Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE CUERPOS DE CLASES

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1 Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE CUERPOS DE CLASES

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3 Esencialmente, el álgebra y el dinero determinan clases; la primera a nivel intelectual, el segundo a nivel práctico. Simone Weil

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5 Índice General Introducción ix Capítulo I: Dominios de Dedekind Resultados básicos Localización Extensiones de dominios de Dedekind Extensiones de Galois Normas de ideales Capítulo II: Compleciones Divisores primos Cuerpos p-ádicos La aritmética de los cuerpos numéricos Extensiones no ramificadas Extensiones totalmente ramificadas Complementos Capítulo III: Diferentes y discriminantes Módulos complementarios Diferentes Discriminantes Ejemplos y aplicaciones Capítulo IV: El símbolo de Artin El símbolo de Frobenius El símbolo de Ar tin El homomorfismo de Artin Capítulo V: Similitud de ideales Divisores Clases de ideales Densidad de ideales v

6 vi ÍNDICE GENERAL Capítulo VI: Elementos ideales Definiciones y propiedades básicas La topología de los elementos ideales Extensiones de elementos ideales Extensiones de Galois Capítulo VII: El isomorfismo de Artin Cocientes de Herbrand y grupos de cohomología La primera desigualdad fundamental Preliminares a la segunda desigualdad La segunda desigualdad fundamental El núcleo del homomorfismo de Artin Capítulo VIII: Cuerpos de clases El isomorfismo de Artin sobre clases de elementos ideales El teorema de existencia Conexión con la teoríalocal La teoría local de cuerpos de clases El teorema de ramificación Ejemplos de cuerpos de clases Capítulo IX: Funciones dseta Funciones dseta generalizadas Caracteres modulares El teorema de factorización El teorema de Dirichlet La segunda desigualdad fundamental Capítulo X: Teoría de la ramificación Grupos y cuerpos de ramificación Cálculo de grupos de ramificación Grupos de ramificación de subcuerpos La ramificación y el isomorfismo de Artin El conductory la ramificación Cálculo de conductores Capítulo XI: Ejemplos y aplicaciones El cuerpo de clases de Hilbert Automorfismos del cuerpo base Grupos de órdenes Géneros Cálculo de cuerpos de clases Formas cuadráticas

7 ÍNDICE GENERAL vii Capítulo XII: Extensiones infinitas Extensiones infinitas de Galois El isomorfismo de Artin para extensiones infinitas El homomorfismo de Artin local La aritmética de las extensiones infinitas Capítulo XIII: La ley de reciprocidad El símbolo de Hilbert El símbolo potencial La ley de reciprocidad cúbica La ley de reciprocidad bicuadrática Capítulo XIV: Cohomología de grupos Preliminares al álgebra homológica Homología y cohomologíadegrupos Las sucesiones exactas de homología y cohomología Cálculo de grupos de cohomología Extensiones de grupos Capítulo XV: Formaciones Formaciones de cuerpos Restricción, transferencia e inflación Cohomología en formaciones de cuerpos El grupo de Brauer de una formaciónlocal Formaciones de clases Capítulo XVI: Teoría general de cuerpos de clases Construcción de los productos exteriores Propiedades de los productos exteriores El isomorfismo de Artin Cuerpos de clases El teorema de existencia local Capítulo XVII: La teoría global La cohomología de los elementos ideales La cohomología de los grupos de clases de elementos ideales El símbolo de Artin sobre Q La teoría global de cuerpos de clases El teorema de los ideales principales Apéndice A: El lema de Hensel 463 Apéndice B: El teorema de existencia local 473 Bibliografía 479 Índice de Materias 480

