Solución: Según el enunciado del problema: =5, es decir, =5. Con lo que =5. Pero = Así: 10985=5, es decir, =2197, y =13.

Transcripción

1 Universidad de Puerto Rico, Campus Mayagüez MATE Prebásica Profesor: Filánder A. Sequeira Chavarría Ejercicios Resueltos del Quiz#7 2 do Semestre ( ) 7 mo Quiz 1) The figure consists of three squares on the sides of a right triangle. The areas of two squares are given. What is the area of the right triangle? El cuadrado de área 85 (recordemos que el área de un cuadrado es el lado al cuadrado) tiene un lado de 85. Por otro lado el cuadrado de área 49 tiene un lado de 49=7. Así, la hipotenusa del triángulo mide 85 y uno de sus catetos mide 7, para encontrar el cateto que falta (llamémoslo ), usamos el teorema de Pitágoras, así 85 = 7 +, entonces =85 49=36, por lo que =6. Por lo que, el área del triángulo es: = =21. Por lo que el área del triángulo es 21.

2 2) A rectangular box with a square base is 5 times taller than it is wide. If the volume of the box is cubic centimeters, find the width of the base of the box in centimeters. Tenemos que las medidas de una caja rectángulas son: (largo de la base), (ancho de la base) y (altura de la base). Y el volumen se calcula como: =. Como la base es un cuadrado entonces: =, es decir, =. Según el enunciado del problema: =5, es decir, =5. Con lo que =5. Pero = Así: 10985=5, es decir, =2197, y =13. Por lo que el ancho ( = ) mide 13cm. 3) Find. Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, entonces el ángulo que falta en el triángulo grande es: = 180º 46º 62º = 72º, ese lado, es cortado a la mitad, por lo que tenemos dos triángulos: - Triángulo 1: tiene los ángulos: 46º, 36º y º. Debe cumplirse que: 180º = 46º + 36º + º, por lo que: =. - Triángulo 2: tiene los ángulos: 62º,36º e º Debe cumplir que 180º = 62º + 36º + º, así = 82. Note que: + = 180º.

3 4) A rectangular box with a square base is 6 centimeters taller than it is wide. If the surface area of the box is 2880 square centimeters, find the width of the base of the box in centimeters. Tenemos que para una caja rectángulos de medidas: (el largo de la base), (el ancho de la base) y (la altura de la caja). El área (o superficie) de la caja es: =2 + 4 (suma dos rectángulos que son tapas y cuatros rectángulos que son sus paredes ). Como la base de la caja es un cuadrado, entonces =, así: =2 + 4 Se dice que: =6 +, así: =2 + 4 (6 + ), recodemos que =, asi que: =2 +4 (6 + )= =6 +24, Se tiene que =2880, por lo que: 2880=6 +24, entonces tenemos la ecuación cuadrática: = 0, que se puede reducir, dividiendo entre 6 como: = 0. Factorizando se tiene que: = ( + 24)( 20), por lo que ( + 24)( 20)=0, con lo que = 24 ó =20, se descarta el valor negativo pues es una distancia (siempre son positivas), y se tiene que el largo ( ) es 20, y como el ancho es igual ( = ), entonces el ancho de la base de la caja es 20. 5) What is the perimeter of the shaded region? El perímetro es la suma de las longitudes de sus lados, es decir, (12-3) + (5-2) = 34. Qué pasa con el área? (No se pide en este problema) Vemos que en la figura anterior se pueden trazar algunas rectas para completar un rectángulo:

4 Así, lo que demos calcular es el área del rectángulo grande, de medias 12 y 5, menos el área del rectángulo pequeño, el de dimensiones 3 y 2. Así, el área sombrea da es: = 60 6 = 54. 6) Find. Tenemos que el triángulo grande se semejante al triángulo dentro de él, pues tiene la misma medida en sus ángulos. Por lo que sus lados son proporcionales, así: 14 / 9 = (7+ ) / 14 = 9(7+ ) 14 = = 63 5 = 63 Con lo que = 63/5.

5 7) What is the perimeter of the square? Supongamos que el cuadrado tiene la, asi se forma un triángulo rectángulo de catetos y e hipotenusa 4 5. Por el teorema de Pitágoras: (4 5) = +, es decir, 80 = 2, entonces = 40. De donde = 40 o = 40, como son distancias, y estas deben ser negativas entonces: = 40. Entonces como el lado del cuadrado mide 40, entonces su perímetro es: ) The figure consists of a square with semicircles on its sides, all inscribed in a larger square. What is the perimeter of the shaded region? Digamos que el radio del los semicírculos que están en la figura mide r, y vemos que:

6 Todos lo semicírculos son congruentes y lo que se forma dentro de ellos es un cuadrado de lado 2, notemos que el lado del cuadrado grande (que mide 20), también mide 4, asi 4 = 20, entonces = 5. El perímetro de la región es la suma de las circunferencias de los cuatro semicírculos (pues el perímetro es lo que rodea la figura), pero con cuatro semicírculos se forman dos círculos, es decir, el perímetro de la figura es dos veces la circunferencia de un círculo de radio 5. = 2(2 ) = 4 5 = 20. Cómo sería el área de la figura (área sombreada)? (no es parte del ejercicio) El área sombreada es la suma del área del cuadrado pequeño más cuatro veces el área de cada semicírculos, es decir, el área del cuadrado pequeño (lado 2r) más dos área del un círculo de radio (pues dos semicírculos forman un círculo), así Área sombreada es: (2 ) + 2 ( )= =