CAPITULO 3 SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES

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1 CAPITULO 3 SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES 3. INTRODUCCIÓN El paso final para la implementación de un lazo de control consiste en ajustar los parámetros del controlador. Si el controlador puede ser ajustado para dar una respuesta satisfactoria, se presume que el lazo de control ha sido bien diseñado. Cuando el controlador no puede ajustarse satisfactoriamente, debe revisarse la selección de los demás componentes del lazo de control. Generalmente existen varias consideraciones que se toma en cuenta para evaluar la respuesta de un lazo de control frente a una perturbación: La variable controlada deberá alcanzar su valor deseado tan rápidamente como sea posible. La respuesta de la variable controlada no debería ser muy oscilatoria. La variable manipulada no debería estar sometida a grandes cambios, ya que frecuentemente afecta a otras partes del proceso. Los métodos de ajuste de controladores se clasifican en dos grandes grupos: métodos de lazo cerrado, y métodos de lazo abierto. Los primeros se aplican con el controlador en automático; los segundos con el controlador en manual. Los parámetros obtenidos por estos métodos, son parámetros iniciales, para obtener los parámetros adecuados se pueden utilizar los criterios de error de integración, que se estudian al final del tema. A continuación se definen algunos de éstos métodos.

2 3.2 MÉTODO DE LAZO CERRADO O ULTIMA GANANCIA (MÉTODO DE ZIEGLER-NICHOLS) Este método es el pionero en la sintonización de controladores, es conocido por método de lazo cerrado o sintonización en línea, fue propuesto por Ziegler y Nichols en 942 y se sigue usando hoy en día. Este método tiene como objetivo ajustar el controlador para una curva de respuesta con una razón de amortiguamiento igual a ¼, tal como se muestra en la figura 3.b. Este método se basa en encontrar la ganancia de un controlador de tipo proporcional con la finalidad de que el lazo oscile indefinidamente a una amplitud constante. Esta es la máxima ganancia para la cual el lazo es estable; por eso se le denomina ganancia última. El método se aplica de la forma siguiente:. Coloque el controlador en acción proporcional, eliminando la acción integral y la derivativa (τ i = ; τ d = ). Luego coloque el controlador en automático. 2. Aplique una perturbación en el lazo (generalmente un cambio escalón en el valor deseado de aproximadamente 2%) y ajuste la ganancia k c, hasta que la respuesta oscile continuamente a una amplitud constante. 3. Registre este valor de k c como la ganancia última k cu, y registre el período de la curva de respuesta como el período último (P u ). 4. Determine los ajustes a partir de las ecuaciones dadas en la tabla 3. []. Tabla 3.. Ecuaciones para Ajuste de Controladores. Controlador Ajuste Ziegler Nichols Lazo Cerrado Proporcional, P k c k cu /2 PD k c τ d k cu /,7 P u /8 PI k c τ i k cu /2,2 P u /,2 PID k c τ i τ d k cu /,7 P u /2 P u /8 Las figuras 3.a y 3.b muestran un ejemplo para calcular la ganancia última en una lazo de control de temperatura. Para una ganancia k c ajustada a 2%, se introduce una perturbación en el valor deseado, incrementándolo desde 7 C hasta 8 C. La ganancia fue ajustada hasta obtener una curva oscilatoria de amplitud constante. El valor de la ganancia encontrada fue de 2,6%, y se registra como la ganancia última.

3 El último período medido fue de minutos. De la tabla 3. se obtienen los siguientes ajustes: Para un controlador proporcional (P) k c k 2 =,3% = cu Para un controlador proporcional + integral (PI) k c k =,2% 2,2 = cu = P τ u 9,2,2 = i min Para un controlador proporcional + integral + derivativo. k c k,7 = cu =,56% = P τ u 2 = 5,5 i min = P τ u 8 =,3 d min La dificultad de este método radica en la aplicación de la prueba, ya que en muy pocos procesos en producción es factible ponerlos a oscilar de la manera que se muestra en la figura 3.a. T ( C) 8 P U = min Respuesta 7 Kc = 2 %/% Kc = 2, %/% Kc = 2,3 %/% Tiempo t (min) Figura 3.a. Determinación de la ganancia última.