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9 Introducción En nuestro libro sobre teoría de números describimos una parte importante de los descubrimientos obtenidos durante el siglo XIX en este campo. El propósito del que aquí presentamos es relatar el desarrollo que estos hallazgos han tenido en la primera mitad de nuestro siglo. Si las figuras más relevantes en el siglo pasado fueron, como ya sabemos, Euler, Gauss, Legendre, Jacobi, Dirichlet y Kummer entre muchos otros, aquí nos encontraremos con nuevos nombres como Hilbert, Minkowski, Hasse, Takagi o Artin. En realidad nuestra exposición no se ciñó fielmente a la cronología, de modo que nombres modernos como Hasse ya nos aparecieron en su momento, mientras que aquí tendremos ocasión (en el capítulo XIII) de reparar en la figura de un gran genio contemporáneo de Gauss, como fue la de Eisenstein. La transición entre la teoría de números que suele llamarse clásica y la teor ía moderna vino con el proceso de formalización y fundamentación que experimentó toda la matemática a principios de siglo. Esto no supuso un mero cambio de lenguaje, sino que la nueva teoría tenía una potencia muy superior a la de los medios clásicos, y permitió alcanzar un grado de profundidad y comprensión del comportamiento de los números inconcebible sin ella. El proceso de formalización de la teor ía de números consistió en la intr o- ducción del lenguaje algebraico moderno (del que nosotros nunca hemos prescindido). Este a su vez permitió formular en contextos mucho más generales los resultados clásicos. Uno de los matemáticos que más contribuyó a ello fue Richard Dedekind, a quien le preocupó especialmente el encontrar una respuesta precisa a la pregunta Qué esunnúmero? A Dedekind se le debe una de las construcciones clásicas de los números reales, y también fue él quien extrajo la definición moderna de ideal a partir del concepto práctico de Kummerde divisor ideal, introdujo el concepto de entero algebraico y desarrolló una teor ía general sobre cuerpos numéricos que incluía los teoremas sobre convergencia de las funciones dseta generalizadas. Los conceptos nuevos requerían también programas nuevos que marcaran las direcciones más importantes a seguir en la investigación. Entre los matemáticos que más influyeron en este sentido destaca David Hilbert. La Sociedad Matemática Alemana le encargó un informe sobre los resultados alcanzados en la teor ía algebraica de números durante el siglo XIX junto con las perspectivas para el siglo entrante. Hilbert presentó este (extenso) informe en 1897, y es conocido como el Zahlberich. Constaba de cinco partes. Las dos primeras (Teoría Geneix

10 x Introducción ral y Teoría de Galois) contenían los resultados básicos sobre la teoría de Galois y los cuerpos numéricos. Las dos siguientes (Cuerpos Cuadráticos y Cuerpos Ciclotómicos) exponían con enfoque moderno los resultados de las Disquisitiones Arithmeticae. Finalmente, la quinta parte (Cuerpos de Kummer) trataba de una clase especial de extensiones de cuerpos numéricos que tendremos ocasión de conoceren el capítulo VII. Respecto a las nuevas perspectivas para la teoría de números, un buen resumen de sus criterios lo constituyen los problemas que presentó en su famosa charla en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Paris en Se trataba de los 23 problemas más importantes que a su juicio tenía planteada la matemática del siglo que pronto iba a comenzar. Los concernientes a la teor ía algebraica de números ocupaban las posiciones Entre ellos se encontraba, por supuesto, la demostración del último teorema de Fermat y, más en general, la obtención de un algoritmo para determinar si una ecuación diofántica arbitraria tiene o no solución (problema éste que fue resuelto negativamente a partir de los resultados de Gödel sobre indemostrabilidad). Los problemas relacionados con el contenido de este libro son el 9 y el 12: El problema 9 pedía una generalización de la ley de reciprocidad cuadrática a exponentes mayores. Según veremos en el capítulo XIII, se trata de una cuestión que ya ocupó a Gauss y que Kummer y Eisenstein consideraron de gran importancia teórica. Ambos obtuvieron resultados parciales muy sofisticados, mientras que Hilbert pedía un resultado general. El problema 12 trataba sobre clasificar las extensiones abelianas de un cuerpo numérico dado, en especial sobre Q y sobre los cuerpos cuadráticos. También se trata de un problema de raíces clásicas. Su motivación se remonta al trabajo de Abel sobre funciones elípticas, que le llevó a obtener resultados sobre extensiones y grupos abelianos (incluyendo lo que en términos modernos es el teorema de clasificación de los grupos abelianos finitos). Kronecker (alumno y amigo de Kummer) consideró que las investigaciones de Abel tenían gran interés y, continuándolo, conjeturó que las extensiones abelianas de Q son los subcuerpos de los cuerpos ciclotómicos (lo cual probaremos en el capítulo VIII). Así mismo llegó a una conjetura análoga, aunque más complicada, para el caso de cuerpos cuadráticos imaginarios y que se sale del alcance de este libro. Aparte de estos precedentes, el problema 12 también estaba relacionado con el propio trabajo de Hilbert. Pocos años antes había conjeturado que si k es un cuerpo numérico y H es su grupo de clases (el cociente del grupo de ideales fraccionales de su anillo de enteros sobre el subgrupo generado por los ideales principales) existe una extensión de Galois K de k tal que el grupo de Galois G(K/k) es isomorfo a H. Además esta extensión debía de estarmuy relacionada con la aritmética de k. Por ejemplo, Hilbert conjeturó entre otras cosas que ningún primo de k se habría de ramificar en K y que los ideales primos que se escindir ían completamente en K ser ían exactamente los principales (esto exige identificarde algún modo los ideales de k con parte de los ideales de K, lo que contituye un simple problema técnico en el que no vamos a detenernos aquí). A este cuerpo K lo llamó, de forma natural, cuerpo de clases de k, y demostró su existencia para el caso en que k es un cuerpo cuadrático.

