval de temps Dt, la velocitat mitjana també s obté: v = Dr Dt = r (t + Dt) r (t) Dt Una aranya es mou sobre el vidre d una finestra seguint una trajectòria definida per x = t 2 i y = t + 2 en el SI. Calcula: a) El vector de posició de l aranya en qualsevol instant. b) El desplaçament en l interval de temps comprès entre t = 1 s i t = 3 s. c) La velocitat mitjana amb què s ha desplaçat l aranya durant aquest temps. Solució a) El vector de posició ve donat per r = xu x + y u y = t 2 u x + (t + 2) u y b) Esbrinem les posicions corresponents als instants que s indiquen: Per a t = 1 s; r 1 = u x + 3 u y Per a t = 3 s; r 3 = 9 u x + 5 u y El desplaçament és: Dr = r3 r 1 = (9 1) u x + (5 3) u y = 8 u x + 2 u y c) La velocitat mitjana s obté de: v = Dr Dt = 8 u x + 2 u y = 4 u x + u y m/s 2

13 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 199 EXEMPLE 7 Una partícula es mou al llarg de l eix Ox segons l equació x = t Calcula n la velocitat mitjana. Solució En aquest cas, el vector de posició és r (x, 0) i no s especifica l interval de temps. Per això esbrinarem la velocitat mitjana utilitzant l expressió: v = Dr Dt = r (t + Dt) r (t) Dt = [(t + Dt)2 + 2 (t 2 + 2)] Dt = t2 + 2 t Dt + (Dt) t 2 2 Dt = 2 t + Dt Observa que el resultat és indeterminat, ja que depèn de dues variables: l instant t i l interval de temps Dt. Si l interval de temps es fa infinitament petit (Dt 0), la velocitat mitjana agafa el valor v = 2 t i només depèn de l instant que es considera. Per això rep el nom de velocitat instantània. I se sol definir com el valor que agafa la velocitat mitjana quan l interval de temps tendeix a 0: v i = lim Dr Aquest límit es coneix en Matemàtiques com la derivada del vector de Dt0 Dt posició respecte del temps. Velocitat instantània En la resolució de l exemple anterior s ha vist que la velocitat mitjana, en general, és indeterminada. A més, ens dóna poca informació del moviment que es produeix. Només relaciona el desplaçament total produït amb l interval de temps utilitzat. No ens diu res sobre la trajectòria que ha seguit la partícula, ni si ha mantingut la mateixa velocitat durant tot l interval de temps. Per exemple, si un cotxe ha trigat 5 hores a desplaçar-se de Madrid a València, a 350 km de distància, direm que ha fet el recorregut amb una velocitat mitjana de 70 km/h. Però aquesta dada no ens respon preguntes com ara: ha estat aquesta la velocitat real del cotxe?, ha fet el recorregut mantenint sempre la mateixa velocitat?, per quina carretera ha anat?, quina velocitat tenia el cotxe quan va passar pel punt quilomètric 100?, i quan faltaven vint minuts per arribar a València? La veritable velocitat del cotxe és la que marca el velocímetre en l instant en què s observa (fig. 5.19). El velocímetre mesura el mòdul de la velocitat instantània. En general, la velocitat mitjana depèn de l instant inicial i de l interval de temps considerats. Si aquests valors estan determinats, la velocitat mitjana agafa un valor concret, tal com hem vist en l exemple 6. Però si l instant inicial i l interval de temps no estan definits, la velocitat mitjana és indeterminada, tal com succeeix en l exemple 7. Velocitat instantània és la que té una partícula en un instant determinat o en un punt concret de la trajectòria. La velocitat instantània és un vector el mòdul del qual rep el nom de rapidesa i representa l espai recorregut en la unitat de temps, la direcció del qual és tangent a la trajectòria i el sentit coincideix amb el sentit del moviment. Fig Velocímetre. Instrument que mesura el mòdul de la velocitat instantània del vehicle. ACTIVITATS 17> La rapidesa d un mòbil es mesura en m/s en el SI, i en la pràctica, en km/h. Expressa en m/s la rapidesa amb què es mou un cotxe que va a 144 km/h. 18> Si la velocitat del so per l aire és de 340 m/s, quina és la velocitat d un avió en km/h quan trenca la barrera del so?

14 200 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT Acceleració La velocitat és una magnitud vectorial. Per tant, hi ha acceleració sempre que la velocitat varia en qualsevol dels seus elements: mòdul, direcció o sentit. Quan un automòbil es deplaça, no sempre ho fa amb la mateixa velocitat. Si un cotxe, per exemple, augmenta de velocitat, diem que accelera. Si l increment de velocitat es produeix en menys temps, intuïtivament diem que el cotxe té més acceleració. Per tant, l acceleració relaciona la velocitat amb el temps. Acceleració, en general, és la variació de la velocitat amb el temps. Mitjançant uns quants exemples, veurem quan té acceleració un moviment: 1. Es llança una pilota a 10 m/s contra la paret d un frontó. La pilota rebota i surt a 10 m/s en la mateixa direcció. La velocitat és la mateixa abans i després del rebot? No, la pilota es mou amb la mateixa rapidesa abans i després del rebot, però no amb la mateixa velocitat. Hi ha acceleració perquè la velocitat ha canviat de sentit. 2. Un cotxe es mou per una pista recta. En un moment donat, el velocímetre marca 90 km/h i en un instant posterior 100 km/h. Hi ha acceleració perquè ha canviat el mòdul de la velocitat. El cotxe no es mou amb la mateixa rapidesa. 3. El cotxe anterior agafa un revolt amb una rapidesa constant de 45 km/h. Hi ha acceleració perquè la direcció de la velocitat canvia contínuament. ACTIVITATS 19> Esmenta algun exemple en què la velocitat d un vehicle canvia de mòdul i de direcció. 20> En el moviment d un pèndol, quins elements de la velocitat es modifiquen? Acceleració mitjana i acceleració Per a determinar el moviment d una partícula no n hi ha prou de saber que la velocitat varia. Cal saber com es produeix aquesta variació en el transcurs del temps. Per això, s introdueixen els conceptes d acceleració mitjana i acceleració instantània. L acceleració mitjana es defineix com el vector que resulta de dividir la variació de la velocitat que s ha produït en un interval de temps entre el valor d aquest interval: El mòdul de l acceleració es mesura en m/s 2. a = Dv Dt = v 2 v 1 Dt Si la pilota de l exemple esmentat adés ha estat en contacte amb el frontó durant una dècima de segon, ha experimentat una acceleració mitjana: v1 = +10 u x m/s v2 = 10 u x m/s a = v 2 v 1 Dt = ( 10 u x) (10 u x) 0,1 s = 200 u x m/s 2

15 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 201 L acceleració instantània és el valor límit que agafa l acceleració mitjana quan l interval de temps és extremament petit. a i = lim Dv Dt0 Dt Aquest límit rep el nom de derivada del vector velocitat respecte del temps. Components intrínsecs de l acceleració Sabem que la velocitat instantània és tangent a la trajectòria (fig. 5.20). Per tant, en cada punt se n coneix bé la direcció. Però, quina és la direcció de l acceleració instantània? És també tangent a la trajectòria? En la figura 5.21 s ha obtingut gràficament el vector Dv. S observa que aquest vector no és tangent a la trajectòria. La seva direcció és variable. Però independentment de la direcció, sempre es pot descompondre en dos vectors: l un en la direcció de v1 i l altre perpendicular a v1 (fig. 5.22). Si escollim el sistema de referència format per un punt de la trajectòria i dos vectors unitaris, l un t amb la direcció de la tangent i l altre n amb la direcció de la normal (perpendicular) a la tangent en aquest punt, hem definit un sistema de referència lligat a la pròpia trajectòria i que rep el nom de sistema de referència intrínsec a la trajectòria (fig. 5.23). A partir d aquest sistema de referència, podem escriure: Dv = Dv t + Dv n. Per tant, l acceleració és: Dv t a = Dv Dt = + Dv n = a t + a n = a t t + a n n Dt Dt L acceleració es pot descompondre en dues, l una en la direcciónde la tangent (acceleració tangencial) i l altra en la direcció de la normal (acceleració normal) en cada punt de la trajectòria. Aquestes acceleracions reben el nom de components intrínseques de l acceleració. Fig Direcció de la velocitat instantània. Fig La variació de la velocitat s obté gràficament unint els extrems de les velocitats v 1 i v 2. Fig Descomposició de la variació de la velocitat. L acceleració tangencial s obté de la variació de la rapidesa o mòdul de la velocitat. L acceleració normal és la que porovoca el canvi de direcció de la velocitat i rep el nom d acceleració centrípeta. El seu mòdul val v2, en què v és la R rapidesa i R el radi de la corba. Per a restar dos vectors, se n trasllada un damunt la seva paral lela, de manera que els orígens de tots dos coincideixin. El vector diferència és el que uneix l extrem del vector subtrahend, v 1, amb el vector minuend, v 2. Fig Sistema de referència intrínsec a la trajectòria. ACTIVITATS 13> L automòbil anterior agafa un revolt de manera que, al principi, el velocímetre marca 90 km/h, i al final, 30 km/h. a) Té acceleració tangencial el cotxe? Per què? b) Té acceleració normal? Per què? c) Quin tipus d acceleració hauria tingut el cotxe si durant tot el revolt s hagués desplaçat a 30 km/h? d) Quant val l acceleració mitjana?

