Contribución al estudio vibroacústico de estructuras. Jeniffer Victoria Torres Romero

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1 Contribución al estudio vibroacústico de estructuras Jeniffer Victoria Torres Romero

2 CONTRIBUCIÓN AL ESTUDIO VIBROACÚSTICO DE ESTRUCTURAS Jeniffer Victoria Torres Romero Tesis Doctoral Alicante, Septiembre de 2015

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4 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE FÍSICA APLICADA A LAS CIENCIAS Y LAS TECNOLOGÍAS ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR CONTRIBUCIÓN AL ESTUDIO VIBROACÚSTICO DE ESTRUCTURAS JENIFFER VICTORIA TORRES ROMERO Memoria presentada para aspirar al grado de: DOCTORA POR LA UNIVERSIDAD DE ALICANTE DOCTORADO EN CIENCIAS Y TECNOLOGÍAS FÍSICAS Dirigida por: JAIME RAMIS SORIANO ENRIQUE GONZALO SEGOVIA EULOGIO Parte de las actividades investigativas han sido financiadas por la Generalitat Valenciana a través del proyecto emergente REDUCCIÓN DE LA TRANSMISIÓN DE RUIDO DE IMPACTO EN SUELOS FLOTANTES (expediente GV/2013/019).

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6 j Futuro, Future, Zukunft, Avenir

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8 AGRADECIMIENTOS Especialmente a mis padres; Yolanda y Ricardo por su infinito apoyo y por brindarme tantas oportunidades en la vida. A mis tutores por sus enseñanzas. A mis compañeros de laboratorio por ser un apoyo en este camino. A Pedro y a Max por ayudarme a construir este proyecto. k

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10 RESUMEN Este trabajo doctoral aborda problemáticas relacionadas con el área de la acústica en especial temas relacionado con la acústica de la edificación enfatizando en el desarrollo experimental; contribuyendo al desarrollo y validación de procedimientos alternativos para la caracterización del comportamiento vibroacústico de estructuras y la caracterización de materiales. Igualmente, incluye discusiones referentes al estudio fenomenológico de la propagación de ondas sonoras en estructuras de tamaño reducido y la caracterización de materiales absorbentes por lo general usados como lámina intermedia en soluciones constructivas de suelos flotantes. El desarrollo de la investigación se plantea en seis capítulos. En el primero de ellos se explica el objeto de estudio y los antecedentes de la investigación. En segundo lugar, se abordan los conceptos generales que son utilizados en los siguientes capítulos: sistemas discretos y análisis modal, vibración y radiación en vigas, y placas, representación en el espacio-k y holografía acústica de campo cercano-nah, Método de los Elementos Finitos-MEF y análisis estadístico de la energía-sea. En los capítulos siguientes se presentan las contribuciones principales del trabajo. Concretamente, en el tercero, se plantea una metodología para el estudio de sistemas tipo viga y se propone un procedimiento experimental alternativo para estudiar sus formas de vibración, analizando el campo sonoro radiado por éstas. En este apartado, también, se discute la validez de los supuestos de SEA, en lo relacionado al I

11 estudio de estructuras de tamaño reducido. En el cuarto capítulo, se estudia una estructura en forma de esquina de tamaño reducido con el propósito de considerar la validez en la estimación de los indicadores del aislamiento en la transmisión acústica por vía estructural de la edificación, con énfasis en la caracterización de soluciones constructivas del tipo suelo flotante. En el capítulo quinto, se presenta un procedimiento alternativo basado en NAH para estimar la impedancia de transferencia de materiales absorbentes del tipo poroso- fibroso y se estudia la eficiencia de radiación de estos cuando son instalados sobre un piston circular plano encastrado en una pantalla infinita. En el sexto capítulo se describe un método semianalítico para obtener los parámetros elásticos de intercapas comúnmente usadas en soluciones de suelo flotante. En general, se ha utilizado el MEF como herramienta numérica para la validación de los procesos experimentales. El empleo de este método numérico adquiere mayor relevancia en el sexto capítulo, como herramienta para verificar el método semianalítico propuesto. En síntesis los procedimientos experimentales realizados son contribuciones para facilitar la caracterización vibroacústica de estructuras y la determinación de propiedades elásticas de materiales. Estos procedimientos al ser comparados con técnicas convencionales de medición ofrecen una alta relación señal a ruido, ampliación en el rango de análisis en frecuencia y al emplear secuencias pseudoaleatorias se mantiene la correlación de fase, lo cual permite estudiar temporal y espacialmente los especímenes bajo estudio Palabras Clave Análisis estadístico de energía-sea, Análisis modal, Eficiencia de radiación, Espacio-k, Holografía Acústica de Campo Cercano-NAH, Impedancia de Transferencia, Impedancia Superficial, Índice de reducción vibracional, Modelos de tamaño reducido, Radiación Sonora, Rigidez Dinámica, Señales tipo-mls. II

12 SUMMARY This doctoral work approaches with issues related to the area of acoustics particularly on building acoustic with focus on experimental development, contributing to the improvement and validation of alternative procedures to study the vibroacoustic behavior of structures and materials characterization. Likewise, it includes discussions related to phenomenological study of propagation of sound waves in small size structures and characterization of absorbent materials usually employed as an intermediate layer in floating floors solutions. Research is sketched in six chapters. In the first of them, the object of study and background research are explained. Secondly, the general concepts that are used in the following chapters are addressed; discrete systems and modal analysis, vibration and radiation of beams and plates, representation in k- space and acoustic Near-field Acoustic Holography -NAH, method-finite Element Method- FEM and Statistical Energy analysis-sea. In the following chapters the main contributions of the work are presented. Specifically, in the third chapter, a methodology for the study of beam type systems it is presented and an alternative experimental procedure is proposed to study vibration forms, analyzing the sound field radiated by them. In this section, the validity of the assumptions of SEA is also discussed, in relation to the study of small size structures. In the fourth chapter, a small size structure in shape of corner is studied, in order to consider the validity in the study of the transmission path in building to estimate acoustic isolation indicators. In addition, to that, part of III

13 the analysis is related, when it is put on the base plate of the corner, different floating floor solutions. The fifth chapter displays, an alternative method based on NAH to estimate the transfer impedance of absorbent fibrous-porous is presented. The chapter includes an analysis of the radiation efficiency when the material is installed on a circular piston embedded in an infinite screen. In the sixth chapter, a semi-analytical method is described for the elastic parameters of interlayer solutions commonly used in floating floor. In general, the FEM is used as numerical tool to validate of the experimental processes. The use of this numerical method is more relevant in the sixth as a tool to verify the semi-analytical method proposed. In summary, the proposed experimental procedures are contributions to facilitate the vibroacoustic characterization of structures and determination of elastic properties of materials. These procedures when compared with conventional measuring techniques provide a high signal to noise ratio, an expansion in the frequency range analysis and in fact to employ pseudorandom sequences make it possible to keep a phase correlation, allowing to study temporally and spatially the specimens under study. Keywords Statistical Energy Analysis-SEA, Modal Analysis, Efficiency Radiation, Spacek, Near-field Acoustic Holography-NAH, Transfer Impedance, Superficial Impedance, Vibrational Reduction Index, Small size structures, Acoustic Radiation, Dynamic Stiffness, Maximun Length Sequence-MLS. IV

14 LISTAS DE SÍMBOLOS Abreviaciones 3D : Three dimensional Tres dimensiones CLF : Coupling Loss Factor Factor de perdida de acoplamiento FFT : Fast Fourier Transform Transformada rápida de Fourier FRF : IFFT : Frequency Response Function Inverse Fast Fourier Transform Función de respuesta en frecuencia Transformada rápida de Fourier inversa IR : Impulse Response Respuesta al Impulso ISO : LTI : MEF : International Organization for Standardization Linear Time Invariant system Finite Element Method (FEM) Organización internacional de estandarización Sistema lineal e invariante en el tiempo Método de los elementos finitos MLS : Maximum Length Sequence Secuencia de máxima longitud NAH : Near-field Acoustic Holography Holografía acústica de campo cercano PET : Polyethylene Terephtalate Polietileno Tereftalato SEA : Statistical Energy Analysis Análisis estadístico de energía TLF : Total Loss Factor Factor total de perdidas V

15 Símbolos Arábicos L n : Aislamiento al ruido de impacto [db] L n,w : Aislamiento global al ruido de impacto [db] h : Alto sección transversal [m] w : Ancho sección transversal [m] A : Área de la sección transversal y de la cara de la losa [m 2 ] X E : Capacitancia Eléctrica [Faradios] X ET : Capacitancia Eléctrica Total [Faradios] X me : Capacitancia mecánica [kg] G : O C i Centro de masas de una losa (Centro de gravedad) : Centro inferior de una losa : Constantes arbitrarias i = Ie jωt : Corriente compleja [amperio] B : Densidad Flujo Magnético [Tesla] n i : Densidad Modal [1/Hz] d : Desplazamiento [m] d(x, t) : Desplazamiento lateral [m] {d } e : Desplazamientos nodales [m] D vij, : D vij : d r : Diferencia de niveles de velocidad promediados direccionalmente entre los elementos i y j Diferencia de velocidad entre el elemento i y j Distancia entre el plano reconstruido y el plano del holograma [db] [db] [Hz] E k : Energía cinética [J] Ei : Energía subsistema SEA [J] e : Espesor intercapa [J] Q : Factor de calidad KAM c : Factor de cizallamiento [N] VI

16 K : Factor de corrección, el cual representa la fracción de la sección transversal de la viga que soporta cizallamiento Qloss : Factor de pérdidas r : Factor de reflexión w t : Flujo de Potencia [W] W ij : Flujo de potencia medio entre dos subsistemas [W] f : Frecuencia [Hz] f c : Frecuencia critica [Hz] k c : Frecuencia de corte espacial [Rad] f m : Frecuencia de muestreo [khz] f 0 : Frecuencia natural [Hz] f R : Frecuencia Resonancia esqueleto material absorbente [Hz] f n : Frecuencias Naturales [Hz] F : Fuerza [N] F z (x, t) : Fuerza aplicada por unidad de longitud [N] F ω : Fuerza armónica de pulsación [N] F y : Fuerza puntual armónica externa [N] {f } e ext : Fuerzas concentradas [N] {f} em : Fuerzas de Inercia [N] {f } ec : Fuerzas nodales equivalentes [N] Cos : Función Coseno Cot : Función Cotangente c : Función de Amortiguamiento G : Función de Green G : Función de Green Modificada G ref : Función de la auto densidad espectral de referencia Sin : Función Seno Tan : Función Tangente J i : Funciones de Bessel VII

17 I i : Funciones de Bessel modificadas de orden i = 0.1 Z A : Impedancia Actuador [ohm] Z : Impedancia Acústica de un material absorbente [ Ns m 3 ] Z A,esp : Impedancia Acústica específica [ Ns m 3 ] Z t : Impedancia de transferencia [ Ns m 3 ] Z MOV : Impedancia del movimiento [ Ns m] Z ET : Impedancia Eléctrica de entrada [ohm] Z E : Impedancia Eléctrica pura [ohm] Z M : Impedancia Mecánica [ Ns m] Z MR : Impedancia Mecánica de Radiación [ Ns m] Z MD : Impedancia Sistema Mecánico [ Ns m] Z s : Impedancia superficial [ Ns m 3 ] k ij : Índice de reducción Vibracional [db] L e : Inductancia eléctrica de la bobina [Henrio] I : Intensidad [W/m 2 ] L : Longitud [m] l : Longitud de la bobina móvil [m] l ij : Longitud de la unión [m] a i y a j : longitudes de absorción equivalentes de los elementos i y j respectivamente [m] m s : Masa modal * [kgm 2 ] m : Masa por unidad de longitud de la viga [ kg m] m : Masa por unidad de superficie [ kg m 2 ] [C] : Matriz Amortiguamiento * [ Ns m] {c} e : Matriz de amortiguamiento consistente * [ Ns m] [C k ] : Matriz de amortiguamiento para algunos elementos ejemplo un elemento tipo muelle * [ Ns m] VIII

18 [D] e : Matriz de Elasticidad [ N m 2 ] [M] : Matriz de Masa * [kg] [m] e : Matriz de Masa de un elemento * [kg] [R] : Matriz de Radiación [ kg s] [K] : Matriz de Rigidez * [ N m ] [k] e : Matriz de Rigidez del elemento * [ N m ] [a] : Matriz modal del sistema * [m] L n : Mejora al ruido de impacto [db] M C : Módulo de cizallamiento [ N m 2 ] M ET : Módulo de elasticidad transversal [ N m 2 ] M : Módulo de onda P [ N m 2 ] E : Módulo de Young [ N m 2 ] I y : Momento de Inercia respecto al eje y [m 4 ] L n : Nivel de ruido de impacto normalizado [db] L v : Nivel de velocidad Promedio [1/m] k : Número de onda [1/m] k b : Número de onda de flexión [rad/s] k 0 : Número de onda en el aire [1/m] T : Origen de coordenadas Re : Parte Real s : Pendiente del filtro respectivamente [db] R : Perdida por transmisión [db] W a : Potencia acústica radiada por unidad de superficie [ W m 2 ] W eff : Potencia efectiva [W] W Total,in : Potencia total de entrada a un sistema [W] W v : Potencia vibratoria (o mecánica) de la estructura [W] p : Presión acústica [pa] IX

19 p s : Presión Compleja [pa] a : Radio [m] R A : Relación de Aspecto H 21 : H 12 : Relación de espesores entre el elemento 2 y 1 Relación de espesores entre el elemento 1 y 2 R e : Resistencia Eléctrica dela bobina [ohm] R Me : Resistencia mecánica [ohm] R MR : Resistencia Mecánica de radiación [ohm] i y j : Resonadores o subsistemas h(t) : Respuesta al impulso del sistema H v : Respuesta del Filtro Veronesi [Hz] H f : Respuesta en Frecuencia [Hz] H f : H b : H t : b G 1 2 : Respuesta en frecuencia de las ondas de Flexión Respuesta en frecuencia de las ondas de Flexión en la parte interior de la estructura. Respuesta en frecuencia de las ondas de Flexión en la parte superior de la estructura Respuesta espectral de la función de densidad espectral cruzada entre dos señales próximas [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] D : Rigidez a Flexión [Nm] s t : Rigidez dinámica [MN m 3 ] s : Rigidez por unidad de superficie [MN/m 3 ] k s : Rigidez modal * [ N m ] n(τ) : Ruido usado en la medida-señal MLS x(t) : Señal de excitación y(t) : Señal de respuesta o salida del sistema s(t) : Señal recibida i : Subsistema SEA S : Superficie [m 2 ] X

20 v g ; Tensión de entrada al altavoz [volt] e = Ee jω : Tensión en las terminales de la bobina [volt] t : Tiempo [s] T s : Tiempo de reverberación estructural [s] T ext : Trabajo Exterior [J] j : Unidad imaginaria ( 1) A 0 : Valor de referencia de la absorción total [m 2 ] {y } : Vector de aceleración [m/s 2 ] {y } : Vector de velocidad [m/s] {y} : Vector desplazamiento [m] {f(t)} : Vector fuerza actuante [N] k(k x, k y, k z ) : Vector número de onda [1/m] v : Velocidad [m/s] v placa : Velocidad de la estructura [ m s] c B : c B : c 0 : c L : c L : c air : Velocidad de propagación de las ondas de flexión en las vigas Velocidad de propagación de las ondas de flexión en un solido Velocidad de propagación de las ondas en el aire Velocidad de propagación de las ondas longitudinales en el sólido Velocidad de propagación de las ondas longitudinales en un solido Velocidad de propagación de las ondas sonoras en el aire [ m s] [ m s] [ m s] [ m s] [ m s] [ m s] v(x, t) : Velocidad lateral [ m s] V : Volumen [m 3 ] XI

21 Símbolos Griegos {ε 0 } e : Deformaciones Iniciales {σ 0 } e : Tensiones Residuales [ N m 2 ] {ε} e : Deformaciones unitarias del elemento {σ e } : Tensiones de Contorno [ N m 2 ] Λ n : Coeficientes de ponderación Φ xx (t). : Φ xy (t) : Función de auto correlación de la señal de entrada Correlación cruzada entre la señal de entrada y la salida del sistema α : Tortuosidad [%] η i : Factor de pérdidas del modo i. η ij : Factor de pérdidas entre dos subsistemas λ i : Frecuencia propia compleja del modo i. [Hz] σ R : Eficiencia de radiación [db] τ ij : Coeficiente de transmission [db] [ψ] : Matriz modal compleja ω i : Frecuencia de resonancia normal (sin amortiguamiento) del modo i [Φ] : Matriz modal compleja normalizada [Hz] d : Variación del espesor de la intercapa [m] К : Módulo de compresibilidad [ N m 2 ] ω n : Frecuencias Propias [Hz] [φ] : Matriz real ortogonal * [kg 1/2 ] Δ : Decremento logarítmico Λ : Longitud Termal [m] Λ : Longitud Viscosa [m] α : Coeficiente de absorción δ{u} e : Desplazamiento Virtual de los modos de un elemento [m] XII

22 η : Factor de pérdidas [ ] η(t) : Coordenada modal λ : Longitud de Onda [m] ζ : Amortiguamiento lineal viscoso * [ Ns m] μ : Coeficiente de Poisson [ ] ξ : Coeficiente de amortiguamiento [ ] ρ : Densidad del material [Kg/m 3 ] σ : Resistividad al Flujo [Nm 4 /s] σ R : Eficiencia de radiación [db] φ(x) : Forma modal estructural ω : Frecuencia angular [rad/s] φ : Porosidad [%] (* Si todos los grados de libertad son traslacionales) Miscelánea de Símbolos H : Complejo conjugado T : Transpuesto : Operador de derivadas parciales XIII

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24 Tabla de contenido RESUMEN I Palabras Clave II SUMMARY III Keywords IV LISTAS DE SÍMBOLOS V Abreviaciones V Símbolos Arábicos VI Símbolos Griegos XII Miscelánea de Símbolos XIII CAPÍTULO 1: OBJETO Y ANTECEDENTES Antecedentes Objetivos Objetivo General Objetivos Específicos Estructura de la Tesis 9 CAPÍTULO 2: CONCEPTOS Sistemas discretos y Análisis modal Vibración y radiación de vigas, placas Radiación de ondas de Flexión Radiación de ondas de flexión 33 XV

25 2.3 Holografía Acústica de campo cercano (Near-field Acoustic Holography- NAH) y representación en el espacio-k El Método de los Elementos Finitos (MEF) Análisis Estadístico de la Energía-SEA Relaciones básicas en SEA Respuesta de una estructura sometida a una excitación Formulación SEA para el caso del estado estacionario Formulación SEA para el estado transitorio (proceso reverberante) 54 CAPÍTULO 3: CARACTERIZACIÓN DE SISTEMAS TIPO VIGA Introducción Base experimental Desarrollo Primer procedimiento experimental Segundo procedimiento experimental Discusión 80 CAPÍTULO 4: ESTUDIO VIBRATORIO DE ESTRUCTURAS DE TAMAÑO REDUCIDO Introducción SEA en acústica en la edificación Configuración Experimental Resultados Análisis Modal y respuesta en frecuencia Diferencia de nivel de velocidad en la unión entre el elemento excitado i y el elemento receptor j Dv, ij Tiempo de Reverberación Estructural, Ts Índice de reducción vibracional, kij Índice de reducción del sonido de impacto ΔL Discusión 110 CAPÍTULO 5: ESTIMACIÓN DE LA IMPEDANCIA DE TRANSFERENCIA DE MATERIALES FIBROSOS Introducción Materiales porosos y fibrosos: Modelo de Biot 115 XVI

26 5.3 Materiales utilizados Montajes Experimentales Tubo de impedancia: Impedancia superficial Montaje experimental con NAH Resultados Impedancia Acústica del Material Fibroso Estimación de la Eficiencia de Radiación Discusión 128 CAPÍTULO 6: DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS ELÁSTICOS DE UN MATERIAL A PARTIR DEL ENSAYO NORMALIZADO DE RIGIDEZ DINÁMICA Introducción Especímenes bajo estudio Supuestos Análisis Modal-Analítico Fundamentos del método. Análisis armónico Discusión 152 CONCLUSIONES GENERALES 153 LÍNEAS FUTURAS DE INVESTIGACIÓN 155 REFERENCIAS 157 ANEXO I: TRANSDUCTOR Y SEÑAL DE PRUEBA III I.1. Transductor Electrodinámico. Parámetros Relevantes III I.2. Señales de Prueba: Secuencia de Máxima Longitud (Maximum Length Sequence-MLS) VIII ANEXO II. PROCESO PARA LA ELECCIÓN DE LA FUENTE USADA EN LOS EXPERIMENTOS XI XVII

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28 Listado de figuras Figura 1 El movimiento a flexión de una viga delgada con una sección transversal rectangular cuando se somete a una fuerza en el plano xy. 25 Figura 2 Representación de las formas modales para distintas condiciones de apoyo. Arriba Viga Simplemente Soportada. Abajo Viga Sujetada en el apoyo. 28 Figura 3 Conversión de signos y sistema de coordenadas para una placa rectangular excitada por una fuerza en un punto. 30 Figura 4 Seis primeras formas modales de una placa simplemente soportada, figura tomada de [62] 31 Figura 5 Forma de los dos primeros modos radiales (Figura tomada de [63] pág. 91) 32 Figura 6 Diagrama esquemático de una superficie de vibración 35 Figura 7 Estimación de la potencia radiada cuando se excita una viga de 1.2 m de longitud a 0.35 cm del extremo, considerando y sin considerar los términos de acoplo en la matriz de radiación 37 Figura 8 Concepto general de Near-field Acoustic Holography- NAH 40 Figura 9 Diagrama de procesos de Near-field Acoustic Holography-NAH 40 Figura 10 Descripción de la base experimental utilizada (Todas las medidas están en metros (m)) 59 Figura 11 Izquierda La perforación a través de la sección transversal para prensar las varillas roscadas, Derecha. Masilla para sellar la unión. 59 Figura 12 Izquierda. Prensa para llevar a cabo la deformación, Derecha. Detalle de la aplicación de las galgas extensiométrica 60 Figura 13 Sensor ultrasónico para determinar la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en los sólidos. 61 Figura 14 Condiciones de contorno, de viga simplemente soportada 61 Figura 15 Emulación de la condición Libre-Libre usando cuerdas para suspender a la estructura. 62 Figura 16 Condición de frontera emulando una condición libre-libre usando espuma como si fuera un muelle. 63 XIX

29 Figura 17 Configuración correspondiente al primer procedimiento experimental. 64 Figura 18 F.R.F de la Movilidad 65 Figura 19 Relación Energética en los especímenes 66 Figura 20 Flujo de potencia de vibración a través de las estructuras 67 Figura 21 Transmisión de la IR a través del Espécimen 0 y 1 en distintos instantes de tiempo (Desplazamiento exagerado) 68 Figura 22 Esquema de medición del segundo procedimiento experimental. 70 Figura 23 Vista detallada de las condiciones de montaje. 70 Figura 24 Promedio espacial de la respuesta de frecuencia de presión obtenida de esos puntos de medición cerca de la viga 71 Figura 25 Resultados de vibración y en el campo acústico obtenidos para la viga de sección transversal continua (5to Mode Hz). Arriba. Parte reala del campo de presión radiado por la viga en una ventana espacial de 1.2 x 0.6 m. Bajo. Desplazamiento modal 73 Figura 26 Campo Acústico en la malla de medición para el instante de tiempo t = ms 74 Figura 27 Evolución temporal en un intervalo de tiempo para el 5to modo de resonancia de la viga continua. 75 Figura 28 Campo de presión sonora a 2 khz. a. Distribución espacial en la matriz del campo acústico medido. b. Representación del campo acústico en el espacio-k 76 Figura 29 Campo de presión sonoro a 4 khz (radiación sonora de la viga enmascarada por la radiación del actuador). a. Distribución espacial en la matriz de medida. b. Representación del espacio-k 77 Figura 30 Representación con circunferencias concéntricas de la respuesta en el espacio-k del filtro Veronesi (s=0,65). 78 Figura 31 Campo de presión filtrado para 4 khz. a. Distribución espacial en la malla de medición. b. Representación del espacio-k (Incluye la representación del filtro Veronesi empleado). 79 Figura 32 Comparación entre la velocidad de propagación de las ondas de flexión de la viga obtenida experimentalmente y con los modelos de viga de Euler-Bernoulli y Timoshenko. 79 Figura 33 Esquema de la situación real de edificación de los elementos constructivos 85 Figura 34 Esquema del flujo de energía entre dos placas conectadas transversalmente 86 Figura 35 Superior. Detalle de la esquina (Todas las dimensiones en centímetros). Inferior Estructura Real. 93 Figura 36 Distribución de los puntos de medición 94 Figura 37 Respuesta en frecuencia mediante el proceso experimental de la esquina desnuda 97 Figura 38 Respuesta en frecuencia con la solución de suelo flotante. Arriba. Comparación entre los resultados experimentales y numéricos en la superficie superior de la esquina. Abajo. Comparación entre los resultados experimentales y numéricos sin la contribución 100 XX

30 Figura 39 Respuesta en frecuencia para las seis superficies. Arriba La esquina desnuda. Abajo, La esquina con la solución de suelo flotante, 102 Figura 40 Diferencia Normalizado para tres distintos casos de comparación 103 Figura 41 Curvas de decaimiento para tres distintas frecuencias (800Hz 2kHz 4kHz) 105 Figura 42 Tiempo de reverberación estructural para la piedra Bateig 107 Figura 43 Factor de pérdidas η de la piedra Bateig 108 Figura 44 Índice de reducción de las vibraciones, Kij, para distintas configuraciones de suelo flotante 109 Figura 45 Comparación de la técnica experimental propuesta y la técnica de la máquina de impactos para el cálculo del índice de reducción del sonido de impacto 110 Figura 46 Esquema condiciones de contorno. Derecha, impedancia superficial, izquierda, impedancia de transferencia 117 Figura 47 Muestras del material fibroso utilizado para el estudio 119 Figura 48 Esquema del montaje para la medición de impedancia acústica en tubo de impedancia 121 Figura 49 Montaje experimental método de la función de transferencia 122 Figura 50 Montaje experimental. Izquierda: NAH. Derecha: Aceleración 123 Figura 51 Montaje experimental para la holografía acústica de campo cercano. 123 Figura 52 Parte real e imaginaria de la Impedancias Acústicas ZS y ZT 125 Figura 53 Representación gráfica de la eficiencia de radiación simulada según el modelo de DOUTRES con las mediciones de ZS(izquierda) y ZT(derecha). Placa rígida( ) y la placa recubierta de una capa de material fibroso (-----) 126 Figura 54 Eficiencia de Radiación calculada a partir de las mediciones con NAH 127 Figura 55 Configuración de medida según EN :1992 (ISO 9052:1989) [2] 129 Figura 56 Proceso de medición de la Rigidez Dinámica 133 Figura 57 Representación gráfica de la función de transferencia de la medición de la rigidez dinámica 134 Figura 58 Vista en planta (izquierda) y alzado (derecha) de la configuración bajo estudio 135 Figura 59 Izquierda: Giro respecto OY de la cara superior de la intercapa. Derecha: Giro respecto OZ de la cara superior de la lámina 140 Figura 60 Componente u del modo analítico correspondiente a la ecuación (6.7 a), (77.95 Hz) 143 Figura 61 Componente u del modo numérico correspondiente a la ecuación (6.7 a), (76,53 Hz) 143 Figura 62 Componente u del modo analítico en la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.50 Hz) 143 Figura 63 Componente u del modo numérico en la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.40 Hz) 143 XXI

31 Figura 64 Componente u del modo analítico en la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.50 Hz doble) 143 Figura 65 Componente u del modo numérico en la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.40 Hz doble) 143 Figura 66 Componente u del modo analítico en la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (77.96 Hz) 144 Figura 67 Componente u del modo numérico de la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (74.81 Hz) 144 Figura 68 Componente u del modo analítico en la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (77.96 Hz doble) 144 Figura 69 Componente u del modo numérico de la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (74.81 Hz doble) 144 Figura 70 Componente v del modo analítico de la losa correspondiente a la ecuación (6.7 d), (23.50 Hz) 144 Figura 71 Componente v del modo numérico de la losa correspondiente a la ecuación (6.7 d), (23.48 Hz) 144 Figura 72 Circuito equivalente de un altavoz dinámico. Aproximación en baja frecuencia V Figura 73 Esquema de la medición de la Impedancia eléctrica de los actuadores VII Figura 74 Espécimen empleado para calibrar el sistema electroacústica XIII Figura 75 Esquema de medición del procedimiento experimental alternativo XIV Figura 76 Ejemplo de la interfaz gráfica para la emisión y adquisición de señales XIV Figura 77 Primer Test: Impedancia Eléctrica del Actuador 2 (ACT_002) XV Figura 78 Segundo Test: Respuesta al Impulso obtenida de la viga usando tres distintos niveles de amplificación y el Actuador ACT_002 XVI Figura 79 Comparación de la respuesta en frecuencia entre el experimento usando, Actuador-MLS, Shaker-MLS y Martillo de Impacto. XVII XXII

32 Listado de Tablas Tabla 1 Relaciones entre diferentes formas de expresar el amortiguamiento. Tabla tomada de [51] 19 Tabla 2 Solución para la ecuación diferencial del movimiento de flexión para distintas condiciones de contorno 27 Tabla 3 Características mecánicas de la viga usada como ejemplo 37 Tabla 4 Las características físicas y mecánicas de la piedra Bateig 60 Tabla 5 Propiedades de la señal MLS usada en los experimentos 63 Tabla 6 Diez primeros modos de flexión de una viga-libre libre, calculado con la aproximación de Euler-Bernoulli, obtenido experimentalmente y desviación relativa (porcentaje). 71 Tabla 7 Propiedades mecánicas de la miga de neumático reciclado 93 Tabla 8 Selección y localización de la fuente sobre la malla de medición. 94 Tabla 9 Propiedades Mecánicas del Mármol 95 Tabla 10 Propiedades mecánicas de las capas viscoelásticas elegidas para el estudio 95 Tabla 11 Comparación numérica de las formas modales con dos condiciones de contorno. Izquierda. Condición experimento real. Derecha, En la base condición tipo muelle. 98 Tabla 12 Solución numérica de las formas modales 100 Tabla 13 Características mecánicas de la placa metálica 118 Tabla 14 Características mecánicas del material fibroso 118 Tabla 15 Modos radiales de la placa metálica encastrada en una pantalla infinita 127 Tabla 16 Muestras de intercapa usadas para la medición de la Rigidez Dinámica 132 Tabla 17 Datos de entrada para el ejemplo en el modelo numérico 142 Tabla 18 Actuadores Electrodinámicos usados en este estudio XII Tabla 19 Características de los actuadores (Datasheet del fabricante) XII Tabla 20 Amplificaciones usadas en el sistema de calibración XVI Tabla 21 Respuesta en frecuencia entre el Martillo, el Excitador Electrodinámico y el Actuador para la viga de sección rectangular continua, (Hz). XVIII XXIII