4 Respuesta A B Tiempo Figura 3.b. Razón de Amortiguamiento. 3.3 MÉTODO A LAZO ABIERTO O CURVA DE REACCIÓN Como su nombre lo indica, estos métodos se utilizan en lazo abierto, colocando el controlador en manual. Los datos requeridos para el ajuste se obtienen mediante la prueba de escalón que proporciona una curva de reacción como respuesta. Estos datos son los parámetros de K, τ, t o, obtenidos bien sea de un sistema de primer orden más tiempo muerto (POMTM), o de un Sistema de Segundo Orden más Tiempo Muerto (SOMTM). Este método se aplica de la siguiente manera:. Colocar el controlador en manual, y esperar que el proceso se estabilice. 2. Realizar un cambio escalón en la señal de salida del controlador (posición de la válvula). 3. Registrar la curva de respuesta del proceso. Como ya se ha visto, un proceso se puede expresar con una ecuación de transferencia de la forma: ts () Ke = () s τs + O s I (3.) O de un orden mayor, con una ecuación de transferencia general de la forma: ts () Ke = () s ( τ s + )( τ s + )...( τ s + ) O s I 2 n (3.2)

5 Sin embargo, como ya se ha mencionado antes, los procesos de orden mayor (mayor de segundo orden) son inicialmente aproximados a procesos de primer orden más tiempo muerto (POMTM) o procesos de segundo orden más tiempo muerto (SOMTM), como se ilustra en las ecuaciones 3. y 3.2. En la práctica, no obstante, no hay un método fácil, confiable y consistente para aproximar un proceso de cualquier orden superior a un proceso de primer orden (POMTM). El método presentado acá es el que da la mejor aproximación, y el más fácil de usar. En la figura 3.2 se muestra la manera de obtener los dos puntos. CO (%) Salida Entrada 55 5 T ( C) 56,283* T 5 t,283* T Entrada Tiempo,632* T Tiempo T t,632* T Figura 3.2. Curva de Reacción del Proceso usando el método de los dos Puntos. Teniendo estos dos puntos como datos, la constante de tiempo (τ) y el tiempo muerto (t o ) son determinados por las ecuaciones 3.3 y 3.4 [2]. ( t ) τ = t (3.3),5,632, 283 t t τ (3.4) =,623 El parámetro K (ganancia del proceso) debe estar en % %, τ (constante de tiempo) y t o (tiempo muerto) deben estar en minutos Método de Ziegler-Nichols a Lazo Abierto Además de las fórmulas de sintonización en lazo cerrado, Ziegler y Nichols en 942 proponen un conjunto de ecuaciones basadas en los parámetros de un modelo de Primer Orden más Tiempo Muerto (POMTM) encontrados a partir de la curva de reacción. Al igual que en el método de lazo cerrado, con los ajustes encontrados al aplicar este método, se intenta obtener una curva de respuesta de lazo cerrado que tenga una razón de

6 amortiguamiento igual a ¼. A partir de la tabla 3.2, se pueden determinan los coeficientes de ajuste a partir de los valores de K, t o y τ [3]. Tabla 3.2. Parámetros de sintonización usando el Método de Ziegler-Nichols a Lazo Abierto. Controlador Parámetro de Ajuste Ecuación Proporcional, P Proporcional + Integral, PI k p k p t K τ,9 t K τ Proporcional + Integral + Derivativo, PID τ i k p τ i τ d 3,33t o,2 t K τ 2,t o t Método de Dahlin Como se vio anteriormente, y utilizando el método de la curva de reacción, se puede obtener los parámetros de la función de transferencia: τ es la constante de tiempo de la respuesta del proceso, t o es el tiempo muerto, y K es la ganancia del proceso. Dahlin propone unos parámetros de ajuste de controladores de acuerdo al tipo de proceso al cual se le introducirá el controlador. En la tabla 3.3 se expresa los parámetros de ajuste propuesto por Dahlin [4]. Tabla 3.3. Parámetros de sintonización de un controlador por el Método de Dahlin. Controlador Parámetro de Ajuste Ecuación Proporcional + Integral + Derivativo, PID k p τ i,2 t 2k τ τ τ d t 2