16 202 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 5.5 Classificació dels moviments més rellevants Els moviments que tenen lloc en el nostre entorn es poden classificar atenent dos criteris principals: la trajectòria (fig. 5.24) i l acceleració (fig. 5.25). Segons la trajectòria, els moviments poden ser rectilinis i curvilinis. Un exemple senzill de moviments curvilinis és el moviment circular. D acord amb l acceleració, els moviments poden ser uniformes i accelerats. Dels últims, els que tindrem més en compte en aquest primer curs de Batxillerat són els anomenats uniformement accelerats. Moviments Circulars Moviments SEGONS L ACCELERACIÓ Rectilinis SEGONS LA TRAJECTÒRIA Curvilinis Parabòlics Acceleració constant Acceleració variable El líptics Altres Moviments uniformes Moviments uniformement accelerats Fig Classificació dels moviments segons la seva trajectòria. Fig Classificació dels moviments segons la seva acceleració. 5.6 Moviments rectilinis Fig Moviment rectilini. En aquests moviments, es pot agafar la trajectòria com a eix de referència. Fig Vector de posició d un punt P. Aquest vector té una sola component. Els moviments rectilinis es caracteritzen perquè la seva trajectòria és una línia recta. Per tant, la direcció de la velocitat es manté constant. La caiguda lliure d un cos, la propagació del so, el desplaçament d un avió per una pista abans d enlairar-se d un aeròdrom, etc., són exemples de moviments rectilinis. L estudi d aquests moviments és senzill si utilitzem un sistema de referència adequat: situem l origen O del sistema sobre la trajectòria i, a més, fem que aquesta coincideixi amb un dels eixos cartesians (fig. 5.26). Amb aquest sistema de referència, totes les magnituds del moviment tenen la mateixa direcció de l eix escollit i, per tant, una sola component: Vector de posició r (x, 0, 0) r = x Vector desplaçament Dr (Dx, 0, 0) Dr = Dx Vector velocitat v (v x, 0, 0) v = v x = v Vector acceleració a (a x, 0, 0) a = a x = a De tot això, se n extreuen les conclusions següents: El mòdul d aquests vectors coincideix amb el valor de l única component. El sentit, l expressarem mitjançant un signe (+, ) segons el sentit del moviment. Per exemple: en comptes de r utilitzarem (+x) o ( x), en comptes de v utilitzarem (+v) o ( v), etc., d acord amb el criteri de signes que et donarem. En la fig es posa de manifest l única component que té el vector de posició.

17 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 203 En general, en els moviments rectilinis, el mòdul del desplaçament coincideix amb l espai recorregut, si no s inverteix el sentit del moviment (fig. 5.29). Criteri de signes per a les equacions del moviment rectilini Recorda que la posició, la velocitat i l acceleració són magnituds vectorials la direcció de les quals coincideix amb la trajectòria, i el sentit és determinat pels signes + i. Per a esbrinar quin signe tenen en cada problema concret utilitzarem el criteri següent: Per a la posició. El signe de la posició coincideix amb el signe dels semieixos cartesians, com es dedueix de la fig Per a la velocitat. La velocitat és positiva quan el mòbil es desplaça en el sentit del semieix Ox o del semieix Oy (cap a la dreta o cap amunt), i és negativa si es desplaça en sentit contrari (cap a l esquerra o cap avall). Per a l acceleració. Una acceleració és positiva si el sentit coincideix amb el de la velocitat positiva i és negativa si el sentit és contrari a aquesta velocitat. Fig Mòdul del desplaçament. En el moviment rectilini, el mòdul del desplaçament gairebé sempre coincideix amb l espai recorregut, x 1 x 0 = s. a) b) c) Moviment horitzontal Moviment vertical Fig Criteri de signes: a) per a la posició en moviment horitzontal; b) per a la posició en moviment vertical; c) per a la velocitat. ACTIVITATS 22> Escriu el signe corresponent a la posició i a la velocitat en els casos següents: a) La partícula de la figura és al punt P 1, a 20 m del punt O que s agafa com a referència. b) La partícula és en P 2, a 10 m del punt O. c) El cotxe de la fig s allunya del punt O amb una rapidesa de 20 m/s. d) Aquest cotxe retrocedeix a 2 m/s.

18 204 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT En l MRU, normalment, l espai recorregut coincideix amb el desplaçament. Per tant, l equació x t = x 0 + v t també es pot escriure: s = x t x 0 = v t que rep el nom d equació horària del moviment rectilini i uniforme. Fig Posició de partida o posició inicial. És la distància x 0 (per a t = 0). Cinemàtica del moviment rectilini i uniforme (MRU) Un mòbil té MRU quan es desplaça en línia recta i sense acceleració, és a dir, mantenint la velocitat constant. En aquest moviment, la velocitat mitjana coincideix amb la velocitat instantània. Equació de l MRU Es tracta d obtenir una expressió matemàtica que permeti esbrinar en qualsevol moment la posició d un mòbil si en coneixem la posició inicial i la velocitat. Fixa t en el sistema de referència (fig. 5.30): la posició del punt mòbil P 1, en qualsevol instant, és donada per la distància x que hi ha entre aquest punt i l origen de coordenades. Suposem que inicialment, quan comencem a cronometrar l interval de temps transcorregut, el mòbil és al punt P 0, la posició del qual és donada per x 0, posició inicial. Si aquest punt es desplaça al llarg de l eix Ox amb una velocitat v, al cap d un temps t la posició del mòbil serà x t. El desplaçament haurà estat Dx = x t x 0. De la definició de velocitat mitjana, v = x t x 0, es dedueix t x t = x 0 + v t que és l equació de l MRU, en què: x t és la posició en qualsevol instant t; x 0 és la posició inicial, per a t = 0; v és la velocitat constant del moviment, i t és el temps transcorregut. Diagrames del moviment rectilini i uniforme Fig Diagrama x-t de l MRU. Les gràfiques s usen per a determinar la relació que hi ha entre dues magnituds. Si parlem de moviment, els diagrames són representacions gràfiques, en funció del temps, de les magnituds posició, velocitat i acceleració. L MRU té dos diagrames, x-t i v-t, ja que no té acceleració. Diagrama x-t. Es tracta de representar gràficament l equació del moviment agafant la posició instantània com a funció i el temps com a variable independent: x t = x 0 + vt. La línia obtinguda és una recta l ordenada en l origen de la qual és la posició inicial i el pendent és la velocitat (fig. 5.31). Diagrama v-t. És la representació gràfica de la funció v = f (t). Es tracta d una recta paral lela a l eix del temps (fig. 5.32). L àrea continguda davall de la línia de la velocitat representa el desplaçament: Dx = base altura = t v = v t. ACTIVITATS Fig Diagrama v-t de l MRU. L àrea del recinte en color representa el desplaçament. 23> Un cotxe passa per un punt A situat a 20 km del punt de referència. A quin punt serà al cap de mitja hora, si es desplaça amb una velocitat mitjana de 100 km/h?