11 xi Estas conjeturas y pruebas son el embrión de lo que hoy se conoce como teor ía de cuerpos de clases, que ha resultado ser una poderosa herramienta tanto para obtener nuevos resultados sobre números como para interpretar los ya conocidos. Antes de seguir con la historia vamos a detenernos y reparar en algunos hechos ya vistos en nuestro libro de teoría de números y que hacen sospecharde la existencia de una teoŕıa más profunda que los explique. En primer lugartenemos los ejemplos de la sección 1 [3.3], que muestran cómo factorizan los primos racionales en varios cuerpos numéricos. Cuando éstos son extensiones abelianas de Q (cuerpos cuadráticos, ciclotómicos, ciclotómicos reales), el criterio de factorización es extremadamente regular. Sucede que todas estas leyes de factorización son casos particulares de los resultados que proporciona la teoría de cuerpos de clases, válidos para extensiones abelianas de cuerpos numéricos arbitrarios. Como muestra de la importancia de esta clase de resultados basta pensar en las factorizaciones de la función dseta de los cuerpos cuadráticos y ciclotómicos en términos de funciones L de Dedekind que obtuvimos en el [capítulo XII]. En las pruebas es esencial el conocimiento de las reglas de factorización de primos. A su vez, las factorizaciones nos sirvieron para probar el teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas y para obtener fórmulas para el número de clases de los cuerpos cuadráticos y ciclotómicos. La teor ía de cuerpos de clases permite obtener factorizaciones análogas para las funciones dseta de cualquierextensión abeliana de cuerpos numéricos, lo que nos da nuevas fórmulas para calcular números de clases de otros cuerpos (capítulo IX), así como generalizar el teorema de Dirichlet, de modo que podremos garantizar, por ejemplo, la existencia de infinitos primos de la forma p = u 2 +14v 2 y, más aún, darcondiciones sencillas que determinen qué primos son de esta forma. Esto va más allá de la teoría de Gauss sobre formas cuadráticas y nos permite obtener resultados sobre representación de números porformas en casos en los cuales la teoŕıa de Gauss no permite concluir nada (capítulo XI). Volviendo al desarrollo histórico, los resultados básicos de la teor ía de cuerpos de clases fueron demostrados por Takagi en 1920 (en una forma todavía no muy refinada). En realidad Takagi probó resultados más potentes que los conjeturados por Hilbert, pues no se limitó a considerar los grupos de clases usuales, definidos porkummery Dedekind, sino unos grupos de clases generalizados introducidos por Weber poco antes. Grosso modo, sin entrar en ciertos tecnicismos, Weberdefinió unos grupos H(m), donde m es un ideal de un cuerpo numérico k, cuyos elementos son ciertas clases de equivalencia de ideales fraccionales primos con m, de modo que en el caso particular k = Q resultan ser los grupos de unidades módulo m. Sim = 1 se obtiene el grupo de clases usual. Estos grupos están relacionados por epimorfismos canónicos f : H(m) H(m ), donde m m, de modo que un subgrupo H H(m) puede venirinducido por un subgrupo de H(m ) (o sea, serla antiimagen de un subgrupo de H(m )). Cada subgrupo H tiene asociado un mínimo ideal f tal que H es inducido desde 1 Todas las referencias que en lo sucesivo aparezcan entre corchetes remiten a mi libro de teoría de números.