7 3.4 EJEMPLO Con la finalidad de tener un ejemplo concreto, considere el intercambiador de calor mostrado en la figura 3.3. Se asume que el transmisor de temperatura tiene una calibración de - 25 C. Para obtener los datos del proceso, se procede a seguir los pasos mencionados en el punto 3.3 Se supone que en este ejemplo los resultados son los que se muestran en la figura 3.5. Agua Caliente de Entrada Set Point TC TT Aceite Frío de Entrada Aceite Caliente de Salida Agua Fría de Salida Figura 3.3. Intercambiador de Calor Equipado con un Sistema Automático de Control. CO (%) Salida Entrada 55 5 T ( C) 56 Entrada Tiempo 5 Tiempo Figura 3.4. Curva de Reacción del Intercambiador de Calor. Teniendo los dos puntos mencionados en el punto 3.3, se obtienen: la constante de tiempo (τ) y el tiempo muerto (t o ).

8 Las unidades de τ y t o son dadas en minutos. Después que τ y t o son evaluadas, se procede a evaluar la ganancia K del proceso de la siguiente manera: ( 56º C 5º C) TO 6º C º C =,2 ( 55 5) % CO 5% % K = = Esto significa que, en condiciones de operación, un cambio de % en CO ocasiona un cambio de,2 C en la temperatura de salida del proceso. Aun cuando esta ganancia describe correctamente la sensibilidad entre la temperatura de la salida del proceso y la salida del controlador (CO), no es muy correcto o apropiado presentar este resultado, en esta forma, para el caso de la sintonización de controladores. Se puede observar que esta ganancia del proceso completo se determina, sabiendo qué tanto puede cambiar la salida del proceso (TO en %) con un cambio en la entrada del proceso (CO en %). Se puede entender mejor este punto determinando K como se muestra a continuación. La salida del proceso es dada por la salida del transmisor (TO), y no por la temperatura o variable de proceso. Por lo tanto, la relación de la ecuación está dada entre la cantidad de salida del transmisor en porcentaje y la cantidad de salida del controlador en porcentaje. El cambio en la salida del transmisor se calcula de la siguiente forma: 6º C TO = % = 4% 5º C CO = 55 % 5% = 5% Por lo tanto, la ganancia K del proceso viene dada por: 4% TO TO K = =, 8 5% CO CO Muy a menudo la variable de proceso se registra en porcentaje de salida del transmisor y de este modo, en estos casos, no hay necesidad para ningún cálculo extra, ya que la variable de proceso está directamente en porcentaje de la salida del transmisor (% de TO). Con estos datos se puede escribir la función de transferencia para este proceso de la siguiente forma: () s ts TO,8e % TO = CO() s τs + % CO (3.5)

9 Esta función de transferencia describe la relación entre la salida del transmisor y la salida del controlador. Si se quiere determinar una función de transferencia, describiendo la relación entre la salida del transmisor y cualquier otra entrada de proceso (que no sea la salida del controlador ya considerada), se procederá de la misma forma anterior; es decir, con el controlador en manual, se introducirá una perturbación en escalón para la entrada de proceso en consideración, y se registrarán los datos suministrados por el transmisor, para luego evaluarse los parámetros K, τ y t o. En este caso, el valor de K será diferente al anterior. Como se mencionó anteriormente, el procedimiento proporciona la mejor aproximación de un proceso de alto orden en un proceso de primer orden. Esto constituye una importante herramienta para el personal que trabaja con sistemas de control de procesos. 3.5 AJUSTE MEDIANTE CRITERIOS DE MINIMIZACIÓN DE ÍNDICES DE FUNCIONAMIENTO Debido a que los parámetros de ajuste de amortiguamiento de ¼, el de la curva de reacción y el de Dahlin, no son únicos, en la Universidad del Estado de Lousiana se realizó un proyecto substancial de investigación bajo la dirección de los profesores Paul W. Murril y Cecil L. Smith, para desarrollar relaciones de ajuste únicas. Con la finalidad de caracterizar al proceso, utilizaron parámetros de modelos de primer orden más tiempo muerto (POMTM), la especificación de la respuesta, en lazo cerrado es un error o desviación mínima de la variable controlada respecto al Set Point o punto de control. Debido a que el error está en función del tiempo que dura la respuesta, la suma del error en cada instante de tiempo se debe minimizar; esa suma es, por definición, la integral del error en función del tiempo y se representa mediante el área sombreada de la figura 3.5. Como la integral del error trata de minimizar mediante la utilización de las relaciones de ajuste, éstas se conocen como ajuste del error de integración mínimo; sin embargo, la integral de error no se puede minimizar de manera directa, ya que un error negativo muy grande se volvería mínimo. Para evitar los valores negativos en la función de desempeño, se propone el planteamiento de la siguiente integral: e (t) Entrada de perturbación t e (t) Cambio del Set Point t