19 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 2 EXEMPLE 8 El moviment d una partícula es descriu mitjançant el diagrama x-t de la fig Calcula: a) La velocitat mitjana durant els dos primers segons. b) La velocitat mitjana en l interval de 0 a 5 s. c) El desplaçament total que ha experimentat la partícula. d) Descriu el moviment de la partícula. Solució a) D acord amb la fig. 5.33, per a t 0 = 0, la partícula està en la posició x 0 = 2 m, i en l instant t 1 = 2 s, en la posició x 2 = 4 m. Per tant, la velocitat mitjana és: v = Dx Dt = x 1 x 0 t 1 t 0 = 4 m 2 m 2 s = 1 m/s b) En l instant t 5 = 5 s, la partícula està en la posició x 5 = 0. Per tant, en l interval de temps t 5 t 0 = 5 s la velocitat mitjana ha estat: v = x 5 x 0 = 0 2 m = 0,4 m/s t 5 t 0 5 s c) Recorda que el desplaçament s obté de la diferència entre les posicions final i inicial: x 5 x 0 = 0 2 m = 2 m. d) Segons la fig. 5.33, la partícula inicia el moviment des d un punt situat a 2 m del sistema de referència. Està en moviment durant 1 s fins a arribar a un punt situat a 4 m del sistema de referència; en aquest punt roman aturada durant 2 s més. Al cap d aquest temps, la partícula es mou en sentit contrari i es dirigeix cap al punt de referència, on arriba en l instant t = 5 s. Fig Moviment de la partícula de l exemple 8. ACTIVITATS 24> A partir del diagrama de la fig. 5.34, indica quines afirmacions són falses: 25> El moviment rectilini d una partícula es descriu en el diagrama x-t de la fig Fig Fig a) En el tram OA la velocitat ha estat 0,8 m/s. b) En el tram AB la velocitat és 4/5 m/s. c) En el tram BC la velocitat és 2 m/s. d) En el tram AB el mòbil està aturat. a) Què representa el valor x = 5 m? b) Què significa el tram horitzontal? c) Quina velocitat té la partícula en els intervals de t = 0 a t = 2 s i de t = 2 s a t = 4 s? d) Quina distància recorre la partícula en 4 s?

20 206 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT Moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) y És un moviment rectilini que es fa amb acceleració constant. Per tant, l acceleració mitjana i l acceleració instantània hi coincideixen. O P 0 (x 0 ) v 0 EXEMPLE 9 P 1 (x 1 ) Fig Acceleració mitjana. Entre les posicions P 0 i P 1 l acceleració és constant. v t x Equacions de l MRUA Suposem que en la posició P 1 de la fig. 5.36, una partícula té una velocitat instantània v 0 i en un altre punt P 1 de la trajectòria la velocitat és v t. Si ha utilitzat un temps t per a desplaçar-se des de P 0 fins a P 1, l acceleració mitjana de la partícula haurà estat: a = v t v 0 m/s 2 t Aquesta és la velocitat en qualsevol instant, si es coneix l acceleració: v t = v 0 + a t (1) La velocitat mitjana aritmètica de la partícula entre les posicions P 0 i P 1 s obté de: v = v 0 + v t = v 0 + (v 0 + a t) = v a t Sense consideracions vectorials, i com que la velocitat mitjana és constant en l interval, podem aplicar l equació de l MRU per a esbrinar la posició instantània: x t = x 0 + v t = x 0 + ( v a t ) t x t = x 0 + v 0 t a t2 (2) En resum, si sabem l acceleració constant amb què es mou una partícula, podem esbrinar la velocitat que té en qualsevol instant utilitzant l equació 1. A més, mitjançant l equació 2 també en podem esbrinar la posició. Si eliminem el temps entre les dues equacions anteriors s obté una tercera equació molt útil que permet calcular la velocitat en qualsevol posició, si no coneixem el valor del temps: v t 2 v 0 2 = 2 a (x t x 0 ) (3) Un automòbil parteix d una gasolinera on estava en situació de repòs. Després de recórrer 200 m agafa una velocitat de 108 km/h. Calcula: a) El valor de l acceleració, que es considera constant. b) El temps que ha trigat a assolir la velocitat indicada. Solució Prenem la gasolinera com a sistema de referència. Comencem a comptar el temps quan el cotxe parteix de la gasolinera. Posició inicial x 0 = 0 Posició final x t = 200 m Velocitat inicial v 0 = 0 Velocitat al final dels 200 m, v t = 108 km/h = 30 m/s a) D acord amb aquestes dades, l acceleració s obté a partir de l equació: v 2 t v 2 0 = 2 a (x t x 0 ). v 2 2 t v 0 a = 2 (x 1 x 0 ) = (30 m/s)2 0 2 (200 m 0) = 900 m2 /s 2 = 2,25 m/s2 400 m b) Aïllem el temps transcorregut en l equació: v t = v 0 + a t; t = v t v 0 a = 30 m/s 0 2,25 m/s 2 = 13,3 s

21 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 207 EXEMPLE 10 Un cotxe, en passar per un punt A d una carretera, es desplaça a 120 km/h, i en fer-ho per un altre punt B de la mateixa carretera, la velocitat és de 90 km/h. Si ha trigat 5 s a desplaçar-se des de A fins a B, calcula: a) El valor de l acceleració, que es considera constant. b) La distància entre A i B. c) A quina distància de A s aturarà l automòbil? Solució Prenem el punt A com a sistema de referència. Comencem a cronometrar quan el cotxe passa per aquest punt. D acord amb això, coneixes: La posició inicial x 0 = 0. La velocitat inicial v 0 = 120 km/h = 33,3 m/s. El temps transcorregut t = 5 s. La velocitat en el punt B: v t = 90 km/h = 25 m/s. a) L acceleració s obté a partir de l equació v t = v 0 + a t a = v t v 0 25 m/s 33,3 m/s = = 1,7 m/s 2 t 5 s b) La distància entre A i B ve donada per la posició del cotxe al cap de 5 s: x t = x 0 + v 0 t a t2 = 33,3 m/s 5 s ( 1,7 m/s2 ) (5 s) 2 = 145,3 m c) El cotxe s aturarà quan la velocitat sigui zero, i això ocorre en una posició x t que s obté aïllant de v 2 t v 2 0 = 2 a (x t x 0 ) en què v t = 0 x t x 0 = v2 t v (33,3 m/s)2 = = 326 m; x = x 2 a 2 ( 1,7 m/s m = m = 326 m ) Diagrames de l MRUA Diagrama a-t. És la representació gràfica de la funció a = f (t). Com que l acceleració és constant, la gràfica és una recta paral lela a l eix dels temps (fig. 5.37). L àrea continguda sota l acceleració representa l increment de la velocitat: Dv = base altura = t a = a t. Diagrama v-t. És la representació de la funció v = f (t) = v 0 + a t. És una recta l ordenada en l origen de la qual és la velocitat inicial i el pendent representa l acceleració (fig. 5.38). Aquí l àrea és el vector desplaçament: Dx = rectangle + triangle = v 0 t (v t v 0 ) t = v 0 t a t2 Diagrama x-t. És la representació de la funció x t = x 0 + v 0 t at2. Es tracta d una paràbola. El diagrama x-t d un moviment no representa la trajectòria, solament indica com varia la posició del mòbil amb el temps. x (m) Fig Diagrama a-t de l MRUA. L àrea de color representa l increment de v. Fig Diagrama v-t de l MRUA. L àrea en color representa el desplaçament. O t (s)

22 208 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT ACTIVITATS 26> Un cos que es mou en línia recta té una velocitat que varia amb el temps, segons el diagrama de la figura Indica quines de les afirmacions següents són correctes: Fig a) Durant tot el recorregut ha tingut un MRUA. b) L acceleració mitjana és 4 m/s 2. c) La velocitat màxima és 72 km/h. d) La distància recorreguda els deu primers segons és de 100 m. e) En l interval de 0 a 5 s el cos està parat. f) En l interval de 10 s a 15 s el cos es mou sense acceleració. 27> Un vehicle es mou sobre una pista rectilínia durant 5 s amb acceleració constant. Segueix amb velocitat constant durant 15 s i després frena de manera constant fins a parar, cosa que aconsegueix en 20 s. Dibuixa els diagrames a-t i v-t d aquest moviment. 5.7 La caiguda lliure: un moviment rectilini uniformement accelerat Criteri de signes per a la caiguda lliure La posició és positiva si el mòbil està per damunt del nivell Ox. La velocitat és positiva si el cos puja i és negativa si el cos baixa. L acceleració de la gravetat és sempre negativa. El 2 d agost de 1971, quan l astronauta David Scott era a la superfície de la Lluna, va deixar caure simultàniament un martell de geòleg i una ploma de falcó i va observar que els dos cossos tocaven simultàniament la superfície lunar. Havia comprovat a la Lluna la hipòtesi de Galileu: «En absència de fricció amb l aire, tots els cossos cauen cap a la Terra amb la mateixa acceleració». El moviment d un cos per l acció de la gravetat, que supera la resistència de l aire, rep el nom de caiguda lliure. En la caiguda lliure no importa el moviment inicial del cos. Tots els objectes que es llancen cap amunt o cap avall, i els que es deixen caure a partir del repòs, cauen lliurement. Un cop es troben en caiguda lliure, tots els cossos estan sotmesos a l acceleració de la gravetat. A prop de la Terra aquesta acceleració és pràcticament constant. La caiguda lliure és un moviment rectilini i uniformement accelerat. Si prenem com a punt de referència un punt O de la trajectòria vertical i com a eix Oy aquesta trajectòria (fig. 5.40), les equacions que defineixen aquest moviment són: Fig Sistema de referència per a un moviment en caiguda lliure. Velocitat mitjana v = v a t Velocitat instantània v t = v 0 + a t v 2 t v 2 0 = 2 a (y t y 0 ) Posició instantània y t = y 0 + v 0 t a t2 y t = y (v 0 + v t ) t On a = g = 9,8 m/s 2.