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34 CAPÍTULO 1: OBJETO Y ANTECEDENTES Este documento que se presenta para su evaluación como tesis doctoral en el programa de doctorado del Instituto Universitario de Física Aplicada a las Ciencias y las Tecnologías (en adelante IFACT), de la Universidad de Alicante (UA), se inscribe en la línea de investigación de Acústica de la Edificación (Building Acoustics), del citado programa. Parte de las actividades realizadas se han financiado por la Generalitat Valenciana a través del proyecto emergente REDUCCIÓN DE LA TRANSMISIÓN DE RUIDO DE IMPACTO EN SUELOS FLOTANTES (expediente GV/2013/019), cuyo Investigador Principal (IP) es D. Enrique G. Segovia Eulogio, codirector de este trabajo. Los aportes científicos de la presente tesis doctoral a la acústica de la edificación, se pueden enmarcar en las siguientes temáticas: a) la cuantificación de la transmisión energética que se produce al generar perturbaciones de tipo mecánico en estructuras de tamaño reducido, de elementos constructivos que se encuentran comúnmente en la edificación, tales como vigas y placas unidas o conectadas entre sí. La discusión se centra en encontrar los límites de validez de la metodología conocida por SEA (Statistical Energy Analysis) [1] para cuantificar el flujo de energía acústica entre sistemas acoplados. Este 1

35 estudio se ejecuta desde un punto de vista experimental y se ubica en el contexto de la problemática del ruido transmitido vía estructural. b) en la utilización de técnicas y procedimientos alternativos no invasivos para la caracterización de materiales, empleando métodos de medición vibroacústicos. Se estudian principalmente materiales visco-poroelásticos y se determinan dos propiedades mecánicas; la primera, hace referencia a la impedancia de transferencia haciendo uso de la holografía acústica de campo cercano (NAH-Near Field Acoustic Holography-) y la segunda, a la obtención de las propiedades elásticas (Modulo de Young, de Compresibilidad, de elasticidad transversal, de onda P y el primer parámetro de Láme), de estos materiales usando un método inverso basado en la medición de la rigidez dinámica [2]. El método inverso se justifica mediante un riguroso estudio analítico. En este sentido, las contribuciones de la investigación se han orientado a: Estudiar el grado de validez de los principios del Análisis Estadístico de la Energía SEA [1], para la evaluación del flujo de potencia en estructuras simples de tamaño reducido, como las vigas de sección transversal rectangular, continuas y con cambio de sección. Medir el campo de radiación acústico de estructuras simples tipo viga, para estimar el comportamiento modal de la estructura y calcular la velocidad de propagación de las ondas de flexión de los sólidos, aplicando técnicas de procesado en el espacio del número de onda (espacio-k) [3]. Obtener la impedancia de transferencia [4], [5] de materiales fibrosos comparando los resultados con el modelo de Biot [6], [7] usando Holografía Acústica de Campo Cercano-NAH [3]. Desarrollar un procedimiento alternativo de medición usando sistemas constructivos en tamaño reducido para determinar el índice de reducción de las vibraciones, k ij, [8] con especial interés en la observación del comportamiento de distintas configuraciones de suelo flotante. 2

36 Determinar parámetros elásticos de un material absorbente a partir de las medidas obtenidas en el ensayo experimental normalizado para medir la rigidez dinámica [2] La verificación de los resultados experimentales se realizó con el método de elementos finitos (MEF). Los experimentos numéricos resuelven el problema vibroacústico en el módulo de mecánica de sólidos del software COMSOL Multiphysics [9] en su versión 4.3. Los materiales empleados en los modelos son de tipo elástico lineal y en cada uno de los experimentos se realizaron estudios de frecuencia propia y en el dominio de la frecuencia. En el estudio de las propiedades mecánicas de los materiales absorbentes se empleó el software ANSYS (Versión ) [10]. Parte de los resultados de este trabajo doctoral, han sido presentados en distintos congresos de acústica e ingeniería mecánica: EURONOISE 2012 [11], IECM 2012 [12], [13], [14] Tecniacústica 2012 [15], [16], Tecniacústica 2013 [17] 1, [18], Tecniacústica 2014 [19], [20], [21], [22] y en el IX Congreso Iberoamericano de Acústica FIA 2014 [23]. También se han llevado a cabo contribuciones orientadas a la vertiente pedagógica en congresos de investigación docente, Redes 2014 [24] y Redes 2015 [25] 1.1 Antecedentes El sonido se transmite de un recinto (emisor) a otro (receptor), a través de dos caminos: el aéreo y el estructural. Las ondas sonoras en el aire se propagan de manera longitudinal y con una velocidad de propagación constante, independiente de la frecuencia. Las ondas que se propagan en los sólidos son de distintos tipos (transversales, longitudinales, Shear, Rayleigh, superficiales, entre otras), con diferentes velocidades, que dependen de la frecuencia, entonces se dice que el medio de propagación es dispersivo [26]. Los inconvenientes de las técnicas de medición y predicción actualmente estandarizadas [8], [27] y [28], están relacionados con las aproximaciones de primer orden [29], [30] con las cuales se resuelven los problemas de 1 Comunicación galardonada con el premio Andrés Lara para Jóvenes Acústicos-SEA

37 interacción entre uniones en una edificación ya que, solo se tiene en cuenta un elemento en la unión y un solo elemento constructivo. Las aproximaciones están basadas dentro de los supuestos de la teoría estadística (SEA) [1], donde se acepta que la densidad modal es alta por lo que se puede estudiar energéticamente el fenómeno. Pero la realidad es que las estructuras tienen un marcado comportamiento modal a baja frecuencia como se menciona en los estudios [31], [32] y este comportamiento es altamente dependiente del material constructivo, por lo que estudios predictivos con técnicas hibridas como la popular MEF-SEA son una potente herramienta para evaluar el comportamiento vibroacústico de sistemas constructivos [26]. Con el objeto de predecir el comportamiento de los elementos constructivos, la norma UN EN ISO (Medida en el laboratorio de la transmisión por flancos del ruido aéreo y de impacto entre recintos adyacentes) [28] permite anticipar el comportamiento de los elementos constructivos en laboratorio. Este tipo de laboratorio requiere una gran infraestructura, por lo que no siempre está al alcance de los productores o de los investigadores de sistemas constructivos. La incertidumbre asociada entre la predicción, la medida en laboratorio y la medida insitu del índice de reducción de la vibración (k ij ), radica en que la estimación del valor se hace desde una aproximación de primer orden del modelo analítico como se mencionó anteriormente, además no se tiene en cuenta, la dependencia en frecuencia que es importante en el comportamiento estructural, ni la interacción entre elementos constructivos en distintas uniones, y lo más importante, no se incluye en el modelo de predicción sistemas multicapas salvo un estudio restringido al uso de materiales viscoelásticos entre las uniones. Sin embargo, no se incluye la problemática asociada a la mejora al ruido cuando se instalan distintas intercapas entre el forjado y el suelo flotante [27]. Adicionalmente, esta normativa no incluye la descripción del comportamiento estructural (formas de vibrar), por lo que determinar el rendimiento de la estructura es complejo. En la industria automovilística y aeronáutica, se estudia el fenómeno de la transmisión estructural usando técnicas de medición resonantes y 4

38 modelamiento numérico para describir el desempeño vibroacústico de la maquinaria, por lo que se optimiza el proceso de diseño y producción, así como el control del ruido y las vibraciones. En [33] y [34] se ha empleado la técnica llamada en ingles Vibroacoustic Transfer Path Analysis (TPA) Análisis vibro acústico de los caminos de transferencia - esta técnica es una herramienta para evaluar la contribución de las diferentes trayectorias de propagación de la energía entre una fuente y un receptor, vinculados entre sí por un número de conexiones. TPA se utiliza típicamente para cuantificar y clasificar la importancia de estos caminos en una banda de frecuencia dada. El método TPA pertenece al grupo de herramientas numéricasexperimentales para el análisis y solución de problemas de ruido y vibraciones en sistemas vibroacústicos lineales e invariantes en el tiempo. Este método permite la identificación de las principales fuentes de ruido y vibraciones así como las rutas de transferencia acústicas a través de la estructura. De esta forma, es posible encontrar el eslabón más débil en la cadena de transmisión y proponer sistemas de aislamiento más eficaces. Otra técnica comúnmente usada para predecir el comportamiento vibroacústico de las estructuras es el método de Análisis estadístico de la Energía (SEA)- Statistical Energy Analisys-. En trabajos como [35] y [36] se utiliza esta técnica para evaluar distintas aproximaciones basadas en la evaluación del Factor de perdida de Acoplamiento (CLF)- Coupling Loss Factor - para la resolución del problema de la trasmisión acústica bajo los supuestos permitidos por SEA y la evaluación de distintas uniones. Los elementos tipo viga y placa tienen bajas densidades modales, por lo que hacer análisis bajo los supuestos de SEA (alta densidad modal) suelen dar como resultado altas desviaciones en las predicciones de los distintos sistemas constructivos. En trabajos como [37] emplean mediciones experimentales y simulaciones numéricas usando un método híbrido MEF- SEA para evaluar el aumento de la baja transmisibilidad en el aislamiento de las vibraciones y del ruido de impacto en suelos flotantes. Sustentando la necesidad del análisis en baja frecuencia, estudios como [31] se han enfocado a la caracterización experimental de fuentes de ruido en la edificación (sistemas hidráulicos). Tales máquinas casi siempre se instalan 5

39 haciendo contacto con paredes estructurales pesadas homogéneas, o sistemas de pisos flotantes. En [32] también se estudia el sonido transmitido vía estructural causada por instalaciones, proponiendo un nuevo método para derivar la fuerza entre una instalación y un elemento de construcción de manera recíproca vibroacústicamente hablando. Como la mayoría de las instalaciones tienen una importante contribución de frecuencia más baja, por debajo de 50 Hz, se ensaya con una fuente de excitación que cubra este rango de frecuencia con suficiente nivel. En este sentido, la línea de investigación de Acústica de la Edificación en la cual se desarrolla ésta investigación ha venido trabajando en proyectos enfocados a mejorar la forma de predecir el comportamiento de elementos constructivos. Entre ellos: Predicción del aislamiento acústico en la edificación (BIA C02-01), cuyo objetivo fue dotar de herramientas numéricas y/o datos experimentales, con el propósito de proporcionar resultados más precisos, para mejorar las predicciones del aislamiento a ruido aéreo y a ruido de impacto de las soluciones constructivas más utilizadas en la edificación. Entre los resultados de la línea de investigación de Acústica de la Edificación más significativos se pueden citar: Vibration Reduction Index of a T-Junction With a Flexible Interlayer; Jesus Alba; Eva Escuder; Jaime Ramis; Romina del Rey; Enrique G. Segovia; Journal of Vibration and Acoustics; Vol. 134 (2), 2012 [38] Propuesta de fórmula empírica para el factor de pérdidas, R. del Rey, J. Alba, J. Ramis, E. Julia y J. Segura, Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería; Vol. 28(3), (2012) [39] Aplicación del método de los elementos finitos para la simulación de las transmisiones por flanco en uniones con suelos flotantes, Romina del Rey, Jesús Alba, Jaime Ramis, Eva Escuder, Información Tecnológica Vol. 21(6), (2010) [40]. 6

40 Aislamiento acústico de trasdosados fabricados con derivados de la Madera (MDF), Carlos Hervás; Jesús Carbajo; Enrique Segovia; Jaime Ramis. Acústica e Vibrações, no. 42, [41]. Characterization of impervious layers by using scale models and an inverse method; Jesús Alba, Eva Escuder, Jaime Ramis, Romina Del Rey; Journal of Sound and Vibration, 326, ; [42] Prediction models of airborne sound insulation of multilayer materials with viscoelastic thin sheets; Jesús Alba; Vincent Marant; Juan Luis Aguilera; Jaime Ramis; Romina del Rey; Journal of Building Acoustics; 15(4), ; [43]. Dada la complejidad de medir en condiciones reales, los métodos numéricos como el de los elementos finitos (MEF), se convierten en una solución más acertada para la resolución del problema de la predicción de la transmisión vía estructural, como se muestra en el artículo, también producto del trabajo de investigación del grupo y titulado, Numerical evaluation of the vibration reduction index for structural joints publicado en Archives of Acoustics Vol. 37, No. 2, 2012 [44], en el que se aborda el problema del análisis de la transmisión de vibraciones en estructuras en presencia de uniones o juntas. Los resultados obtenidos se comparan con resultados analíticos usando el modelo presentado en la norma UNE EN ISO para obtener el índice de reducción de la vibración. De acuerdo a lo anteriormente descrito, se puede indicar que el propósito general de la presente investigación es continuar con los aportes en acústica de la edificación dentro del grupo de investigación, aportando a la identificación del fenómeno de propagación de ondas sonoras en sólidos, por medio de procedimientos alternativos de medición, así como aportar en la caracterización de los materiales absorbentes usados comúnmente como intercapa en suelo flotante. 7

41 1.2 Objetivos Objetivo General Caracterizar sistemas y propiedades mecánicas de materiales constructivos a partir del desarrollo de procedimientos vibroacústicos experimentales alternativos, en los que juega un papel destacado la elección del transductor excitador y la elección de la señal de test Objetivos Específicos a. Establecer un set-up experimental para validar la configuración propuesta, la cual consiste en usar como estímulo señales pseudoaleatorias del tipo MLS (Maximun Length Sequence) y emplear distintas fuentes electrodinámicas del tipo actuador como excitación mecánica para establecer sistemas forzados. b. Comparar los supuestos de SEA sobre el flujo de potencia en sistemas simples acoplados con mediciones realizadas bajo la técnica propuesta y establecer el grado de validez de SEA en sistemas de tamaño reducido. c. Estimar la velocidad de propagación de ondas de flexión usando medidas en el campo próximo radiado de sistemas tipo viga. d. Diseñar un procedimiento experimental alternativo para la caracterización de estructuras de tamaño reducido para cuantificar el índice de reducción de las vibraciones. e. Estimar la impedancia de transferencia de materiales fibrosos usando Holografía Acústica de campo Cercano (NAH) y validar la metodología experimental. f. Determinar los parámetros elásticos de materiales usados en la solución constructiva de piso flotante, a partir del ensayo normalizado de rigidez dinámica. 8

42 1.3 Estructura de la Tesis Para desarrollar los objetivos propuestos, el trabajo se ha estructurado en los siguientes capítulos: El capítulo 1 describe los antecedentes y los objetivos que determinaron la presente investigación y se describen los contenidos de cada una de los apartados del documento de tesis doctoral. En el capítulo 2 se exponen los conceptos teóricos que fundamentan el desarrollo metodológico y experimental de la investigación. Inicialmente se explica lo referente a sistemas discretos y análisis modal de sistemas mecánicos, así mismo lo referente al amortiguamiento. En segundo lugar, se desarrollan las ecuaciones que explican la vibración de vigas, placas y membranas y la radiación acústica de estas estructuras. En tercer lugar, se exponen los conceptos básicos sobre el procesamiento de datos en el espacio-k y la holografía acústica de campo cercano NAH. El siguiente apartado, el cuarto, expone las generalidades sobre el método numérico más usado en la resolución de problemas en ingeniería: el método de los elementos Finitos MEF. Finalmente, se explica el flujo de energía en sistemas acoplados y el factor de pérdidas por acoplamiento, estos dos conceptos se explican a través de la terminología básica del Análisis estadístico de la energía (SEA-Statistical Energy Analysis) para sistemas en estado estacionario y transitorio. Posteriormente, en el capítulo 4 se profundiza en los conceptos de SEA relacionados con la propagación de energía en uniones en edificaciones. El capítulo 3, presenta los experimentos realizados con elementos tipo viga. En primer lugar, se muestra la base experimental usada y la manera como se obtuvieron las propiedades mecánicas del material con que fueron fabricados los especímenes usados para los test. En segundo término, se demuestra la influencia de las condiciones de contorno en la realización de los experimentos. Seguido a esto, se exponen los dos procedimientos experimentales que dan vía a la obtención de los resultados para caracterizar las estructuras tipo viga. El primer procedimiento, está asociado al estudio de las vigas de sección transversal no uniforme obteniendo los resultados de 9

43 movilidad, flujo de potencia y factor de perdida por acoplamiento, según los preceptos de SEA. El segundo procedimiento explica un sistema de medida alternativo en el campo acústico con el cual se hacen análisis en frecuencia, en tiempo y en el espacio-k, permitiendo obtener cualidades de la estructura, como las formas modales y la velocidad de propagación de las ondas de flexión. Al comparar los resultados con las técnicas tradicionales y experimentos en MEF los procedimientos experimentales presentados en este capítulo registran una desviación menor al 5%. En el capítulo 4, se explica la validación de un procedimiento experimental alternativo, para la caracterización de sistemas acoplados en acústica de la edificación. La técnica se ha aplicado en estructuras de tamaño reducido con el ánimo de estudiar la fenomenología de la transmisión de las vibraciones. La discusión de los resultados se hace en torno a la evaluación del comportamiento modal y el análisis en régimen estacionario y transitorio, lo cual permite estimar el tiempo de reverberación estructural, la diferencia de nivel normalizado y el índice de reducción de las vibraciones. Los resultados se han comparado con técnicas convencionales obteniendo una alta correlación, con errores relativos de no más del 5%. El capítulo 5, expone la obtención de la impedancia de transferencia usando como técnica de medida la holografía acústica de campo cercano NAH. A partir de NAH se determina la velocidad de vibración de la superficie de una capa de material absorbente, que a su vez está adherido a una placa metálica circular que emula un pistón rígido, los resultados son validados con el Modelo analítico de Biot [6], [7] para el cálculo de la impedancia acústica de materiales absorbentes mostrando una gran correlación entre los datos. Además, se calcula la eficiencia de radiación del sistema con y sin material absorbente usando las ecuaciones de propagación de NAH. Los resultados se comparan con los obtenidos aplicando el modelo de radiación por impedancia propuesto en [4] el cual está basada en la hipótesis del desacoplamiento de la parte vibratoria y la acústica de un sistema placa-poroso para determinar la eficiencia de radiación. En el sexto capítulo, se propone un método inverso para evaluar los parámetros elásticos de un material visco-poro-elástico: Modulo de Young, de 10

44 Compresibilidad, de elasticidad transversal, de onda P y el primer parámetro de Láme. Estos parámetros se estiman a partir de las mediciones de aceleración según el procedimiento experimental para la obtención de la rigidez dinámica [2]. Este método inverso se justifica mediante un riguroso estudio analítico. En este capítulo, también, se prueba la validez de la solución analítica mediante un modelo numérico de elementos finitos en ANSYS. Finalmente, se presentan las conclusiones generales del trabajo doctoral y se proponen futuras líneas de investigación, seguido de un apartado de Anexos donde se expone la manera de calibración de la fuente y señal usada. 11

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46 CAPÍTULO 2: CONCEPTOS En este capítulo se resumen los conceptos que serán utilizados en el presente documento. En la primera sección, se explican los fundamentos sobre sistemas discretos y análisis modal que son utilizados en la totalidad del trabajo, especialmente, en las aportaciones que se realizan en el capítulo 6. En la segunda sección, se aborda la cuestión de la propagación de las ondas de flexión y la radiación acústica generada por éstas. Estos contenidos conectan directamente con parte de las contribuciones del capítulo 3. En la sección 2.3, se explican los fundamentos de la técnica de la holografía acústica de campo cercano (NAH) y del procesado en el espacio-k. La técnica NAH se aplicará en el capítulo 5 de este trabajo de tesis doctoral, para obtener la Impedancia de transferencia de un material absorbente tipo fibroso (Fibra de PET reciclado) y estimar la eficiencia de radiación de una sistema pistón circular plano encastrado en una pantalla infinita. En el capítulo 3, se hace uso del procesado en el espacio-k con el objeto de facilitar la visualización del campo radiado por encima de la frecuencia crítica en una viga de sección transversal rectangular uniforme. La cuarta sección está dedicada a los fundamentos del método numérico de los elementos finitos (MEF) aunque sólo se ha utilizado como método de 13

47 verificación de los experimentos propuestos. Concretamente se han utilizado dos herramientas computacionales para los modelos numéricos, ANSYS (Versión ) [10] y COMSOL Multiphysics (versión 4.3) [9], ambos programas especializados en la resolución de problemas de física e ingeniería usando MEF, que permiten acoplar varios problemas físicos en un solo modelo. En este caso, se ha usado el módulo de mecánica estructural (Structural Mechanics). El método SEA, cuyos conceptos básicos se explican en la sección 2.5, se ha utilizado en el capítulo 3, al estimar el flujo de potencia entre dos partes de una viga de distinta sección tranversal, con el objetivo de evaluar el factor de pérdidas por acoplamiento (CLF) así como en el capítulo 4, donde se estudia el índice de reducción vibracional en un sistema más complejo en forma de esquina 2.1. Sistemas discretos y Análisis modal. Un sistema mecánico continuo puede ser definido como un sistema discreto en el que cada una de sus partes tiene varias posibilidades de movimiento denominadas grados de libertad, y dependen de las condiciones de contorno del sistema. Cada parte queda definida por su masa, su rigidez y su amortiguamiento. Se ordenan de forma matricial en matrices de masa, rigidez y amortiguamiento del sistema. La ecuación diferencial del movimiento para un sistema con múltiples grados de libertad definido por sus matrices de masa, rigidez y amortiguamiento se obtiene de la aplicación directa de la segunda ley de Newton: [M]{y } + [C]{y } + [K]{y} = {f(t)} (2.1) donde, [M], [C] y [K] son las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del sistema de dimensiones nxn, siendo n el número de grados de libertad en las que se discretiza el sistema. Los términos{y }, {y }, {y} y {f(t)} son vectores nx1 que representan la aceleración, velocidad, desplazamiento y la fuerza actuante respectivamente. 14

48 La aproximación al problema vibratorio sin tener en cuenta el amortiguamiento permite simplificar los cálculos ( C = 0). Este es un caso muy habitual en estructuras de edificación donde el amortiguamiento es relativamente pequeño. Por lo tanto, el efecto de la amortiguación se desprecia, cuando se determinan las frecuencias propias y formas modales [45]. Para la determinación de las frecuencias propias es necesario obtener el movimiento del sistema en vibración libre con {f(t)} = {0} Así, sin la matriz de amortiguamiento la ecuación (2.1) queda del siguiente modo: Esta ecuación tiene soluciones de la forma: [M]{y } + [K]{y} = {0} (2.2) {y(t)} = {a}sen(ωt) (2.3) donde cada componente del vector {a} es la amplitud del movimiento del grado de libertad correspondiente, ω es frecuencia angular. Sustituyendo la ecuación (2.3) en (2.2) se llega a un sistema de ecuaciones lineales de la siguiente forma: ([K] ω 2 [M]){a} = {0} (2.4) Para que este sistema de ecuaciones no presente una solución trivial, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser nulo: 2 K ω M 0 (2.5) Los resultados de la ecuación (2.5), conocidos como auto-valores, son ω 2 i, cuyas raíces cuadradas son las frecuencias propias, ω i, del sistema. Los correspondientes auto-vectores {a} i para cada valor de ω 2 i, son los llamados modos normales que -contienen la información de las formas modales. La ordenación en una matriz de los modos normales constituye la matriz modal del sistema [a] que es de orden nxn. Los modos normales poseen la importante propiedad de ser ortogonales respecto de las matrices de masa y rigidez del sistema. A partir de esta propiedad se puede deducir que dado un modo normal cualquiera {a} s : 15

49 {a} s T [M]{a} s = m s (2.6) {a} s T [K]{a} s = k s (2.7) donde m s es la masa modal y k s es la rigidez modal del modo normal {a} s. La frecuencia angular ω s para el modo normal {a} s puede obtenerse como si se tratara del movimiento de un sistema de un solo grado de libertad: ω s = k s ks M s s (2.8) m A partir de las ecuaciones (2.6) y (2.7) se pueden obtener las matrices diagonales de masa y rigidez modales para todo el sistema: s m [a] T 0 m [M][a] = [m] = ( 2 0 ) (2.9) 0 0 m n k [a] T 0 k [K][a] = [k] = ( 2 0 ) (2.10) 0 0 k n Las frecuencias propias del sistema se obtendrán a partir de las matrices de masa y rigidez modales según: [ω 2 ] = [k][m] 1 (2.11) Gracias a la propiedad de la matriz modal de diagonalizar las matrices de la ecuación (2.2), es posible desacoplar cada una de las ecuaciones de forma que un sistema con múltiples grados de libertad, se convierta en otro formado por una combinación de sistemas de un grado de libertad. Los vectores {a} i no son únicos, es decir que la ecuación (2.2) se satisface para los valores de {a} i y cada uno de sus múltiplos, esto hace que sea conveniente normalizarlos. Es frecuente que los modos normales se normalicen mediante la matriz de masa modal como se expresa en la siguiente ecuación: {φ} i = 1 m i {a} i (i = 1,2. n) (2.12) 16

50 donde cada vector {φ} i es un modo normal normalizado respecto de la matriz de masas. La matriz [a] se puede reescribir en función de la ecuación (2.12) obteniendo la matriz modal normalizada: [φ] = [m] 1 2[a] (2.13) Con la matriz modal normalizada del sistema y teniendo en cuenta las propiedades de ortogonalidad se puede llegar a dos nuevas ecuaciones: [φ] T [M][φ] = [I] (2.14) [φ] T [K][φ] = [ω 2 ] (2.15) La matriz modal normalizada es, a diferencia de la matriz modal, única (salvo signo) para un sistema de múltiples grados de libertad. Las matrices [φ] y [ω 2 ] constituyen el modelo modal del sistema que se ha obtenido a partir del modelo espacial en función de las matrices de masa y rigidez del sistema [M] y [K]. Antes de introducir el amortiguamiento en las ecuaciones, conviene realizar unas consideraciones sobre este concepto. En general, el amortiguamiento, es el mecanismo de disipación de energía que todo sistema mecánico posee, y que hace que la amplitud de la vibración disminuya con el tiempo. La cantidad de amortiguamiento depende de muchos factores: del material, de la velocidad de vibración, de la frecuencia, etc. Cuando se utiliza el término amortiguamiento no se hace referencia específica a mecanismos internos ni externos de disipación energética. La teoría del amortiguamiento ha sido abordada desde diversas áreas (la teoría molecular, la termodinámica, la mecánica, la teoría de sistemas lineales, entre otras) Aunque existen distintos modelos teóricos, se puede afirmar que esta área de investigación no se ha cerrado, puesto que se han realizado importantes modificaciones a los modelos en base a observaciones experimentales no deducibles de manera teórica, como ocurre en el caso de la teoría del amortiguamiento histerético, de la caracterización de materiales viscoelásticos mediante modelos clásicos [46]. Las configuraciones experimentales requeridas con el fin de caracterizar en el dominio de la frecuencia el 17

51 denominado factor de pérdidas de un material son diversas pero la norma ASTM E-756 [47] es la más utilizada para la caracterización de las propiedades dinámicas de los materiales. Existen diversas metodologías alternativas [48] y [49] que, si bien utilizan las fórmulas planteadas en la norma ASTM E-756, requieren de montajes y utilizan transductores alternativos a los planteados en el estándar. Se pueden citar [50]. Método de Oberst modificado (MOM). Método de respuesta sísmica (SRM). Método de impedancia central (CIM). Método SS-SS (SSM) Tanto el MOM, el SRM y el CIM, se basan en el estándar ASTM E-756. Estos ensayos se denominan metodologías resonantes, puesto que se basan en el análisis de las resonancias presentes en las Funciones de Respuesta de Frecuencia (FRF). La ecuación (2.16), corresponde a un sistema de un grado de libertad. my + cy + ky = f(t) (2.16) En función del amortiguamiento,c, los sistemas se pueden clasificar: Sistemas con amortiguamiento crítico c = c cr : Es el amortiguamiento límite, al alcanzarse el movimiento no resulta oscilatorio, la amplitud del desplazamiento inicial decrece exponencialmente con el tiempo hasta llegar a cero. Sistemas subamortiguados c < c cr : El amortiguamiento es inferior al crítico. El movimiento resultante es oscilatorio y la amplitud del desplazamiento va disminuyendo en cada ciclo hasta llegar a cero. Sistemas sobreamortiguados c > c cr : El amortiguamiento es superior al crítico. El movimiento no resulta oscilatorio, la amplitud del desplazamiento decrece exponencialmente hasta llegar a cero aún más rápidamente que en el caso de amortiguamiento crítico. 18

52 Los sistemas reales son en general subamortiguados, El coeficiente de amortiguamiento se define como el cociente entre el amortiguamiento del sistema y su amortiguamiento crítico correspondiente: ξ = c c cr (2.17) Existen diferentes otras formas de expresar el amortiguamiento, en la Tabla 1 se muestran algunas de ellas y sus relaciones: Tabla 1 Relaciones entre diferentes formas de expresar el amortiguamiento. Tabla tomada de [51] MEDIDA Coeficiente de amortiguamiento Factor de pérdidas Decremento logarítmico Factor de calidad Coeficiente de amortiguamiento ξ Factor de pérdidas η 2 Decremento logarítmico 2π 2 ξ η π Factor de calidad 1 2Q 2π ξ π η Δ π Q 1 2ξ 1 η π 1 Q Q La aproximación más sencilla, para tener en cuenta el amortiguamiento, es suponer un amortiguamiento proporcional también conocido como amortiguamiento de Rayleigh. El amortiguamiento proporcional asume que la matriz de amortiguamiento es una combinación lineal de las matrices de masa y rigidez del sistema [M] y [K]: [C] = α[m] + β[k] (2.18) donde α y β son constante reales y positivas. La adopción del amortiguamiento proporcional simplifica el problema al poder diagonalizar la matriz de amortiguamiento junto con las matrices de masa y rigidez mediante las propiedades de ortogonalidad de la matriz modal. Así se pueden desacoplar las ecuaciones del movimiento de igual forma que en el caso del sistema sin amortiguamiento. Hay que resaltar que la matriz modal para el caso de un sistema con amortiguamiento proporcional, es idéntica a la del sistema no amortiguado y, por lo tanto, los modos siguen siendo normales. 19

53 Sin embargo en la práctica no hay ninguna razón para suponer que el amortiguamiento de un sistema sea proporcional. En general los sistemas mecánicos presentan un amortiguamiento no proporcional con unos modos complejos y no normales [52] y [53]. Los dos principales modelos de amortiguamiento no proporcional son: el viscoso y el estructural [54]. En el caso de un amortiguamiento viscoso, la respuesta del sistema estará acotada alrededor de la resonancia y en un desfase entre la excitación y la respuesta del sistema Considerando un amortiguamiento no proporcional de tipo estructural, la matriz de amortiguamiento puede ser expresada como la parte imaginaria de una matriz de rigidez compleja: K c = [K] + j[c] (2.19) Sustituyendo la expresión (2.19) en la ecuación (2.1), con {f(t)} = {0}, de movimiento del sistema se obtiene: [M]{y } + j[c]{y } + [K]{y} = {0} (2.20) La ecuación diferencial (2.20) tiene una solución de la forma: {y(t)} = {ψ}e jλt (2.21) Al igual que en el sistema desamortiguado se llega a un problema de autovalores y auto-vectores: [K c ] λ 2 [M] = 0 (2.22) Los autovalores resultan complejos: λ 2 i = (ω 2 i 1 + jη i ).. ( i = 1,2,. n) (2.23) donde λ i, ω i y η i son respectivamente, la frecuencia propia compleja, la frecuencia de resonancia normal (sin amortiguamiento) y el factor de pérdidas del modo i. Por otro lado, los correspondientes auto-vectores para cada valor de λ i, también son complejos. La agrupación de estos vectores para un orden ascendente de λ i da lugar a la matriz modal compleja [ψ]. 20