12 xii Introducción H(f), al que se le llama el conductorde H. Takagi demostró que para cada subgrupo H de un grupo H(m) existe una extensión abeliana K de k cuyo grupo de Galois G(K/k) es isomorfo al grupo de clases H(m)/H. Los ideales primos de k (identificados adecuadamente con ideales de K) que se ramifican en K son exactamente los que dividen al conductorde H y, si un primo p no divide a dicho conductor f y f es el orden de [p] enelgrupoh(f)/h, entonces el número de divisores primos de p en K es h/f, donde h = H(f) :H. El lector reconocerá, pese a la imprecisión de la exposición, una forma general de los teoremas de descomposición de primos de los que hablábamos antes. En especial, la forma en que un primo p de k se descompone en K sólo depende de su clase de equivalencia módulo H. Las pruebas de Takagi eran esencialmente analíticas, basadas en funciones dseta y en ciertas generalizaciones de las funciones L debidas a Hecke. En un artículo posterior mostró una relación entre el isomorfismo que relaciona el grupo de clases con el grupo de Galois del cuerpo de clases y una generalización del símbolo de Legendre, con ayuda de la cual Hilbert había planteado su problema 9 sobre la ley de reciprocidad generalizada. Fue finalmente Artin quien consiguió en 1927 una descripción explícita de dicho isomorfismo (hoy conocido como isomorfismo de Artin), lo que supuso a la vez una simplificación y un avance en la teor ía. Artin demostró la ley de reciprocidad general que hoy también lleva su nombre. La teoría comenzó a tomar forma definitiva con el trabajo de Hasse. En 1925 publicó una recopilación sistemática de los resultados de Takagi. Pensaba publicarpoco después una segunda parte, pero ésta se retrasó a causa de los resultados de Artin, y no apareció hasta En ella introdujo la mayor parte de la notación moderna y, lo que es más importante, aprovechó con eficiencia el concepto de localización. La idea se remonta a Hensel, un alumno de Kummer que extrajo de los prolijos cálculos de éste el concepto de números p-ádicos. Hensel observó que los conceptos asociados a cuerpos numéricos tienen análogos locales, que surgen al sustituirdichos cuerpos numéricos por sus compleciones respecto a ideales primos en el sentido del [capítulo VII], y postuló que las afirmaciones globales de un cuerpo numérico k pueden obtenerse a partir de las afirmaciones locales análogas para todos los primos de k, y viceversa. Por ejemplo, si k es un cuerpo numérico, para cada primo p se puede definirel discriminante local p de k y se prueba que p es simplemente la máxima potencia de p que divide al discriminante global, de modo que el discriminante global puede obtenerse como el producto de los discriminantes locales. Hasse era alumno de Hensel, y en su tesis doctoral dio un buen ejemplo de la validez de la conjetura de su maestro al demostrar una versión del teorema de Hasse Minkowski [capítulo VIII]. Este teorema muestra también que, aunque las relaciones entre propiedades locales y globales pueden ser muy naturales, las pruebas no son necesariamente triviales. Al aplicarestos principios a la teoŕıa de cuerpos de clases dedujo de la teoría global una teoría local, más sencilla en algunos aspectos, demostró que la teoría global podía a su vez serdeducida de la teoŕıa local, y planteó como problema