23 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 209 EXEMPLE 11 Deixes caure una pilota des de la terrassa d un edifici de 20 m d alçària. a) Quant de temps triga a arribar a terra? b) Amb quina velocitat arriba a terra? Solució Prenem un punt del terra que sigui a la vertical de caiguda de la pilota com a sistema de referència. Per tant, la posició inicial del cos és 20 m. Si la pilota es deixa caure, vol dir que inicia la caiguda partint del repòs (v 0 = 0) i amb una acceleració constant. a) La pilota arribarà a terra quan la posició final serà zero. Per tant, el temps transcorregut s obté resolent l equació: 0 = y 0 + v 0 t a t2 0 = 20 m ( 9,8 m/s2 ) t 2 d on es dedueix que t = 20 m Î = 2 s. 4,9 m/s 2 b) La velocitat amb què arriba al carrer és: v t = v 0 + a t = 0 + ( 9,8 m/s 2 ) 2 s = 19,6 m/s El signe menys indica el sentit descendent. EXEMPLE 12 Es deixa caure un objecte des d una alçada de 80 m. Dos segons més tard se n llança un altre des del terra cap amunt a la mateixa vertical amb una velocitat de 20 m/s. A quina altura s encreuen? Solució Prenem el terra com a referència. Dades Primer objecte Segon objecte Posició inicial (y 0 ) Velocitat inicial (v 0 ) Acceleració (a) Temps transcorregut (t 0 ) y 0 = 80 m v 0 = 0 m/s a = 9,8 m/s 2 t 1 = t s Els dos objectes s encreuaran quan estiguin a la mateixa alçada. És a dir, a la mateixa posició: y = y 0 + v 0 t a t2 y 0 = 0 m v 0 = 20 m/s a = 9,8 m/s 2 t 2 = (t 2) s Objecte 1: y = 80 m 0,5 9,8 m/s 2 t 2 Objecte 2: y = 20 m/s (t 2 s) 0,5 9,8 m/s 2 (t 2 s) 2 Com que la posició dels dos objectes és comuna, la podem eliminar igualant les dues equacions: 80 m 4,9 m/s 2 t 2 = 20 m/s (t 2 s) 4,9 m/s 2 (t 2 s) 2 d on s obté que s encreuen al cap de 3,5 s des que va sortir el primer. Substituïm aquest valor en l equació del primer objecte: y = 80 m 4,9 m/s 2 t 2 = 80 m 4,9 m/s 2 (3,5 s) 2 = 20 m Així doncs, s encreuaran a 20 m del terra.

24 210 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT ACTIVITATS 28> En la figura 5.41 es representa el diagrama v-t del moviment d un objecte llançat verticalment cap amunt des del terra. Fig Prenent per a la gravetat el valor 10 m/s 2, indica quines afirmacions són falses: a) L acceleració canvia de sentit al cap de 2 s. b) La velocitat canvia de sentit al cap de 2 s. c) L altura màxima s aconsegueix al cap de 2 s. d) L objecte al cap de 3 s és a 10 m del terra. e) L altura màxima aconseguida va ser de 20 m. f) Al cap de 4 s arriba al terra. 5.8 Moviment circular. Magnituds angulars El moviment circular es caracteritza perquè la seva trajectòria és una circumferència. Si agafem el centre de la circumferència com a punt de referència, el vector de posició de la partícula gira i canvia cada instant de direcció (fig. 5.42), encara que el seu mòdul roman constant: r = R. Fig Moviment circular. Aquest moviment ve donat per un vector de posició giratori. L angle w girat està relacionat amb l espai recorregut s. Si la partícula inicia el moviment des d un punt P 1 de la trajectòria i després d un temps t la partícula és al punt P 2, a l espai s recorregut per la partícula li correspon un angle w comprès entre els vectors r1 i r2 (fig. 5.42). Si la longitud de l arc s és igual al radi de la circumferència, llavors l angle subtendit w es diu que mesura un radian (rad) (fig. 5.43). D acord amb això, el valor d un angle en radians s obté dividint l arc entre el radi de la circumferència corresponent: w (rad) = s R s = w R Fig Radian. Si s = R, l angle w mesura un radian. La velocitat angular v és defineix com l angle girat pel vector de posició en la unitat de temps: v = w t A una circumferència completa (360 ) li correspon un angle de: w = s R = 2 p R = 2 p radians R Es mesura en rad/s, encara que a la pràctica també s utilitzen les revolucions per minut (rpm). Entre les dues unitats hi ha la relació: 1 rpm = 1 rev min 1 min 60 s 2 p rad = p 1 rev 30 rad/s De les igualtats v = s t i v = w i de s = w R s obté la important relació: t v = v R En el moviment circular es distingeixen dues velocitats: la velocitat v, que rep el nom de velocitat lineal i és tangent a la trajectòria, i la velocitat angular v.

25 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 211 Moviment circular uniforme Aquest moviment es caracteritza perquè la circumferència es recorre sempre amb la mateixa rapidesa; és a dir, el mòdul de la velocitat lineal és constant, i sempre és tangent a la trajectòria (fig. 5.44). Si la partícula inicia el moviment des d un punt A de la trajectòria (fig. 5.45), l espai recorregut al cap d un temps t serà: s = v t o bé w = v t si volem esbrinar l angle descrit corresponent a l espai s. El mòdul de la velocitat s obté de l expressió anterior: v = s t = 2 p R T on T representa el temps que es triga a fer una volta i rep el nom de període. Fig Velocitat tangencial. V t és tangent a la trajectòria en qualsevol punt. S anomena freqüència, f, el nombre de voltes fetes en un segon. El període i la freqüència són inversos: T f = 1. Recorda, no obstant això, que aquest moviment té acceleració normal o centrípeta, perquè la velocitat varia cada instant, i canvia de direcció. L acceleració centrípeta ve donada per: a n = v2 R Sense l acceleració centrípeta, una partícula no podria descriure una trajectòria circular. Si en un moment donat l acceleració centrípeta es redueix a zero, la partícula es mourà en línia recta, seguint la direcció de la tangent. Fig En un moviment circular, la longitud s de l arc descrit representa l espai recorregut. EXEMPLE 13 Calcula la velocitat amb què es desplaça un automòbil sabent que les rodes tenen un diàmetre de 80 cm i giren a 500 rpm. Solució En primer lloc expressem la velocitat de les rodes en rad/s: 500 rpm = 500 rev min 1 min 60 s 2 p rad = 52,4 rad/s 1 rev La rapidesa de les rodes coincideix amb la rapidesa del cotxe: v = v R = 52,4 rad/s 0,4 m/rad = 21 m/s = 76 km/h El moviment circular uniforme no té acceleració tangencial, però sí acceleració normal. ACTIVITATS 29> Calcula l acceleració centrípeta d un objecte que es mou sobre una circumferència de 10 m de radi a 90 km/h. 30> Lliguem una pedra a una corda d 1 m de longitud i la fem girar descrivint circumferències amb una freqüència de cinc voltes per segon. Calcula: a) La velocitat angular en rpm. b) La rapidesa, en km/h, amb què gira la pedra. c) L acceleració centrípeta a què està sotmès el cos.