54 Los modos complejos también poseen las propiedades de ortogonalidad, por lo que se cumplen las siguientes relaciones, donde la matriz de masa se considera como compleja con parte imaginaria nula: {ψ} T [M][ψ] = [m] (2.24) {ψ} T [K c ][ψ] = [k] (2.25) [λ 2 ] = [k][m] 1 (2.26) Las matrices de masa y rigidez modales obtenidas también resultan complejas. Por las mismas razones que en el sistema no amortiguado, es conveniente normalizar la matriz modal compleja respecto de la masa modal: [Φ] = [m] 1 2[ψ] (2.27) donde [Φ] es la matriz modal compleja normalizada. Haciendo uso de nuevo de las propiedades de ortogonalidad con la matriz modal compleja normalizada se llega a las expresiones: [Φ] T [M][Φ] = [I] (2.28) [Φ] T [K][Φ] = [λ 2 ] (2.29) Pese a que en la práctica los sistemas suelen presentar modos complejos, bajo determinadas circunstancias puede considerarse que los modos son normales: Cuando el sistema presenta un amortiguamiento muy pequeño. Si el mecanismo de amortiguamiento del sistema se distribuye en este de forma regular, de la misma manera que la inercia o la masa sin mecanismos de amortiguación concentrados. Cuando la densidad modal en un determinado rango de frecuencia es baja y no se dan modos con frecuencias propias muy próximas. La obtención de los modos normales a partir de los modos complejos tanto de forma analítica como experimental es continuo objeto de investigación en el análisis modal [55] y [56]. 21

55 El análisis modal es el proceso para determinar las características dinámicas de un sistema en forma de frecuencias propias, formas modales y factores de amortiguamiento. Una forma modal es un patrón de deformación que la estructura toma al vibrar en resonancia a una determinada frecuencia propia. El amortiguamiento está relacionado con la capacidad interna de la estructura de disipar la energía que recibe de una acción dinámica [57] El análisis modal puede tener dos aproximaciones: Teórica (analítica o numérica), mediante la aplicación de la segunda ley de Newton a un sistema con n grados de libertad se puede crear un modelo matemático también conocido como modelo espacial, de su movimiento vibratorio. Este modelo es función de la geometría, de las condiciones de contorno y de características como la masa, rigidez y amortiguamiento del sistema. Experimental: mediante las Funciones de Respuesta en Frecuencia, en adelante FRF. Mediante las FRF obtenidas a partir de la relación entre la repuesta y excitación dinámica entre dos puntos de un sistema se llega a lo que se conoce como modelo de respuesta. Con la aplicación de los métodos de extracción de parámetros modales a un conjunto de FRF se obtienen las características dinámicas del sistema. En este trabajo se asumen las siguientes hipótesis para el análisis modal teórico: Linealidad: la respuesta del sistema es siempre proporcional a la excitación. En general las estructuras presentan un comportamiento lineal para pequeños movimientos. Este comportamiento se ve afectado cuando las deformaciones se hacen grandes y aumentan los efectos de segundo orden. Reciprocidad: se cumple el Teorema de la Reciprocidad de Maxwell- Betti, El trabajo realizado por un sistema de fuerzas B que sufre un desplazamiento provocado por un sistema de fuerzas A, es igual al trabajo realizado por el sistema de fuerzas A cuando el desplazamiento es provocado por el sistema de fuerzas B. Esta hipótesis conlleva la simetría de las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento. 22

56 Invariancia en el tiempo: las características dinámicas del sistema no cambian con el tiempo. Además de las anteriores, en un análisis modal experimental: Superposición: las FRF medidas en un mismo punto del sistema del sistema no depende del tipo de excitación. Homogeneidad: las FRF medidas en un mismo punto del sistema no dependen del nivel de excitación Vibración y radiación de vigas, placas Radiación de ondas de Flexión Las vigas son estructuras lineales que trabajan a flexión, de uso frecuente en la ingeniería y la arquitectura. Estas estructuras, cuando son sometidas a cargas dinámicas generan vibraciones con diferentes formas, en función de sus modos propios de vibración. Cuando las vibraciones corresponden al movimiento a flexión, se genera radiación acústica al medio que rodea a la estructura. La radiación comienza, como se verá a continuación, después de la llamada frecuencia de crítica, f c. En [58], se comparan cuatro aproximaciones analíticas que describen la propagación de esta perturbación, denominándolas: Euler-Bernoulli, Rayleigh, Shear y Timoshenko. Estas aproximaciones permiten resolver la ecuación de onda del movimiento tranversal de las vigas obteniendo los modos propios de vibración. Los cuatro modelos consideran las siguientes aproximaciones: El material es linealmente elástico El efecto de Poisson se desprecia El área de la sección transversal es simétrica con respecto al eje de flexión Los planos que son perpendiculares al eje neutro permanecen perpendicular después de la deformación El ángulo de giro es pequeño La dimensión en la dirección axial es considerablemente mayor que las otras dos dimensiones. 23

57 Para cuantificar la última aproximación comúnmente se calcula el parámetro denominado relación de aspecto,r A, definido mediante la ecuación: R A = L A I y (2.30) donde: L es la longitud de la viga (m), A es el área de la sección transversal (m 2 ), A = wh, e I y es el momento de inercia de la sección transversal en el eje de flexión y, I y = wh3 12 (m4 ),siendo w y h el ancho y el alto de la sección transversal respectivamente. Cuando la viga no es esbelta R A < 100, la mejor aproximación para describir este comportamiento vibratorio es el modelo de Timoshenko [58], que es el modelo más completo [59]. La velocidad de propagación de las ondas de flexión en las vigas, c B, ( m s), usando la aproximación de Timoshenko viene dada por la ecuación 2.31 c B = ( EI y KAM c I y A ) 2 ω EI y ρa ω2 ω 2 ( EI y KAM c + I y A ) 2 (1 ω 2 I y ρ KAM c ) (2.31) donde: E es el módulo de Young (Nm 2 ); KAM c es el factor de cizallamiento, que es producto del área de sección tranversal A, el módulo de cizallamiento M c, (Nm 2 ) y el factor K de corrección, el cual representa la fracción de la sección transversal de la viga que soporta cizallamiento; I y A es la inercia de rotación, ω es la frecuencia angular (rad s) y ρ es la densidad del material (Kg/m 3 ). La aproximación de Euler-Bernoulli puede ser aplicada si la relación de aspecto es mayor que 100, como en el caso de estudio que se propone en el capítulo 3 de este trabajo. Este modelo analítico simplifica el cálculo de las frecuencias naturales y modos de vibración y la expresión para la velocidad de propagación de las ondas de flexión (ecuación 2.31) queda simplificada (ecuación 2.32), razón 24

58 por la cual este modelo ha sido elegido para describir el desplazamiento transversal de la viga. c B = ω = ω 4 k EI y ρa (2.32) La aproximación de Euler-Bernoulli considera una viga continua esbelta sometida a un movimiento vibratorio en el plano xy. Este modelo asume que la sección transversal es plana y perpendicular a la directriz de la deformación y que la tensión lateral es nula. La Figura 1 describe el movimiento a flexión de una viga delgada con una sección transversal rectangular cuando está sometida a una fuerza en el plano xy: Figura 1 El movimiento a flexión de una viga delgada con una sección transversal rectangular cuando se somete a una fuerza en el plano xy. Mediante el cálculo de las energías cinética y potencial y la adopción del principio variacional [26] es posible obtener la ecuación de Euler-Bernoulli para el desplazamiento lateral d(x, t) de una viga sometida a una vibración forzada armónica dependiente del tiempo [60] como: F z (x, t) = EI y 4 d(x, t) x 4 + ρa 2 d(x, t) t 2 (2.33) donde: F z (x, t) es la fuerza aplicada por unidad de longitud. La solución general de la ecuación 2.33 cuando F(x, t) es igual a cero es d(x, t) = [A e ( jk bx) + B e (jk bx) + C e ( k bx) + D e (k bx) ] e jωt, donde k b es el número de 1/4 onda de flexión, k b = ( ω2 m EIy ), (radm 1 ), m es la masa por unidad de 25

59 longitud de la viga (Kgm 1 ) y A, B, C, D son las amplitudes de los diferentes tipos de ondas. La expresión anterior implica que hay dos tipos diferentes de ondas en la solución. Los primeros dos términos representan ondas que se propagan en el eje x en direcciones positiva y negativa, y corresponden a la propagación de la onda de flexión sin atenuación. Los segundos dos términos representan las ondas de no-propagación, también conocida como ondas evanescentes, las cuales tienen un decaimiento de la amplitud de manera exponencial con la distancia y que no transportan energía [26]. Por otro lado, de acuerdo con el enfoque del análisis modal (para vibraciones libres armónicas), el desplazamiento de una estructura pude ser separado en el espacio y en el tiempo. d(x, t) = φ(x)η(t) (2.34) donde φ(x) y η(t) son la forma modal estructural y la coordenada modal, respectivamente. La aplicación de la técnica de separación de variables conduce a un conjunto de funciones φ n (x), para las formas modales estructurales y para las coordenadas modales η n (t), las cuales dependen de las condiciones de contorno e iniciales a la cual es sometida la viga. Debido a que las formas de los modos son ortogonales entre sí, la respuesta de desplazamiento de la viga puede ser expresada, en cualquier punto arbitrario, como una combinación lineal de estas funciones de la forma modal. Y la velocidad d(x, t) = φ n (x, y)η n (t) n=1 (2.35) v(x, t) = φ n (x, y)η n (t) (2.36) siendo φ n (x, y) la n ma forma estructural modal y η n (t) es el n mo modo de la velocidad Si el medio es discretizado, la ecuación 2.36 puede ser escrita de forma matricial, así: 26

60 v = [φ]η (2.37) donde [φ] es una matriz real ortogonal, entonces, [φ] H = [φ] T (donde el superíndice H indica el complejo conjugado y T transpuesto). Las formas modales y las coordenadas modales deben verificar las siguientes ecuaciones: d 4 φ(x) dx 4 mω2 EI φ(x) = 0 (2.38) d 2 η(t) dt 2 + ω 2 η(t) = 0 (2.39) Para resolver completamente la ecuación diferencial es necesario emplear unas condiciones de contorno para la solución, la Tabla 2 indica tres distintas condiciones de contorno: Tabla 2 Solución para la ecuación diferencial del movimiento de flexión para distintas condiciones de contorno Condición de contorno Simplemente soportada Sujetada en los apoyos Libre-Libre Ecuación d(x) = 0 = 2 d(x) x 2, (x = 0 o x = L) d(x) = 0 = d(x), (x = 0 o x = L) x 2 d(x) x 2 = 0 = 3 d(x) x 3, (x = 0 o x = L) Por ejemplo, para el caso de una viga simplemente soportada en los dos extremos, las formas modales vienen dadas por la ecuación (2.40) Y las frecuencias propias φ n (x) = 2 ml x sen ( nπ L x x) (2.40) ω n = EI m k n 2, k n = nπ L x (2.41) 27

61 En la Figura 2 se representan gráficamente las primeras 4 formas modales para el caso de viga simplemente soportada y sujetada en los apoyos: Figura 2 Representación de las formas modales para distintas condiciones de apoyo. Arriba Viga Simplemente Soportada. Abajo Viga Sujetada en el apoyo. Cuando las condiciones de contorno corresponden a libre-libre en la expresión anterior, las frecuencias naturales de la viga, f n, están dadas por la ecuación 2.42 f n = d n 4 2πL 2 EI y ρa (2.42) donde: d n son las raíces de la ecuación: cos(d) cosh (d) 1 = 0, siendo d = kl, k es el número de onda (rad/m) y n es el índice modal. Estas frecuencias 28

62 indican los modos significativos para el estudio del movimiento del sistema de tipo viga. Analíticamente se pueden expresar las pequeñas amplitudes de las ondas de flexión (Ondas Bending) en una placa plana delgada, ya que están desacopladas de las ondas longitudinales al plano normal y de las de corte (shear) fuera de dicho plano, por lo que pueden ser tratadas por separado [26]. Asumiendo una teoría clásica de placa [26], para placas delgadas (rechazando la inercia de rotación y la deformación de cizallamiento), la ecuación 2.43 describe el movimiento del desplazamiento transversal de una placa delgada infinita sujeta a una distribución de la fuerza transversal por unidad de área. D ( 4 d(x, z) x d(x, z) x 2 z d(x, z) z 4 ) + m 2 d(x, z, t) t 2 = F y (x, z, t) (2.43) donde: d es el desplazamiento, D es la rigidez a flexión por unidad de longitud, D = Eh3 12(1 v 2 ), E es el módulo de Young, h es la altura y μ es el coeficiente de Poisson, m es la masa por unidad de superficie, y F y es una fuerza puntual armónica externa. El desplazamiento complejo fuera del plano d (x, z) generado por una distribución de la fuerza armónica por unidad de área F y (x, z) actuando sobre la placa puede ser expresado en términos de una suma modal, para los cuales se asume un amortiguamiento histerético (debida a la deformación del sólido). Como se indica en la ecuación d (x, z) = φ r(x, z)f r M r [ω r2 (1 + j n ) ω 2 ] r=1 (2.44) donde F r es la fuerza modal dada por la ecuación 2.45: l x l y F r = F y(x, z) φ r (x, z)dxdz (2.45) 0 0 En la Figura 3 se visualizan las variables involucradas: 29

63 Figura 3 Conversión de signos y sistema de coordenadas para una placa rectangular excitada por una fuerza en un punto. La ecuación diferencial en el caso del movimiento libre en placas viene dado por la ecuación 2.43 cuando F y (x, z, t) = 0, quedando así D 4 d(x, y, t) + m s 2 d(x, y, t) t 2 = 0 (2.46) Los desplazamientos se pueden expresar, en este caso en la forma: d(x, y, t) = φ m,n (x, y)η mn e jωt m,n=0 De formas modales y coordenadas modales (2.47) Para obtener las formas modales se aplica la técnica de separación de variables ( x, y) X ( x) Y ( y) (2.48) mn m Las frecuencias naturales y formas modales para una placa rectangular simplemente soportada teniendo una masa modal igual a m s = ρl x l z h donde ρ es la densidad del material de la placa, vienen dadas por las ecuaciones 2.49 n ω r = D 2 m [(n aπ ) + ( n 2 bπ ) ] l x l z φ r (x, z) = 2 sen ( n aπx ) sen ( n bπz ) l x l z (2.49) Donde n a y n b son índices modales de enésimo orden. 30

64 La Figura 4 muestra 6 distintas formas modales para el caso de una placa delgada simplemente soportada. Figura 4 Seis primeras formas modales de una placa simplemente soportada, figura tomada de [61] El problema se puede abordar con relativa facilidad cuando las condiciones de contorno son conocidas y asimilables, como se expuso para el caso de la viga en el apartado anterior. Cuando el sistema se hace más complicado por ejemplo múltiples apoyos o la estructura no es del todo homogénea, la solución analítica se hace compleja, por lo que existen otros métodos numéricos que permiten estimar la respuesta del sistema cuando es excitado por una fuerza armónica. El método más empleado para la resolución de estos problemas de ingeniería es el de los elementos finitos, el cual es descrito ligeramente en la sección 2.4 de este documento. Para una placa circular de radio a fijada por los extremos, se tienen las siguientes condiciones de contorno: w ro=a = 0, (2.50) w/ ro ro=a = 0 (2.51) La ecuación de valores propios se escribe de la siguiente forma 31

65 I 0 (βa) J 1 (βa) + J 0 (βa) I 1 (βa) = 0 (2.52) Siendo β 4 = ω 2 ρ p h p /D p, J i y I i las funciones de Bessel y funciones de Bessel modificadas de orden i = 0,1. Esta ecuación admite soluciones (β 0n ) con las cuales se deducen las frecuencias propias f n = β 0n 2 2π D p. (2.53) ρ p h p El desplazamiento modal para el modo radial n se escribe de la siguiente forma d n (r 0 ) = J 0 (β 0n r 0 ) J 0(β 0n a) I 0 (β 0n a) I 0(β o0 r 0 ). (2.54) Figura 5 Forma de los dos primeros modos radiales (Figura tomada de [62] pág. 91) La estructura se excita en su centro por una fuerza armónica de pulsación F ω. La ecuación de movimiento de la placa en flexión excitada por una fuerza se escribe 2 d β 4 d = F ω D p (2.55) 32

66 Siendo F ω la fuerza aplicada. En el caso de una fuerza puntual en el centro de la placa (r s, φ s ), se debe de calcular la función de Green tal que 4 G β 4 G = 1 r δ(r s)δ(φ s ) (2.56) Se elige la función de Green (G) de la forma G = Λ n d n (r) (2.57) Con los coeficientes de ponderación Λ n, se puede escribir n G = d n(r s )d(r) (β 4 n β 4 )πa 2 Λ n n (2.58) Con, Λ n = J 0 2 (β n a) + J 1 2 (β n a) (2.59) Teniendo en cuenta la ecuación 2.55, la respuesta d n (r) se escribe w(r) = F ω d n(r s )d n (r) D p (β 4 n β 4 )πa 2. Λ n n (2.60) Radiación de ondas de flexión El parámetro clave para cuantificar la capacidad de radiación acústica de una estructura es la denominada eficiencia de radiación, σ R. Este factor se define como el cociente entre la potencia acústica radiada por unidad de superficie, W a y la potencia vibratoria (o mecánica) de la estructura, W v. σ R = W a W v (2.61) Donde la potencia vibratoria, se determina a partir de la velocidad cuadrática media (velocidad RMS) promediada espacialmente en la estructura: W v = ρ f c f v p 2 (2.62) Dicho de otra forma, la eficiencia de radiación es la relación entre la potencia acústica radiada por la estructura bajo consideración y la radiada por una 33

67 superficie de la misma área vibrando con una amplitud de velocidad igual al promedio espacial. La impedancia acústica específica que es la relación entre la presión acústica y la velocidad de la partícula, vista desde la superficie radiante [63] viene dada por la ecuación (2.63) Z A,esp y=0 = p v = ρ oc air y=0 1 k f 2 k 0 2 (2.63) Entonces, la eficiencia de radiación, σ rad, queda definida como: 1 σ rad = 1 k f 2 k 0 2 (2.64) Por tanto, sólo cuando la constante de propagación de las ondas de flexión es mayor que la constante de propagación en aire, el denominador será un número real. Esto quiere decir que, las ondas de flexión en los sólidos, a diferencia de las ondas de sonido en el aire, son dispersivas, lo que significa que la velocidad de propagación c B depende de la frecuencia [60]. La frecuencia para la que la onda de flexión viaja a la misma velocidad de propagación que las ondas longitudinales en el aire se conoce como frecuencia crítica, f c, y está dada en la ecuación 2.65: f c = c 2 air π 3 hc L (2.65) donde, c air es la velocidad de propagación de las ondas sonoras en el aire (343 m/s) y c L es la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en el sólido c L = E ρ ( m s). En vigas, la radiación acústica es más eficiente alrededor de la frecuencia crítica, mientras que por debajo de esa frecuencia, la radiación es insignificante [64]. Para la gama de frecuencias por debajo de la frecuencia crítica, la impedancia acústica de las ondas es imaginaria y positiva, por lo tanto, la carga de inercia 34

68 del fluido puede ser considerado como una masa acústica, y en consecuencia la radiación de sonido es insignificante. Cuando la velocidad de las ondas de flexión y la velocidad de propagación en el fluido coinciden, la impedancia tiende a infinito, y la eficiencia de la radiación es máxima. Por último, para frecuencias por encima de f c donde la velocidad de propagación de las ondas de flexión es mayor que c air, la impedancia es real y puramente resistiva y se produce la radiación del sonido. La anterior discusión explica el hecho de que la radiación acústica por ejemplo en las vigas sea insignificante por debajo de la frecuencia crítica [64]. Ahora bien, continuando con la radiación de estructuras la radiación puede estimarse discretizando la superficie en elementos diferenciales, y usando coordenadas cartesianas (x, y, z) como se muestra en la Figura 6, la presión acústica puede expresarse en términos de las velocidades, si el sistema vibrante se encuentra en una pantalla infinita, utilizando la expresión de la integral de Rayleigh: p(r) = jωρ o 2π v(r o ) e jk r ro ds (2.66) r r o donde, S, es la superficie radiante de la viga: S r = (x, 0, z), r o = (x o, y o, 0), r r o = (x x o ) 2 + y 2 o + z 2 (2.67) Figura 6 Diagrama esquemático de una superficie de vibración La ecuación (2.66) puede incluirse en (2.67) y se obtiene la ecuación (2.68): 35

69 p(r ) = jωρ o 2π n=1 φ n (x o ) S η (t) e jk r r o r r o ds (2.68) La potencia radiada por una estructura (W a ) puede obtenerse a partir de la llamada matriz de radiación [65], [63], R, por medio de la ecuación: El elemento (m, n) de la matriz [R] es W a = v H [R]v (2.69) R m,n = ω2 ρ o ( S) 2 4πc sin (kr mn ) kr mn (2.70) ( S) corresponde a cada uno de los elementos de superficie en los que la superficie radiante fue discretizada. La matriz [R] es real, simétrica y definida positiva por lo que puede ser diagonalizada por medio de una transformación ortogonal. Por lo tanto, es posible reescribir la ecuación (2.69) en la forma: W a = η H [φ T ] [R] [φ] η = [φ T ] [M] [φ] ; [M] = [φ T ] [R] [φ] (2.71) A partir de la ecuación (2.71), se puede obtener la potencia radiada por el modo estructural n-ésimo por medio de la ecuación (2.72): W a,n = M nn η n 2 (2.72) M nn es el elemento diagonal n-ésimo de la matríz [M]. Esta expresión explicita la relación entre la potencia radiada y los modos propios de la estructura bajo consideración. En la Figura 7, a manera de ejemplo, se muestra la potencia radiada por una viga de una sección transversal de A= 0.20 m 2 y de 1.2 m de longitud y con las característica mecánicas enunciadas en la Tabla 3, cuando la estructura es excitada por una fuerza unitaria en un punto situado a 0.35 m de su extremo izquierdo 36

70 Figura 7 Estimación de la potencia radiada cuando se excita una viga de 1.2 m de longitud a 0.35 cm del extremo, considerando y sin considerar los términos de acoplo en la matriz de radiación Tabla 3 Características mecánicas de la viga usada como ejemplo Parámetro Valor Velocidad de las ondas longitudinales (m/s) 3700 Módulo de Young (GPa) 32 Coeficiente de Poisson 0.23 Densidad (Kg/m 3 ) 2300 Factor de Pérdidas 0.01 La anterior figura representa la naturaleza modal de la radiación que, por supuesto, está relacionada con la forma de vibrar la viga, que depende de las condiciones de contorno a las que está sometida. Por otra parte, si el factor de pérdidas fuese mayor, el ancho de banda de potencia sería la mitad de cada modo, entonces sería mayor y no sería fácil distinguir cada modo. En el capítulo 3 se propone una configuración experimental para visualizar la radiación sonora generada por una viga continua bajo unas determinadas condiciones de contorno. 37

71 2.3 Holografía Acústica de campo cercano (Near-field Acoustic Holography-NAH) y representación en el espacio-k La holografía acústica de campo cercano (NAH) es una técnica con la que es posible reconstruir el campo sonoro y la velocidad de vibración de un objeto o una fuente sonora a partir de medidas realizadas con una matriz de micrófonos colocados en un plano paralelo y cercano a la fuente sonora, que se denomina holograma. Este arreglo de microfónico debe capturar amplitud y fase de la presión. La técnica de NAH es una alternativa a las medidas de intensidad estándar, en las que se usa una sonda intensimétrica con dos micrófonos [66]. La forma exponencial compleja general de una onda armónica simple viajando en el tiempo t en la dirección x positiva es: g + (x, t) = Re {B e j(ωt ωx c ) } (2.73) donde, B es un número complejo, que se considera como la amplitud compleja, Re{ el cambio de fase. } es la parte real, c velocidad de fase de la onda y ω representa El periodo espacial de una onda armónica simple se describe comúnmente mediante su longitud de onda. Sin embargo, la descripción matemática de una onda sugiere que las variaciones espaciales sean asociadas a una cantidad que representa el cambio de fase por unidad de distancia, igual a ( ω c). Esta cantidad es denominada, número de onda, (k). Una longitud de onda claramente corresponde a una diferencia de fase de 2π dependiente de x. k = ω c = 2π λ (2.74) El número de onda k es la magnitud de un vector que indica la dirección de propagación y la variación de fase espacial. Esta magnitud es de vital importancia en la representación matemática de campos de onda en dos y tres dimensiones. 38

72 Ahora bien, el campo sonoro de una fuente sonora puede descomponerse en un espectro angular, definido en el espacio del número de onda, como la superposición de ondas planas viajando en direcciones diferentes. Se puede demostrar que la potencia sonora radiada por una estructura tipo viga, placa o membrana, puede expresarse en la forma: + + W(ω) = 1 2 Re [ p(x, y, z = 0). wh (x, y)d x d y ] (2.75) H denota el complejo conjugado y Re es la parte real de la magnitud compleja. Utilizando el teorema de Parseval se puede demostrar que la potencia también puede obtenerse a partir de: + + W(ω) = ρ 0ω 8π 2 [ V(k x, k y k 2 k 2 x k dk 2 xdk y ] (2.76) y Nótese que k 2 k 2 x k2 y es real sólo si k 2 k 2 2 x k y y la ecuación anterior puede reescribirse en la forma: 2 W(ω) = ρ 0ω 8π 2 [ V(k 2 x, k y k 2 k 2 x k dk 2 xdk y ] (2.77) y k 2 k x 2 k y 2 Por tanto, sólo ondas que satisfagan la condición 39 k 2 k x 2 k y 2 radiarán sonido en campo lejano (ondas supersónicas) y aquellas con un número de onda menor se asociarán con ondas evanescentes cuya amplitud decae muy cerca de la fuente de forma exponencial y no contribuyen a la radiación en campo lejano, pero contiene una alta resolución de detalles acerca de la fuente [3]. Las medidas del campo sonoro en el plano del holograma permiten reconstruir el campo de presión complejo en campo lejano (propagación) y también en la superficie de la fuente sonora (retro-propagación). Además se puede obtener el vector de intensidad, la velocidad de propagación de la superficie y otros parámetros característicos de una fuente vibrante [67]. La Figura 8 ilustra la reconstrucción del campo sonoro en el plano de la fuente y en un plano lejano a partir del plano de medida.