13 xiii el construir la teoría local independientemente de la teor ía global. En los años posteriores las pruebas fueron simplificadas, básicamente por Artin, Herbrand y Chevalley. Un avance muy importante fue la introducción porchevalley de los llamados elementos ideales. Se trata de un concepto técnico que trataremos con detalle en el capítulo VI. De momento digamos tan sólo que consiste en una generalización de la representación geométrica de los cuerpos numéricos [capítulo IV] que relaciona fuertemente los hechos locales con los globales. Los resultados centrales de la teoría de cuerpos de clases tienen tal grado de profundidad que fueron muchos los esfuerzos dedicados a presentarlos desde diversos puntos de vista, con la esperanza de entenderlos lo mejor posible. Ciertamente, desde los trabajos originales de Takagi, bastante oscuros, hasta la introducción de los elementos ideales y el isomorfismo de Artin, se había recorrido un largo trecho, pero todavía quedaba mucho porhacer. Weil obtuvo una interesante presentación de la teor ía en términos de álgebras, aunque pronto se vio que el único elemento relevante eran los cociclos que determinaban las álgebras involucradas. Con esto se llegó a una exposición en términos de la cohomología de grupos, que ha resultado ser muy iluminadora. Ante el dilema de presentar la teoría en términos cohomológicos o en términos más clásicos, hemos optado por las dos soluciones a la vez. Primeramente la exponemos sin apoyarnos en la cohomología de grupos. Así conecta de forma directa con nuestro libro de teoría de números y, a nuestro parecer, resulta mucho más natural y accesible para una primera lectura. No obstante, en los tres últimos capítulos exponemos también la versión cohomológica, pues creemos que es el momento en que realmente puede apreciarse todo su valor. Esperamos que el lector disfrute al econtrarse con la magnificencia de esta rama de las matemáticas, tanto en la elegancia de sus métodos como en la profundidad de sus resultados. Así mismo, al comparar con nuestro libro de teoría de números, el lector tendrá opción de comprender cómo una teoría de tal grado de abstracción ha surgido de forma natural a partir de los cálculos y observaciones concretas, cada vez más penetrantes, realizados por los matemáticos del siglo pasado.

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15 Capítulo I Dominios de Dedekind Recordemos [3.1] que un dominio de Dedekind es un dominio íntegro en el que todo ideal propio se descompone de forma única salvo el orden en producto de ideales primos. Los dominios de Dedekind más importantes en la teoría de números son los órdenes maximales de los cuerpos numéricos [3.13], pero pronto nos vamos a encontrar con otros ejemplos de interés, porlo que nos conviene estudiarlos en general. 1.1 Resultados básicos Recordemos [3.2] que si D es un dominio de Dedekind y K es su cuerpo de cocientes, un ideal fraccional de D es un D-módulo M K no nulo tal que existe un d D no nulo de modo que dm D. Se cumple [3.4] que el conjunto de los ideales fraccionales de un dominio de Dedekind D es un grupo abeliano con el producto usual (MN es el D-módulo generado por los productos de elementos de M y N) y de hecho es el grupo abeliano libre generado por los ideales (primos) de D. El resultado fundamental es el teorema de Dedekind [3.9], según el cual un anillo conmutativo y unitario D es un dominio de Dedekind si y sólo si cumple tres propiedades: a) es noetheriano, b) los ideales primos no nulos de D son maximales, c) si un elemento b del cuerpo de cocientes de D es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en D, entonces b D. Vamos a probaranalizarcon más detalle propiedades a) y c). Anillos y módulos noetherianos En este apartado daremos algunos criterios sencillos para garantizar que un anillo o un módulo dado es noetheriano. Recordemos las definiciones: 1