26 212 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT Moviment circular uniformement accelerat Si la velocitat angular instantània canvia des d un valor v 0 fins a v f en l interval de temps Dt, la partícula que descriu la circumferència té acceleració angular. L acceleració angular mitjana es defineix com el quocient entre la variació de la velocitat angular i el temps transcorregut. Es mesura en rad/s 2. a = v t v 0 t D aquesta expressió s obté el valor de la velocitat angular per a qualsevol instant t: v t = v 0 + a t (1) El moviment circular uniformement accelerat té a t = a R i a n = v2 R. L acceleració normal no és constant perquè varia v sense variar R. La velocitat angular mitjana entre dos instants t 0 i t també es pot expressar com una mitjana aritmètica: v = v 0 + v t 2 = v 0 + (v 0 + at) 2 = v a t Tenint en compte que aquest valor mitjà és constant en l interval de temps indicat, podem aplicar l equació del moviment circular uniforme per a esbrinar el desplaçament angular: w= v t = ( v a t ) t w = v 0 t a t2 (2) Si coneixes l acceleració angular amb què es mou una partícula, pots esbrinar la velocitat angular que té en qualsevol instant utilitzant l equació 1. A més, mitjançant l equació 2 pots esbrinar també l angle girat. Si elimines el temps entre les dues equacions anteriors, obtens una tercera equació que permet calcular la velocitat en funció de l angle girat: v 2 t v 2 0 = 2 aw (3) Si no coneixes l acceleració, pots aplicar l equació següent, que s obté a partir de la velocitat mitjana: w = 1/2 (v 0 + v t ) t (4) Observa la semblança que hi ha entre les equacions del moviment rectilini i del moviment circular, que es mostra en la taula 5.1. Moviment rectilini Moviment circular A les fórmules, com a unitats del radi, has de posar m/rad, tot i que el rad no té sentit físic en si mateix. Al cap i a la fi, el radi representa els metres que té un radian. v = v 0 + a t v f = v 0 + a t x = x 0 + v 0 t a t2 w = v 0 t a t2 v 2 v 2 0 = 2 a (x x 0 ) v 2 t v 2 0 = 2 aw x = x (v 0 + v t ) t w = 1 2 (v 0 + v t ) t Taula 5.1. Comparació entre moviment rectilini i moviment circular.

27 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 213 EXEMPLE 14 Una partícula descriu una circumferència de 5 m de radi amb una velocitat constant de 2 m/s. En un moment donat frena amb una acceleració constant de 0,5 m/s 2 fins a parar-se. Calcula: a) La velocitat angular en rpm de la partícula abans de començar a frenar. b) L acceleració de la partícula abans de començar a frenar. c) L acceleració 2 s després de començar a frenar. d) L acceleració angular mentre frena. e) El temps que triga a parar. f) El nombre de voltes que fa des que comença a frenar fins que para. Solució a) La velocitat angular s obté de la relació v = v R. v = v R = 2 m/s 0,4 rad/s 60 s/min = 0,4 rad/s = = 4 rpm 5 m/rad 2 p rad/rev b) Abans de començar a frenar, el mòdul de la velocitat és constant. Per tant, l única acceleració que té és l acceleració normal: a n = v2 R = 4 m2 /s 2 = 0,8 m/s2 5 m/rad c) En aquest instant també té acceleració tangencial: a t = 0,5 m/s 2. Per tant, l acceleració de la partícula és: d) L acceleració angular es pot obtenir de la relació: e) De l equació v = v 0 + a t aïllem el temps: a n = v2 R = (v 0 + a t ) 2 = (2 m/s 0,5 m/s2 2 s) 2 = 0,2 m/s 2 R 5 m/rad a = Î a 2 t + a 2 n = Î ( 0,5 m/s 2 ) 2 + (0,2 m/s 2 ) 2 = 0,54 m/s 2 a t = a R a = a t R t = v t v 0 a Comprova que el resultat és igual utilitzant t = v t v 0 a f) Nombre de voltes: o bé, n = = 0,5 m/s2 5 m/rad = 0 2 m/s 0,5 m/s 2 = 4 s = 0,1 rad/s2 s 2 p R = v 0 t + 1/2 a t 2 = 2 m/s 4 s 1/2 0,5 m/s2 16 s 2 = 0,13 voltes 2 p R 31,4 m/volta n = w 2 p = v 0 t + 1/2 a t 2 = 0,4 rad/s 4 s 1/2 0,1 rad/s2 16 s 2 = 2 p 6,28 rad/volta = 1,6 rad 0,8 rad 6,28 rad/volta = 0,13 voltes

28 214 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 5.9 Composició de moviments Fig Superposició de moviments. La trajectòria parabòlica de la pilota és el resultat de dos moviments independents: un d horitzontal uniforme i un altre de vertical uniformement accelerat. Fig Exposició múltiple de dues pilotes de golf. Una cau lliurement partint del repòs i l altra ha estat llançada horitzontalment. Les línies horitzontals estan separades 15 cm entre si i els intervals entre cada dues exposicions són d 1/30 s. Observa la fig. 5.46; s hi representa una pilota que llisca per una taula. Què ocorre amb el moviment d aquesta pilota quan arriba a la vora A de la taula? Per què pren una trajectòria parabòlica? Aquestes preguntes les va respondre Galileu el 1633 amb les paraules següents: «[...] aleshores la partícula que es mou, que imaginem pesant, en sobrepassar la vora del pla, a més del seu perpetu moviment uniforme previ, adquireix una propensió cap avall a causa del seu pes mateix; de manera que el moviment resultant, que anomenaré projecció, és compost d un que és uniforme i horitzontal i d un altre que és vertical i accelerat naturalment». D acord amb les idees de Galileu, un moviment parabòlic és el resultat de compondre dos moviments rectilinis perpendiculars entre si: un d uniforme i un altre d uniformement accelerat. Mentre la pilota està en contacte amb la taula només hi ha un moviment, que és uniforme perquè suposem que no hi intervé cap tipus de fricció; però quan la pilota abandona la taula comença a actuar la gravetat i origina un moviment de caiguda lliure. La força vertical de la gravetat no influeix en el moviment horitzontal; de la mateixa manera, l existència del moviment horitzontal no canvia l efecte de la força gravitatòria sobre el moviment vertical. En altres paraules, els moviments horitzontal i vertical són independents. La independència d aquests moviments es posa de manifest en la fig Hi apareixen les diferents posicions de dues pilotes de golf. La bola 1 s ha deixat caure lliurement, sense cap tipus de velocitat inicial. La bola 2 s ha llançat horitzontalment en el mateix instant que es deixa caure la bola 1. Observem que les dues cauen amb la mateixa acceleració i arriben al terra al mateix temps. La pilota 2 cau verticalment amb una acceleració constant, encara que simultàniament té un altre moviment horitzontal. Per tant, la força gravitatòria produeix la mateixa acceleració vertical independentment que el cos tingui moviment horitzontal o no. Principi de superposició A més del moviment parabòlic, hi ha altres exemples de composició de moviments. Tots els casos es resolen aplicant el mètode següent, que rep el nom de principi de superposició i que diu: Compondre dos moviments equival a sumar-ne les magnituds homòlogues: r = r 1 + r 2 v = v 1 + v 2 a = a 1 + a 2 Si una partícula és sotmesa simultàniament a diversos moviments elementals independents, el moviment resultant s obté sumant vectorialment aquests moviments parcials. Com se sumen vectorialment dos moviments? Senzillament, sumant separadament les posicions, els desplaçaments, les velocitats, etcètera.

29 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 215 EXEMPLE 15 Un barquer vol travessar un riu de 120 m d amplària; per a aconseguir-ho remarà en sentit perpendicular al corrent. Si la velocitat que assoleix la barca és de 2 m/s respecte al corrent i l aigua del riu descendeix a 1 m/s, el barquer vol saber: a) Quants moviments té la barca? Són independents o no? b)amb quina velocitat es mou la barca respecte de la riba del riu? c) Quant de temps trigarà a travessar el riu? Necessitaria el mateix temps si l aigua estigués en repòs? d)en quin punt de la riba oposada desembarcarà? e) Haurà recorregut 120 m quan la barca haurà creuat el riu? Solució Escollim el sistema de referència en el punt O de sortida de la barca, de manera que l eix Ox és la direcció del corrent i l eix Oy, la direcció perpendicular a aquest (fig. 5.48). a) La barca és sotmesa a dos moviments rectilinis i uniformes: el moviment produït pels rems v 1 i el d arrossegament a causa de l aigua v 2 (fig. 5.48). Tots dos són perpendiculars entre si i independents: la barca seria arrossegada amb la mateixa velocitat si el barquer deixés de remar i el barquer impulsaria la barca amb la mateixa velocitat encara que no hi hagués corrent. El moviment global de la barca és la suma dels moviments esmentats, les equacions dels quals són: Moviment segons l eix Ox: x = v x t, en què v x = 1 m/s. Moviment segons l eix Oy: y = v y t, en què v y = 2 m/s. b) La velocitat real de la barca és la suma de la velocitat relativa respecte de l aigua més la velocitat a què és arrossegada pel corrent (fig. 5.48): v = v 1 + v 2 D acord amb el sistema de referència escollit, es compleix que v 1 (0, vy) i v 2 (v x, 0). Per tant, la velocitat resultant és: v = v x u x + v y u y = u x + 2 u y m/s, el mòdul de la qual és: v = Î v 2 x + v 2 y = Î 5 m 2 /s 2 = 2,24 m/s Per tant, la barca avançarà amb una rapidesa de 2,24 m/s. c) El temps que trigarà a travessar el riu només depèn de l amplària d aquest i de la velocitat v y. La barca arribarà a l altra riba quan y = 120 m. t = y = 120 m v y 2 m/s = 60 s d) Mentre la barca recorre els 120 m, és arrossegada per l aigua amb una velocitat v x = 1 m/s. Per tant, la distància a què és arrossegada pel corrent serà: x = v x t = 1 m/s 60 s = 60 m El barquer desembarcarà en un punt situat a 60 m aigua avall del punt P de referència (fig. 5.49). e) El desplaçament real de la barca és igual a la suma dels desplaçaments segons els eixos x i y, d acord amb el principi de superposició: Dr = 60 u x u y m el mòdul del qual val Dr = Î = 134,2 m, que és la distància real recorreguda per la barca fins a arribar a la riba oposada. Fig Figura corresponent a l exemple 15. El mòdul del vector v es representa de dues maneres: v i v Fig Figura corresponent a l exemple 15.