73 Figura 8 Concepto general de Near-field Acoustic Holography- NAH La reconstrucción del campo sonoro tridimensional se obtiene considerando que el campo de medida obedece a la ecuación de onda lineal y usando como propagador la función de Green. El campo de presión acústico se calcula usando una transformada de Fourier en dos dimensiones y aplicando la teoría de propagación de ondas en el dominio del número de onda. La Figura 9 expresa el proceso de reconstrucción del campo sonoro a partir de NAH. Figura 9 Diagrama de procesos de Near-field Acoustic Holography-NAH A partir del teorema de Green, se puede derivar una integral que describa la presión acústica en cualquier lugar del espacio medio entre la fuente y un plano de medida. 40

74 La presión compleja en cualquier punto del espacio (x, y, z) puede expresarse como una función de la presión compleja p s en el plano de la fuente z s p (x, y, z) = p s Siendo G la función de Green modificada. (x, y, z s ) G (x x, y y, z z s )dx dy (2.78) Aplicando la ecuación anterior al plano de holografía z h, se obtiene: p h(x, y, z h ) = p s (x, y, z s ) G (x x, y y, z h z s )dx dy (2.79) Como z h z s es una constante, la ecuación anterior (2.79) describe una convolución en dos dimensiones entre la presión compleja en el plano z s y la función de Green. Aplicando la transformada de Fourier en dos dimensiones, esta convolución se convierte en un producto simple en el espacio del número de onda. p h(kx, ky, z h ) = p s(kx, ky, z s ) G (kx, ky, zh z s ) (2.80) donde ** denota la convolución 2D. La convolución en el espacio real se convierte en un producto simple en el espacio del número de onda. Tomando la transformada de Fourier en ambas caras de la ecuación 2.79 se obtiene la distribución de presión compleja en un plano arbitrario z en el espacio de número de onda, k. Se obtiente: p (kx, ky, z) = p h(kx, ky, z h ). G (kx, ky, d) (2.81) Siendo d r = z z h la distancia entre el plano reconstruido y el plano del holograma, dependiendo de si se quiere propagar o retro-propagar, la distancia d r puede ser positiva o negativa y la función de Green se define entonces como propagador (o retro-propagador) como: Propagación (d r > 0) 41

75 G (kx, ky, d r ) = { e jd r k 2 k x 2 k y 2 para kx 2 + k y 2 k 2 ondas planas e d r k x 2 +k y 2 k 2 para kx 2 + k y 2 > k 2 ondas evanecentes (2.82) Retro-propagación (d r < 0) G (kx, 1 ky, d r ) = { e j d r k 2 k x 2 k y 2 para kx 2 + k y 2 k 2 ondas planas e + d r k x 2 +k y 2 k 2 para kx 2 + k y 2 > k 2 ondas evanescentes (2.83) El circulo k x 2 + k y 2 = k 2 se llama circulo de radiación, para los puntos (kx, ky) dentro de él, G representa el cambio de fase en la dirección z de las ondas planas, mientras que para los puntos (kx, ky) fuera del círculo, G representa el decaimiento exponencial de las ondas evanescentes. A partir de la presión en el espacio-k, p (kx, ky, z), se puede determinar el vector velocidad aplicando la ecuación de Euler. Para campos acústicos armónicos en el tiempo, la ecuación de Euler se define como: v = i ωρ p (2.84) Aplicando la transformada de Fourier inversa a la ecuación anterior se obtiene: v (k x, k y, z) = 1 ωρ (k δ xe x + k y e y je z ) p (kx, ky, d) (2.85) δz Las tres componentes de la velocidad de partícula compleja vienen dadas por: 1 v x (x, y, z) = 4π 2 ωρ 0 + k x p h(kx, ky, z h )e jk z (z z h ) e jk xx e jk yy dk x dk y 1 v y (x, y, z) = 4π 2 ωρ 0 + k y p h(kx, ky, z h )e jk z (z z h ) e jk xx e jk yy dk x dk y (2.86) 1 v z (x, y, z) = 4π 2 ωρ 0 + k z p h(kx, ky, z h )e jk z(z z h ) e jk xx e jk yy dk x dk y 42

76 La transformada inversa de Fourier de la ecuación anterior proporciona el vector velocidad reconstruido, v (x, y, d r ). La intensidad activa y reactiva puede calcularse mediante la siguiente ecuación: I(x, y, d) = 1 2 [p(x, y, d)vh (x, y, d)] (2.87) donde H denota complejo conjugado. La parte real de I proporciona la intensidad activa y la parte imaginaria proporciona la intensidad reactiva. Entonces, el campo radiado por cualquier fuente, puede descomponerse en un espectro angular en el espacio-k (o espacio del número de onda) como una superposición de ondas planas viajando en diferentes direcciones. La periodicidad espacial de cada una de estas ondas armónicas es la longitud de onda. Sin embargo, las variaciones espaciales se describen más rigurosamente con ayuda del vector número de onda, k(k x, k y, k z ), que representa la variación de fase espacial y, al mismo tiempo, indica la dirección de propagación de la onda. Esta magnitud es de gran importancia en la representación matemática de los campos acústicos, como se analizará en el capítulo El Método de los Elementos Finitos (MEF) El MEF es un método numérico muy generalizado para la resolución de diversos problemas de física gobernados por ecuaciones diferenciales. El método se basa en dividir un sistema continuo, en una serie de particiones denominadas elementos finitos. Los orígenes del MEF se remontan a la década de 1950 impulsado por los avances en el análisis estructural de la industria aeronáutica. Durante esta década se hicieron grandes avances en la formulación matricial de problemas estructurales, hasta que en 1956 Turner et al, [68] publican el que es considerado como el primer artículo sobre el Método de los Elementos Finitos. En la década de 1960 el MEF se generalizó para la solución aproximada de problemas de análisis de tensión, flujo de fluidos y transferencia de calor. La evolución del MEF ha ido en paralelo a la de la capacidad computacional de 43

77 los ordenadores y desde 1970 aparecen los primeros programas comerciales específicos del MEF. A continuación se describen de forma breve los pasos de un análisis elástico genérico con el MEF [69], [70], [71] 1. El primer paso es la discretización del sistema en partes no intersectantes entre sí, denominadas elementos finitos. En esta fase se fragmenta la estructura continua del sistema de forma que se reemplaza un sistema con infinitos grados de libertad, por otro con un número finito de grados de libertad. El tamaño, la forma, y las características del elemento elegido determinan en gran medida la validez de la solución obtenida. Los elementos están conectados entre sí por los nodos situados en sus contornos. Los desplazamientos de estos nodos son las incógnitas del problema {u } e. 2. Cada tipo de elemento está definido por las llamadas funciones de forma que suelen ser de tipo polinómico y que establecen las relaciones de deformación dentro del elemento en función de los desplazamientos nodales {d } e. Las funciones de forma se ordenan dentro de una matriz [N] e que define los desplazamientos {d} e dentro del elemento finito, en función de los desplazamientos nodales del elemento{d } e {d} e = [N] e {d } e (2.88) Las deformaciones unitarias del elemento {ε} e vienen dadas en función de los desplazamientos de los nodos: {ε} e = [B] e {d } e (2.89) donde [B] e es una matriz que depende de las características del elemento elegido. 3. El estado tensional del elemento {σ e } se obtiene a partir de las deformaciones mediante la matriz de elasticidad [D] e que contiene las propiedades elásticas del material del elemento. El material puede estar sujeto a deformaciones iniciales {ε 0 } e, como las debidas a cambios de temperatura o retracciones. Conviene suponer también que al comienzo del análisis el cuerpo puede estar sometido a un sistema 44

78 conocido de tensiones residuales {σ 0 } e. Admitiendo un comportamiento elástico lineal la relación entre tensiones y deformaciones es de la forma: {σ e } = [D] e ({ε} e {ε 0 } e ) + {σ 0 } e (2.90) 4. Se determina un sistema de fuerzas concentradas {f } ext e en los nodos del elemento, que es estáticamente equivalente a las tensiones en el contorno {σ e } y a las fuerzas másicas que actúan sobre el elemento {m e }. Para determinar la ecuación de equilibrio entre las fuerzas nodales y las tensiones actuantes en el contorno y las fuerzas másicas, el procedimiento más sencillo es utilizar el Principio de los Trabajos Virtuales [72], mediante el que se impone un desplazamiento virtual de los nodos y se iguala el trabajo exterior de las fuerzas nodales, al interior efectuado por las tensiones y las fuerzas másicas. Si δ{u} e es un desplazamiento virtual de los nodos del elemento, según las expresiones (2.89) y (2.90) los desplazamientos y deformaciones del elemento vendrán dadas por: δ{u} e = [N] e δ{u } e (2.91) δ{ε} e = [B] e δ{u } e (2.92) En función de las expresiones (2.90) y (2.92) el trabajo interior efectuado por las tensiones y las fuerzas másicas será: T int = δ{ε} T e {σ} e = {d } T e {B} T e {σ} e (2.93) El trabajo exterior de las fuerzas nodales es igual a la suma de los productos de las componentes de cada una de las fuerzas por sus correspondientes desplazamientos: T ext = δ{d } e T {f } e ext + {N} e T {m} (2.94) Igualando los trabajos interior y exterior de las expresiones (2.93) y (2.94) sobre el volumen de un solo elemento, se obtiene: 45

79 δ{d } T e {f } ext e = δ{d } T e ( {B} T e {σ} e {N} T e {m} e dv) (2.95) v e v e Puesto que la expresión (2.95) es válida para cualquier desplazamiento virtual: {f } ext e = {B} T e {σ} e {N} T e {m} e dv (2.96) v e v e Sustituyendo en (2.96) el valor de la tensión en la expresión (2.90) se llega a: {f } ext e = {B} T e [D] e [B] e dv{u } e {B} T e [D] e {ε 0 } e dv v e v e + {B} T e [D] e {σ 0 } e dv {N} T e {m} e dv v e v e Reordenando los sumandos, se puede escribir como: (2.97) [k] e {d } e = {f } e + {f 0 } e (2.98) donde [k] e = {B} e T [D] e [B] e dv es la matriz de rigidez del elemento. En el término {f 0 } e = {B} e T [D] e {ε 0 } e dv V e {B} e T [D] e {σ 0 } e dv V e cada sumando representa respectivamente las fuerzas debidas a las deformaciones iniciales y a las tensiones iniciales, por último {f } e = {f} e ext + {N} e T {m} e dv V e son las fuerzas nodales equivalentes. La ecuación (2.98) constituye la ecuación de equilibrio estático del elemento. 5. Una vez obtenidos los desplazamientos nodales del elemento {d } e mediante la resolución de la ecuación (2.98), se pueden calcular las tensiones en cualquier punto del elemento utilizando la ecuación (2.90). En estos cinco pasos se han planteado las bases del método para un elemento aislado, sin embargo es posible generalizar el proceso a todo un sistema continuo discretizado en n elementos. La matriz global del sistema se obtiene ensamblando las matrices de rigidez de todos los elementos en coordenadas globales: n [K] = [k] e i=1 (2.99) 46

80 De la misma forma se obtendrían los vectores {f } y {f 0 } para todo el sistema. De este modo, la ecuación de equilibrio (2.98) para un solo elemento queda del siguiente modo para todo el sistema: [K]{d } = {f } + {f 0 } (2.100) Una vez calculados los desplazamientos de los nodos del sistema es posible conocer las deformaciones unitarias y las tensiones en cualquier punto del sistema. Cuando los desplazamientos de un cuerpo varían en función del tiempo, entran en juego la inercia y el amortiguamiento generando fuerzas adicionales. Las fuerzas de inercia pueden expresarse en función de la aceleración para un elemento dado en función del el principio de d Alambert [69], del siguiente modo: {f} em = ρ 2 t 2 {d(t)} e (2.101) Las componentes de estas fuerzas tienen las mismas direcciones que las de los desplazamientos y en general se expresan por unidad de volumen, por lo que el término ρ es la densidad. La fuerza nodal equivalente viene dada por: {f } em = [N] e T ρ v e 2 t 2 {d(t)} edv (2.102) Sustituyendo en (2.102) la relación (2.101), la fuerza debida a la inercia en un elemento queda en función de los desplazamientos nodales: {f } em = [N] e T ρ[n] e v e 2 t 2 {d(t) } e dv (2.103) De esta última expresión se deduce que la matriz de masa para un elemento viene dada por: [m] e = [N] T e ρ[n] e dv (2.104) v e La matriz de masa del elemento de la ecuación (2.104), se denomina matriz de masa consistente, y considera la masa como uniformemente distribuida en el elemento. En este trabajo y dada la naturaleza de los elementos elegidos 47

81 para discretizar los volúmenes se han utilizado matrices de masa consistentes. En los primeros intentos de tratamiento de los problemas dinámicos, la masa de cada elemento solía considerarse como concentrada en los nodos, lo que siempre daba lugar a una matriz diagonal, aunque en la realidad la masa no esté concentrada. Para muchos métodos de cálculo la utilización de matrices concentradas resulta más conveniente y económica, sobre todo con el empleo de elementos sencillos. La matriz de masa consistente global se obtendrá, mediante el ensamblaje de cada una de las sub-matrices: n [M] = [m] e (2.105) i=1 Las fuerzas debidas al amortiguamiento, se deben a pérdidas energéticas relacionadas con el rozamiento durante el movimiento vibratorio. Si se considera un amortiguamiento lineal viscoso ζ, las fuerzas por unidad de volumen, debidas al amortiguamiento, vendrán dadas según el principio de d Alambert por: {f} ec = ζ t {d(t)} e (2.106) Las fuerzas nodales equivalentes debidas al amortiguamiento, se obtienen de la expresión: {f } ec = [N] e T v e ζ t {d(t)} edv (2.107) y teniendo en cuenta la relación (2.91), entre los desplazamientos de los nodos del elemento con el desplazamiento de los puntos del interior de este: {f } ec = [N] e T v e ζ [N] e t {d(t) } e dv (2.108) De la ecuación (2.108) se obtiene la matriz de amortiguamiento consistente de un elemento: {c} e = [N] e T v e ζ[n]dv e (2.109) 48

82 La matriz de amortiguamiento consistente global se obtiene de la misma forma que la de la de masa o rigidez: n [C] = [c] e i=1 (2.110) Es conveniente, describir como los programas comerciales hacen el tratamiento del amortiguamiento con pequeñas variantes. Se puede afirmar que, en ellos, se contempla una matriz de amortiguamiento global compuesta por los siguientes términos [73]: [C] = α[m] + β[k] + ξ M πf [K] + β j[k j ] j=1 N + [C k ] k=1 (2.111) donde α es una constante que multiplica a la matriz de masa, β es una constante que multiplica a la matriz de rigidez, ξ es amortiguamiento a una determinada frecuencia, β j es una constante que multiplica a la matriz de rigidez por tipo de elemento, [C k ] es la matriz de amortiguamiento que en algunos tipos de elementos se puede definir como una característica propia, por ejemplo en un elemento tipo muelle. En función de las constantes introducidas, que son compatibles y acumulables, la matriz de amortiguamiento quedará definida de una forma u otra. En este trabajo los valores del amortiguamiento utilizados en los modelos de elementos finitos, se han determinado a partir de los datos experimentales de amortiguamiento obtenidos mediante un análisis modal previo, o en base a estudios previos. Con las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, la ecuación de movimiento es análoga a (2.1), pero en función de los desplazamientos de los nodos de los elementos que constituyen las incógnitas del problema. [M]{d } + [C]{d } + [K]{d } = {f ext (t)} (2.112) Con la ecuación anterior, pero considerando el sistema en vibración libre y fijando unas condiciones de contorno, se determinan las frecuencias propias y sus respectivas formas modales. [M]{d } + [C]{d } + [K]{d } = 0 (2.113) 49

83 2.5 Análisis Estadístico de la Energía-SEA Un análisis descriptivo de grandes estructuras o recintos se vuelve inaccesible y en muchos casos innecesarios debido a las numerosas fuentes de incertidumbre que presentan los problemas habituales en acústica de la edificación. No obstante, el método SEA (Statistical Energy Analysis) ha sido el modelo de cálculo por excelencia para estudiar el fenómeno de transmisión sonora en estructuras, este método trabaja con promediados energéticos y las conclusiones que proyectan los resultados han sido de gran interés práctico. Ahora bien, el método SEA se desarrolló en los años 60 al aplicar estudios sobre sistemas acoplados a problemas acústicos. Como origen del método suelen citarse los trabajos de Lyon [74], [75] y [76], así como sobre osciladores lineales acoplados, Smith [77] y Maidanik [78].Otras referencias de gran interés son Fahy [79] donde se discuten las razones para el uso de modelos energéticos probabilísticos (SEA) para la predicción de la vibración de alta frecuencia y en [80] donde se emplea las relaciones básicas de SEA para abordar un problema acústico de transmisión sonora en sistemas acoplados a pequeña escala Relaciones básicas en SEA Dados dos resonadores, i y j, caracterizados cada uno de ellos por su frecuencia angular de resonancia ω, su masa m, su resistencia mecánica, y conectados por una cierta impedancia de acoplo, que puede ser tipo masa, tipo rigidez, tipo resistencia, el flujo de potencia [81] medio entre ambos viene dado por: W ij = β ( m iv 2 i 2 m jv 2 j 2 ) (2.114) Donde, β es un factor que depende de las características de cada oscilador, se las frecuencias angulares de resonancia y de la impedancia de acoplo. Por tanto, el flujo de potencia promedio es proporcional a la diferencia de energías cinéticas medias. Esta misma idea se suele expresar de otra forma cuando se exponen los fundamentos de la metodología SEA. En efecto, el flujo de potencia entre dos 50

84 subsistemas acoplados dependerá de densidad de energía modal de cada uno, así: W eff = ωη ij n i ( E i n i E j n j ) = W ij W ji (2.115) Cambiando los índices en esta relación se llega a: η ij n i = η ji n j (2.116) El factor de pérdidas η ij se le llama factor de perdida de acoplamiento (Coupling Loss Factor ) CLF, por sus siglas en Inglés. Se define entonces, el factor total de pérdidas, Total Loss Factor (TLF): n i = η ii + η ij j(j i) (2.117) Conviene recordar una hipótesis del acoplo débil generalmente asumida en la teoría de los osciladores acoplados, en el que los factores de acoplo, η ij, son mucho menores que el factor de pérdidas total. Este concepto es muy importante ya que las normas que hacen referencia al cálculo del índice de reducción de la vibración (que se explicarán en el capítulo 4) se basan en este supuesto Respuesta de una estructura sometida a una excitación La velocidad de una estructura finita sometida a una fuerza puede expresarse como: v(x) = Φ n(x)f n (ω n2 ω 2 ) n=1 (2.118) ω n2 = ω 2 n (1 jη) donde η es el factor de pérdidas, F n el parámetro de excitación modal y Φ n las funciones modales. Se puede demostrar que, despreciando términos de segundo orden, la energía cinética media se puede obtener: 51

85 E k π F n2 N 4ηω 2 ω (2.119) Para este caso la fuerza de la fuente se puede expresar en la forma: En estas condiciones F(x) = jωf 0 δ(x x 0 ) (2.120) F n = jω F 0 δ(x x 0 )Φ n (x)dx = jωf 0 Φ n (x 0 ) F n 2 = ω 2 F 0 2 Φ n 2 (x 0 ) (2.121) A partir de este resultado, se puede llegar a la ecuación: F n 2 = = ω2 F 0 2 M (2.122) Siendo M es la masa total del sistema. Y de los resultados anteriores se llega a que la energía cinética medida es: E k πf 0 2 4ηω 2 M 2 N ω (2.123) Por tanto, la velocidad cuadrática media v k πf 0 2 N 2ηω 2 M 2 ω (2.124) Y para una excitación de banda ancha: v 2 = 1 ω v2 dω = πf ηω 0 M 2 ω (2.125) Formulación SEA para el caso del estado estacionario En SEA, desde el punto de vista acústico, se manejan flujos de potencia entre campos reverberantes, sea entre recintos y paredes o entre paredes y juntas. En este trabajo SEA se aplica a la transmisión vía estructural, describiendo la transmisión sonora en una construcción (sistema) en estado estacionario mediante el flujo de potencia entre subsistemas. Un subsistema es cualquier parte del sistema que oscila relativamente de forma independiente, y está 52

86 caracterizado por una alta densidad modal en el rango de frecuencias de interés. En el estado estacionario, la energía total del subsistema i, E i, es constante: d d t E i = 0 E i = cte (2.126) Para este subsistema, la ecuación del balance de potencias puede escribirse de la forma: W Total,in = W Total,out W source + W ji j(j i) = W i,i + W ij j(j i) (2.127) Las ecuaciones de SEA se simplifican notablemente cuando el acoplo entre elementos (subsistemas) es grande, esto es, cuando el factor de pérdidas del material es mucho más pequeño que los factores de acoplo. En efecto, el balance energético en el caso de dos elementos acoplados: ω(η 1 + η 12 )M 1 v 1 2 ωη 21 M 2 v 2 2 = 2W i1 ωη 12 M 1 v ω(η 2 + η 21 )M 2 v 2 2 = 2W i2 (2.128) donde W i2 es el flujo de potencia que llega a la frontera del subsistema 2. Se puede encontrar que: v v = M 2 η 2 + η 21 + η 21 (W i2 W i1 ) 2 M 1 η 12 + (η 1 + η 12 )(W i2 W i1 ) (2.129) Para acoplo fuerte, esto es, η 2 mucho menor que η 21 y η 1 mucho menor que η 12 v 1 2 v 2 2 M 2 M 1 η 21 η 12 = M 2 M 2 N 1 N 2 M 1 2 v 1 M 2 2 v = E c.1 N 1 2 E c.2 N 2 (2.130) Las anteriores ecuaciones proporcionan las bases para la determinación experimental de los factores de acoplo. 53

87 2.5.4 Formulación SEA para el estado transitorio (proceso reverberante) En contraste con el estado estacionario, la energía de cada subsistema, E i, no es constante: d d t E i 0 E i cte (2.131) Cuando se interrumpe el suministro energético al subsistema i, la energía va disminuyendo. La ecuación que describe este proceso es: d E d i (t) = ωη ji E j ωη i E i = W Loss,i (t) E i = cte (2.132) t j(j i) Si se desprecian los flujos energéticos desde otros subsistemas, entonces el término que contiene los factores de pérdidas de acoplo en la ecuación (2.132) desaparece y la solución para E i (t) es de tipo exponencial, esto es: W Loss,i (t) = d dt E i(t) = ωη i E i (t) E i (t) = E 0i (t)e ωη it (2.133) En este caso, las curvas de caída, serán exponenciales. Sin embargo, en la mayoría de las ocasiones el flujo energético proveniente de otros subsistemas cercanos no puede despreciarse. Por ejemplo, en el caso de dos elementos acoplados, por similitud con el caso de salas acopladas, es de esperar encontrar las ecuaciones para la velocidad media cuadrática en cada uno de los elementos, del tipo: v 2 1 (t) = v 2 11 e ωη1t + v 2 12 e ωη 2t v 2 2 (t) = v 2 21 e ωη1t + v 2 22 e ωη 2t (2.134) En este caso, las curvas de caída son la combinación de dos exponenciales. Este aspecto es tratado en el capítulo 4 para estudiar el comportamiento vibratorio de una estructura. Para abordar formalmente el problema, un planteamiento es definir un nuevo factor de pérdidas de forma que: W Loss,i (t) = d dt E i(t) = ωη loss,i (t)e i (t) E i (t) (2.135) En este caso el balance energético puede escribirse en la forma: 54

88 ωη loss,i (t)e i (t) = ωη ji E i (t) j(j i) (2.136) Y la solución: η loss,i (t) = η i ωη ji E j (t) E i (t) j(j i) (2.137) Este factor de pérdidas es el único que puede ser determinado experimentalmente. 55

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90 CAPÍTULO 3: CARACTERIZACIÓN DE SISTEMAS TIPO VIGA 3.1 Introducción En este capítulo, se presentan una serie de experimentos vibroacústicos realizados sobre 5 especímenes de vigas de sección transversal rectangular uniforme y no uniforme, construidas en piedra Bateig. Este material ha sido elegido debido a que sus propiedades mecánicas son similares a las del hormigón, ampliamente utilizado en la industria de la construcción. Al realizar y describir estos experimentos se pretende un doble objetivo, en primer lugar, plantear el problema de los límites de validez del concepto de subsistema en el sentido empleado en la metodología SEA cuando se trata de estudiar la propagación de perturbaciones en vigas, y en segundo lugar, se explica la propuesta de una configuración experimental alternativa para el estudio vibroacústico de estructuras que combina la utilización de actuadores electrodinámicos combinados con la aplicación de señal de test tipo pseudoaleatorias (concretamente del tipo MLS) que, como se explica en el Anexo I.2, facilita la caracterización de los sistemas bajo estudio. Los contenidos de este capítulo están organizados de la siguiente. En primer lugar, se muestra la base experimental usada y la manera como se obtuvieron las propiedades mecánicas del material con que fueron fabricados los especímenes usados para los test. En segundo término, se demuestra la 57

91 influencia de las condiciones de contorno en la realización de los experimentos. Seguido a esto, se exponen los dos procedimientos experimentales que dan vía a la obtención de los resultados para caracterizar las estructuras tipo viga. El primer procedimiento, está asociado al estudio de las vigas de sección transversal no uniforme obteniendo los resultados de movilidad, flujo de potencia y factor de perdida por acoplamiento, según los preceptos de SEA. El segundo procedimiento explica un sistema de medida alternativo en el campo acústico con el cual se hacen análisis en frecuencia, en tiempo y en el espacio-k, permitiendo obtener cualidades de la estructura, como las formas modales y la velocidad de propagación de las ondas de flexión. 3.2 Base experimental La base experimental consiste en 5 vigas fabricadas en una piedra arenisca llamada Bateig. Este material además de tener propiedades mecánicas similares a las del hormigón, permite ser fácilmente tallado, cortado y tratado, lo que proporcionó crear de manera relativamente sencilla las 4 vigas de sección tranversal no uniforme y así obtener dos subsistemas acoplados como muestra la Figura 10. El espécimen 0, correspondiente a la viga continua, la cual tiene una área de sección de transversal, A = wh, (m 2 ), un momento de masa de Inercia, I y de 0.8x10 6 (m 4 ) y un la relación de Aspecto, R A de 135.1, entonces, la viga puede ser considerada como esbelta con lo cual, puede ser estudiada analíticamente bajo los supuestos de la teoría de viga de Euler-Bernoulli, como se indicó anteriormente. Los cambios de sección de los especímenes 1 y 3 fueron creados a partir de tallar una viga continua, mientras que las muestras 2 y 4 fueron cortadas y pegadas como se muestra en la Figura 11, para crear de esta forma, una discontinuidad en las propiedades del material, con el propósito de observar si existe alguna diferencia en la propagación o flujo de energía a través de la estructura. 58

92 Espécimen 0- Viga Continua, Viga Base L TotalA = 1.17; h A = 0.03; w A = Espécimen 1 L 1 Total = 1.17; L 1 A = 0.53;L 1 B = 0.64; h 1 A = 0.06;h 1 B = 0.03; w = Espécimen 2 L 2 Total = 0.76; L 2 A = 0.28;L 2 B = 0.48; h 2 A = 0.02;h 2 B = 0.08; w = Espécimen 3 L 3 Total = 0.6; L 3 A = 0.28;L 3 B = 0.48; h 3 A = 0.07;h 3 B = 0.08; w = Espécimen 4 L 4 Total = 0.76; L 4 A = 0.28;L 4 B = 0.48; h 4 A = 0.07;h 4 B = 0.08; w = Figura 10 Descripción de la base experimental utilizada (Todas las medidas están en metros (m)) Figura 11 Izquierda La perforación a través de la sección transversal para prensar las varillas roscadas, Derecha. Masilla para sellar la unión. 59

93 Las propiedades mecánicas del material (presentada en la Tabla 4 ) se obtuvieron experimentalmente utilizando dos métodos. Tabla 4 Las características físicas y mecánicas de la piedra Bateig Velocidad de propagación longitudinal, c L (m/s) Módulo de Young, E (GPa) Módulo de Cizallamiento, M ET (GPa) Coeficiente de Poisson, μ 0.23 (-) Densidad, ρ (Kg/m 3 ) El módulo de Young (E).y el coeficiente de Poisson μ fueron determinados siguiendo la metodología planteada en la normativa UNE-EN [82]. La velocidad de propagación de las ondas fue obtenida usando un sistema de ultrasonidos transmisor-receptor [83]. La densidad, ρ, se obtuvo midiendo y pesando la viga correspondiente al espécimen 0 y el módulo de Cizallamiento (G) fue deducido a partir de módulo de Young La técnica de medida del primer experimento, se basa en la deformación que sufre una galga extensiométrica al verse sometida a un esfuerzo. A causa del esfuerzo se produce una variación en la resistencia eléctrica lo que permite caracterizar mecánicamente el material. El proceso de medición, se muestra en la Figura 12. Figura 12 Izquierda. Prensa para llevar a cabo la deformación, Derecha. Detalle de la aplicación de las galgas extensiométrica El segundo método, consiste en el uso de un sistema ultrasónico emisor receptor que se ubica en varias posiciones de la pieza prismática, como se observa en la Figura 13. Con esta técnica se calcula la velocidad de propagación de las ondas longitudinales y por medio de un cálculo se deduce el módulo de Young del material. 60

94 Figura 13 Sensor ultrasónico para determinar la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en los sólidos. Respecto a las condiciones de contorno, para configurar el experimento, se han puesto a prueba tres condiciones de apoyo para soportar las vigas. La primera, consistió en recrear la situación de viga simplemente soportada (ver Figura 14) y las otras dos condiciones ideales de libe-libre, por medio de soportes tipo cuerda (ver Figura 15) y muelle (ver Figura 16). Al realizar las pruebas con la condición de viga simplemente soportada, no se logró la excitación deseada para los modos de flexión de la viga, los cuales son fundamentales para el estudio y encargados de la radiación acústica, razón por la cual se trató de emular la condición libre-libre, dado que facilita el desarrollo de las formas modales a flexión de la viga. Figura 14 Condiciones de contorno, de viga simplemente soportada Es importante hacer una aclaración respecto a la ubicación de la fuerza sobre la viga. La excitación se ha dispuesto a 2 centímetros (ver Figura 15) de uno de los extremos de la viga, ya que se empleó el Shaker para el estudio del flujo de potencia. Esta ubicación está relacionada con limitaciones de espacio en el laboratorio. 61

95 Continuando con la emulación de las condiciones de contorno libre-libre existe una gran dificultad en recrear de manera experimental unas condiciones de contorno de este tipo. El montaje con cuerdas expuesto en la Figura 15, fue rechazada dada la inestabilidad que ofrecía cuando se accionaba el excitador electrodinámico. Figura 15 Emulación de la condición Libre-Libre usando cuerdas para suspender a la estructura. Como segunda opción, se utilizó un polímero reciclado (espuma) en los bordes de la viga, dado que se comporta como un muelle. En la Figura 16 se indica cómo fue suspendida la viga de sección rectangular no uniforme. 62

96 Figura 16 Condición de frontera emulando una condición libre-libre usando espuma como si fuera un muelle. 3.3 Desarrollo En esta sección, se describen las dos configuraciones experimentales utilizadas, seguido, el procedimiento para obtener los registros y los resultados. En ambos procedimientos, se empleó como señal de prueba la secuencia de máxima longitud enunciada en la Tabla 5. Tabla 5 Propiedades de la señal MLS usada en los experimentos Variable Valor Quantization (bits) 16 Frecuencia de Muestreo (f m )(khz) 96 Número de secuencias (N) 16 Duración de la señal (s) 3 Duración de la señal antes de promediar las muestras Primer procedimiento experimental La configuración que se ha empleado como montaje experimental, para determinar la movilidad de las vigas, se exhibe de manera sistemática en la Figura

97 Figura 17 Configuración correspondiente al primer procedimiento experimental. Con ayuda de un shaker se excitan la viga con una fuerza que es medida por un sensor de fuerza. Se ha colocado un acelerómetro de referencia en el extremo izquierdo de la estructura. La señal es registrada en puntos de la viga con una con separación equidistante de Δ = 0.01m para todas las vigas, obteniendo, de esta forma, entre 115 y 72 puntos de medición por espécimen (dependiendo de la longitud de la misma). Como se puede ver en la Figura 17 se mide con sensores de aceleración arriba y debajo de la estructura, esta configuración permite incluir sólo aquellos componentes asociados con ondas de flexión. La respuesta en frecuencia de las ondas de flexión se obtiene a partir de la ecuación (3.1), tal como se justifica en [84], [85] y [86]: H f = H s H i 2 (3.1) donde: H f es la respuesta en frecuencia de las ondas de flexión y H s y H i son la respuesta en la parte superior e inferior respectivamente. La realización del análisis modal de cualquier estructura es el primer paso para establecer a partir de que frecuencia son válidos los supuestos de SEA, como se explicó en el apartado 2.5; una alta densidad modal es esencial para aplicar los supuestos de esta teoría. En la Figura 18 se representan la movilidad, definida mediante la ecuación (3.2), en función de la frecuencia para los cuatro especímenes de sección transversal no continua bajo test. La velocidad en cada punto se obtiene integrando la señal de la aceleración. 64

98 Movilidad = Velocidad Fuerza (3.2) Figura 18 F.R.F de la Movilidad El comportamiento modal de las muestras 3 y 4 es similar, excepto por un ligero desplazamiento espectral de la muestra 4 a la izquierda, tal vez debido a la discontinuidad (aumento de masa). Al observar estos sistemas, es evidente que no tienen una alta densidad modal, por tanto, un análisis de acuerdo con los principios de la SEA, no sería apropiado. No obstante, de los resultados obtenidos en el análisis modal (ver Figura 18 ) y debido a la naturaleza del sistema de medición en estado estacionario, se puede contemplar el caso hipotético donde la densidad modal es lo suficientemente alta, lo cual permitiría calcular el factor de pérdida de acoplamiento (CLF), este es estimado a partir de la relación de la energía cinética, E k, entre los subsistemas en los que fue dividido cada viga. La estimación del balance energético es considerada a partir de la igualdad expresada en (3.3). E k,2 = M 2 v 2 2 E k,1 M 1 v 2 1 = M 2 η 12 = v 2 2 v 2 1 M 1 η 21 (3.3) El balance energético describe el acoplamiento entre los subsistemas la Figura 19 muestra la relación de energía observada para las 4 muestras. 65

99 Figura 19 Relación Energética en los especímenes La baja densidad modal de las estructuras dificulta el estudio energético, ya que la relación de masas es alterada. Ahora bien, usando la aproximación de diferencias finitas expresada en [87], se calcula el flujo de potencia utilizando la ecuación 3.4. Este enfoque es válido para las mediciones de aceleración y un sensor de fuerza como referencia, tal como se explicó en el diagrama del setup de medición (Figura 17). w t D 3 [v 2(4v 3 v 4 ) v 1v 3 ] (3.4) donde v n es la derivada de la velocidad de las ondas de flexión asociadas con cada sensor, n es 1, 2, 3, 4 que está correlacionado con la posición de cada acelerómetro (Ver Figura 17), D = EI (1 μ 2 ), es la rigidez a flexión, E es la Modulo de Young (Pa), I es el momento de Inercia (m 4 ) y μ es el coeficiente de Poisson. La Figura 20 muestra los resultados obtenidos: 66