10 Figura 3.5. Integrales del Error para cambios en la perturbación y en el Set Point Integral Del Valor Absoluto Del Error (IAE) () t IAE = e dt (3.6) Integral Del Cuadrado Del Error (ICE) [ e() t ] ICE = 2 dt (3.7) Las integrales comienzan desde el momento en que ocurre la perturbación o cambio en el Set Point (t = ), hasta un tiempo muy largo (t = ), debido a que no se puede de antemano predecir la duración de las respuestas. El único problema con esta definición de la integral, es que se vuelve indeterminada cuando no se fuerza el error a cero, lo cual ocurre únicamente cuando no hay acción de integración en el controlador, debido a la desviación, o el error de estado estacionario; en este caso, en la definición se reemplaza el error por la diferencia entre la variable controlada y su valor final de estado estacionario. La diferencia entre el criterio IAE y el ICE, consiste básicamente en que con el ICE se tiene más ponderación para errores grandes, los cuales se presentan generalmente al inicio de la respuesta, y menor ponderación para errores pequeños, los cuales se presentan al final de la respuesta. Para tratar de reducir el error inicial, el criterio de ICE mínima da por resultado una ganancial alta del controlador y respuestas muy oscilatorias, es decir, con un amortiguamiento alto, en las cuales el error oscila alrededor del cero por un tiempo relativamente largo. De este fenómeno se deduce que en tal criterio de desempeño debe existir una compensación para el tiempo que transcurre desde el inicio de la respuesta. En las siguientes integrales de error se incluye dicha compensación mediante la ponderación del tiempo transcurrido Integral Del Valor Absoluto Del Error Ponderado En Tiempo (IAET) () t IAET = t e dt (3.8) Integral Del Cuadrado Del Error Ponderado En Tiempo (ICET) [ e() t ] ICET = t 2 dt (3.9)

11 Lopez et al. [5], desarrollaron fórmulas de sintonización para criterios de error de integración mínima en las que se asume que la función de transferencia del proceso para perturbaciones de entrada es idéntica a la función de transferencia que se presenta a la salida del controlador. Las fórmulas de sintonización son presentadas en la tabla 3.4. Tabla 3.4. Fórmulas de Sintonización para Integración Mínima en presencia de perturbaciones de entrada. Controlador Parámetro ICE IAE IAET Proporcional (P) Proporcional + Integral (PI) Proporcional + Integral + Derivativo (PID) k k c c = b a t K τ a t = K τ τ t τ i = a τ k c 2 b b a t = K τ τ t τ i = a τ 2 b b 2 2 b t τ d = a3τ τ 3 a =,4 b = -,97 a =,35 b = -,959 a 2 =,492 b 2 = -,739 a =,495 b = -,945 a 2 =, b 2 = -,77 a 3 =,56 b 3 =,6 a=,92 b= -,985 a =,984 b = -,986 a 2 =,68 b 2 = -,77 a =,435 b = -,92 a 2 =,878 b 2 = -,749 a 3 =,482 b 3 =,37 a =,49 b = -,84 a =,859 b = -,977 a 2 =,674 b 2 = -,68 a =,357 b = -,947 a 2 =,842 b 2 = -,738 a 3 =,38 b 3 =,995 En algunos sistemas de control avanzados, tales como los autoajustables se utilizan estos métodos de manera automática para mejorar la respuesta del sistema de control. 3.6 EJEMPLO A continuación se da un ejemplo resuelto, donde se determinan los valores de K, τ y t o, además también se realiza la sintonización del controlador PID. Se tiene un tanque con agitación continua, donde entra un flujo q i (t) a una temperatura T i, la salida del tanque es q o (t) a T o (t) C, como se muestra en la figura 3.6. Se desea mantener la temperatura de salida (Set Point) a 8 C.