30 216 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT EXEMPLE 16 Quan llancem un objecte, la força de llançament es conserva o roman en el projectil, i actua contínuament. Això és fals La força que exerceix la mà és una força de contacte; per tant, cessa quan desapareix el contacte entre el projectil i la mà. El correcte seria El temps que ha durat el contacte origina un impuls (I = Ft), que produeix una quantitat de moviment o moment lineal p = m v, que sí que queda emmagatzemada al cos, i que tendeix a conservar-se de manera que, si no hi hagués cap tipus d obstacle o fricció, la velocitat horitzontal seria constant indefinidament. Fig Trajectòria del moviment descrit en l exemple 16. Una partícula és sotmesa a dos moviments definits per les equacions següents expressades en el SI: x = 4 t y = 2 t 2 1 a) Classifica els moviments de la partícula. b) On és la partícula i quina velocitat té en l instant t = 2 s? c) Dibuixa-la. Solució a) Es tracta de dos moviments independents. L equació del primer és del tipus x = x 0 + v t. Per tant, es tracta d un moviment rectilini i uniforme la posició inicial del qual és zero i la velocitat constant val 4 m/s. L equació del segon és del tipus y = y 0 + v 0 t + 1/2 a t 2. Es tracta d un moviment rectilini uniformement accelerat, en què y 0 = 1 m; v 0 = 0; a = 4 m/s 2. b) D acord amb les equacions donades, la partícula té dues velocitats: v x = 4 m/s; v y = v 0 + a t = 4 t m/s. El moviment resultant s obté aplicant el principi de superposició. Posició: r = xu x + yu y = (4 t) u x + (2 t 2 1) u y m. Aquesta expressió et permet calcular la posició de la partícula en qualsevol instant. Per a t = 2 s, la partícula és al punt P 2 (8, 7). Velocitat en qualsevol instant: v = v 1 + v2 = 4 u x + (4 t) u y m/s que per a t = 2 s pren el valor v = 4 u x + 8 u y m/s. El seu mòdul val v = 8,9 m/s. c) Per a dibuixar la trajectòria obtenim les diferents posicions que va prenent la partícula en el transcurs del temps: per a t = 0 s, t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s, etcètera. Les posicions obtingudes són: P 0 (0, 1), P 1 (4, 1), P 2 (8, 7), P 3 (12, 17), etcètera. Si unim aquests punts obtenim la trajectòria. Es tracta d un moviment parabòlic (fig. 5.50). ACTIVITATS 31> Calcula la velocitat de la barca de l exemple 15 en el cas que el barquer: a) Remi en el sentit del corrent. b) Remi contra corrent. 32> Representa gràficament la trajectòria del moviment definit per: x = 2 + t 2 y = t

31 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT Moviment de projectils L ésser humà, des de sempre, ha llançat objectes amb la finalitat de fer blanc en algun punt determinat, ja sigui per motius bèl lics, cinegètics, esportius, etcètera. La balística és la ciència que estudia el conjunt de tècniques i coneixements teòrics orientats a augmentar la precisió del tir d un projectil. Rep el nom de projectil qualsevol cos que, una vegada disparat (o projectat, com deia Galileu), es mou per l acció de la gravetat, en caiguda lliure (fig. 5.51). Un projectil es pot llançar de tres maneres: Verticalment: és el cas de la caiguda lliure, que ja hem vist. Horitzontalment: tir horitzontal. Formant un angle amb l horitzó: tir oblic. Fig Fletxa llançada per un arquer. Es tracta d un exemple de projectil que es mou per l acció de la gravetat. Tir horitzontal Suposem que es llança horitzontalment un objecte des del punt A amb una velocitat v x. Si la fricció amb l aire és menyspreable, l objecte conservarà aquesta mateixa velocitat, si no topa amb cap altre objecte. Simultàniament, la velocitat vertical descendent augmenta amb el temps a causa de la caiguda lliure. D acord amb el sistema de referència indicat en la fig. 5.52, les equacions que defineixen aquests moviments són: Moviment horitzontal uniforme: Velocitat en qualsevol instant: v x = v 0 Posició en qualsevol instant: x = v x t Moviment vertical de caiguda lliure: Velocitat en qualsevol instant: v y = g t 0 Fig Tir horitzontal. Aquest tipus de llançament presenta dos moviments independents i perpendiculars entre si. Posició en qualsevol instant y = y g t2 EXEMPLE 17 Una font té la canella a una distància vertical del terra de 70 cm. El raig d aigua toca a terra a 1 m del peu de la vertical. Amb quina velocitat surt el líquid? (fig. 5.53). Solució L aigua, un cop abandona la canella, descriu una paràbola. Això vol dir que el líquid té dos moviments: 1) horitzontal uniforme produït per la pressió de l aigua, i 2) vertical de caiguda lliure, les equacions del qual són: x = v t en què v és la velocitat de sortida y = y g t2 en què y 0 = 0,70 m Quan l aigua arriba al terra, y = 0, la posició x = 1 m 1 m = v t 0 m = 0,70 m 4,9 m/s 2 t 2 Aquest sistema d equacions et permet calcular la velocitat v a què surt l aigua i el temps que triga a caure a terra. D on v = 2,65 m/s. Fig. 5.53

32 218 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT Tir oblic Fig Tir oblic. És el llançament d un objecte la velocitat inicial del qual forma un angle a amb l horitzontal. L abast màxim per a una velocitat de llançament determinada s esdevé quan l angle d elevació val 45. A més, excepte per a 45, és possible aconseguir el mateix abast per a dos valors complementaris de l angle d elevació, com ara 75 i 15 (fig. 5.55). Per a un mateix abast, l angle més gran ens permet superar una altura més gran (si hi hagués obstacles intermedis), mentre que el més petit ens permet assolir l objectiu en menys temps. Fig Per a angles d elevació complementaris l abast és el mateix. Si volem que el projectil arribi a més distància, el llançarem lleugerament cap amunt. En efecte, si la velocitat té un component inicial cap amunt, trigarà més temps a caure a terra i, per tant, tindrà més temps per a desplaçar-se horitzontalment. El tir oblic té lloc quan la velocitat inicial de llançament forma un angle a amb l horitzó. Aquest angle rep el nom d angle de tir o angle d elevació (fig. 5.54). Per a estudiar el moviment parabòlic prenem el punt de llançament com a origen dels eixos cartesians: com a eix Ox, l horitzontal (el terra); com a eix Oy, la vertical (fig. 5.54). Segons aquest sistema de referència, la velocitat inicial té ara dos components: v 0x = v 0 cos a v 0y = v 0 sin a i els dos moviments independents estan definits per les equacions: Moviment horitzontal uniforme: Velocitat: v x = v 0 cos a Posició: x = (v 0 cos a) t Moviment vertical de caiguda lliure: Velocitat: v y = v 0 sin a g t Posició: y = y 0 + (v 0 sin a) t 1/2 g t 2 Aquestes equacions, entre altres coses, et permeten calcular: 1. L altura màxima que assoleix el projectil. El projectil és al punt més alt de la seva trajectòria quan la velocitat vertical és zero. Per a calcular l altura màxima aïlles el temps en l equació: 0 = v 0 sin a g t, i el substitueixes en l equació de la posició vertical. 2. Abast màxim. Rep el nom d abast màxim la distància horitzontal des del punt de partida fins al punt en què el projectil torna a assolir l altura inicial. És a dir, quan es compleix y = y 0. En la fig l abast màxim ve donat per D. Per a esbrinar l abast màxim aïlles el temps en l equació 0 = (v 0 sin a) t 1/2 gt 2 i el substitueixes en l equació de la posició horitzontal. 3. Temps de vol. És el temps durant el qual el projectil és en l aire. Quan aquest toca el terra es compleix y = 0 en l equació de la posició vertical. 4. Equació de la trajectòria. S obté eliminant el temps t entre les equacions que determinen les posicions horitzontal i vertical. 5. Angle que descriu la trajectòria del projectil en qualsevol instant. L angle en què es troba el projectil respecte de l horitzontal s obté de: tg a = vy v x ACTIVITATS 33> Quins dels objectes següents tindran una trajectòria parabòlica aproximada? a) Una pilota llançada en una direcció arbitrària. b) Un avió a reacció. c) Un paquet que cau des de l avió anterior. d) Un coet que surt de la plataforma de llançament. e) La llum que es desprèn del sostre d un vagó de l AVE quan aquest es mou a 200 km/h.