100 Figura 20 Flujo de potencia de vibración a través de las estructuras La Figura 20 representa el flujo de energía para los especímenes con cambio de sección a través de su longitud. En primer lugar, se observa como para los especímenes 3 y 4, para los cuales el cambio de sección transversal es mínimo, el flujo de energía a lo largo de la estructura es casi constante. Mientras que, cuando el cambio de sección es brusco, como en el caso del espécimen 2, se identifica claramente como el flujo de energía se concentra en la parte denominada subsistema 1, la cual pertenece al lugar donde se accionó la fuerza y donde es más gruesa la sección transversal del espécimen. Para el espécimen 1, se encuentra que el flujo de energía se concentra en el cambio de sección causado por reflexiones entre los subsistemas. Finalmente, una de las tantas ventajas de usar señales pseudoaleatorias como las señales del tipo MLS, es la posibilidad de estudiar el fenómeno acústico en el tiempo. En la Figura 21, se muestra a manera de ejemplo, para distintos instantes de tiempo, la transmisión del pulso a lo largo de 2 de los 5 especímenes estudiados. Se representa el desplazamiento exagerado para poder observar el fenómeno acústico. 67

101 Continua: Espécimen 0 Cambio de sección: Espécimen 1 Figura 21 Transmisión de la IR a través del Espécimen 0 y 1 en distintos instantes de tiempo (Desplazamiento exagerado) Al analizar la gráfica anterior, se verifica cómo el medio es dispersivo, ya que se visualizan distintos tipos de onda viajando en el mismo instante de tiempo con distintas longitudes de onda. Así mismo, se logra identificar la acción de la condición de contorno tipo muelle en los extremos de las vigas. 68

102 Segundo procedimiento experimental El procedimiento experimental presentado en esta sección, está inspirado en la técnica de medición de Holografía de campo cercano (NAH) [88], [3]. En este caso, es medida una matriz rectangular al plano normal en el campo acústico del desplazamiento a flexión de la viga y no en el plano paralelo como normalmente se realiza en NAH. La fuente de excitación mecánica fue un transductor dinámico Mini-Pro modelo Fane-NXT MP 80, que se utiliza generalmente en altavoces planos del tipo DML (Distributed Modes Loudspeakers) [89]. El transductor se dispuso en la cara superior de la viga cerca de uno de los extremos, específicamente a 0.02 m. La localización a un extremo de la viga, fue con el fin de comparar las mediciones de vibración (ver apartado de este documento). La malla de medición es rectangular y perpendicular al plano del movimiento de flexión de la viga, el tamaño de la matriz de medición es de 0.6 X 1.2 m comenzando a medir a 0.02 m de la superficie superior de la viga, obteniendo un total de 7200 puntos equidistantes en ambas dirección con una separación entre cada uno de ellos de Δ=0.01 m. Las mediciones se realizaron en condiciones anecoícas. Como se muestra en la Figura 22 y en la Figura 23 en las cuales aparece la configuración esquemática de la medición y una fotografía que detalla las condiciones de montaje, respectivamente. 69

103 Figura 22 Esquema de medición del segundo procedimiento experimental. Figura 23 Vista detallada de las condiciones de montaje. Como sistema de amplificación se empleó un amplificador Brüel & Kjær tipo 2732, el micrófono de medición fue un Brüel & Kjær tipo 4951 preamplificado por un sistema Nexus de Brüel & Kjær tipo S4. Un sistema robotizado automatizado fue empleado para desplazar el micrófono autónomamente, emitir y capturar la señal, así como almacenamiento de los datos capturados. 70

104 Para este fin fue usada una plataforma de adquisición de datos de National Instruments BNC En primera lugar, se analizó la respuesta en frecuencia de la presión en un promedio espacial de los puntos de medición cercanos a la superficie superior de la viga. El espectro resultante se muestra en la Figura 24, donde la frecuencia critica es f c = 589 Hz, que fue calculada usando la ecuación 2.65 y aparece resaltada en la figura, ya que establece los campo de mayor y menor radiación de la viga. Figura 24 Promedio espacial de la respuesta de frecuencia de presión obtenida de esos puntos de medición cerca de la viga La Figura 24 también permite identificar los picos de resonancia correspondientes a los modos de radiación de la viga. A partir de la solución analítica del modelo de viga en condiciones libre-libre de Euler-Bernoulli fue posible evaluar la diferencia entre las frecuencias de resonancia medidas y los diez primeros modos de flexión analíticos (ecuación (2.42)). La Tabla 6, presenta los resultados obtenidos, donde la diferencia (en %) es la desviación relativa de los datos experimentales con respecto a la solución analítica. Tabla 6 Diez primeros modos de flexión de una viga-libre libre, calculado con la aproximación de Euler-Bernoulli, obtenido experimentalmente y desviación relativa (porcentaje). Modo Euler-Bernoulli (Hz) Experimental (Hz) Diferencia (%)

105 Los resultados indican que existe una alta correlación para las frecuencias por encima de f c (diferencias de menos de 5%). Estas ligeras diferencias entre las frecuencias de resonancia medidas y calculadas se pueden atribuir a las condiciones de contorno (que no eran idealmente libre-libre), a la incertidumbres en la determinación del módulo de Young, necesario para el cálculo analítico. Aun así, el procedimiento experimental alternativo propuesto ha demostrado ser una herramienta útil para caracterizar los modos de resonancia de una estructura. En segundo lugar, el sistema se estudió en régimen transitorio. Al utilizar señales MLS se obtiene la IR en cada punto de medición y adicionalmente se obtiene una referencia de fase entre cada uno de ellos lo que permite reconstruir temporalmente el campo acústico. La Figura 25, muestra la forma modal para el 5 to modo de la viga de sección transversal rectangular continua. La parte real del campo de presión radiado por la viga se muestra en la parte superior de la figura y el desplazamiento exagerado en la parte inferior, este último fue obtenido usando el procedimiento experimental expuesto en el apartado de este documento. 72

106 Figura 25 Resultados de vibración y en el campo acústico obtenidos para la viga de sección transversal continua (5to Mode Hz). Arriba. Parte reala del campo de presión radiado por la viga en una ventana espacial de 1.2 x 0.6 m. Bajo. Desplazamiento modal En la anterior figura se puede identificar el ligero desplazamiento de las terminaciones de la viga, zonas cercanas al soporte elástico, lo que confirma la orientación de condición libre-libre del sistema muelle. Así mismo, en consecuencia existe una consistencia clara entre el modo de vibración de la estructura y el campo radiado por la misma. Por otro lado, la Figura 26 muestra el campo acústico de presión en el plano de medición para el instante de tiempo t = ms (en relación con el comienzo de la excitación). En esta figura, se puede observar la diferencia existente entre las velocidades de propagación en el sólido y la velocidad de propagación en el aire, siendo esta última más tardía que en el sólido, tal como era de esperarse. En la figura se puede observar a la izquierda la propagación del pulso a una distancia aproximada de 0.5 m, mientras tanto, en la dirección horizontal asociada a la viga, la propagación del pulso ha viajado dos veces, claramente se distinguen dos frentes de ondas asociados a la radiación de la superficie de la viga. Otros fenómenos fácilmente distinguibles son: la difracción al lado derecho de la viga y la radiación del actuador en el lado izquierdo de la gráfica. 73

107 Figura 26 Campo Acústico en la malla de medición para el instante de tiempo t = ms El comportamiento temporal de los modos también puede ser observado usando un filtro pasa-banda. La secuencia de imágenes en la Figura 27 muestra un periodo completo para el 5 to modo de resonancia de la viga continua. El máximo (indicado con +) y el mínimo (indicado con -) permiten observar la oscilación de un periodo en el tiempo para el 5 to modo, así como observar que no existe en esta frecuencia la influencia del actuador en el campo radiado por la viga. 74

108 Figura 27 Evolución temporal en un intervalo de tiempo para el 5to modo de resonancia de la viga continua. Como se ha mencionado anteriormente, contando con la información de fase para cada punto de medición y mediante la realización de una transformada de Fourier, se obtiene la distribución espacial del campo de presión de sonido en el dominio de la frecuencia, como se muestra en la Figura 28 para el caso de 2kHz. La Figura 28.a muestra que la radiación de la viga es predominante en el campo acústico, y por lo tanto, la longitud de onda de la onda de flexión en el sólido, λ (m), se puede obtener mediante el cálculo de la distancia espacial entre máximos o mínimos de la onda acústica radiada en la dirección 75

109 x cerca de la superficie superior de la viga. Para el caso de 2kHz, el valor de λ es aproximadamente 0.30 m, como se marca en la parte inferior de la Figura 28.a. a) b) Figura 28 Campo de presión sonora a 2 khz. a. Distribución espacial en la matriz del campo acústico medido. b. Representación del campo acústico en el espacio-k El espacio-k del campo acústico a 2kHz es representado en la Figura 28.b. Esta grafica fue obtenida realizando una transformada de Fourier en 2-D sobre todos los valores en el espectro de los puntos de medición. La figura representa las frecuencias espaciales k x y k y que conforman la frecuencia especial k en el plano de medición. Se observa que la radiación predominante ocurre en dirección perpendicular a la superficie de radiación de la viga (frecuencia espacial, k y ), soportado en el supuesto que el sonido radiado por la viga es perpendicular a la superficie superior de la estructura. A frecuencias, superiores a los 3kHz, la radiación generada por la viga es enmascarada por la radiación del sonido producido por el actuador. La ejemplificación de este fenómeno es representada en la Figura 29.a, la cual ilustra el patrón de radiación esférico del actuador y donde se puede distinguir que la radiación de la viga esta significativamente enmascarada por la del actuador, lo que dificulta el análisis de la radiación generada por la viga, así como se realizó en la Figura

110 a) b) Figura 29 Campo de presión sonoro a 4 khz (radiación sonora de la viga enmascarada por la radiación del actuador). a. Distribución espacial en la matriz de medida. b. Representación del espacio-k En la representación del espacio-k del campo de radiación (Figura 29.b) se distingue el predominio de las componentes del campo sonoro en dirección k x. Como se indicó anteriormente, las componentes de la viga están asociadas a la componente k y las cuales son perpendiculares a la superficie de radiación. Con la finalidad de reducir la interferencia causada en el campo sonoro por el actuador, se empleó un filtrado en el espacio-k, para remover las componentes espectrales generadas por la radiación relacionada con el actuador y de esta forma poder estudiar únicamente las componentes relacionadas con la radiación causada por la viga en el campo acústico. Para tal fin, fue usado un filtro Veronesi [90], [91], este es un filtro comúnmente empleado en aplicaciones de NAH. La respuesta de este filtro en el espacio-k, H v (k x, k y ), puede ser expresado como: k 1) s k c e( H v (k x, k y ) = { 0.5 e ( k 1) s k c k k c k > k c (3.5) donde k c y s son la frecuencia de corte espacial y la pendiente del filtro respectivamente. En la Figura 30 se muestra el filtro Veronesi [90] en el espacio-k usando una representación con circunferencias concéntricas. 77

111 Figura 30 Representación con circunferencias concéntricas de la respuesta en el espacio-k del filtro Veronesi (s=0,65). Una vez fue realizado el procedimiento de filtrado, un transformada rápida de Fourier inversa fue realizada con el fin de regresar al dominio de la frecuencia. En la Figura 31.a se representa el campo sonoro resultante después del filtrado para la frecuencia de 4kHz (En este caso, los parámetros del filtro fueron k c = 45 y s = 0.65). El sonido radiado por la viga en el campo acústico, ahora es predominante y se ha minimizado la radiación causada por el actuador (Componentes relacionadas con k x ). Después de esto fue possible estimar la longitud de onda de la onda de flexión del sólido, la cual, para el caso de 4kHz es aproximadamente 0.20 m. La Figura 31.b muestra la representación del espacio-k filtrado y se ha superpuesto el filtro Veronesi usado (representado por circunferencias concéntricas). 78

112 a) b) Figura 31 Campo de presión filtrado para 4 khz. a. Distribución espacial en la malla de medición. b. Representación del espacio-k (Incluye la representación del filtro Veronesi empleado). El procedimiento anterior fue empleando para varias frecuencias con el fin de obtener la longitud de onda, λ, y así calcular la velocidad de propagación de las ondas de flexión de la viga, c B. La Figura 32 representa la comparación entre la velocidad obtenida y los modelos de viga de Euler-Bernoulli (Ecuación 2.32) y Timoshenko (Ecuación 2.31) para condiciones de contorno libre-libre. Figura 32 Comparación entre la velocidad de propagación de las ondas de flexión de la viga obtenida experimentalmente y con los modelos de viga de Euler-Bernoulli y Timoshenko. La c B calculada comparada con el modelo de viga de Timoshenko para condiciones de contorno libre-libre, tuvo mejor ajuste, que el obtenido con el modelo de Euler-Bernoulli. Esto sucede porque el modelo de viga de Timoshenko considera la resistencia a la deformación por cizallamiento (Shear) y la rotación de la masa por la inercia. Estos efectos tienen relevancia 79

113 para longitudes de onda comprables con el espesor de la viga. En la Figura 32 se resalta la f c alrededor de los 589 Hz (eje x) y la velocidad a la que viaja esta frecuencia (eje y) la cual es la misma a la que viajan las ondas sonoras en el aire, aproximadamente 343m/s. El cálculo de los datos experimentales de la c B tiene validez a partir de esta frecuencia, ya que delimita el rango de interacción del sólido en el aire. 3.4 Discusión En este capítulo se presentaron dos procedimientos experimentales: En el primero se abordó la problemática asociada a los límites de validez de la consideración de subsistema en un sistema, según los supuestos de la metodología SEA, estudiando vigas de sección no uniforme: Cuando el cambio de sección es tenue (como en los especímenes 3 y 4), los subsistemas tienden a comportarse como un solo sistema, cuando estos tienen una discontinuidad (cuando el cambio de sección se hace cortando y pegando la estructura) hay una ligera modificación en la respuesta modal. Por otro lado, en los especímenes 1 y 2, donde las secciones transversales no uniformes son más evidentes y depende del lugar donde se aplica la fuerza (sección de mayor a menor sección transversal) la energía se absorbe o reflejada (de menor a la sección transversal mayor). Sin embargo, de los experimentos realizados se concluye que es necesario en investigaciones futuras hacer este tipo de estudios con materiales con un mayor factor de pérdidas y con estructuras mucho más largas, con el fin de mejorar los especímenes para el estudio fenomenológico presentado aquí. Además, si fuese posible, intentar introducir materiales del tipo amortiguador en el cambio de sección, con el propósito de identificar el amortiguamiento que estos generan en el flujo de energía. 80

114 En segundo lugar, un procedimiento alternativo para el estudio vibroacústico de estructuras basado en la utilización de señales pseudoaleatorias, que, combinado con un procesado inspirado en la técnica NAH permitió visualizar la radiación de la estructura así: A partir de los registros en el campo acústico se realizó un análisis en frecuencia en el campo cercano a la viga, logrando obtener los modos de vibración de la viga bajo estudio, mostrando una alta correlación con la solución analítica del modelo de viga con condiciones libre-libre de Euler-Bernoulli para frecuencias por encima de la frecuencia crítica (diferencias de menores de 5%). Gracias al uso de señales del tipo MLS se logró observar temporalmente el campo radiado por la viga, logrando distinguir la diferencia entre las velocidades de propagación en el sólido y en el aire. Así como, otros fenómenos vibroacústicos tales como la difracción del borde de la viga. Por medio del análisis en frecuencia en el espacio-k, se identificaron los componentes de frecuencia espacial de la viga y del actuador utilizado como fuente de excitación, consiguiendo, de esta forma separarlos. La aplicación del filtro Veronesi minimizó los componentes k x que interfierieron en el campo radiado y que pertenecen al actuador, esta técnica de procesado de la señal, permite mejorar el análisis de la radiación sonora de la viga. Se ha expuesto el proceso para determinar la velocidad de las ondas de flexión en una viga para frecuencias superiores a la crítica, realizando un análisis en el dominio de la frecuencia, utilizando la distribución espacial de la presión sonora registrada en la malla de medición. A partir de estos datos se calcula la longitud de onda de las ondas de flexión en el sólido para cada frecuencia. Los resultados experimentales obtenidos para la velocidad de propagación de las ondas de flexión se compararon con el modelo de Euler-Bernoulli y el modelo de Timoshenko, mostrando una alta concordancia en la gama de frecuencias de validez de estas aproximaciones. 81

115

116 CAPÍTULO 4: ESTUDIO VIBRATORIO DE ESTRUCTURAS DE TAMAÑO REDUCIDO 4.1 Introducción En este capítulo se aborda el estudio del comportamiento vibratorio de una estructura formada por la unión de tres placas rectangulares unidas reproduciendo la forma de una esquina cuyas dimensiones están representadas en la Figura 35 y construida con el mismo material que las vigas estudiadas en el capítulo anterior (piedra Bateig). Las ventajas de usar esta piedra, como se mencionó anteriormente, es que sus propiedades mecánicas son similares a las del hormigón y es un material fácil de manipular. El objetivo de este estudio es doble. Por una parte, la consolidación de la configuración experimental propuesta en el capítulo anterior, en la que se utiliza como excitador un transductor como los usados en los altavoces DML y como señal de prueba una secuencia pseudoaleatoria del tipo MLS (Anexo I). Al mismo tiempo se propone un laboratorio a tamaño reducido (Figura 35), para estudiar la transmisión de vibraciones y el efecto de la intercapa en suelos flotantes. La razón para proponer este estudio, radica en el hecho de que las predicciones en forma de ecuaciones analíticas sobre el aislamiento acústico al ruido y las vibraciones que se pueden encontrar en [8], [27] y las medidas realizadas en el laboratorio [28] suelen desviarse de los valores obtenidos en 83

117 medidas insitu. Este problema se asocia, por lo general con las transmisiones laterales (flancos de transmisión) a través de los elementos que forman un sistema constructivo. Por ello, es necesario cuantificar estas desviaciones y disponer de herramientas analíticas y numéricas, así como de datos experimentales, para que las predicciones se ajusten más a los resultados de las medidas realizados bajo condiciones de construcciones de edificaciones reales. La normativa [8], [27] presenta, sin lugar a dudas, algunas limitaciones, la más significativa está relacionada con que la predicción analítica esta sesgada, porque sólo considera elementos constructivos relacionados con estructuras pesadas, homogéneas e isotrópicas (típicas construcciones en hormigón y mampostería), esto excluye otro tipo de construcciones como las multicapas formadas por distintas capas de materiales livianos, no homogéneos y con propiedades viscoelásticas, actualmente empleadas en la edificación Por otro lado, el laboratorio de medición propuesto en [28] no simula la realidad de la construcción bajo condiciones reales, puesto que sólo permite estudiar un flanco asociado a una única unión rígida entre elementos constructivos. En las construcciones reales existen al menos tres uniones distintas entre elementos constructivos asociados a cada eje de coordenada y no siempre rígidos. Adicionalmente, es un método generalizado el cual no incluye todos los tipos de unión, (solo incluye uniones rígidas), ni otros materiales utilizados en la construcción como lo son materiales viscos-poroelásticos, los cuales son empleados ampliamente en el aislamiento acústico y térmico, los cuales permiten desacoplar mecánicamente los elementos constructivos, evitando la transmisión por flancos o vía estructural del ruido y vibraciones, en consecuencia, mejorando el desempeño del elemento constructivo respecto a su rendimiento frente al aislamiento acústico. La Figura 33 ejemplariza una instalación constructiva típica de una vivienda donde se incorpora un sistema de aislamiento acústico del tipo suelo flotante, también se describen los elementos constructivos verticales. 84

118 Figura 33 Esquema de la situación real de edificación de los elementos constructivos Lo anteriormente expuesto justifica la búsqueda de procedimientos alternativos que ofrezcan mayor precisión en la predicción de la reducción en el efecto de las transmisiones laterales [92], [93]. En este sentido, la utilización de configuraciones a escala [80] o de tamaño reducido puede constituir una alternativa atractiva y fiable para la obtención de predicciones del aislamiento acústico, con buenos resultados, porque permite recrear sistemas de medida próximos a la instalación real. El estándar UNE EN ISO [28] es el método de laboratorio para estudiar la medición de transmisión vía estructural o por flancos. A este laboratorio lo conforman dos salas adyacentes, estas pueden ser verticales u horizontales, las cuales simplemente comparten una arista (unión). Las mediciones realizadas en el laboratorio pueden ser "exactas" en un sentido limitado, ya que es necesario determinar las pérdidas estructurales del laboratorio de pruebas, además no se tiene en consideración ni el límite modal de los recintos y ni de los elementos constructivos que lo conforman, tampoco la absorción del acompañamiento estructural, ni la práctica constructiva real cuando se edifica [94]. 4.2 SEA en acústica en la edificación En la edificación la mayor parte de los elementos constructivos son placas (como las paredes o pisos), que se pueden simplificar a elementos de dos dimensiones, la unión entre estos elementos, por lo general, son en cruz (X), T o uniones de esquina (L). 85

119 En la acústica clásica el parámetro que describe la transmisión a través de una articulación es el coeficiente de transmisión, τ ij. Este se define como la relación entre la potencia incidente (i) y la potencia transmitida (j) sobre un elemento constructivo después de que la energía ha fluido por una serie de subsistemas interconectados entre sí. Comúnmente se expresa en db y se conoce como la pérdida de transmisión, R. R ij = 10log 1 τ ij (4.1) Con lo cual la ecuación 4.1 puede ser escrita como la ecuación 4.2 R ij = 10log w i w j (4.2) Para cualquier tipo de unión estructural donde existan dos placas o más, conectadas entre sí, cada onda que incide en alguna articulación generará ondas en todas las placas conectadas. Para una articulación transversal, si cada placa se modela como un subsistema independiente y se supone que sólo admiten ondas de flexión el modelo SEA sería como se muestra en la Figura 34. Figura 34 Esquema del flujo de energía entre dos placas conectadas transversalmente La placa fuente siempre se nombra con i o 1 y la placa receptora con j o 2. SEA supone que todas las placas están hechas del mismo material pero tienen distintos espesores; también supone que la unión entre las placas es fija. Las placas están libres para rotar en las articulaciones, pero, debido a las fuerzas de las otras placas, no existen desplazamientos. Esta es una 86

120 suposición razonable a baja frecuencia y como consecuencia no se generan ondas longitudinales y solo se generan ondas de flexión en la transmisión sonora. Estos supuestos se concluyen matemáticamente en la ecuación 4.3: R 12 = 10 log 5 (H H 21 ) 2 (4.3) Donde H 12 es la relación de espesores entre el elemento 1 y 2 y H 21 es la relación de espesores entre el elemento 2 y 1. El nivel de velocidad promedio se define en la ecuación 4.4. L v = 10log 10 v v v n 2 n v 0 2 db (4.4) donde v 1, v 2, v n son las velocidades eficaces (cuadráticas medias) en n posiciones diferentes sobre el elemento que se está midiendo, en metros por segundo y v 0 es la velocidad de referencia cuyo valor viene recomendado en la norma UNE-EN-ISO, 1683:2009 [95] y es 1x10 9 m/s. Se puede destacar que, la misma fórmula de nivel de velocidad promedio es aplicable si en vez de velocidades se usan aceleraciones. En este caso el valor de aceleración de referencia enunciada en [95] es 1x10 6 m/s. La diferencia de nivel de velocidad, D vij, se define como la diferencia entre el nivel de velocidad promedio, de un elemento i y el de un elemento j, cuando solamente se está excitando el elemento i (ecuación 4.5) D vij = L vi L vj (4.5) Siendo, L vi el nivel de velocidad en el elemento excitado (i) y L vj el nivel de velocidad en el elemento receptor (j). La anterior relación implica que la excitación estructural se produce por aplicación de una fuerza directamente al elemento emisor de las vibraciones. 87

121 El índice de reducción vibracional, k ij, viene dado por la ecuación 4.6, en decibelios. l ij k ij = D vij + 10log (4.6) a i a j donde D vij es la diferencia de niveles de velocidad promediados direccionalmente entre los elementos i y j, en decibelios y viene dado por la ecuación 4.7; l ij es la longitud de la unión, en metros; y a i y a j, relacionados en la ecuación 4.8, son las longitudes de absorción equivalentes de los elementos i y j respectivamente, en metros. D vij = 1 2 (D v,ij + D v,ji ) (4.7) donde D v,ij es la diferencia entre el nivel de velocidad promedio de un elemento i, excitado, y el elemento receptor j; y D v,ji es la diferencia de velocidad promedio entre un elemento j y un elemento i, cuando únicamente el elemento i es excitado por una fuerza externa. Estas magnitudes se expresan en decibelios. a j = 2.2π2 S j T sj c o f f ref (4.8) donde S j es la superficie del elemento j en metros cuadrados, T sj es el tiempo de reverberación estructural del elemento j, c o velocidad de propagación de las ondas en el aire, en metros por segundo; f frecuencia en Hz y f ref es la frecuencia de referencia igual 1000Hz. El índice de reducción vibracional, se define en la Norma EN [8] como una magnitud inalterable para caracterizar una unión entre elementos. Esta magnitud se basa en una simplificación de la teoría del análisis estadístico de la energía (SEA - [1]) Las principales hipótesis que hacen posible la utilización de esta magnitud, son: 88

122 El acoplamiento entre los elementos i y j es débil. Ya que, la metodología SEA considera que los caminos de transmisión descritos en el sistema se pueden considerar independientes. Los campos de vibración en los elementos son difusos. Es decir, que en el rango de frecuencia estudiado el número de modos debe ser lo suficientemente grande en el ancho de banda bajo estudio como para considerar los campos acústicos y vibratorios en el sistema, como estadísticos. Estas hipótesis son las limitaciones más importantes que pueden encontrarse al momento de obtener mediciones fiables y precisas en un rango de frecuencias más o menos amplio. El índice de reducción vibracional, k ij, es uno de los indicadores acústicos más complejos de predecir y medir, ya que como se mencionó, los estándares actuales solo incluyen en el modelo un único tipo de unión. La derivación mostrada en [8] está basada en un modelo simplificado de SEA donde sólo hay un cruce, por lo tanto, se justifica el diseño del laboratorio, no obstante, para comparar los resultados entre la construcción real, con los resultados obtenidos en la predicción hecha con [8], [27] y con los datos obtenidos siguiendo el método descrito en [28] se debería asegurar que la construcción cumpla con los requisitos de subsistemas acoplados por una sola unión descritos en SEA [1], lo cual no es factible realizar en condiciones reales. En el estudio presentado por Schiavi, y Astolfi en [96] fue calculado el k ij en edificaciones reales con uniones rígidas, empleando dos modelos empíricos basados en la evaluación estadística de las mediciones insitu para estimar el índice de reducción vibracional de construcciones típicas del sur de Europa. La fuente empleada fue un martillo de impactos que reproduce una excitación impulsiva. Los resultados están limitados en frecuencia, por el tipo de fuente empleada, como se muestra en el Anexo II de este documento. El grado de validez de los modelos SEA está limitado en baja frecuencia por el comportamiento modal de la estructura, las normas actuales, indican que el límite inferior para la validez del estudio es 50 Hz. Teniendo en cuenta que un edificio es un sistema que consta de placas y vigas acopladas, el 89

123 comportamiento modal depende de las propiedades mecánicas y las condiciones de contorno entre ellos, como se explica en el capítulo 2 de este documento. Estudios como el presentado por Neves, Sousa y Gibbs, [97] explican que a frecuencias inferiores de los 200 Hz, a los campos sonoros y de vibraciones en las viviendas presentan un comportamiento modal alto, por lo tanto, debe incluir los siguientes factores para el correcto análisis del desempeño en el aislamiento acústico en la edificación: la ubicación del impacto o fuerza de excitación, la construcción del piso, las propiedades del material, las dimensiones y condiciones de contorno, las dimensiones de la sala, la absorción de la superficie, y la ubicación del receptor. El pico más significativo en la transmisión del sonido de impacto, por lo general, se produce en la frecuencia correspondiente al primer modo vertical (normal) de la sala. Sin embargo, en algunos casos, la transmisión del sonido de impacto puede ser incluso superior a otras frecuencias, esto ocurre cuando la habitación y el suelo tienen un alto acoplamiento modal. De este estudio se puede concluir que, simples métodos de predicción del nivel de ruido de impacto, ΔL, a bajas frecuencias, dependen en gran medida de las propiedades mecánicas del suelo, que se pueden resumir en la movilidad característica de la placa. El laboratorio necesario para predecir la transmisión por flancos es complejo de construir, de esta manera, la posibilidad de utilizar modelos a escala o a tamaño reducido para estimar el k ij es una opción viable. En [98] se propone un modelo a escala 1:10 y un modelo numérico del laboratorio explicado en [28], para ambos experimentos la fuente usada fue del tipo armónica. El alcance del estudio se restringió a validar los resultados numéricos y el de confirmar la viabilidad del proceso numérico. Los autores proponen utilizar modelos numéricos para simular las dimensiones reales y calcular el k ij. En [99] se estudia la transmisión de la vibración estructural, el problema fue abordado desde un punto de vista numérico, utilizando modelos de elementos finitos. Los resultados numéricos obtenidos se comparan con las fórmulas empíricas de [8]. Los autores proponen una metodología simple para estimar la diferencia entre las predicciones numéricas y el estándar, lo que permite el 90

124 cálculo de un término de adaptación que hace que ambos enfoques se aproximen. Este estudio concluye que k ij es dependiente de la solución constructiva, y por lo tanto debe ser evaluado para cada estructura. En documentos científicos como [100] y [101], se utilizaron laboratorios a pequeña escala para evaluar la diferencia de nivel de velocidad, D v,ij, en la unión entre el elemento excitado i y el elemento receptor j, y el nivel de presión de ruido de impacto normalizado, L n, en suelos flotantes. Los autores han encontrado buenos resultados empleando técnicas convencionales de medición (máquina de impactos) en estructuras a tamaño reducido, en el rango de frecuencia de estudio que sugiere la normativa. Aunque, estas técnicas no están directamente relacionadas con la transmisión de las vibraciones entre uniones, es interesante como se aborda el uso de laboratorios alternativos para estudiar el fenómeno acústico. En [102] se propone otro laboratorio para evaluar la transmisión estructural causada por instalaciones hidráulicas (fuentes con más movilidad que el receptor), fuertemente relacionadas con transmisión de ruido por flancos y de impacto. El laboratorio propuesto, consta de tres placas desacopladas entre ellas y que forman una esquina. La evaluación de los elementos se basa en [28]. Igualmente, en [102] se describe la metodología para determinar la propagación de las vibraciones vía estructural de maquinaría de gran peso en estructuras de construcción homogénea. El banco de pruebas o prototipo desarrollado, está basado en el concepto de la placa de recepción, y validado experimentalmente. El sistema de prueba ha sido desarrollado, para determinar la potencia del sonido transmitido por la estructura de las fuentes mecánicas en edificios de gran peso. El prototipo se valida a frecuencias inferiores de 50 Hz, obteniendo buenos resultados, ya que ese tipo de fuentes transmiten ruido y vibraciones a bajas frecuencias. Lo anteriormente expuesto permite justificar el uso de modelos a tamaño reducido para estudiar la fenomenología de la transmisión de ruido y vibraciones a través de los flancos estructurales de soluciones constructivas, distintas a las contempladas en los actuales estándares. 91

125 Como se mencionó en la introducción del presente capítulo se propone un laboratorio a tamaño reducido (Figura 35), para estudiar la transmisión de las vibraciones y el efecto que tiene el instalar intercapas fabricadas con materiales poro-visco-elásticos en soluciones constructivas del tipo suelo flotante. 4.3 Configuración Experimental La imagen superior de la Figura 35 muestra esquemáticamente la estructura de tamaño reducido en forma de esquina, usada para el experimento. Se construyó con el mismo material de la base experimental presentada en el capítulo 3, las propiedades mecánicas del material se pueden observar en la Tabla 4. 92