12 Ti(t), C qi(t), m 3 /s TC Set point = 8 C TT TY To(t), C qo(t), m 3 /s Figura 3.6. Tanque con Agitación Continua. Como primer paso se realiza el modelado del proceso usando el principio de conservación de masa. Masa que entra Masa que sale = Masa que se acumula d ρ i qi () t Hi() t ρ q() t H () t = V ( U () t ) (3.) dt Siendo: ρ i : Densidad del flujo de entrada al tanque. q i (t) : Flujo de entrada al tanque. H i (t) : Entalpía del flujo de entrada. ρ : Densidad del flujo de salida. q (t) : Flujo de salida del tanque. H (t) : Entalpía del flujo de salida. V : Volumen del tanque. U(t) : Energía interna del tanque. Sustituyendo a: H i() t = CpiTi () t H ( t) = CpT ( t) U ( t) = CvT (t ) En la ecuación (3.), se tiene: ρ q d dt () t Cp T () t ρ q () t Cp T () t = V Cv ( T () t ) i i i i (3.) Siendo: Cp i T i Cp o T Cv : Capacidad calorífica del flujo de entrada a presión constante. : Temperatura del flujo de entrada al tanque. : Capacidad calorífica del flujo de salida a presión constante. : Temperatura del flujo de salida del tanque. : Capacidad calorífica del flujo de salida a volumen constante.

13 Consideraciones del proceso: Con la finalidad de facilitar la simulación del proceso, se considera que las densidades se mantienen constantes y que son iguales. Las capacidades caloríficas son iguales y constantes con respecto a la temperatura. Se tiene: V d qi () t Ti () t q() t T () t = ( T () t ) (3.2) δ dt Sustituyendo los valores de volumen (V = 3 m 3 ), densidad ( kg/m 3 ), se tiene: q d 3 (3.3) dt () t T () t q () t T () t = ( T () t ) i i Valores en Régimen Estacionario: T iss = C q iss = 6 m 3 /s T oss = 8 C (Variable controlada, 8 C es igual al Set Point). Con estos datos se obtiene el valor de q oss, sustituyéndolos en la ecuación 3.3 en régimen estacionario (en ese momento T o (t) es constante, la derivada de una constante es cero). qisstiss q ss = = 2 m 3 /s T ss Simulación: Función de transferencia del Transmisor (TT): I (ma) To ( C) Figura 3.7. Función de Transferencia del Transmisor.

14 T I = + 4 [ma] (3.4) Con la ecuación 3-4 se obtiene el equivalente en SIMULINK, que se observa en la figura 3.8. Temperatura de Entrada in_ / Pendiente Transmisor de Temperatura * Producto 4 Corte con eje I + Suma Salida de Corriente (ma) out_ Figura 3.8. Transmisor simulado en SIMULINK. Función de transferencia del Convertidor de Corriente a Presión (TY): I (ma) P (psi) Figura 3.9. Función de Transferencia del Convertidor I/P. P = 3 I (3.5) 4 Con la ecuación 3.5 se obtiene el equivalente en SIMULINK, que se muestra en la figura 3..