33 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 219 EXEMPLE 18 Un jugador de golf llança una pilota des del terra amb un angle de 60 respecte de l horitzó i amb una velocitat de 60,0 m/s. Calcula: a) La velocitat de la pilota en el punt més alt de la trajectòria. b) L altura màxima aconseguida. c) L abast màxim. Solució a) Es tracta d un tir oblic amb un angle d elevació de 60. El moviment parabòlic de la pilota, en tot el seu recorregut, ve definit per les equacions: Moviment horitzontal: x = x 0 + (v 0 cos a) t v x = v 0 cos a Els vectors que defineixen el moviment parabòlic d un projectil tenen dos components: Acceleració: a x = 0, a y = g Velocitat: v x = v 0 cos a, v y = v 0 sin a g t Posició: x = (v 0 cos a) t, y = (v 0 sin a) t 1 2 g t2 Moviment vertical: y = y 0 + (v 0 sin a) t g t2 v y = v 0 sin a + g t Prenem el punt de llançament com a origen del sistema cartesià de referència. En aquest cas, per tant, es compleix que x 0 = 0, y 0 = 0 (fig. 5.56). Quan la pilota és al punt més alt, la velocitat v y = 0. En aquest punt només té velocitat horitzontal, que és constant, i val: v x = v 0 cos a = 60,0 m/s cos 60 = 30,0 m/s b) El temps que triga a arribar al punt més alt s obté de t = v y v 0 sin a g v y = v 0 sin a + g t, quan v y = 0 = 0 60,0 m/s sin 60 9,8 m/s 2 = 5,3 s L altura màxima s obté substituint el temps anterior en l equació que ens dóna la posició vertical en qualsevol instant: y = (v 0 sin a) t + 1/2 g t 2 = = 60,0 m/s sin 60 5,3 s 1/2 9,8 m/s 2 (5,3 s) 2 = 138 m c) L abast màxim es produeix quan la pilota torna a terra. És a dir, quan y = 0. El temps que triga a tornar a terra s obté de l equació t = 2 v 0 sin a g y = (v 0 sin a) t g t2, i y = 0 = 2 60,0 m/s sin 60 9,8 m/s 2 = 10,6 s Observa que aquest temps és el doble del temps transcorregut fins a assolir l altura màxima. La pilota triga el mateix temps a pujar que a baixar. L abast màxim s obté substituint el temps calculat abans en l equació del desplaçament horitzontal: x = (v 0 cos a) t = 60,0 m/s cos 30 10,6 s = 318 m Fig Figura corresponent a l exemple 18.

34 220 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT EXEMPLE 19 Un bomber vol apagar el foc d una casa. Per a això haurà d introduir aigua per una finestra situada a 10 m d altura. Si subjecta la mànega a 1 m del terra i l apunta amb un angle de 60 cap a la façana, que dista 15 m, amb quina velocitat ha de sortir l aigua? Quant temps triga l aigua a arribar a la finestra? Solució Prenem O (fig. 5.57) com a punt de referència. Per tant, x 0 = 0, y 0 = 1 m. Les equacions que defineixen el moviment parabòlic de l aigua són: x = x 0 + (v 0 cos a) t y = y 0 + (v 0 sin a) t g t2 L aigua entrarà per la finestra quan x = 15 m, y = 10 m. Substituïm aquests valors en les equacions anteriors: 15 m = (v 0 cos 60 ) t 10 m = 1 m + (v 0 sin 60 ) t 4,9 m/s 2 t 2 Si aïlles el temps en la primera: 15 m t = v 0 cos 60, i el substitueixes en la segona equació, obtindràs el valor de la velocitat: v 0 = 16 m/s. El temps transcorregut és: t = 15 m v 0 cos 60 = 15 m 16 m/s 0,5 = 1,9 s Fig ACTIVITATS 34> Des del cim d una torre de 50 m es deixa caure un objecte; en el mateix moment es dispara contra aquest objecte una bala a 200 m/s des d un punt del terra situat a 100 m de la base de la torre. Farà blanc la bala? En cas d afirmativa, en quin punt?

35 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 221 Ciència, tecnologia i societat Velocitat i seguretat viària Els països desenvolupats tenen a la carretera una de les causes principals de defunció. Això es deu a les altes velocitats a què poden arribar els vehicles moderns. Com intenten resoldre la Ciència i la Tecnologia aquest greu problema que afecta la nostra societat? Entre altres coses, millorant constantment el sistema de frenada i utilitzant el coixí de seguretat. Història i eficàcia del sistema de frens La història dels frens està estretament relacionada amb la història de la velocitat. En els vehicles de tracció animal, la frenada era molt simple: s aplicava un patí de fusta damunt la llanta metàl lica d una de les rodes. Amb això n hi havia prou per a aturar un vehicle que no superava els 25 km/h. Al final del segle XIX, amb l aparició dels pneumàtics, els automòbils van començar a assolir velocitats més altes; a partir de 1899 es travessava ja la barrera dels 100 km/h. Aquests vehicles usaven frens de tambor que friccionaven sobre les cadenes de transmissió. En desaparèixer la transmissió per cadena, cap al 1907, les superfícies de fricció passen a ser dues sabates articulades. L any 1909 neix el ferodo, una guarnició composta d una capa d amiant amb fil de llautó entrecreuat i impregnat de resina. S havia descobert el material més adequat per als frens, però faltava un sistema de comandament eficient. El 1922, M. Loughead utilitza per primera vegada un comandament hidràulic. Aquest sistema s estendrà a poc a poc, fins al punt que l any 1950 gairebé tots els vehicles el tenen instal lat. Però, com que les velocitats cada vegada són més altes, sorgeix un problema nou: l augment de la quantitat de calor per dissipar en la frenada. La solució a aquest problema la va aportar un Jaguar equipat amb frens de disc, guanyador de les 24 hores de Le Mans de Actualment, els fabricants de cotxes d alta cilindrada estan molt sensibilitzats amb la seguretat viària. Per això, als frens de disc s afegeixen sistemes basats en l electrònica que permeten evitar el blocatge de les rodes: són els frens ABS. Un bon fre ha de retenir i parar un vehicle en un temps i una distància mínims, conservant la trajectòria del vehicle i amb el menor esforç possible per part del conductor. Que això s aconsegueixi o no depèn de tres factors: l automòbil, o factor mecànic, la carretera, o factor físic, i el conductor, o factor humà. Factor mecànic. Es tracta de crear una força que s oposi a l avanç del vehicle. Com? Utilitzant la fricció entre un element fix del xassís i un element de la roda en moviment (sabates-tambor, pastilles-disc). Aquesta força de fregament disminueix la velocitat. Factor físic. Un factor fonamental de la frenada és l adherència de les rodes al paviment. Si s aplica la frenada molt bruscament a la roda, es bloca i es desplaça sense girar. El vehicle continua avançant. Aleshores es diu que la roda no té adherència o que el vehicle derrapa. L adherència del vehicle depèn del pes, de les característiques i l estat dels pneumàtics i de la naturalesa i l estat de la carretera. Una bona adherència permet transmetre més força de la roda a la calçada. Si l adherència és gran, la distància de frenada serà més curta. Però si l adherència és petita, bé sigui per la presència de gel o perquè les rodes es bloquegen, poden sorgir situacions compromeses: Si fem una frenada brusca, el vehicle tendeix a encreuar-se. Aquest fenomen es produeix per la diferència d adherència abans i després del bloqueig. Amb les rodes bloquejades, el vehicle continua la seva trajectòria i gira sobre si mateix. Si es desbloquegen les rodes, el vehicle pren una trajectòria diferent de la primera. Si les rodes davanteres es bloquegen, la direcció resta inoperant. Factor humà. Un factor fonamental en la frenada d un automòbil és el temps de reflex del conductor. S anomena així el temps de reacció que transcorre entre l instant en què apareix la causa de la frenada (percepeció de l obstacle) i l instant en què el conductor intervé activament (comença la frenada). Aquest temps, variable segons els individus i segons el seu estat general, és de mitjana de 0,75 s. Si la velocitat del vehicle és molt alta, aquest pot recórrer durant el temps de reflex una distància no prevista pel conductor, i es produeix així la col lisió. En la taula adjunta es mostra la distància de parada en funció de la velocitat durant el temps de reflex sobre un terra sec i amb una desceleració de 5 m/s 2. Velocitat (km/h) Distància recorreguda en el temps de reflex (m) 10,3 14,6 18, ,1 31,3 35,4 Distància total perquè el vehicle s aturi (m) 29,5 52,4 81,2 116, , ,4