126 Figura 35 Superior. Detalle de la esquina (Todas las dimensiones en centímetros). Inferior Estructura Real. Debido a que el experimento requiere la medición en la parte inferior de la muestra; la estructura se levantó con la ayuda de una estructura en forma de U, como se observa en la parte inferior de la Figura 35. Para separar ambas estructuras mecánicamente se empleó un material viscoelástico (miga de neumático reciclado). La Tabla 7 muestra las propiedades mecánicas del material aislante empleado. Tabla 7 Propiedades mecánicas de la miga de neumático reciclado Densidad kg/m 3 Módulo de Young k Pa Coeficiente de Poisson Como se observa en la Figura 36 y la parte inferior de la Figura 35, por medio de arandelas, se creó una malla equiespaciada (Δ = 0.05m), en las seis superficies de la estructura, para un total de 576 puntos de medición. La Figura 36 evidencia la distribución de los puntos de medición en las diferentes superficies. 93

127 Figura 36 Distribución de los puntos de medición El actuador (fuente) se encuentra en tres posiciones diferentes en la placa base (placa horizontal) de la estructura bajo prueba, se eligieron las posiciones de la fuente tratando de seguir las recomendaciones de la norma UNE EN ISO [28]. La Tabla 8 muestra la disposición de los puntos de medición en la superficie de la base. Tabla 8 Selección y localización de la fuente sobre la malla de medición. Posición1 Posición 2 Posición 3 F1 (0.36,0.36) F2 (0.26,0.21) F3 (0.16,0.26) ** Superficie 1 (Piso), Ejes de coordenadas (x, y) 94

128 Se decidió medir con la máxima resolución posible, con el propósito de realizar análisis temporales y espaciales, aprovechando las ventajas del uso de las señales MLS (ver Anexo I.2) y así poder comparar con mayor precisión con modelos numéricos. Este experimento se realizó para seis combinaciones diferentes de piso flotante, las cuales consisten en combinaciones entre tres placas de mármol (placa flotante) de distintos espesores: 1 cm, 1. 5 cm y 2 cm y dos intercapas de diferentes materiales viscoelásticos. La Tabla 9 muestra las propiedades mecánicas del mármol y la Tabla 10, las propiedades mecánicas de las intercapas elegidas para el estudio. Tabla 9 Propiedades Mecánicas del Mármol Densidad kg/m 3 Módulo de Young 80 GPa Coeficiente de Poisson Tabla 10 Propiedades mecánicas de las capas viscoelásticas elegidas para el estudio Muestra 6: Espesor e = 0.03 m Densidad ρ = Kg/m 3 Frecuencia de resonancia f r = 26 Hz Factor de pérdidas Q loss = 0,154 - Rigidez dinámica s t = 5 MN/m 3 Módulo de Young E = Pa 95

129 Muestra 9: Espesor e = m Densidad ρ = Kg/m 3 Frecuencia de resonancia f r = 39 Hz Factor de pérdidas Q loss = Rigidez dinámica s t = 13 MN/m 3 Módulo de Young E = Pa 4.4 Resultados En esta sección se detallan los resultados obtenidos. En primer lugar, se explica la respuesta del comportamiento modal de la estructura. Seguido del cálculo de los indicadores que dan vía para obtener el índice de reducción de las vibraciones, tanto para la esquina desnuda, como cuando se añade a la base de la esquina una solución de piso flotante Análisis Modal y respuesta en frecuencia Los resultados obtenidos a partir del experimento realizado, se comparan con un modelo de elementos finitos para evaluar el grado de correlación del estudio. En la siguiente sección se explica cómo se llevaron a cabo la modelización numérica y la comparación de los resultados. Resultados experimentales La Figura 37 muestra la respuesta en frecuencia obtenida a través del procedimiento experimental. La curva de la figura corresponde al promedio de los tres puntos de fuente en los 81 puntos de medición, (243 respuestas promediadas), sobre la placa de base (superficie horizontal de la esquina). 96

130 Figura 37 Respuesta en frecuencia mediante el proceso experimental de la esquina desnuda Al analizar la anterior figura se puede distinguir el alto comportamiento modal de la estructura hasta los 2 khz. Esto restringe el estudio para los tercios de octava donde la normativa indica que se debe presentar los resultados (tercios de octava de 50 Hz-5kHz.). Con el fin de representar las formas modales de la estructura se elaboró un experimento numérico para calcular sus frecuencias propias. En el modelo fue recreada la geometría real de la esquina de medición. Se realizaron dos estudios, ambos modelos tridimensionales construidos en el módulo de mecánica de sólidos en COMSOL Multiphysics. [9] Para simplificar el modelo, el primer paso dentro del experimento numérico consistió en verificar que la respuesta modal obtenida experimentalmente correspondiera a una condición de contorno libre-libre. Como es sabido, la baja densidad del material viscoelástico recrea un apoyo tipo muelle. Tal como se explicó en el apartado 3.2 de este documento. Un segundo experimento fue hecho sin el soporte en forma de U. La condición de contorno de la base de la placa horizontal de la estructura fue declarada como tipo muelle, esto se realizó con el fin de mejorar el coste computacional del modelo. El experimento con el soporte tuvo un total de elementos, mientras que el segundo modelo un total de 8514 elementos. En ambos experimentos se 97

131 calcularon las primeras 50 frecuencias modales. En todos los modelos presentados los materiales fueron declarados como materiales lineales y las propiedades mecánicas introducidas en el software de modelamiento numérico corresponden a los registrados en las tablas rotuladas como: Tabla 4, Tabla 7, Tabla 9 y Tabla 10. Los resultados expuestos en la Tabla 11 comparan los resultados numéricos para los dos experimentos: cuando la esquina está bajo las condiciones reales de medición y con una condición de contorno tipo muelle en la parte inferior de la placa horizontal de la esquina. Tabla 11 Comparación numérica de las formas modales con dos condiciones de contorno. Izquierda. Condición experimento real. Derecha, En la base condición tipo muelle

132 Como se observa en la tabla anterior, los resultados son similares para ambos modelos. El segundo (con condiciones de contorno tipo muelle) fue elegido por el menor coste computacional. Este modelo fue usado en los siguientes análisis. Adicionalmente, al comparar los resultados numéricos, con la respuesta modal encontrada con el experimento se puede verificar la alta correlación de los resultados con desviaciones menores al 1%. Para obtener la respuesta en frecuencia del modelo numérico se construyó un modelo armónico, como es sabido, para resolver las ecuaciones que solucionan este modelo es necesario introducir una fuerza externa, con el propósito de recrear las condiciones reales de medición, la fuerza que ejerce el actuador fue estimada basada en un enfoque acústico-mecánico, dado que no es sencillo obtener la fuerza experimentalmente para este tipo de fuentes. (Ver Anexo 1) En la Figura 38, se muestra la comparación de los resultados experimentales y numéricos hallados para la esquina desnuda (gráfica superior) y cuando es añadido al sistema una solución de piso flotante (gráfica inferior). Los resultados que se muestran representan el promedio de los tres puntos de carga para los 81 puntos de medición. Los puntos de medición y de carga fueron los mismos en ambos experimentos (numérico y experimental). 99

133 Figura 38 Respuesta en frecuencia con la solución de suelo flotante. Arriba. Comparación entre los resultados experimentales y numéricos en la superficie superior de la esquina. Abajo. Comparación entre los resultados experimentales y numéricos sin la contribución Como se observa, la correlación de los datos es bastante alta. Se han realizado dos experimentos adicionales como se expone en la gráfica inferior de la Figura 38. Esto se realiza, dada la asimetría de la esquina porque, el primer modo de resonancia varía. Se esperaba que el primer modo de los experimentos coincidiera con la frecuencia de resonancia generada por el sistema de un grado de libertad que se forma entre la palca base y la solución de piso flotante, pero en los resultados se ve ligeramente desplazado. La Tabla 12 explica gráficamente el fenómeno. Tabla 12 Solución numérica de las formas modales Esquina con la solución de suelo flotante y condiciones tipo muelle en la base Hz // Hz // Hz // 59.58Hz Configuración del piso flotante sin esquina solo sobre una placa base de Bateig y está soportada en una condición tipo muelle Hz// 28.07// Hz // Hz // Hz Solución sobre una condición de contorno rígida-sistema de un grado de libertad Hz// Hz 100

134 Hz Hz En la anterior tabla comparativa se verifica la influencia de la asimetría de la esquina, lo que genera un desplazamiento del sistema de un grado de libertad formado entre la solución de suelo flotante y la placa base de la esquina. Finalmente, en la Figura 39 se muestran los resultados obtenidos experimentalmente para todas las superficies de la esquina, cuando esta desnuda y cuando le es añadida la solución de piso flotante, con el material viscoelástico rotulado M006 y la losa de mármol de 2 centímetros de espesor. 101

135 Figura 39 Respuesta en frecuencia para las seis superficies. Arriba La esquina desnuda. Abajo, La esquina con la solución de suelo flotante, La Figura 39 muestra la influencia de piso flotante. Aunque el nivel disminuye al tener la solución, aún se puede determinar el comportamiento modal de las otras caras de las placas que conforman la esquina Diferencia de nivel de velocidad en la unión entre el elemento excitado i y el elemento receptor j D v,ij Con el fin de encontrar la eficacia de las soluciones de piso flotante, se calculó la diferencia de nivel para los siguientes tres casos: Caso 1: diferencia de nivel entre la superficie del suelo superior (i) e inferior (j) sin solución de piso flotante y con una solución de piso flotante. Caso 2: diferencia de nivel entre la pared de menor espesor (3 cm) (i) y la superficie exterior del piso (j), sin solución de piso flotante y con una solución de piso flotante. Caso 3: diferencia de nivel entre la pared gruesa (6 cm de espesor) (i) y la superficie exterior del piso(j), sin solución de piso flotante y con una solución de piso flotante. Para cada una de las configuraciones de piso flotante (6 configuraciones), se evaluó cada caso. En este documento se presentan los casos para el material 9 (M009) y el material 6 (M006) con losa de mármol 2 centímetros de espesor. 102

136 Los datos son presentados en tercios de octava normalizados de 31.5 Hz a 5kHz. Caso 1 Caso 2 Caso 3 Figura 40 Diferencia Normalizado para tres distintos casos de comparación 103

137 Como se muestra en las ilustraciones relacionadas en la Figura 40, para los tres casos estudiados, cuando se comparan los elementos sin solución de suelo flotante, se puede ver cómo el nivel de velocidad en la unión entre el elemento excitado i y el elemento receptor j, esta alrededor de 0. Concretamente en el caso 3, se encuentran diferencias entre -10dB y 10dB, el obtener una diferencia negativa, indica que hay mayor transmisión de energía. La diferencia entre las soluciones de suelo flotante es mínima, lo que indica que el desempeño de los materiales estudiados es similar. En todos los casos, hay una reducción en la diferencia de nivel alrededor de los 500 Hz, esto se debe al hecho de realizar una aproximación por tercio de octavas en bandas donde la densidad modal de la estructura es baja. Como era de esperarse, por encima de los 2kHz, para todos los caso el comportamiento de D v,ij es prácticamente constante Tiempo de Reverberación Estructural, T s El tiempo de reverberación estructural, T s, al igual que el tiempo de reverberación en recintos, se calcula a partir de la curva de decaimiento energético de cualquier punto de medida del elemento bajo estudio. Dicha curva se puede obtener a partir de la respuesta al impulso IR al usar técnicas de medida basadas en secuencias pseudoaleatorias (ver Anexo I.2), como la MLS, usada en este trabajo (ver Tabla 5). Cuando se emplean ese tipo se señales el T s se obtiene a partir de realizar el método inverso de la respuesta al impulso [103], [104], este proceso demuestra matemáticamente que la curva de decaimiento se obtiene al integrar (sumar) todas las contribuciones energéticas asociadas a una única curva de decaimiento que contiene todas las frecuencias en el tiempo, la suma se realiza desde un tiempo infinito hasta el instante inicial. Para obtener el T s por tercio de octava desde la curva de decaimiento es necesario filtrar la señal por banda de frecuencia. Una vez obtenida la curva de decaimiento se debe estimar el tiempo que transcurre en decaer la energía 60dB, este proceso no se hace por simple inspección, dado que dicha curva presenta irregularidades, aunque el decaimiento cumple un tendencia 104

138 asintótica no es del todo una línea recta, por lo que se realiza una aproximación. El motivo de la aparición de irregularidades es debido a que en la práctica ningún campo sonoro de medición es perfectamente difuso. En la Figura 41 se muestran tres distintas curvas de decaimiento obtenidas para la piedra Bateig. Las curvas son el resultado de aplicar el proceso de la integral inversa a los 81 puntos de medida sobre la superficie y luego promediando los decaimientos, así eliminando al máximo, las posibles irregularidades de las señales, causadas por ruido. Figura 41 Curvas de decaimiento para tres distintas frecuencias (800Hz 2kHz 4kHz) Como se pude ver en la anterior figura las curvas de decaimiento obtenidas afirman la hipótesis que el campo sonoro no es totalmente difuso y que la curva de decaimiento es dependiente de la frecuencia. Ahora bien, en la próxima figura se presentan los resultados obtenidos al estimar el tiempo de reverberación T s10, T s20 y T s30, en bandas de tercios de octava desde los 400 Hz hasta los 6.3kHz. No fue estimado el T s60, dado que la señal obtenida no logra decaer 60dB. La Figura 42 muestra los resultados obtenidos para cada uno de los tiempos de reverberación calculados, al final de la figura se presentan en una sola grafica los tres tiempos, con el fin de analizar la diferencia entre cada uno de ellos. 105

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140 Figura 42 Tiempo de reverberación estructural para la piedra Bateig Al observar la última gráfica, de la anterior figura, los tres tiempos son distintos, lo que confirma la teoría de acoplamiento entre las paredes que conforman la estructura y la baja difusividad del campo sonoro medido. Se resalta el tiempo correspondiente a 0.5 segundos, ya que es el tiempo sugerido en la normativa [8], [27] para hacer las estimaciones cuando el material de la estructura es del tipo hormigón. Para realizar los cálculos al estimar el índice de reducción vibracional se usó el T s30, considerando que fue el que más se aproximó a los supuestos de la normativa, para este tipo de materiales. Adicionalmente, se estimó el factor de pérdidas, η, de la piedra Bateig. Los resultados son presentados en la Figura 43, este fue estimado usando la ecuación 4.9, derivada de los supuestos de SEA [39]. Se calculó a partir de los resultados del T s30, η = 2.2 ft s (4.9) 107

141 Figura 43 Factor de pérdidas η de la piedra Bateig De las Figura 42 y Figura 43 se puede detectar la baja densidad modal, por debajo de los 2 khz, demostrando que el T s no es constante con la frecuencia y debería ser medido para cada material. Por encima de 2 khz, el tiempo de reverberación se mantiene constante y es ligeramente mayor que los 0.5 segundos sugeridos en la normativa (alrededor de los 0.6 s) Adicionalmente, donde más baja es la reverberación y mayor es el factor de perdidas es alrededor de la banda de 500 Hz, f c = c o 2 1.8hC L = Hz (4.10) Al calcular la frecuencia crítica del Bateig usando la ecuación 4.10 se puede observar que la f c está relacionada con dicha banda de tercio de octava Índice de reducción vibracional, k ij Finalmente, se presentan los resultados para la evaluación del k ij, este indicador depende del D v,ij y del T s. En la Figura 44 se presenta la curva de tendencia obtenida al calcular el índice. Los resultados obtenidos empleando el procedimiento experimental propuesto, en este capítulo, son similares a los obtenidos empleando técnicas convencionales de medición del k ij. 108

142 Figura 44 Índice de reducción de las vibraciones, Kij, para distintas configuraciones de suelo flotante En la anterior figura, se puede notar que cuando no hay solución constructiva, no existe reducción de la transmisión (esquina desnuda), mientras, que cuando la solución es instalada, hay una clara mejora en la reducción de la transmisión sonora. Aunque los resultados son presentados desde la banda de los 31.5 Hz, se puede observar como solo hasta después de los 2kHz, la curva se estabiliza, con lo cual es erróneo pensar en un único número para describir el comportamiento real de la solución constructiva, para expresar la reducción de la vibración que esta genera. También, se puede identificar que no hay una relevante diferencia entre los distintos espesores de los elementos verticales que forman la esquina Índice de reducción del sonido de impacto ΔL Como análisis adicional, se compararon los resultados con los experimentos explicados en [101], en este estudio los autores realizaron estimaciones del índice de reducción al sonido de impacto, usando como fuente una máquina de impactos, sobre varias estructura de hormigón y ubicando sobre ella la misma solución constructiva medida en este trabajo doctoral (M006+L003). La Figura 45 expresa los resultados obtenidos. 109

143 Figura 45 Comparación de la técnica experimental propuesta y la técnica de la máquina de impactos para el cálculo del índice de reducción del sonido de impacto Como se puede observar la correlación entre las medidas es alta con lo cual el experimento presentado aquí, también permite evaluar el índice de reducción del sonido de impacto ΔL usado como un proceso alternativo al de la máquina de impactos. Esta comparación es posible dadas las ventajas del uso de señales del tipo MLS. 4.5 Discusión Una vez descrito el proceso y expuestos algunos de los resultados más significativos se puede concluir: El setup experimental propuesto, constituye un laboratorio adecuado para estudiar la transmisión por flancos en la edificación y cuantificar el efecto de la instalación de suelos flotantes. El uso de sistemas constructivos de tamaño reducido permite estudiar, de manera fenomenológica, la validez experimental de supuestos analíticos y numéricos para la evaluación de la calidad acústica en la edificación. El uso combinado de transductores excitadores con señales de tipo MLS, ha demostrado ser una estrategia fiable y ventajosa para el estudio de este tipo de estructuras. Permite estudiar el comportamiento estacionario y transitorio de la estructura, facilitando la estimación del tiempo de reverberación estructural del sistema constructivo, 110

144 obteniendo datos en todo el ancho de banda, sugerido para el análisis en la estructura. A partir de estos datos es posible evaluar el índice de reducción de las vibraciones para la esquina desnuda y para distintas configuraciones de suelo flotante, permitiendo diferenciar el efecto de cada intercapa. La limitación de la técnica experimental alternativa presentada, en el rango de baja frecuencia, viene dada por la respuesta del transductor usado como excitador armónico de la estructura y en alta frecuencia, el límite está relacionado con el acelerómetro, ya que tiene una sensibilidad hasta los 8kHz. Restringiendo el análisis en alta frecuencia donde el sistema constructivo presenta una alta densidad modal y un mejor desempeño frente a los supuestos de SEA. Las ventajas comparativas frente a las técnicas tradicionales del procedimiento aquí propuesto son, la estabilidad de una técnica de medición estacionaria, con los privilegios del análisis en estado transitorio, la portabilidad y versatilidad en el procesamiento digital de señal de los datos registrados. 111

145

146 CAPÍTULO 5: ESTIMACIÓN DE LA IMPEDANCIA DE TRANSFERENCIA DE MATERIALES FIBROSOS 5.1 Introducción Es un hecho bien conocido que las estructuras metálicas vibrantes son fuentes de ruido altamente eficientes y a menudo producen exposición a niveles sonoros que implican un riesgo para la salud. El aislamiento acústico que proporciona una placa metálica está fuertemente determinado por dos propiedades: su masa y su capacidad de amortiguamiento. En particular, las estructuras metálicas del tipo placa presentan un muy pequeño amortiguamiento interno. En una primera instancia la más simple vía para controlar el ruido es incrementando la masa de la estructura. Esto reducirá el nivel de vibración de la estructura y el sonido que se transmite a través de esta. Sin embargo, hay unos límites prácticos en cuanto a incrementar la masa. Por ejemplo, investigaciones recientes [105] encaminadas a contribuir a mitigar el cambio climático generado por el automóvil, han mostrado que una disminución de un 10% de peso conduce a una reducción de entre un 4.5% y un 6% de consumo de carburante en vehículos. La aplicación de tratamientos mono o multicapa de amortiguación en la parte vibrante de una estructura es una técnica conocida para reducción del ruido y las vibraciones. Esta medida de control pasivo se ha utilizado ampliamente en los componentes de la industria de maquinaria, aviones, edificios y piezas de automóviles. 113

147 Dado que los materiales porosos son poco pesados, el tratamiento no aumenta la masa de la estructura significativamente. El material poroso añade amortiguamiento y, en consecuencia reduce la amplitud de las vibraciones; debido a las pérdidas internas en el material, la amplitud de las ondas acústicas que se propagan en su interior se atenúan, y, por último, este tratamiento de material absorbente puede aprovecharse para absorber ruido aéreo, disminuyendo de esta forma el campo reverberante en un recinto cerrado, como puede ser el interior de un vehículo. El principal aporte presentado en este capítulo esta direccionado a la caracterización vibroacústica de materiales absorbentes del tipo fibroso, para lograr esto, se propone: Un procedimiento experimental alternativo al presentado por Doutres en [4], para la obtención de la impedancia de transferencia, Z t, usando la técnica de medida de la holografía acústica de campo cercano (NAH, Near-field Acoustic Holography) [3], [106] para obtener la velocidad de vibración sobre la superficie del material poroso, retro propagando el campo acústico y aplicando la ecuación de Euler, como se explicó en la sección 2.3, a su vez, con la misma medición se obtuvo la presión compleja en el campo cercano del material poroso. La velocidad de la placa rígida (metálica) se obtiene midiendo la parte trasera de la placa, usando un acelerómetro e integrando, para obtener la velocidad de vibración de la placa base. También, se emula un piston circular rígido encastrado en una pantalla infinita (ver Figura 50). El procedimiento aquí presentado, optimiza los recursos de medición usando una sola técnica para obtener dos parámetros acústicos, en la misma medición. La caracterización de un único tipo de material poroso-fibroso, conocido como PET (Polietileno Tereftalato), reciclado de botella, de distintos espesores, con el fin de observar los cambios que esto sugiere en la estimación del FSI (Frame Stiffness Index). Comparar la impedancia superficial medida en tubo de impedancia y la de transferencia calculada con el procedimiento alternativo basado en NAH, y a su vez, con el modelo unidimensional de Biot [6], [7] para estimar la impedancia acústica de materiales absorbente. 114

148 Evaluar la eficiencia de radiación de la estructura cuando esta desnuda y cuando le es añadido el material absorbente-fibroso, usando las funciones de propagación de NAH. Los resultados se comparan con el modelo de radiación propuesto por [62] usando como datos de entrada las medidas experimentales de Z s y Z t Materiales porosos y fibrosos: Modelo de Biot Los materiales fibrosos son materiales absorbentes, que acústicamente hablando, corresponden a un medio pasivo que ayuda a la atenuación de ruido y vibraciones disipando la energía acústica en movimiento y/o calor. La absorción de cada material depende de la frecuencia, a alta frecuencia, la disipación de energía corresponde a un proceso adiabático y las pérdidas que ocurren son causadas por la fricción de la onda sonora cuando intenta atravesar los poros del material, por lo general irregulares, sin embargo, a bajas frecuencias, la absorción sonora ocurre por el intercambio de calor. Entonces, por lo general, los materiales poro-elásticos son eficientes a alta frecuencia [5]. Los materiales porosos-fibrosos están configurados por dos sistemas: el primer sistema es la fase sólida, la cual es equivalente al esqueleto o cuerpo de la fibra y la segunda fase corresponde al fluido ligero, compuesto por el aire confinado dentro de la estructura que puede circular libremente alrededor del esqueleto, también llamado fluido saturante. Cuando una onda acústica se propaga a través de dos medios (impedancias) acústicos diferentes como lo son, la superficie del material, una parte de la onda se transmite al medio fibroso (entre la fase sólida y el fluido ligero) y la otra parte de la onda se reflecta sobre la interfaz aire/fibroso (zona de cambio de impedancia). Esto quiere decir que, el concepto de impedancia acústica permite estudiar las cantidades energéticas acústicas transmitidas y reflectadas, cuando una onda acústica choca con un material de este tipo. Esta es la razón, por la que el parámetro más significativo para describir y cuantificar el comportamiento acústico de un material fibroso, es la impedancia acústica (Z). La impedancia acústica caracteriza la resistencia del 115

149 medio fibroso al paso de una onda acústica y se define como el cociente entre la presión acústica,p, y la velocidad de las partículas en el medio fibroso, v. Z = P v (5.1) El modelo de Biot-Allard [6], [7], [107], proporciona un modelo fundamental para describir el comportamiento dinámico de los materiales fibro-elásticos, utilizando el formalismo de la mecánica de los medios continuos [107] y sugiere que el medio fibroso sea visto a nivel macroscópico como la superposición en tiempo y en espacio de dos medios continuos acoplados y Allard adaptó esta modelización a los porosos, y en consecuencia el acoplamiento entre la fase sólida y fluida, es la misma. Este modelo considera que dos ondas longitudinales (ondas de compresión) y una rotacional (o shear), pueden ser propagadas a través del medio poroso al mismo tiempo. En el modelo de Biot-Allard, solo es considerada la transferencia de energía a incidencia normal, por tanto, la onda rotacional no es excitada y el fenómeno puede ser descrito en un diagrama unidimensional (ver Figura 46). La condición de impedancia implica un salto de la componente normal de la velocidad de la estructura, v placa, y la interface del material poroso en contacto con el aire,v aire, en otras palabras, el material poroso suaviza la condición de acoplamiento natural entre el fluido (aire) y la placa (estructura), ofreciendo amortiguamiento en la respuesta de un sistema dinámico, disminuyendo la eficiencia de radiación respecto a la emisión que entrega el sistema al medio cercano (aire), cuando no está cubierto por un material absorberte. La ecuación 5.1 puede ser escrita, ahora, como la relación entre la presión incidente, p, y la diferencia de velocidades entre la superficie del material en contacto con el aire, v aire y el movimiento de la placa, v placa Z t = p v aire v placa (5.2) Cuando la placa es estática v placa = 0, se habla entonces de Impedancia superficial, Z s, supuesto en el cual está basado el método normalizado [108]. Este método consiste en ubicar en el extremo del tubo el material absorbente contra una pared rígida y en el otro extremo un altavoz, el cual genera una 116

150 onda de presión que choca con la superficie del material poroso. Mientras que la impedancia de transferencia, Z t, se relaciona cuando la estructura sobre la cual se encuentra adherido el material poroso se encuentra en movimiento. La Figura 46 explica gráficamente la diferencia entre ambas impedancias. Figura 46 Esquema condiciones de contorno. Derecha, impedancia superficial, izquierda, impedancia de transferencia En trabajos como [5], [4] y [109] se discute la ambigüedad en el uso de la Z s, como condición de impedancia, para modelar numéricamente al material absorbente. En [5] también se propone el uso de un modelo unidimensional basado en la teoría de Biot [6], [7] con el propósito de tener en cuenta la propagación de las ondas en el material poro-elástico. Al no existir, actualmente, una normativa para caracterizar la Z t experimentalmente, en [4] se propone una metodología experimental alternativa para caracterizar Z t, usando una configuración de medida conformada por un vibrómetro laser, con el cual se mide la velocidad de vibración en la superficie del material poroso, así como también, se caracteriza la velocidad de la superficie de la placa, usando medidas de aceleración y la presión compleja, es medida usando una sonda intensimetrica. El anterior experimento se realiza bajo los supuestos físicos de un piston circular plano encastrado en una pantalla infinita. Además en [4], se discute acerca de la influencia de la rigidez de la fibra (FSI Frame Stiffness Influence), con el fin de determinar el rango en frecuencia, donde no ejerce influencia el esqueleto del material poroso. La influencia de la parte sólida del poroso se relaciona con la rigidez del esqueleto, esta rigidez limita la zona de utilidad del material poroso como amortiguador, indicando que existe una frecuencia para la cual la impedancia de la parte sólida del material poroso (esqueleto de la fibra) tiende a infinito, por lo cual la eficiencia de radiación aumenta en lugar de ejercer amortiguamiento (disminución) para 117

151 el sistema placa-poroso [5], [4]. Esta frecuencia se puede estimar usando la siguiente aproximación: f R 1 2 E 4l (1 μ) (1 + μ)(1 2μ) ρ 1 (5.3) donde, E es el módulo de Young, μ el Coeficiente de Poisson, ρ 1 Densidad del esqueleto y l es el espesor de la capa porosa. 5.3 Materiales utilizados Para emular la condición de piston circular rígido. Se ha elegido como pantalla infinita una placa de MDF (ver Figura 50). El piston es una placa cuadrada de aluminio de 35x35cm, la cual posteriormente se dispuso de manera circular y cuyas características se presentan en la Tabla 13: Tabla 13 Características mecánicas de la placa metálica Radio a, (m) 0.14 Espesor h p, (m) Módulo de Young E p, (Pa) Factor de perdida η p 0.03 Densidad ρ p, (kg m 3 ) 1859 Coeficiente de Poisson μ 0.33 El material poroso fibroso a estudiar es una fibra de poliéster reciclado de botella, tipo PET. Las características mecánicas del material se presentan en la Tabla 14. Tabla 14 Características mecánicas del material fibroso Espesor l, (10 3 m) Radio a, (m) Resistividad al flujo σ, ( Ns m 4 ) 2000 Porosidad φ > Tortuosidad α Longitud viscosa Λ (10 6 m) 420.0

152 Longitud termal Λ (10 6 m) Densidad del Esqueleto ρ 1, ( Kg m 3 ) Módulo de Young E, (kpa) Factor de Perdidas η Coeficiente de Poisson μ La fibra se ha dispuesto de 5 diferentes formas, las cuales se pueden ver en la Figura 47. Figura 47 Muestras del material fibroso utilizado para el estudio Los 5 grupos de muestras de material absorbente-fibroso estudiado en este proyecto están diferenciados por espesores, el primer grupo corresponde a 1 cm (M1X), el segundo a 2 cm (M2X), el tercero a 3 cm (M3X), el cuarto a 4 cm (M4X) y el último a 5 cm (M5X), de cada uno de ellos se estudiaron 5 muestras, con el fin de determinar la desviación en el cálculo de la impedancia. El material que mejor desempeño mostró durante el estudio fue la fibra con el espesor de 3 cm, por esta razón, la Tabla 14 indica las características para este espesor, y de ahora en adelante los resultados están relacionado con esta muestra. 119

153 5.3 Montajes Experimentales Se proponen dos montajes experimentales, el primero, recrea la condición de medida normalizada para obtener la Z S, el segundo, consiste en recrear un pistón circular plano encastrado en una pantalla infinita, excitada en su centro por una fuerza puntual, a la cual se le añade el material poroso tipo PET, para estimar la Z t, usando el procedimiento alternativo basado en NAH, descrito anteriormente Tubo de impedancia: Impedancia superficial La impedancia para materiales absorbentes puede ser obtenida usando el método experimental UNE-EN ISO : 2002 [108], método que usa un tubo de ondas estacionarias y se basa en la función de transferencia para estimar la impedancia superficial del material, el estándar asume que la velocidad de la placa donde se soporta el material es nula. El proceso para obtener la impedancia acústica del material fibroso consiste en cuantificar el coeficiente de absorción a incidencia normal del material [15]. Dos micrófonos miden la presión generada dentro del tubo, lo cual es conocido como el Método de la Función de Transferencia, este método consiste en relacionar las presiones complejas H 12 entre el micrófono 1 (cercano a la muestra) y 2 (cercano a la fuente), la medida necesita una calibración de la respuesta de los micrófonos. Para ello se mide H 21 (función de transferencia con los micrófonos cruzados) y se corrigen los posibles defectos de fase. A continuación en la Figura 48 se presenta esquemáticamente el montaje experimental, para la medición de la impedancia superficial. 120