15 in_ 3/4 Constant * Product2 out_ Figura 3.. Convertidor I/P simulado en SIMULINK. Función de transferencia de la Válvula de Control: qo (m 3 /s) P (psi) Figura 3.. Función de Transferencia de la Válvula de Control. q = P (3.6) 3 Con la ecuación 3-6 se obtiene el equivalente en SIMULINK, que se muestra en la figura 3.2. in_ * Product /3 Constant Constant2 + - Sum out_ Figura 3.2. Dibujo de la Válvula en SIMULINK. Simulación del Proceso en SIMULINK En la figura 3.3 se aprecia el proceso expresado en bloques de SIMULINK, es de notar que la realización del mismo se logra por medio de la ecuación 3-4, aplicándole un integrador en ambos lados de la ecuación:

16 () t Ti () t q() t T () t dt qi T () t = (3.7) 3 En SIMULINK se puede utilizar un integrador dentro de la ventana Linear, con un valor inicial de integración igual al valor de régimen estacionario de T o (8 C en nuestro caso). qi(t) Ti(t) in_ qo(t) * qi(t)*ti(t) * qo(t)*to(t) + - Suma /3 /V * Prod. dto(t)/dt To(t) /s Integrator out_ To(t)_ Figura 3.3. Dibujo del Proceso en SIMULINK. La perturbación puede ser introducida en q i (t), ya que es lo más sensato, de todas maneras el bloque de T i puede ser reemplazado por un escalón unitario y utilizarlo como una perturbación adicional. Controlador PID El controlador PID tiene incluido el bias, Set Point y retroalimentación, como se visualiza en la figura 3.4. Realimentación in_ 8 Set.Point To u/+4 T/I Sistema de Control Completo - + Sum e(t) PID - + PID Controller Sum 2 Bias Figura 3.4. Controlador PID con accesorios. out_ En la figura 3.5 se muestra el sistema de control retroalimentado completo.

17 Transmisor Controlador Conv. I/P Valvula Proceso y Para MatLAB Clock t To Workspace Figura 3.5. Sistema de Control Completo. Curva de Reacción Para obtener la curva de reacción se le introduce un escalón unitario al proceso en lazo abierto (es decir se elimina la salida del PID, dejándose solamente el efecto del bias ) en el flujo de entrada qi(t), con una amplitud del % (,6 m 3 /s), se gráfica la respuesta del sistema (T o en función de t), como se aprecia en la figura 3.6. Figura 3.6. Curva de Reacción del Proceso ante una Perturbación.

18 t = 4,94 min t 2 = 4, min Figura 3.7. Zoom de la Curva de Reacción, mostrando los Puntos. De las ecuaciones 3.3 y 3.4, se obtienen los valores de τ y t o. Siendo: τ =,5 (4, 4,94) = 3,65 min t = (4, 3,65) =,45 min K = 8,6 = º 5 C s 3 m De donde se obtiene la función de Transferencia: -,95 S 5e G(s) = 3,95 S + Utilizando las ecuaciones de la tabla 3.2 (Ziegler y Nichols), se obtienen los ajustes del controlador PID: k p = 8,6 τ i =,8 min τ d =,225 min La respuesta del sistema en lazo cerrado con los valores de sintonización anteriores se puede observar en la figura 3.8. A partir de la tabla 3.3 (Dahlin), se obtienen los valores de los controladores PI y PID, la respuesta se visualiza en la figura 3.9.

19 De la tabla 3.4 (Criterios de Error de Integración Mínimo) se obtienen los valores de sintonización de los controladores P, PI y PID, las respuestas de los diferentes criterios se presentan en las figuras 3.2, 3.2 y Figura 3.8. Respuesta ante una Perturbación del % del Flujo de Entrada (q i (t)) Sintonización por Ziegler & Nichols. Figura 3.9. Respuesta ante una Perturbación del % del Flujo de Entrada (q i (t)) Sintonización por Dahlin.

20 Figura 3.2. Respuesta ante una Perturbación del % del Flujo de Entrada (q i (t)) Sintonización por ICE. Figura 3.2. Respuesta ante una Perturbación del % del Flujo de Entrada (q i (t)) Sintonización por IAE.

21 Figura Respuesta ante una Perturbación del % del Flujo de Entrada (q i (t)) Sintonización por IAET. 3.7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. SMITH, Carlos and Armando CORRIPIO. Principles and Practice of Automatic Process Control. Second Edition. John Wiley & Sons Inc. New York. 997.