36 222 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT Ciència, tecnologia i societat Teories sobre la caiguda lliure dels cossos L estudi del comportament dels cossos en caiguda lliure és un exemple excel lent de la diferència que hi ha entre una anàlisi científica rigorosa i un tractament fet sense tenir en compte la realitat. Els filòsofs antics, Plató i Aristòtil sobretot, van tractar el moviment dels cossos com quelcom metafísic; així, per a explicar-lo van usar idees tan vagues com acció, causa eficient, fi i posició natural dels cossos, etc. Tot això era completament inútil per a Galileu, que no volia estudiar per què ocorria el moviment, sinó com ocorria. Els conceptes d espai i de temps tenien una categoria molt secundària en el pensament aristotèlic, i solament amb Galileu prenen el caràcter fonamental que han conservat en la ciència física fins avui dia. Descriurem tres maneres d entendre la caiguda dels cossos. Plató La caiguda i l elevació dels cossos era explicada per aquest filòsof suposant que els cossos de naturalesa semblant tendien a estar junts. Així, una part de qualsevol objecte tendia a reunir-se amb la massa principal: una pedra queia cap a l esfera terrestre situada al centre de l Univers; el foc s elevava per arribar a l esfera ígnia, el límit més extern de l Univers. Aristòtil L explicació d Aristòtil és molt semblant a la teoria platònica. Suposa que els cossos estan formats per quatre elements: terra, aire, foc i aigua. Els que estan constituïts primordialment per terra i aigua tracten d aconseguir el seu estat natural de repòs. Això ocorre quan estan en contacte amb la Terra. Per això cauen. Els objectes que es componen d aire i foc intenten arribar al seu estat natural de repòs: el cel. Els cossos pesants cauen més de pressa que els lleugers. Galileu El 1250 va començar a sorgir la ciència tal com la coneixem actualment. Roger Bacon ( ) va ser un dels primers a afirmar que l experiència (o coneixement experimental) és necessària per a la formulació de teories sobre el comportament de la natura. El 16, Francis Bacon ( ) va insistir, en contra de les tendències aristotèliques predominants de l època, que les teories s havien de fundar en fets determinats mitjançant experiments. Va ser Galileu ( ) (fig.5.58) qui, finalment, va obrir el camí al desenvolupament de la veritable ciència, per mitjà de nombrosos experiments que confirmaven les seves hipòtesis. Galileu centra l atenció en el moviment observat realment en la natura.en l obra Dues ciències noves escriu: «Perquè qualsevol pot inventar un tipus de moviment i estudiar-ne les propietats [...] Però hem decidit considerar els fenòmens dels cossos que cauen amb una acceleració,tal com ocorre realment en la natura.» I concloïa afirmant que havia tingut èxit en fer-ho així per l acord exacte de la definició amb els resultats dels experiments d una bola que queia per un pla inclinat. Galileu deixa, així, tota consideració filosòfica i se centra en la descripció del que observa. Per a ell, la caiguda dels cossos i el moviment ascendent dels projectils llançats cap amunt s han d expressar segons la mateixa llei. L oscil lació d un pèndol, sobre la qual va meditar llargament, li va mostrar que el moviment cap amunt és una rèplica invertida del moviment cap avall. El 1604,en una carta a Paolo Sarpi,afirma que la caiguda dels cossos està regida per la llei següent: Els espais recorreguts en temps iguals són com els nombres ab unitate. Al cap d uns anys descriu que la velocitat de caiguda creix amb el temps, i arriba a la conclusió que tots els cossos cauen lliurement amb moviment uniformement accelerat, i a més, que el pes dels cossos no influeix en l acceleració a condició que els efectes de la fricció de l aire siguin menyspreables. Encara que els mètodes de la ciència s han refinat amb els anys, l experiment continua sent part essencial d aquests mètodes. Recorda que, perquè les teories científiques tinguin valor, s han de basar en fets experimentals. Fig Galileu Galilei.

37 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT 223 Experiència de laboratori Diferència entre espai recorregut i desplaçament Objectiu Distingir entre distància recorreguda i desplaçament mitjançant plans a escala per a calcular distàncies i suma de vectors per a calcular el desplaçament. Material Un llapis ben afilat. Un paper. Un regle graduat. Procediment En la figura 5.59 es representa un pla parcial de la ciutat de Pamplona. Una persona s ha desplaçat des de San Miguel fins a San Francisco Javier. a) Ha seguit l itinerari següent: carrer de Francisco Bergamín, carrer de Francisco Gorriti i carrer d Olite. Dibuixa l itinerari, i mitjançant l escala que s indica en el mapa, calcula en metres la distància recorreguda. b) Repeteix l experiència, però amb l itinerari següent: carrer de Francisco Bergamín, carrer de Tafalla. Calcula la distància recorreguda. c) Uneix, amb un regle, San Miguel amb San Francisco Javier. Dibuixa el vector desplaçament i calcula n el mòdul usant l escala. d) Calcula el mòdul de desplaçament utilitzant el teorema de Pitàgores. Analitza i respon 1. La distància recorreguda és la mateixa en els dos itineraris? Per què? 2. Què representa en aquesta experiència la distància entre les dues esglésies? Aquesta distància depèn de l itinerari seguit? Per què? 3. Quantes distàncies recorregudes hi pot haver? Quants desplaçaments? 4. Compara els valors del desplaçament utilitzant de primer l escala i després la suma de vectors. 5. Observa la fig. 5.60: El desplaçament P 1 P 2 coincideix amb la suma de les distàncies a, b, c, d? Coincideix amb la suma dels vectors a, b, c, d? Fig Fig. 5.59

38 224 CINEMÀTICA DEL PUNT MATERIAL. ELEMENTS I MAGNITUDS DEL MOVIMENT Experiència de laboratori Estudi de l MRUA Objectiu Estudiar el moviment uniformement accelerat utilitzant un pla inclinat. Material Un carril d alumini d uns 3 m de llargària, aproximadament. Boles d acer de massa diferent. Un cronòmetre. Paper mil limetrat. Muntatge Col loca el carril tal com indica la figura 5.61 i assenyalahi posicions de 50 en 50 cm. Procediment a) Deixa rodar una de les boles pel carril i mesura el temps quan passi per la primera posició assenyalada de 50 cm. b) Mesura el temps quatre vegades i calcula el temps mitjà. c) Repeteix la mateixa operació per a les posicions 100, d) Completa la taula següent: s t 1 t 2 t 3 t 4 t 2 1 t 2 2 t 2 3 t 2 4 s/t 2 1 s/t 2 2 s/t 2 3 s/t cm 100 cm 150 cm Fig Analitza i respon 1. Dibuixa utilitzant paper mil limetrat el diagrama s-t. Què representa el pendent de la corba obtinguda? Calcula la velocitat en els punts 50, 100 i 150 cm. 2. Dibuixa el diagrama s-t 2. Quina corba s obté? 3. Hi ha alguna relació entre el pendent de la corba anterior i els valors s/t 2 que has obtingut en la taula? 4. Representa el diagrama v-t del moviment. 5. Quant val l acceleració? 6. Variaran els resultats si utilitzes boles de massa diferent?