154 Figura 48 Esquema del montaje para la medición de impedancia acústica en tubo de impedancia El factor de reflexión, r se obtiene a partir de la siguiente relación: r = H 12 e j.k.l e j.k.l H 12. e j.2.k.(l+d) (5.4) Siendo l, la distancia entre micrófonos y d la distancia del micrófono 2 a la muestra (ver Figura 48). El coeficiente de absorción en incidencia normal, α se obtiene a partir de la siguiente ecuación. Del mismo modo la impedancia acústica α = 1 r 2 (5.5) Z = 1 + r 1 r (5.6) La Figura 49, muestra la disposición del experimento en el laboratorio, según [108]. En el extremo derecho de la fotografía se encuentra la condición rígida donde es ubicado el material absorbente y en el extremo izquierdo, está la fuente acústica. 121

155 Figura 49 Montaje experimental método de la función de transferencia Montaje experimental con NAH El montaje experimental se muestra en la Figura 50. En la fotografía de la izquierda se puede apreciar la pantalla de madera aglomerada, tipo MDF, a la que se le realizó un orificio circular, donde se ubicó la placa metálica, a la que posteriormente le fue adherido el material absorbente. En la parte frontal de la pantalla se situó el dispositivo que sostuvo al brazo mecánico que ejecutó los movimientos de posicionamiento del micrófono en la malla virtual, que hace de superficie del holograma. La imagen de la derecha, corresponde a la parte trasera de la pantalla, en la cual se distinguen, la placa metálica y el actuador que ejerce la fuerza, el cual está ubicado en el centro geométrico de la placa metálica (las características del actuador se pueden observar en el Anexo II), de igual manera, se puede apreciar la matriz de puntos en los que se realizaron las mediciones con el acelerómetro para estimar al velocidad de vibración de la placa. Las anteriores mediciones fueron realizadas para la placa desnuda y con la placa recubierta por el material absorbente el cual es añadido en la parte frontal de la pantalla. 122

156 Figura 50 Montaje experimental. Izquierda: NAH. Derecha: Aceleración Las medidas de holografía acústica en campo cercano se realizan con un micrófono Brüel & Kjær modelo 4951, pre-amplificado con una Nexus Bruel and Kjaer modelo s4 y comunicado a un ordenador a través de la interface análoga-digital de National Instruments BNC El micrófono, como se explica anteriormente, fue adherido a un brazo mecánico, el cual estuvo controlado por ordenador mediante la misma interface, como se aprecia en la Figura 51. La emisión y recepción de la señal estuvieron sincronizadas usando un programa diseñado en LabView. Figura 51 Montaje experimental para la holografía acústica de campo cercano. La medición de la superficie, muy cercana a la fuente, correspondiente al holograma acústico, consistió en una matriz de medida de 40x40 puntos, con una resolución espacial de 1 cm, para un total de 1600 puntos. Mientras que para las mediciones de vibración de la placa metálica y usando el principio de 123

157 simetría, se midió solo un cuarto de la placa, correspondiente al cuadrante derecho de la misma con una resolución espacial de 1 centímetro, en una matriz de 21x21 puntos, para un total de 441 puntos de medida. Tal y como se aprecia en la parte derecha de la Figura 50, estas mediciones fueron realizadas punto a punto, de forma manual. El excitador, que hizo de fuente puntal, fue un actuador Hiwave HIAX25C05-4 Classic Audio Exciter. La amplificación para la fuente, fue suministrada por el amplificador Brüel & Kjӕr modelo 2732 y el acelerómetro miniatura 4517 de Brüel & Kjӕr, para las medidas de aceleración. La señal utilizada fue del tipo MLS (ver Tabla 5). Todo el post-procesamiento de datos se realizó usando MATLAB. 5.4 Resultados Los resultados obtenidos, presentados en este apartado, corresponden a la impedancia superficial y de transferencia del material absorbente fibrosoporoso y la estimación de la eficiencia de radiación, utilizando el método propuesto por [4] Impedancia Acústica del Material Fibroso La impedancia superficial y de transferencia del material fibroso se obtuvo a partir de las medidas experimentales, y calculadas usando el modelo de Biot. En la Figura 52, se representa la parte real e imaginaria de Z s y Z t. Se puede observar la influencia de la estructura del esqueleto que corresponde a la tendencia a en la medida de Z t. 124

158 Figura 52 Parte real e imaginaria de la Impedancias Acústicas Z S y Z T Por medio de la ecuación 5.3 se estimó la frecuencia de resonancia, la cual está alrededor de los 230 Hz, correspondiendo con el valor obtenido experimentalmente. Sin embargo, se puede indicar que para materiales fabricados con fibras de poliéster, la parte real e imaginaria de la impedancia de transferencia, es negativa en casi todo el rango en frecuencia, esto indica que el material permite un mejor desacoplamiento entre las dos fases (sólida y fluida) Estimación de la Eficiencia de Radiación Se recuerda que el método de radiación por impedancia, descrito por Doutres en [110], consiste en estudiar la eficiencia de radiación de un sistema placafibroso fijado rígidamente en una pantalla infinita reflectante y excitado en el centro por una fuerza puntual, así como se recreó en el experimento descrito en este capítulo. Usando el método de radiación por impedancia del sistema placa-poroso de Doutres [110], se calculó la eficiencia de radiación usando las impedancias acústicas Z s y Z t obtenidas experimentalmente. La Figura 53 ilustra la diferencia en el cálculo de la eficiencia de radiación para los dos casos. 125

159 Figura 53 Representación gráfica de la eficiencia de radiación simulada según el modelo de DOUTRES con las mediciones de Z S (izquierda) y Z T (derecha). Placa rígida( ) y la placa recubierta de una capa de material fibroso (-----) Como se muestra en la Figura 53, al simular la eficiencia de radiación usando Z s no se aprecia la influencia de la estructura del esqueleto. La frecuencia de influencia del esqueleto del poroso está entre los 250 Hz y 300 Hz. Coincide con la frecuencia de resonancia estimada usando la ecuación 5.3. La frecuencia de resonancia del esqueleto está asociada al límite en baja frecuencia en la efectividad del material poroso, como sistema de amortiguación de la energía de radiación, de la placa rígida. En la gráfica, se distinguen unos valles y crestas los cuales corresponden a las frecuencias, asociadas a los modos radiales de la membrana que hace de piston circular, los cuales están relacionados con la interacción fluido estructura y son los encargados de la radiación acústica. Para el cálculo de estas frecuencias se realizó un modelo en MEF, en el módulo de mecánica de sólidos en COMSOL Multyphysics. Los datos suministrados al programa corresponden a los enunciados en la Tabla 13. Los resultados, de los tres primeros modos radiales, son presentados en la Tabla

160 Tabla 15 Modos radiales de la placa metálica encastrada en una pantalla infinita Modo Frecuencia (Hz) Ahora bien, la Figura 54, presenta la estimación de la eficiencia de radiación empleando las ecuaciones de propagación de NAH, tanto para el piston sin material absorbente, como cuando éste, es añadido. Se resaltan las frecuencias asociadas a la resonancia del actuador, la frecuencia de resonancia del material poroso y los dos primeros modos radiales de la membrana. Figura 54 Eficiencia de Radiación calculada a partir de las mediciones con NAH La anterior figura presenta mayores interferencias respecto a la Figura 53, esto es normal, teniendo en cuenta que en la medición real ocurren eventos no controlados, como el movimiento involuntario de la placa, que hace de pantalla infinita la cual agrega componentes a la respuesta en frecuencia no estimados en el modelo numérico, así mismo, el modelo analitico es unidimensional y solamente tiene en cuenta ondas a incidencia normal. La Figura 54 permite identificar el efecto de añadir un material poroso a una membrana radiante. Se observa, que después de la frecuencia de resonancia del esqueleto del material poroso y del primer modo radial de la membrana, (después de los 350 Hz), el material fibroso cumple con su función de 127

161 amortiguamiento, disminuyendo la eficiencia de radiación de la membrana en alrededor de 20 db. Comparando los resultados con el modelo numérico la estimación de la disminución de la eficiencia de radiación es de alrededor de 50 db, esta diferencia de 30 db puede estar atribuida a componentes no controlados durante el proceso de medición. 5.5 Discusión En este capítulo: Se ha planteado una discusión sobre el uso de un procedimiento experimental alternativo, para obtener la Impedancia de transferencia de un material poroso fibroso, fabricado en fibras de PET reciclado, obteniendo resultados similares a los presentados por Doutres en [4], utilizando la técnica de NAH. Al hacer la estimación de la eficiencia de radiación empleando las ecuaciones de propagación de NAH, y al compararlo con el modelo de radiación por impedancia propuesto por [110], se demuestra que el montaje experimental agrega componentes no asumidos en la aproximación numérica, no obstante, la tendencia entre ambos supuestos, es la misma. El material poroso y el primer modo radial de la membrana delimitan en baja frecuencia, la eficiencia del material absorbente como solución pasiva en el control de ruido y vibraciones para un sistema mecánico. 128

162 CAPÍTULO 6: DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS ELÁSTICOS DE UN MATERIAL A PARTIR DEL ENSAYO NORMALIZADO DE RIGIDEZ DINÁMICA Introducción El parámetro que determina el funcionamiento de las capas elásticas, usadas como intercapas en soluciones constructivas, del tipo suelo flotante, es la Rigidez Dinámica [2]. Esta norma considera al sistema de medida como un sistema resonante de un grado de libertad. Por lo general, se usan señales impulsivas (con un martillo de impactos) para obtener la frecuencia de resonancia f r de la vibración vertical, del sistema masa-muelle, donde la masa corresponde a la placa de carga y el muelle a la muestra del material elástico, bajo ensayo. La Figura 55 muestra la situación típica de medida. Figura 55 Configuración de medida según EN :1992 (ISO 9052:1989) [2] 129

163 La rigidez dinámica es uno de los parámetros involucrados en el aislamiento acústico de suelos en las edificaciones y con él, se puede definir qué materiales serían más efectivos para su posible uso como intercapas en las soluciones constructivas de suelos flotantes. Este parámetro, es la relación entre la fuerza dinámica y el desplazamiento dinámico, ecuación 6.1. Es decir, la resistencia que un material ofrece al ser deformado. s = F S d (6.1) donde S es la superficie de la muestra, F es la fuerza dinámica perpendicular a la muestra, d es el cambio dinámico resultante en el espesor del material elástico. De esta manera, aplicando una fuerza dinámica y perpendicular sobre la muestra de ensayo, se genera una variación en el desplazamiento. Esta variación representa el cambio de espesor de la muestra y como resultado, se obtiene la rigidez dinámica del material viscoelástico. La frecuencia de oscilación libre de un sistema forzado de un grado de libertad (Sistema: masa-muelle), f 0, es la frecuencia natural de un suelo que se apoya en una material viscoelástico, ecuación 6.2. f 0 = 1 2π s m (6.2) donde s es la rigidez dinámica por unidad de superficie, del material en estudio y m es la masa por unidad de superficie del suelo que se apoya en este mismo material. La frecuencia de resonancia f r es la frecuencia a la que se produce la resonancia bajo las condiciones de ensayo de la muestra, ecuación 6.3: f r = 1 2π s t m (6.3) t 130

164 donde s t es la rigidez dinámica aparente por unidad de superficie de la muestra de ensayo y m t es la masa total por unidad de superficie empleada durante el ensayo. A partir de las ecuaciones anteriormente enunciadas, [2] define un método de determinación de la rigidez dinámica aparente por unidad de superficie del material viscoelástico bajo ensayo, s t. Este procedimiento se lleva a cabo mediante la medición de la frecuencia de resonancia, f r, ecuación 6.3, la cual se refiere a la excitación de un sistema masa-muelle, donde la masa es la placa de carga y el muelle es la muestra de material viscoelástico, utilizada en el ensayo. Despejando de la ecuación 6.3, se obtiene la rigidez dinámica aparente por unidad de superficie de la muestra, s t, en Newton por metro cúbico ( N m 3). s t = 4π 2 m 2 t f r (6.4) donde m t es la masa total por unidad de superficie empleada en el ensayo, en kilogramos por metro cuadrado y f r es la frecuencia de resonancia en Hertzios. En este capítulo, se discute sobre la aparición de otras frecuencias de resonancia distintas a la fundamental cuando se lleva a cabo este experimento, lo cual abre la posibilidad de encontrar una manera de caracterizar con mayor precisión los materiales usados como intercapa, con la salvedad de que el procedimiento propuesto será válido sólo para materiales cuya rigidez dinámica no necesite una corrección de la resistencia al flujo, en el sentido en que se indica en la normativa [2]. 6.2 Especímenes bajo estudio Se midieron 11 intercapas, usadas en soluciones constructivas de suelo flotante, la Tabla 16 describe las propiedades mecánicas obtenidas para cada una de ellas. 131

165 Tabla 16 Muestras de intercapa usadas para la medición de la Rigidez Dinámica Muestra 1 Muestra 2 Muestra 3 e = m e = 0.01 m e = 0.03 m ρ = Kg/m 3 ρ = Kg/m 3 ρ = 14,82 Kg/m 3 f r = 85 Hz f r = 74 Hz f r = 38 Hz Qloss = Qloss = Qloss = 0,10526 s t = 57 MN/m 3 s t = 43 MN/m 3 s t = 11 MN/m 3 E = Pa E = 22020,30 Pa E = Pa Muestra 4 Muestra 5 Muestra 6 e = m e = 0.01 m e = 0.03 m ρ = Kg/m 3 ρ = Kg/m 3 ρ = Kg/m 3 f r = 71 Hz f r = 58 Hz f r = 26 Hz Qloss = Qloss = Qloss = s t = 39 MN/m 3 s t = 26 MN/m 3 s t = 5 MN/m 3 E = Pa E = Pa E = Pa Muestra 7 Muestra 8 Muestra 9 e = m e = m e = m ρ = Kg/m 3 ρ = Kg/m 3 ρ = Kg/m 3 f r = 86 Hz f r = 86 Hz f r = 42 Hz Qloss = Qloss = Qloss = s t = 58 MN/m 3 s t = 58 MN/m 3 s t = 13 MN/m 3 E = Pa E = Pa E = Pa 132

166 Muestra 10 Muestra 11 e = m e = m ρ = 17.92Kg/m 3 ρ = Kg/m 3 f r = 91 Hz f r = 62 Hz Qloss = 0,18681 Qloss = s t = 65 MN/m 3 s t = 30 MN/m 3 E = Pa E = Pa Todas las muestras de material absorbente, tiene una superficie de 50 x 50 cm y la placa base 20x20 cm, la Figura 56 presenta el procedimiento de adquisición de datos. Figura 56 Proceso de medición de la Rigidez Dinámica La placa se dividió en 4 cuadrantes, cada uno de 10x10 cm, con el fin de encontrar el centro geométrico de la placa base (placa de acero). Se realizaron 5 mediciones, basadas en principios de simetría: 133

167 Caso 1: Consistió en ubicar el sensor de aceleración en el centro geométrico de la placa base y el sistema fue excitado con el martillo en el centro del primer cuadrante. Caso 2: Consistió en ubicar el sensor de aceleración en el centro geométrico de la placa base y el sistema fue excitado con el martillo en el centro del tercer cuadrante. Caso 3: Se ubicó el sensor de aceleración en el centro del cuadrante dos y se excitó la placa base en el centro geométrico de palca Caso 4: Se ubicó el sensor de aceleración en el centro del cuadrante cuatro y se excitó la placa base en el centro geométrico de palca Caso 5: Correspondió a una medida en diagonal, donde el sensor de aceleración estaba en el cuadrante uno y el martillo en el tres. Esto permitió determinar la frecuencia de resonancia del sistema de un grado de libertad y otras frecuencias distintas. La Figura 57 expone los 5 casos. Figura 57 Representación gráfica de la función de transferencia de la medición de la rigidez dinámica Como se puede apreciar en la anterior figura aparecen más frecuencias además de la fundamental. Una vez detectado esto para los 11 materiales descritos en la Tabla 16, fueron planteadas las siguientes consideraciones analíticas. 134

168 6.3 Supuestos Técnicamente hablando, el problema consiste en la determinación del movimiento de una losa cuadrada rígida situada sobre una lámina flexible de pequeño espesor sin posibilidad de deslizamiento entre ambas. La Figura 58 presenta las variables involucradas en el problema. X Losa Intercapa Z G O Y T h e Figura 58 Vista en planta (izquierda) y alzado (derecha) de la configuración bajo estudio donde: G es el centro de masas de la losa, O es el centro cara inferior de la losa (o de la cara superior de la intercapa), T es el origen del sistema de coordenadas cartesianas TXYZ (centro de la cara inferior de la intercapa) u(x, y, z, t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t) son los movimientos de los puntos de la intercapa (función de las coordenadas cartesianas x, y, z y del tiempo t); e es el espesor de la intercapa; A el área de las caras superior e inferior de la losa ( o de la intercapa); h es el espesor de la losa; h = m/ρa; m es la masa de la losa; ρ es la densidad del material de la losa. La nomenclatura que se va a utilizar para las propiedades elásticas del material de la intercapa es: μ es el coeficiente de Poisson; E es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young; К es el módulo de compresibilidad; M ET es el módulo de elasticidad transversal; λ es el primer parámetro de Lamé; M es el módulo de onda P Se han encontrado en la bibliografía existente análisis a problemas muy similares, pero con un enfoque distinto y unas hipótesis de partida también diferentes (como [111] y [112] suponiendo el material incompresible, ó [113], [114] y [115] considerando el material compresible). Las soluciones 135

169 propuestas en estos trabajos son más complejas que la que se describe en este capítulo. Las hipótesis de partida en el enfoque propuesto aquí son las siguientes: No hay deslizamiento entre la losa y la intercapa ni entre el suelo y la intercapa. La rigidez del material de la losa es mucho mayor que la rigidez del material de la intercapa, pudiendo la losa ser considerada como un sólido rígido. El espesor e de la intercapa es mucho más pequeño que su anchura, (e A) Existe linealidad: a) Del material de la intercapa: es válida la ley de Hooke (elasticidad lineal); b) Geométrica: es válido el principio de los pequeños desplazamientos, según el cual, al aplicar las fuerzas sobre los cuerpos, los desplazamientos que se originan son pequeños en relación con las dimensiones de los mismos. Por tanto: o Las variaciones dimensionales no afectan prácticamente a las distancias implicadas en las ecuaciones de equilibrio dinámico. o Las funciones u(x, y, z, t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t) son continuas, así como sus derivadas primeras (deformaciones, componentes de giros y componentes de la velocidad angular) y todas éstas (funciones y derivadas) son infinitésimos de primer orden (la derivada temporal se representará por un punto). o Entre dos puntos cualesquiera A y B de la losa, se pueden aplicar las ecuaciones siguientes de un sólido rígido [116] u { v } w B u = { v } w A + θ AB (6.5) u { v } w B u = { v } w A + θ ya que θ AB + θ (θ (θ 136 u ) AB { v } w A + θ AB (6.6) AB ) es un infinitésimo de segundo orden, mientras que los otros dos sumandos son infinitésimos de primer orden.

170 Además, por la misma razón, todos los vectores se pueden expresar en los ejes X, Y, Z correspondientes a las direcciones de la losa sin deformar, considerando que las direcciones de los vectores unitarios se mantienen constantes. Para los análisis armónicos, se supone además que el amortiguamiento de la losa es despreciable y que el amortiguamiento de la intercapa puede simularse considerando la parte imaginaria de los parámetros elásticos. El método propuesto podría generalizarse considerando amortiguamiento en la losa y otros tipos de amortiguamiento en la intercapa, pero no se han considerado por una mayor claridad en la exposición Análisis Modal-Analítico Con este análisis se busca encontrar los modos de solido rígido de la losa que se pueden excitar, con el fin de verificar las frecuencias obtenidas por medio del estudio experimental. Para ello se aplican las ecuaciones de conservación del momento lineal y angular para la losa rígida (supuesta sólido rígido). Las seis ecuaciones son [116]: F x = mu G (6.7a) M xg = I xg θ x (6.7d) F y = mv G (6.7b) M yg = I yg θ y (6.7e) F z = mw G (6.7c) M zg = I zg θ z (6.7f) Siendo los momentos de inercia centroidales del sólido rígido: I xg = m A 6, I yg = I zg = m 12 (A + e2 ) (6.8) Para determinar los desplazamientos lineales y angulares del centro de masas se utiliza la expresión: u u { v = { v } w }G w O + θ OG (6.9) Por tratarse de un sólido rígido, las rotaciones son idénticas para O que para G. Es necesario, por tanto, determinar los desplazamientos y las rotaciones del punto O perteneciente a la lámina. El siguiente paso es determinar el 137

171 campo de desplazamiento de la lámina para particularizar al punto O a posteriori. Dado que no existen deslizamientos y 0 x e: v y = 0 en la intercapa en x = 0 (suelo inmóvil) y x = e (losa rígida) w z = 0 en la intercapa en x = 0 (suelo inmóvil) y x = e (losa rígida) y como la raíz cuadrada del área, A, debe ser mucho mayor que el espesor entonces v y = ε y y w z = ε z, en la mayor parte de la intercapa, entonces puede suponerse que: u(x, y, z, t) = u(x, y, z, t) v(x, y, z, t) v(x, z, t) w(x, y, z, t) w(x, y, t) (6.10) Con el objeto de facilitar el cumplimiento de la condiciones de contorno en x = 0: Se buscan soluciones de la forma: u(0, y, z, t) = 0 v(0, z, t) = 0 w(0, y, t) = 0 (6.11) u(x, y, z, t) = e jωt f u (x)g u (y, z) v(x, z, t) = e jωt f v (x)g v (z) w(x, y, t) = e jωt f w (x)g w (y) (6.12) de manera que se pueda aplicar el método de separación de variables. Haciendo uso de las ecuaciones de Navier en coordenadas cartesianas (planteamiento del problema elástico en desplazamientos) [51] ρ 2 u t 2 = (λ + M ET) x ( u x + v y + w z ) + M ET ( 2 u x u y u z 2) ρ 2 v t 2 = (λ + M ET) y ( u x + v y + w z ) + M ET ( 2 v x v y v z 2) (6.13) ρ 2 w t 2 = (λ + M ET) z ( u x + v y + w z ) + M ET ( 2 w x w y w z 2 ) Introduciendo u, v y w de las ecuaciones (6.12) en (6.13) se llega a: 138

172 u(x, y, z, t) = e jωt C 5 Sin(ω ρ M x)[c 1yz + C 3 y + C 2 z + C 4 ] v(x, z, t) = e jωt [C 9 Sin (ω ρ M ET x) + C 5 ω M ρ Cos (ω ρ M ET x) C 5 ω M ρ Cos (ω ρ M x)] (C 1z + C 3 ) (6.14) w(x, y, t) = e jωt [C 13 Sin (ω ρ M ET x) + C 5 ω M ρ Cos (ω ρ M ET x) C 5 ω M ρ Cos (ω ρ M x)] (C 1y + C 2 ) donde C i son constantes arbitrarias. Para determinar el movimiento de la losa hay que tener en cuenta que las ecuaciones de continuidad en x = e en la región entre la intercapa y la losa rígida, constituyen las condiciones de contorno para los movimientos u(x, y, z, t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t) anteriores (6.14), estas ecuaciones son: u(e, y, z, t) intercapa = u(e, y, z, t) placa v(e, z, t) intercapa = v(e, z, t) placa (6.15) Por tanto, en x = e: w(e, y, t) intercapa = w(e, y, t) placa u = u y intercapa y placa (6.16a) v = v z intercapa z placa (6.16b) u = u z intercapa z placa (6.16c) w = w y intercapa y placa (6.16d) En la losa, suponiendo que es deformable, cuando se trata de pequeños giros las componentes θ x, θ y (Figura 59 izquierda) y θ z (Figura 59 derecha) del giro de sólido rígido en un punto cualquiera de la misma son: θ x placa = 1 2 ( w y v z ) = 1 2 ( w y v z ) placa(en x=e) intercapa (en x=e) (6.17) θ yplaca w x placa u z placa = u z intercapa(en x=e) 139

173 θ z placa v x placa u y placa = u y intercapa(en x=e) Figura 59 Izquierda: Giro respecto OY de la cara superior de la intercapa. Derecha: Giro respecto OZ de la cara superior de la lámina Las componentes del movimiento del centro de gravedad G (u G, v G, w G ) y las de la rotación de la losa (θ x = θ x placa, θ y = θ yplaca, θ z = θ z ) se calculan placa introduciendo los movimientos u, v, w de la ecuación (6.14) en las ecuaciones (6.9), teniendo en cuenta (6.17) respectivamente, obteniéndose: u G (t) = u O = e jωt C 4 C 5 Sin (eω ρ M ) v G (t) = v O + h 2 θ z = e jωt [C 3 C 9 Sin (ω ρ e) + C 3C 5 M ET ω M ρ Cos (eω ρ M ET ) C 3C 5 ω M ρ Cos (eω ρ M ) 1 2 C 3C 5 h Sin (eω ρ M )] ; w G (t) = w O h 2 θ y = e jωt [C 2 C 13 Sin (ω ρ e) + C 2C 5 M ET ω M ρ Cos (eω ρ M ET ) (6.18) C 2C 5 ω M ρ Cos (eω ρ M ) 1 2 C 2C 5 h Sin (eω ρ M )] θ x (t) = e jωt 1 2 C 1(C 13 C 9 )Sin (ωe ρ M ET ) θ y (t) = e jωt C 2 C 5 Sin (ωe ρ M ) θ z (t) = e jωt C 3 C 5 Sin (ωe ρ M ) 140

174 Las componentes de las fuerzas y los momentos de (6.7) se calculan a partir de las expresiones de las tensiones internas (en la cara superior de la intercapa) en función de los movimientos [51]. Ahora se dispone de todas las variables necesarias para poder aplicar las ecuaciones (6.7) y plantear así las ecuaciones de la dinámica del sólido rígido para la losa. De la ecuación (6.7 a) (F x = mu G ) se llega al modo de vibración correspondiente a traslación pura en el eje x y a la ecuación Tan (eω ρ M ) = A Mρ mω que nos proporciona la frecuencia natural ω. En las condiciones habituales de los experimentos para determinar la rigidez dinámica, e y ρ suelen ser muy pequeños, entonces eω ρ 1 y se tiene: M Tan (eω ρ M ) ~ (eω ρ M ) = A Mρ mω (6.19) Entonces, si eω ρ M 1: ω 2 = MA em f = 1 2π AM em (6.20) La rigidez dinámica s t = 4π 2 m A f2 = ω 2 m A = M e Luego s t = M e M = s te esta es la ecuación para hallar M si eω ρ M 1 Hay que hacer constar que la expresión M= s t e es válida siempre y cuando la frecuencia natural sin amortiguar no difiera mucho de la obtenida en el ensayo experimental para obtener la rigidez dinámica. Para determinar los otros modos hay que seguir explorando el resto de ecuaciones (6.7). En concreto, de las ecuaciones (6.7 b) y (6.7 f) ( F y = mv G y M zg = I zg θ z ) se obtiene, después de operar, la ecuación para hallar las frecuencias naturales asociadas a estos modos de vibración: 141

175 1 3 f2 π 2 (6Ahm M ET M Cos 2 (2efπ ρ ) M ET + 2m Sin (2efπ ρ M ET ) ( A 2 fπ Mρ Cos (2efπ ρ M ) + 3Ah M ET M Sin (2efπ ρ M ET ) (6.21) + 2 ( 3AM ET h + (A + e 2 )f 2 mπ 2 )Sin (2efπ ρ M )) + ACos (2efπ ρ M ET ) [ M ET M( 6hm + A 2 ρ)cos (2efπ ρ M ) 2f(A + e 2 + 3h 2 )mπ M ET ρ Sin (2efπ ρ M )]) = 0 La solución f = 0 doble corresponde a los modos de vibración de sólido rígido libre en la traslación según el eje Y y la rotación según el eje Z. Si se analizaran las ecuaciones (6.7c) y (6.7e) se llegaría a otros modos de vibración que tienen las mismas frecuencias naturales porque la ecuación, por simetría, es la misma. Para comprobar la validez de la solución analítica propuesta, se han comparado las soluciones analítica y la obtenida con un modelo numérico de elementos finitos realizado con ANSYS (Versión ) [10]. Dicho modelo consta de elementos del tipo SOLID186 de alto orden 3D (20 nudos por elemento) y nudos con un mallado regular. Los datos del ejemplo son: Tabla 17 Datos de entrada para el ejemplo en el modelo numérico ρ = 20 Kg m 3 e = m M = Pa M ET = Pa m = 8 Kg h = m A = m 2 Las siguientes figuras (60 a 71) muestran la comparación entre la solución analítica propuesta y la obtenida en un modelo numérico de elementos finitos. 142

176 Figura 60 Componente u del modo analítico correspondiente a la ecuación (6.7 a), (77.95 Hz) Figura 61 Componente u del modo numérico correspondiente a la ecuación (6.7 a), (76,53 Hz) Figura 62 Componente u del modo analítico en la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.50 Hz) Figura 63 Componente u del modo numérico en la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.40 Hz) Figura 64 Componente u del modo analítico en la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.50 Hz doble) Figura 65 Componente u del modo numérico en la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (23.40 Hz doble) 143

177 Figura 66 Componente u del modo analítico en la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (77.96 Hz) Figura 67 Componente u del modo numérico de la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (74.81 Hz) Figura 68 Componente u del modo analítico en la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (77.96 Hz doble) Figura 69 Componente u del modo numérico de la losa correspondiente a las ecuaciones (6.7 b,c) y (6.7 e,f), (74.81 Hz doble) Figura 70 Componente v del modo analítico de la losa correspondiente a la ecuación (6.7 d), (23.50 Hz) Figura 71 Componente v del modo numérico de la losa correspondiente a la ecuación (6.7 d), (23.48 Hz) Como se esperaba, en ambos casos se han obtenido seis modos de vibración correspondientes a los seis grados de libertad de la losa como sólido rígido, además, debido a la simetría hay dos frecuencias naturales dobles. Se observa en las figuras una muy buena aproximación del modelo analítico propuesto al modelo numérico de elementos finitos. 144