16 2 Capítulo 1. Dominios de Dedekind Definición 1.1 Sea A un anillo y M un A-módulo. Se dice que M es noetheriano si todos sus submódulos son finitamente generados. Un anillo A es noetheriano si lo es como A-módulo, es decir, si todos sus ideales son finitamente generados. En particular todo dominio de ideales principales es noetheriano. Las caracterizaciones siguientes suelen ser útiles: Teorema 1.2 Sea A un anillo y M un A-módulo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) M es noetheriano. b) Toda sucesión creciente de submódulos es finalmente constante. M 0 M 1 M 2 M 3 c) Toda familia no vacía de submódulos de M tiene un elemento maximal respecto a la inclusión. Demostración: a) b) La unión de todos los módulos M i es un submódulo de M, luego tiene un generador finito, que estará contenido en alguno de los módulos M i0. Entonces M = M i0 y porlo tanto M = M i para todo i i 0. b) c) Si existiera una familia de submódulos sin maximal podríamos tomarun módulo cualquiera M 0, que al no sermaximal estaŕıa estrictamente contenido en otro módulo M 1 de la familia, que estaría contenido en otro M 2 y así formaríamos una cadena ascendente infinita, en contradicción con b). c) a) Si N es un submódulo de M que no es finitamente generado entonces tomamos m 0 N y se cumple N (m 0 ), luego existe un m 1 en N \ (m 0 )y N (m 0,m 1 ), luego existe un m 2 en N \ (m 0,m 1 )yn (m 0,m 1,m 2 ). De este modo construimos una familia de submódulos (m 0 ) (m 0,m 1 ) (m 0,m 1,m 2 ) que no tiene maximal. Los teoremas siguientes justificarán de forma inmediata que todos los anillos ymódulos que consideremos en lo sucesivo serán noetherianos: Teorema 1.3 Si A es un anillo y M es un A-módulo noetheriano, entonces todo submódulo y todo módulo cociente de M es noetheriano. Demostración: Sea N un submódulo de M. Entonces todo submódulo de N es también un submódulo de M, luego es finitamente generado y así N es noetheriano. Todo submódulo de M/N es de la forma R/N, donde N R M y del hecho de que R es finitamente generado se sigue claramente que R/N también lo es. También se cumple un recíproco:

17 1.1. Resultados básicos 3 Teorema 1.4 Sea A un anillo, M un A-módulo y N un submódulo de M. Si N y M/N son noetherianos entonces M también lo es. Demostración: A cada submódulo L de M le asociamos el parde módulos ( L N,(L + N)/N ). Notemos que si E F son dos submódulos de M y sus pares asociados son iguales entonces E = F. En efecto, si x F, como (E + N)/N =(F + N)/N, existen u N y v E tales que x = u + v. Entonces u F N = E N, luego x E. A una sucesión ascendente de submódulos de M le corresponden dos sucesiones ascendentes de submódulos de N y de M/N respectivamente. Como éstas han de serfinalmente constantes, la dada también lo ha de ser, luego M es noetheriano. Teorema 1.5 Sea A un anillo y M un A-módulo. Si E y F son submódulos noetherianos de M, entonces E + F también es noetheriano. Demostración: Tenemos que E es noetheriano y (E + F )/E = F/(E F ) también lo es, luego E + F es noetheriano. Teorema 1.6 Si A es un anillo noetheriano, entonces todo A-módulo finitamente generado es noetheriano. Demostración: Si M admite un generador con m elementos, entonces existe un epimorfismo de anillos f : A m M (pues A m es un módulo libre de rango m y podemos extendera un epimorfismo una biyección entre una base de A m y un generador de M). Aplicando m veces el teorema anterior concluimos que A m es un módulo noetheriano y M es isomorfo a un cociente de A m, luego M es noetheriano. Teorema 1.7 (Teorema de Hilbert) Si A es un anillo noetheriano entonces A[x 1,...,x n ] también lo es. Demostración: Basta probarlo para una indeterminada. Sea a un ideal de A[x]. Sea b i el conjunto de los coeficientes directores de los polinomios de a de grado i (más el 0). Es claro que b i es un ideal de A, así como que b 0 b 1 b 2 b 3 (para verque un elemento de b i está enb i+1 basta multiplicarporx el polinomio que justifica que está enb i ). Como A es noetheriano, los ideales b i son iguales a partir de un b r. Sea b i =(b i1,...,b in ) para i =0,...,r (no es restricción suponerque el número de generadores es el mismo para todos los ideales, pues siempre podemos añadir generadores redundantes). Podemos suponer que los b ij 0. Sea p ij un polinomio en a de grado i cuyo coeficiente de grado i sea b ij. Vamos a probar que a =(p ij i =0,...,r, j =1,...,n). Claramente este ideal está contenido en a. Sea f a un polinomio de grado d. Veremos que está en el ideal generado porlos p ij porinducción sobre d. El coeficiente director de f está enb d. Si

18 4 Capítulo 1. Dominios de Dedekind d>rnotamos que los coeficientes directores de x d r p r1,..., x d r p rn son los números b r1,...,b rn, que generan b d = b r. Porconsiguiente existen elementos c 1,..., c n en A tales que el polinomio f c 1 x d r p r1 c n x d r p rn tiene grado menor que d y está en a, luego porhipótesis de inducción f está en el ideal generado por los p ij. Si d r obtenemos un polinomio f c 1 p d1 c n p dn de grado menor que d y contenido en a, con lo que se concluye igualmente. Teorema 1.8 Si A es un anillo noetheriano y B = A[b 1,...,b n ] es un anillo finitamente generado sobre A, entonces B es noetheriano. (Porque B es isomorfo a un cociente de A[x 1,...,x n ]). Extensiones enteras La propiedad c) en el teorema de Dedekind está relacionada con la noción de elemento entero, que el análogo en anillos a la de elemento algebraico en la teoría de extensiones de cuerpos. Necesitaremos los resultados básicos sobre extensiones enteras de dominios íntegros y su relación con las extensiones de sus cuerpos de cocientes. Definición 1.9 Sea D un dominio íntegro y K un cuerpo que contenga a D. Un elemento α K es entero sobre D si es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en D. Cuando K es un cuerpo numérico y D = Z, los elementos enteros son precisamente los enteros algebraicos. Todos los resultados que probaremos aquí son generalizaciones de hechos conocidos en este caso. Para empezar probaremos que los elementos enteros sobre un dominio íntegro forman un anillo, y para ello usaremos la siguiente caracterización de la integridad: Teorema 1.10 Sea D un dominio íntegro y K un cuerpo que contenga a D. Un elemento α K es entero sobre D si y sólo si existe un D-módulo finitamente generado no nulo M K tal que αm M. Demostración: Si α es entero entonces α n +d n 1 α n 1 + +d 1 α+d 0 =0, para ciertos d i D. Basta considerar el módulo M = 1,α,...,α n 1 D. Dado un módulo M = v 1,...,v n D tal que αm M, existen elementos d ij en D tales que αv i = d i1 v d in v n, para i =1,...,n. Esto equivale a la ecuación vectorial αv = va, donde v =(v i )ya =(d ij ), o sea, α es un valor propio de la matriz A, luego es raíz de su polinomio característico, que claramente es mónico y con coeficientes en D. Teorema 1.11 Sea D un dominio íntegro y K un cuerpo que contenga a D. Entonces el conjunto E de todos los elementos de K enteros sobre D es un subanillo de K.

19 1.1. Resultados básicos 5 Demostración: Sean α, β E. Sean M y N dos D-módulos no nulos finitamente generados tales que αm M y βn N. Entonces es fácil ver que MN es un D-módulo no nulo finitamente generado y (α ± β)mn MN, αβmn MN. Porlo tanto α ± β E y αβ E. Definición 1.12 Sea E/D una extensión de dominios íntegros, es decir, D y E son dominios íntegros tales que D es un subanillo de E. Diremos que la extensión es entera si todo elemento de E es entero sobre D. Vamos a probar que las extensiones enteras de dominios íntegros se comportan como las extensiones algebraicas de cuerpos. El teorema anterior implica que si adjuntamos a un anillo un conjunto de elementos enteros obtenemos una extensión entera. Ahora probamos que si adjuntamos un número finito de elementos obtenemos además una extensión finitamente generada. Teorema 1.13 Sean D E dominios íntegros tales que E = D[a 1,...,a n ] con los a i enteros sobre D. Entonces E es un D-módulo finitamente generado. Demostración: Si tenemos una cadena D F E de dominios íntegros de modo que E es un F -módulo finitamente generado y F es un D-módulo finitamente generado, entonces E es un D-módulo finitamente generado. Basta observar que si E = e 1,...,e n F y F = f 1,...,f m D entonces E = e i f j D. De aquí se sigue que basta probar el teorema para una sola adjunción. Supongamos que E = D[a] y que a es raíz de un polinomio mónico p(x) D[x] de grado n. Todo elemento de E es de la forma q(a) con q(x) D[x]. Podemos dividir q(x) =p(x)c(x)+r(x) con grad r(x) <n, y entonces resulta que q(a) =r(a). De aquí se sigue que E = 1,a,...,a n 1. De aquí deducimos la transitividad de la integridad: Teorema 1.14 Si F/E y E/D son extensiones enteras entonces F/D también lo es. Demostración: Sea α F. Entonces α n + e n 1 α n e 1 α + e 0 =0 para ciertos e i E. Sea E = D[e 0,...,e n 1 ]. Por el teorema anterior E es un D-módulo finitamente generado y E [α] esune -módulo finitamente generado. Es fácil verentonces que E [α] esund-módulo finitamente generado. Además es obvio que αe [α] E [α], luego α es entero sobre D. Definición 1.15 Si D es un dominio íntegro contenido en un cuerpo K, el conjunto E de todos los elementos de K enteros sobre D se llama la clausura entera de D en K. El teorema 1.11 prueba que se trata de un dominio íntegro. Es la mayorextensión entera de D contenida en K. Un dominio íntegro D contenido en un cuerpo K es íntegramente cerrado en K si todo elemento de K entero sobre D está end o, equivalentemente, si D coincide con su clausura entera en K. Por el teorema anterior la clausura entera de un dominio íntegro en un cuerpo es íntegramente cerrada en éste.