178 6.3.2 Fundamentos del método. Análisis armónico Se aplica en un punto P(e + h, y F, z F ) cualquiera de la superficie superior de la losa una fuerza armónica de valor {F 0 e iωt, 0,0} y se calcula la aceleración (según el eje X) en un punto Q(e + h, y Q, z Q ) cualquiera de la superficie superior de la losa. Se intentan reproducir las medidas experimentales que sirven de base para medir la rigidez dinámica de un material (ver Figura 58 ) El planteamiento es idéntico al seguido en la sección introduciendo en las ecuaciones de equilibrio de la dinámica, los efectos de la fuerza armónica aplicada. Por completitud se citan las hipótesis del planteamiento: No hay deslizamiento entre la losa y la intercapa ni entre el suelo y la intercapa. La rigidez del material de la losa es mucho mayor que la rigidez del material de la intercapa, pudiendo la losa ser considerada como un sólido rígido. El espesor e de la intercapa es mucho más pequeño que su anchura, (e A) Existe linealidad: a) Del material de la intercapa: es válida la ley de Hooke (elasticidad lineal); b) Geométrica: es válido el principio de los pequeños desplazamientos, según el cual, al aplicar las fuerzas sobre los cuerpos, los desplazamientos que se originan son pequeños en relación con las dimensiones de los mismos. Por tanto: o Las variaciones dimensionales no afectan prácticamente a las distancias implicadas en las ecuaciones de equilibrio dinámico. o Las funciones u(x, y, z, t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t) son continuas, así como sus derivadas primeras (deformaciones, componentes de giros y componentes de la velocidad angular) y todas éstas (funciones y derivadas) son infinitésimos de primer orden (la derivada temporal se representará por un punto). o Entre dos puntos cualesquiera A y B de la losa, se pueden aplicar las ecuaciones siguientes de un sólido rígido [116] 145

179 u { v } w B u = { v } w A ya que θ + θ u { v } w B u = { v } w AB + θ (θ A (θ + θ AB u ) AB { v } w A + θ AB (6.22) (6.23) AB ) es un infinitésimo de segundo orden, mientras que los otros dos sumandos son infinitésimos de primer orden. Además, por la misma razón, todos los vectores se pueden expresar en los ejes X, Y, Z correspondientes a las direcciones de la losa sin deformar, considerando que las direcciones de los vectores unitarios se mantienen constantes. Se supone, además, que el amortiguamiento de la losa es despreciable y que el amortiguamiento de la intercapa puede simularse considerando la parte imaginaria de los parámetros elásticos. El método propuesto podría generalizarse considerando amortiguamiento en la losa y otros tipos de amortiguamiento en la intercapa, pero no se han considerado por una mayor claridad en la exposición. El primer paso es resolver las nuevas ecuaciones de equilibrio dinámico, determinando los desplazamientos del centro de masas y las rotaciones de la losa: F xarm. = mu G (6.24a) M xg Arm.. = I xg θ x (6.24d) F yarm. = mv G (6.24b) M yg Arm. = I yg θ y (6.24e) F zarm. = mw G (6.24c) M zg Arm. = I zg θ z (6.24f) Donde el subíndice Arm. indica que están añadidos los efectos de la fuerza aplicada, que son: Resultante: {F 0 e jωt, 0,0} (6.25) Momento resultante respecto G : 146

180 i j k G P {F 0 e jωt, 0,0} = h/2 y F z F = F 0 e jωt {0, z F, y F } F 0 e jωt 0 0 (6.26) Las expresiones de las componentes del movimiento del centro de gravedad G (u G, v G, w G ) y las de la rotación de la losa (θ x, θ y, θ z ) son las mismas que las de (6.18), sólo que ahora ω es la de la fuerza de excitación y resolver el problema consiste en encontrar los valores de las constantes C i que satisfacen las ecuaciones (6.24) u G (t) = u O = e jωt C 4 C 5 Sin (eω ρ M ) v G (t) = v O + h 2 θ z = e jωt [C 3 C 9 Sin (ω ρ G e) + C 3C 5 ω M ρ Cos (eω ρ G ) C 3C 5 ω M ρ Cos (eω ρ M ) 1 2 C 3C 5 h Sin (eω ρ M )] w G (t) = w O h 2 θ y = e jωt [C 2 C 13 Sin (ω ρ e) + C 2C 5 M ET ω M ρ Cos (eω ρ M ET ) (6.27) C 2C 5 ω M ρ Cos (eω ρ M ) 1 2 C 2C 5 h Sin (eω ρ M )] θ x (t) = e iωt 1 2 C 1(C 13 C 9 )Sin (ωe ρ M ET ) θ y (t) = e iωt C 2 C 5 Sin (ωe ρ M ) θ z (t) = e iωt C 3 C 5 Sin (ωe ρ M ) Para calcular la aceleración de Q se emplea la expresión (6.28), obtenida de la expresión (6.6): u { v } w Q u = { v + θ w }G G Q (6.28) De estas ecuaciones (6.28), como sólo se mide la aceleración en dirección x, únicamente interesa: Así, sólo se calculará u G, θ y y θ z u Q = u G + θ yz Q θ zy Q (6.29) 147

181 Calculadas las C i que satisfacen las ecuaciones (6.24), se obtiene, después de operar: u Q = u G + θ yz Q θ zy Q ω 2 F 0 e jωt = Aω Mρ Cot (eω ρ M ) mω2 + F 0 e jωt (z F z Q + y F y Q) Sin (eω ρ ρ ) [12ω [ A GρCos (eω ) M M ET + mωsin (eω ρ M ET )]] / [6Ahm M ET MCos 2 (eω ρ M ET ) + A M ET ρcos (eω ρ M ET ) [( 6hm M ρ (6.30) + A 2 Mρ) Cos (eω ρ M ) (A + e 2 + 3h 2 )mωsin (eω ρ M )] + msin (eω ρ M ET ) ( A 2 ω MρCos (eω ρ M ) + 6Ah M ET MSin (eω ρ M ET ) + [ 12AM ET h + (A + e 2 )mω 2 ]Sin (eω ρ M ))] Dividiendo la expresión anterior por F 0 e jωt : Haciendo: u Q F 0 e jωt = u G F 0 e jωt + θ yz Q θ zy Q F 0 e jωt (6.31) y: u G F 0 e jωt = ω 2 Aω Mρ Cot (eω ρ = AcG (ω, M, ρ, e, A, m) M ) mω2 θ yz Q θ z y Q F 0 e iωt = (z F z Q + y F y Q ) f θ (ω, M, ρ, e, A, m, h, M ET ) (6.32) (6.33) donde: 148

182 f θ (ω, M, ρ, e, A, m, h, M ET ) = Sin (eω ρ M ) [12ω [ A M ETρCos ((eω ρ M ET ) + mωsin (eω ρ M ET )]] / [6Ahm M ET M Cos 2 (eω ρ M ET ) + A M ET ρcos (eω ρ M ET ) [( 6hm M ρ (6.34) + A 2 Mρ)Cos (eω ρ M ) (A + e2 + 3h 2 )mωsin ((eω ρ M )] + msin (eω ρ M ET ) ( A 2 ω MρCos (eω ρ M ) + 6Ah M ET MSin (eω ρ M ET ) + [ 12AM ET h + (A + e 2 )mω 2 ]Sin (eω ρ M ))] Resulta: AcQ(ω, M, ρ, e, A, m, h, M ET, y F, z F, y Q, z Q ) = u Q F 0 e jωt = AcG (ω, M, ρ, e, A, m) + (z F z Q + y F y Q )f θ (ω, M, ρ, e, A, m, h, M ET ) (6.35) Metodología Propuesta Se conocen ρ, e, A, m, h y se desea hallar los parámetros elásticos M(ω) y M ET (ω) para cada frecuencia ω = 2πf Al hacer las medidas, se tienen, para cada frecuencia ω = 2πf AcQ 1 medida en el punto Q 1 (e + h, y Q1, z Q1 ) cuando se aplica la fuerza en el punto P 1 (e + h, y F 1, z F1 ), y AcQ 2 medida en el punto Q 2 (e + h, y Q2, z Q2 ) cuando se aplica la fuerza en el punto P 2 (e + h, y F 2, z F2 ) 149

183 Se pueden plantear estas dos ecuaciones: AcQ 1 = AcG Exp + (z F 1 z Q 1 + y F 1 y Q 1 )f θ Exp (6.36) AcQ 2 = AcG Exp + (z F 2 z Q 2 + y F 2 y Q 2 )f θ Exp Se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas AcG Exp y f θ cuya solución es: Exp AcG Exp = AcQ 2y F 1 y Q 1 AcQ 1 y F 2 y Q 2 + AcQ 2 z F 1 z Q 1 AcQ 1 z F 2 z Q 2 y F 1 y Q 1 y F 2 y Q 2 + z F 1 z Q 1 z F 2 z Q 2 f θ Exp = AcQ 1 AcQ 2 y F 1 y Q 1 y F 2 y Q 2 + z F 1 z Q 1 z F 2 z Q 2 (6.37) La única condición que deben cumplir los puntos P 1, P 2, Q 1 y Q 2 es que sus coordenadas verifiquen: y F 1 y Q 1 y F 2 y Q 2 + z F 1 z Q 1 z F 2 z Q 2 0 (6.38) para que el sistema anterior sea compatible determinado. Cálculo de M: A partir del valor AcG Exp calculado anteriormente (6.37) y recordando que son conocidos ω,ρ,e,a,m, el valor de M se puede calcular resolviendo la ecuación no lineal: AcG Exp = AcG (ω, M, ρ, e, A, m) = ω 2 (6.39) Aω Mρ Cot (eω ρ M ) mω2 Esta ecuación admite una solución aproximada si eω ρ 1, en cuyo caso M cot (eω ρ M ) = 1 1 Tan (eω ρ M ) (eω ρ M ) (6.40) AcG ω 2 Exp = = 1 Aω Mρ eω ρ mω 2 M ω 2 AM e mω2 (6.41) 150

184 Cuya solución se obtiene fácilmente: M Exp = eω2 (AcG Expm 1) A AcG Exp (6.42) Este valor se puede tomar como el valor inicial de un algoritmo iterativo para calcular el valor exacto de M que satisface la ecuación no lineal (6.39) hallada antes. Cálculo de M ET : A partir del valor f θ Exp calculado anteriormente (6.37), recordando que son conocidos ω, ρ, e, A, m, h y que se ha calculado M = M Exp, el valor de M ET se puede calcular resolviendo la siguiente ecuación no lineal: f θ Exp = f θ(ω, M, ρ, e, A, m, h, M ET ) = Sin (eω ρ M ) [12ω [ A M ETρCos (eω ρ M ET ) + mωsin (eω ρ M ET )]] / [6Ahm M ET MCos 2 (eω ρ M ET ) + A M ET ρcos (eω ρ M ET ) [( 6hm M ρ + A2 Mρ) Cos (eω ρ M ) (6.43) (A + e 2 + 3h 2 )mωsin (eω ρ M )] + msin (eω ρ M ET ) ( A 2 ω MρCos (eω ρ M ) + 6Ah M ET MSin (eω ρ M ET ) + [ 12AM ET h + (A + e 2 )mω 2 ]Sin (eω ρ M ))] 151

185 Como valor inicial de M ET para el proceso iterativo de resolución de esta ecuación puede tomarse, dando al coeficiente de Poisson un valor aproximado de 0.3 por ejemplo: M ET = M(1 2μ) 2(1 μ) (6.44) Una vez calculados M y M ET, ya se pueden calcular el resto de parámetros elásticos: v = M 2M ET 2(M M ET ) λ = M 2M ET К = M 4 3 M ET (6.45) E = M ET(4M ET 3M) M ET M 6.4. Discusión En este capítulo se ha descrito un método para determinar los parámetros elásticos de un material elástico lineal partiendo de medidas de aceleración como las realizadas en el ensayo experimental para medir la rigidez dinámica de un material. El punto de partida son las ecuaciones obtenidas para los desplazamientos lineales y angulares del centro de masas de la losa obtenidos a partir de las ecuaciones de equilibrio dinámico. Excitando armónicamente la losa en un rango de frecuencias pueden hallarse los parámetros elásticos en dicho rango de frecuencias, por lo que el material a caracterizar puede presentar comportamiento viscoelástico lineal. El material de la losa ha de ser mucho más rígido que el de la lámina del material a caracterizar, no ha de haber deslizamiento ni entre losa y lámina ni entre lámina y suelo. El espesor de la lámina ha de ser mucho menor que su anchura. 152

186 CONCLUSIONES GENERALES Se ha propuesto un procedimiento alternativo para el estudio vibroacústico de estructuras basado en la utilización de señales pseudoaleatorias, que, combinado con un procesado inspirado en la técnica NAH, permite visualizar la radiación de la estructura. Este procedimiento se ha ensayado en vigas de sección transversal uniforme y no uniforme y con y sin discontinuidades en el cambio de sección. Con el mismo setup experimental se ha discutido sobre la problemática asociada a los límites de validez de la consideración de subsistema en un sistema. De los experimentos realizados se concluye que es necesario en investigaciones futuras hacer este tipo de estudios con materiales con un mayor factor de pérdidas y con estructuras mucho más largas con el fin de mejorar los especímenes para el estudio fenomenológico presentado aquí. Además, si fuese posible, intentar introducir materiales del tipo amortiguador en el cambio de sección, con el propósito de identificar el amortiguamiento que estos generan en el flujo de energía. El procedimiento experimental propuesto, se ha aplicado a un modelo de tamaño reducido en forma de esquina con un doble objetivo: consolidar el procedimiento y, además, proponer este modelo como laboratorio a escala adecuado para estudiar la transmisión por flancos en la edificación y 153

187 cuantificar el efecto de la instalación de suelos flotantes. Ambos objetivos se han alcanzado con éxito. El uso combinado de transductores excitadores del tipo actuadores similares a los utilizados en sistemas DML, con señales de tipo MLS, ha demostrado ser una estrategia fiable y ventajosa para el estudio de este tipo de estructuras. Se ha podido estudiar el comportamiento vibratorio tanto en régimen estacionario como transitorio. El procedimiento aquí propuesto presenta ventajas frente a las tradicionales, a saber: la estabilidad en el estudio del proceso estacionario y la facilidad para el estudio de procesos transitorios. La limitación de la técnica experimental alternativa presentada, en el rango de baja frecuencia, viene dada por la respuesta del transductor usado como excitador armónico de la estructura y en alta frecuencia, el límite está relacionado con el acelerómetro, ya que tiene una sensibilidad hasta los 8kHz. Restringiendo el análisis en alta frecuencia donde el sistema constructivo presenta una alta densidad modal y un mejor desempeño frente a los supuestos de SEA. Se ha planteado una discusión sobre el uso de un procedimiento experimental alternativo, para obtener la Impedancia de transferencia de un material poroso fibroso, fabricado en fibras de PET reciclado, obteniendo resultados similares a los presentados por Doutres en [4], utilizando la técnica de NAH. Por último, se describió un método para determinar los parámetros elásticos de un material elástico lineal. El punto de partida para el desarrollo del modelo son las ecuaciones obtenidas para los desplazamientos lineales y angulares del centro de masas de la losa obtenidos a partir de las ecuaciones de equilibrio dinámico. El modelo, considera que: el material de la losa debe ser mucho más rígido que el de la lámina del material a caracterizar, así como no ha de existir deslizamiento ni entre losa y lámina ni entre lámina y suelo y el espesor de la lámina se considera mucho menor que su anchura. Además, el material debe ser tal que no necesite corrección a la resistencia al flujo en el cálculo de la rigidez dinámica. Este estudio analítico intenta reproducir las medidas de aceleración realizadas en el ensayo experimental para medir la 154

188 rigidez dinámica de materiales usados como intercapa en suelos flotantes. El método planteado permite hallar los parámetros elásticos al excitar armónicamente una losa en un determinado rango de frecuencias, por lo que el material a caracterizar puede presentar un comportamiento viscoelástico lineal. LÍNEAS FUTURAS DE INVESTIGACIÓN Las líneas de investigación futuras se centran en profundizar en cada una de las contribuciones que se han llevado a cabo. Estudiar la viabilidad de aplicar el procedimiento experimental propuesto a otros tipos de estructuras de mayor tamaño. Proponer otros laboratorios de tamaño reducido para estudiar la transmisión por flancos. Desarrollar un procedimiento para evaluar en tubo de impedancia tanto la impedancia de transferencia como la superficial. Aplicar el método propuesto para la caracterización de materiales, propuesto en el capítulo 6, evaluando los parámetros elásticos en función de la frecuencia, así como considerar otros tipos de amortiguamiento. 155

189

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204 ANEXOS

205

206 ANEXO I: TRANSDUCTOR Y SEÑAL DE PRUEBA I.1. Transductor Electrodinámico. Parámetros Relevantes Un altavoz electrodinámico de radiación directa de bobina móvil utiliza el acoplo existente entre el movimiento de una superficie vibrante (diafragma) y la corriente eléctrica que recorre una bobina circular que se encuentra en el seno de un campo magnético. La fuerza aplicada al cono del altavoz es: F = Bli (A.1) donde B es la densidad de flujo del campo magnético, l es la longitud de la bobina. Si se asume una corriente compleja, i = Ie jωt, la velocidad en el estado estacionario vendrá dada por v = F Z M = Bli Z M (A.2) donde, Z M es la impedancia mecánica que depende tanto del sistema mecánico, Z MD como de la contribución del medio sobre el que se radia, Z MR. Z M = Z MD + Z MR (A.3) Siendo, e = Ee jω la tensión proporcionada por los terminales de la bobina y Z E = R E + jωl E es la impedancia eléctrica, donde R E es la resistencia óhmica y L E la autoinducción de la bobina. III

207 El movimiento de la bobina en el seno del campo magnético provoca la aparición de una fuerza contra electromotriz inducida e m = Blv (A.4) La corriente en la bobina será: i = e e m Z E (A.5) Combinando las ecuaciones (A.2) y (A.5) se llega a i = e e m Z E + Z MOV Z MOV = (Bl)2 Z M (A.6) Z MOV es la llamada impedancia del movimiento y depende de los parámetros mecánicos del sistema. Las anteriores ecuaciones son las básicas para describir el funcionamiento del transductor en el rango lineal. Es muy usado por su simplicidad y por su representación en forma de circuito equivalente [117], [118]. Por otra parte, la problemática del diseño de sistemas radiantes se focaliza en la zona de baja frecuencia donde los donde los desplazamientos del diafragma son mayores. El análisis de sistemas de radiación directa suele realizarse a partir del circuito equivalente. Para un altavoz montado en pantalla infinita, el circuito equivalente, que en la zona de baja frecuencia, si se verifica que ωl E R g + R E, es el de la Figura 72. IV

208 Figura 72 Circuito equivalente de un altavoz dinámico. Aproximación en baja frecuencia Z MR es la llamada impedancia mecánica de radiación que tiene su origen en la fuerza de reacción que el medio ejerce al ser sometido por el pistón a una fuerza. En general, está formada por una parte real, R MR y una parte imaginaria X MR que, en baja frecuencia se puede aproximar por la ecuación: X MR = jωm MR M MR = 8 3 ρ oa 3 (A.7) Uno de los parámetros de mayor relevancia en este tipo de sistemas es la frecuencia de resonancia mecánica del conjunto móvil ya que determina el inicio de la curva de respuesta en frecuencia útil en este tipo de sistemas radiantes que se produce para: f s = 1 2π C MS M MS (A.8) M MS = M MD + M MR Otro dato relevante es el desplazamiento máximo del diafragma en función de la frecuencia que está relacionado con la potencia acústica que está en condiciones de radiar el sistema. En el caso de altavoces de radiación directa, la respuesta en frecuencia típica es del tipo filtro paso banda con una frecuencia de corte inferior que comienza un poco después de la frecuencia de resonancia mecánica. Las frecuencias de corte inferior y superior de este filtro paso banda, son función de las V

209 características eléctricas y mecánicas del altavoz, en especial de su conjunto móvil. De la ecuación (A.6) se desprende que la impedancia eléctrica de entrada, Z ET de este tipo de altavoces presenta dos contribuciones: una eléctrica pura, Z E, y otra que depende de los parámetros mecánicos, Z MOV Matemáticamente se expresa como: Z ET = e e m i i = Z E + Z MOV = Z E + (Bl) 2 Z M (A.9) Por tanto, Z ET, presenta un máximo cuando es mínima la impedancia mecánica, es decir, a la frecuencia de resonancia mecánica. Por esta razón, para determinar experimentalmente la frecuencia de resonancia mecánica se recurre a medidas eléctricas. Para medir la impedancia eléctrica de un transductor electrodinámico es necesario realizar un circuito eléctrico sencillo. Este experimento consiste en conectar un generador de baja frecuencia en serie con una resistencia mayor del valor de la impedancia esperado por el actuador. De esta manera, la corriente fluye a través del actuador de manera constante, por lo tanto, la tensión en la carga (actuador) es proporcional a la impedancia [102]. Debido a que la impedancia del transductor electrodinámico generalmente es baja (alrededor de los 8 ohm); con una resistencia más alta es posible obtener una fuente de impedancia constante. La Figura 73 muestra el esquema de la medición: VI

210 Figura 73 Esquema de la medición de la Impedancia eléctrica de los actuadores Como es sabido, la impedancia eléctrica total de un altavoz tiene dos contribuciones, una del tipo puramente eléctrico y otra causada por el movimiento mecánico. Esto descrito matemáticamente corresponde a: Z A = Z ET = Z E + Z Me = R E + jωl e + R Me + jx me R ET = R E + R Me X ET = R E + R Me (A.10) X E = ωl e donde, Z A es la impedancia del actuador, Z ET es la impedancia eléctrica total, Z E es la impedancia eléctrica, Z Me es la impedancia mecánica, R E es la resistencia eléctrica, L E es la inductancia electrica, R Me es la resistencia mecánica, X me capacitancia mecánica, X ET es la capacitancia eléctrica total, X E es la capacitancia eléctrica, y ω es la frecuencia angular. Por lo tanto, la R E y la inductancia de la bobina es conocida. De esta manera, es posible obtener la parte real e imaginaria de la impedancia mecánica: R me = R ET R E (A.11) X me = X ET X E El circuito representado en la Figura 73 se indica la manera de medir la tensión esto se realiza para cada frecuencia y la impedancia acústica equivalente a la impedancia eléctrica total puede calcularse usando la siguiente expresión: Z A = Z ET = V actuator = V 1 I I ; I = V 2 R (A.12) VII

211 Se supone que la intensidad se mantiene constante y Z ET es proporcional a la caída de tensión del altavoz. Así mismo, empleando las analogías electro-mecánico-acústico, la fuerza del actuador se puede calcular mediante la siguiente hipótesis: F = Bl v g (A.13) R e + jωl e Siendo, Bl la constante electromecánica del actuador, v g es el voltaje de entrada, R e es la resistencia eléctrica de la bobina a corriente eléctrica y L e es la inductancia eléctrica de la bobina. I.2. Señales de Prueba: Secuencia de Máxima Longitud (Maximum Length Sequence-MLS) Existen una serie de métodos de medidas acústicas en edificios que llevan años usándose en numerosas aplicaciones [119]. Estos métodos se encuentran actualmente muy desarrollados y permiten obtener resultados aceptables en la mayoría de los casos, sin embargo, hay situaciones donde la relación señal a ruido no es lo suficientemente alta y los resultados que se obtienen con estas medidas no son igual de fiables. Otra variable de incertidumbre, usando los métodos de medición clásicos, es la naturaleza estocástica o aleatoria de las señales de excitación utilizadas. Por estas razones hace más de 5 décadas se empieza a emplear la Maximum Length Sequence (MLS) [103], [104] utilizada comúnmente en campos de la acústica como: el desarrollo y la caracterización de transductores. La MLS es una secuencia determinista de pulsos (0 y 1), con una longitud total L = 2 n 1, donde n es el orden de la secuencia. El espectro en frecuencia de esta señal se trata como un ruido blanco pseudoaleatorio con una despreciable componente continua. Siempre quedará un residuo de esta componente debido a que la secuencia es impar. La ventaja de utilización de esta técnica radica en, poder obtener la Respuesta al Impulso (IR) de un sistema a través de una señal de excitación estacionaria, como si se estuviese utilizando una excitación transitoria. VIII

212 Para ello es necesario indicar brevemente como con señales MLS se obtiene la IR en sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (LTI). La respuesta de los sistemas LTI, se obtiene a través de la convolución entre la IR, y la señal de excitación, la ecuación A.14.explica esta relación de señales en el dominio continuo del tiempo: y(t) = x(t) h(t) = h(τ)x(t τ)dτ (A.14) donde h(t) es la respuesta al impulso del sistema, x(t) es la señal de excitación e y(t) es la señal de respuesta o salida del sistema. Para obtener la IR a partir de la MLS, se realiza una correlación cruzada entre la señal de entrada y la de salida, ecuación A.15 La correlación de dos señales aleatorias y estacionarias x(t) e y(t) indica la relación estadística entre esas dos señales. Φ xy (t) = Φ xx (t) h(t) = h(τ)φ xx (t τ)dτ (A.15) donde Φ xy (t) es la correlación cruzada entre la señal de entrada y la salida del sistema, y Φ xx (t) es la función de auto correlación de la señal de entrada. De esta forma, cuando se aplica la ecuación A.15 en dos señales idénticas la señal resultante es equivalente a un impulso o una delta de Dirac. Esta ventaja del procesamiento digital de señales, permite como se indicó anteriormente obtener la IR usando una señal de medición estacionaria. Se puede concluir entonces, que las señales MLS, combinan las ventajas de las técnicas de excitación comunes para caracterizar sistemas LTI, tanto en régimen transitorio como estacionario. Los beneficios que aporta la utilización de esta señal son: su precisión, repetitividad, una buena relación señal a ruido e información de fase para cada uno de los puntos de medición, algo que en este proyecto permitió ver las formas modales de estructuras a partir de los datos experimentales y así poder compararlos con los modelos simulados. Esto último es posible ya que la señal de entrada está continuamente monitorizada y se excitan las estructuras siempre con la misma fuerza, en IX

213 instantes diferentes de tiempo y sobre posiciones diferentes de las estructuras, asegurando la sincronización del sistema. Por otro lado, es conveniente tomar algunas medidas para evitar problemas cuando se usa una MLS. En primer lugar, se debe procurar que la longitud de la MLS sea mayor que la IR del sistema bajo estudio para evitar aliasing temporal de una parte de la IR. En segundo lugar, el sistema debe ser estudiado bajo condiciones donde pueda asegurarse una aproximación lineal para poder hallar la respuesta del sistema. En este trabajo y por el tipo de señal usada, se ha empleado el método de la respuesta impulsiva para obtener el tiempo de reverberación estructural. Este método se basa en la evaluación de la respuesta al impulso, ya que esta, por sí sola, no es suficiente para obtener el tiempo de reverberación para cada uno de los puntos de medida sobre la estructura. La curva de decaimiento obtenida como resultado después de que la fuente de excitación ha cesado, debe ser tratada por el método de la respuesta al impulso inversa, también conocida como la integral inversa de Schroeder [103]. Ver ecuación A.16 s(t) = 0 n(τ) r(t τ)dr (A.16) donde, s(t)es la señal recibida, la notación del límite inferior de la integral indica que desde que se inició el decaimiento de la señal ha pasado suficiente tiempo como para tener una señal con un estado continuo. El límite superior (r = 0) es el tiempo de inicio del impulso, n(τ) es un ruido, que en el caso de este proyecto pasa a serla respuesta al impulso (IR) obtenida después de procesar las señales tipo MLS [119]. Esta operación se puede aplicar para calcular el tiempo de reverberación estructural tanto en bandas de octava como en tercios de octava. X

214 ANEXO II. PROCESO PARA LA ELECCIÓN DE LA FUENTE USADA EN LOS EXPERIMENTOS Las fuentes de excitación comúnmente empleadas para realizar mediciones de vibración son; el martillo (Hammer) o el excitador modal (Shaker). Cada una de estas fuentes tienen limitantes, por ejemplo, el martillo es poco eficiente en la generación de excitación en media y alta frecuencia, por otro lado, el excitador modal depende de la fijación, la cual requiere espacio y para espacios reducidos se complejiza su instalación. En este trabajo, se propone una configuración alternativa para la medición vibroacústica de estructuras, que combina un sistema electro acústico ligado a una técnica de procesado de la señal, ya que se busca, un compromiso entre excitación a baja frecuencia para el análisis modal y un buen desempeño en altas para observar el régimen estadístico (Análisis SEA). La fuente alternativa elegida corresponde a un excitador electrodinámico comúnmente usado en sistemas de audio profesional llamado Distributed Mode Loudspeakers (DML) [89]. Adicionalmente, es una herramienta de bajo coste, que puede ser acoplada a la estructura fácilmente. La Tabla 18, muestra los actuadores usados en este estudio. XI

215 Tabla 18 Actuadores Electrodinámicos usados en este estudio ID Referencia Fabricante Foto Alt_1 HIAX25C05-4 Alt_2 HIAX25C10-8HS Alt_3 HIAX32C30-4B Alt_4 HIAX32C20-8 En el mercado existen varias opciones para elegir un actuador electrodinámico. En este estudio se caracterizaron cuatro actuadores (ver Tabla 18). Todos ellos tienen una frecuencia de resonancia similar, alrededor de 200 Hz. La Tabla 19 muestra las características electromecánicas de los actuadores ofrecidas por los fabricantes, donde Bl es la constante de electromecánico, R e es la resistencia eléctrica de la bobina en corriente directa, L e es la inductancia eléctrica de la bobina, f r La frecuencia de resonancia eléctrica y m la masa del actuador. Tabla 19 Características de los actuadores (Datasheet del fabricante) Rótulo Símbolo Dato Unidades ALT 001 Bl 2.2 Tm R e 3.7 Ohm L e 62 μh f r 210 Hz. m 60 gr. ALT 002 Bl 5.0 Tm R e 7.5 Ohm L e 1.0 mh f r 200 Hz. m 85 gr. ALT 003 Bl 3.5 Tm XII

216 R e 3.4 Ohm L e 0.1 mh f r 260 Hz. m 130 gr. ALT 004 Bl 5.0 Tm R e 7.5 Ohm L e 1.0 mh f r 100 Hz. m 150 gr. Los actuadores presentados en la anterior tabla, fueron sometidos a tres distintas pruebas, con el fin de seleccionar el que mejor desempeño presentará. Por conveniencia, las pruebas se llevaron a cabo en la viga de sección transversal rectangular (ver Figura 74). Figura 74 Espécimen empleado para calibrar el sistema electroacústica El sistema de adquisición de datos empleado para todos los procedimientos experimentales para la medición de vibración, presentados en este documento, consistió en: tres acelerómetros, un pre-amplificador de cuatro canales, un amplificador de potencia (al cual va conectado el actuador), un sistema de conversión Análogo-Digital y un ordenador. En este caso, el sistema de adquisición de datos permite sincronizar la entrada con la salida, lo que facilita posteriormente el post-procesado de los datos. La tarjeta va conectada al ordenador donde hay un programa de LabView que permite hacer los registros de las señales (ver ejemplo de la interfaz gráfica en la Figura 76). La Figura 75 representa de forma esquemática la conexión anteriormente enunciada. XIII

217 Figura 75 Esquema de medición del procedimiento experimental alternativo Figura 76 Ejemplo de la interfaz gráfica para la emisión y adquisición de señales Para la adecuada realización del ensayo, se establecen como parámetros de ajuste el tiempo de captura o adquisición, el tipo de señal a emitir, la amplitud de la señal de salida y el rango de tensión de entrada (éste último permite ajustar la resolución de la tarjeta al rango de entrada previsto). Como señal de excitación, el programa permitirá seleccionar entre tres tipos: ruido blanco, XIV

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