20 6 Capítulo 1. Dominios de Dedekind Un dominio integro D es íntegramente cerrado si es íntegramente cerrado en su cuerpo de cocientes. Ésta es la condición c) de la caracterización algebraica de los dominios de Dedekind. Conviene notarque la comparten los dominios de factorización única: Teorema 1.16 Todo dominio de factorización única es íntegramente cerrado. Demostración: Sea D un dominio de factorización única. Si no es íntegramente cerrado es que hay un elemento α/β en su cuerpo de cocientes que es entero sobre D y no pertenece a D. Entonces existe un primo π que divide a β pero no divide a α. Sea (α/β) n + d n 1 (α/β) n d 1 (α/β)+d 0 =0, para ciertos d i D. Multiplicando por β n queda α n + d n 1 βα n d 1 β n 1 α + d 0 β n =0, de donde se sigue que π α, contradicción. Si E/D es una extensión de dominios íntegros podemos identificar el cuerpo de cocientes K de D con un subcuerpo del cuerpo de cocientes L de E, con lo que tenemos una extensión de cuerpos L/K. Vamos a estudiarla relación entre ambas extensiones. Porlo pronto, cuando digamos que E/D es una extensión finita, separable, normal, etc. nos referiremos a que lo es la extensión L/K de los cuerpos de cocientes. Veamos ahora que el polinomio mínimo de un elemento algebraico determina si éste es o no entero. Teorema 1.17 Sea D un dominio íntegro y K su cuerpo de cocientes. Sea L/K una extensión finita. Entonces un elemento α L es entero sobre D si ysólo si su polinomio mínimo sobre K tiene coeficientes enteros sobre D. En particular la norma y la traza de un entero sobre D son enteras sobre D. Demostración: Es obvio que un K-monomorfismo de L en una clausura algebraica de L envía elementos enteros a elementos enteros, luego los conjugados de los enteros son enteros. Los coeficientes del polinomio mínimo de α dependen polinómicamente de los conjugados de α, luego si α es entero dichos coeficientes también lo son. La norma y la traza son dos de estos coeficientes. Si en el teorema anterior suponemos además que D es íntegramente cerrado, entonces resulta que un elemento algebraico sobre K es entero si y sólo si su polinomio mínimo sobre K está en D[x], y en particular tenemos que la norma y la traza de un entero están en D. Veamos ahora un resultado técnico elemental que necesitaremos en el teorema siguiente y en otras ocasiones. Teorema 1.18 Sea D un dominio íntegro y α un elemento algebraico sobre su cuerpo de cocientes. Entonces existe un d D no nulo tal que dα es entero sobre D.

Carlos Ivorra Castillo TEORÍA DE CUERPOS DE CLASES

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