GUÍA DE LA UNIDAD PROBABILIDAD Y AZAR

Transcripción

1 Probabilidad Muestras Inferencia Aplicaciones Gráficas C ontenidos Experiencias aleatorias. Espacio muestral y sucesos elementales. Sucesos de una experiencia aleatoria. Operaciones con sucesos. Ley de los grandes números. Regla de Laplace. Definición axiomática de probabilidad. Probabilidad condicionada. Sucesos independientes. Experiencias compuestas. Probabilidades a posteriori. Teorema de Bayes. Población y muestra. Características de las muestras estadísticas. Muestreo aleatorio simple. Muestreo aleatorio sistemático. Muestreo aleatorio estratificado. Distribución normal. Distribución de las medias muestrales: Teorema Central del Límite. Estimación de la media de la población. Relación entre nivel de confianza, error admisible y tamaño de la muestra. Ley Binomial. Estimación de la proporción en una población. E jercicios Dada una experiencia aleatoria ( e.a. ) saber determinar su espacio muestral así como operar con sucesos de la experiencia. Reconocer el lenguaje de la operación con sucesos. Conocer y comprender la Ley de los Grandes Números. Aplicar la Ley de Laplace al cálculo de probabilidades. Conocer los axiomas de Kolmogorov y la aplicación de sus consecuencias al cálculo de probabilidades. Reconocer la dependencia o independencia de dos sucesos. Reconocer las experiencias compuestas y calcular, mediante las técnicas de diagrama de árbol, sencillos problemas de probabilidad. Calcular probabilidades a posteriori. Conocer y comprender el significado de población y muestra así como la necesidad de usar muestras. Saber el proceso que debe seguirse para extraer una muestra de una población: a) mediante muestreo aleatorio simple; b) muestreo aleatorio sistemático; c) muestreo aleatorio estratificado. Conocer y comprender el significado que una variable estadística siga una Ley Normal. Saber calcular probabilidades en una normal. Calcular y comprender el significado del intervalo característico para una probabilidad. Conocer y comprender el Teorema Central del Límite. Conocer y comprender la técnica para, a partir de la media de una muestra, estimar la media de toda la población estadística. Conocer la relación existente entre nivel de confianza, error admisible y tamaño de la muestra y aplicarla a problemas dentro de un contexto. Conocer y comprender el significado que tiene que una variable siga una Ley Binomial. Saber calcular problemas de probabilidad binomiales. Saber calcular el intervalo de confianza para la proporción. GUÍA DE LA UNIDAD PROBABILIDAD Y AZAR

2 Experimentos aleatorios Espacio muestral. Sucesos elementales Llamaremos ESPACIO MUESTRAL de un experimento aleatorio al conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Al espacio muestral de un experimento lo designaremos por E ( S ) y a cada elemento del espacio muestral se le llama SUCESO ELEMENTAL. El espacio muestral asociado al experimento de lanzar una moneda y anotar el resultado de la cara superior. El experimento consiste en lanzar dos monedas distintas sobre una mesa y anotar los resultados de las caras superiores. Y si las dos monedas son idénticas y se lanzan de forma simultánea? El espacio muestral del experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas distintas. Y si las tres monedas son idénticas y se lanzan al mismo tiempo? El espacio muestral asociado al experimento consistente en el lanzamiento de un dado y observar la puntuación : Si el experimento consiste en lanzar al aire dos dados de distinto color y anotar los resultados obtenidos. Y si los dos dados son idénticos y se lanzan al mismo tiempo? Si el experimento consiste en lanzar dos dados y anotar la suma de los números que aparecen en las caras superiores.

3 Experimentos aleatorios Espacio de sucesos. Operaciones con sucesos SUCESO SEGURO es el que siempre se realiza y, por tanto, estará formado por todos los posibles resultados del experimento; es decir, coincide con el espacio muestral E. Se llama SUCESO IMPOSIBLE, y lo designaremos por 0/, a un suceso que no se realiza nunca. Llamamos SUCESO CONTRARIO DEL SUCESO A a un suceso que se verifica cuando no se realiza A, y recíprocamente. El suceso contrario de A se representa por } ( A' / A c ). Ejemplo 1. En el experimento de lanzar al aire tres monedas distintas... cuántos sucesos elementales hay? escribe el suceso A, obtener al menos una cara cuál es su suceso contrario? cuál es el suceso seguro? y el imposible? cuál es el suceso B, la primera moneda mostró cara? y su contrario? Ejemplo 2. En el experimento consistente en lanzar al aire simultáneamente dos dados idénticos... cuántos sucesos elementales hay? cuál es el suceso A, la suma de las puntuaciones es múltiplo de tres? cuál es su suceso contrario? cuál es el suceso B, la suma de las puntuaciones fue 20"? y su contrario? Matemática Aplicada a las CC. SS II. Probabilidad

4 Experimentos aleatorios Espacio de sucesos. Operaciones con sucesos Se llama SUCESO de un experimento aleatorio a todo subconjunto del espacio muestral E ( S ). Llamaremos ESPACIO DE SUCESOS al conjunto de todos los sucesos posibles de un experimento, es decir, es el conjunto de todos los subconjuntos del espacio muestral. El ÁLGEBRA de sucesos: unión, intersección, diferencia de sucesos, sucesos contrarios, sucesos incompatibles,... Ejemplo 1. El experimento que consiste en la extracción de tres tornillos de una caja que contiene tornillos buenos y defectuosos. Espacio muestral. Suceso A = el último tornillo extraído es defectuoso Suceso B = sólo hay un tornillo defectuoso Suceso C = extrae al menos un tornillo defectuoso Ejemplo 2. En una comarca emiten tres emisoras de radio R, S y T. Designamos por A, B, y C los sucesos: ser oyente de R, S y T, respectivamente... Describe el significado de los siguientes sucesos : < A c B c C < A' 1 B' 1 C' < A - ( B c C ) < A 1 ( B - C ) < ( A c B ) ' < A' 1 B' Expresa en función de A, B y C los sucesos: < Ser oyente de las tres cadenas < Ser oyente de R pero no de S ni de T < Oír, al menos, una emisora < No oír la radio < Sólo oír R y S < Sólo oír una emisora < No ser oyente de las tres cadenas < Sólo oír dos cadenas

5 Ley de los grandes números Idea de Probabilidad de un suceso Supongamos que lanzamos una moneda 200 veces, y que en este experimento aleatorio, al anotar el número de veces que sale cara después de 20, 40,..., 200 lanzamientos, obtenemos los resultados contenidos en la siguiente tabla: Núm. de lanzamientos Frecuencia absoluta n i Frecuencia relativa f i 0,555 0,500 0,517 0,537 0,530 0,516 0,514 0,519 0,511 0,505 Si repitiéramos de nuevo el experimento, obtendríamos polígonos de frecuencias muy parecidos al representado. En todos ellos se verificaría el siguiente hecho experimental: Las frecuencias relativas del suceso cara tienden a estabilizarse hacia el valor 0,5 Cuando decimos tienden a estabilizarse queremos decir que la frecuencia del suceso cara toma valores aproximados por exceso o por defecto en torno a 0,5, de tal manera que las fluctuaciones u oscilaciones alrededor de este valor son cada vez más pequeñas; es decir, el polígono de frecuencias se va suavizando conforme aumenta el número de tiradas. Jakob Bernoulli ( ) demostró la llamada LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS, que enunciada de una forma sencilla dice así: la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente. Este número, al que la frecuencia relativa de un suceso se acerca más cuanto mayor es el número de pruebas realizadas, lo llamaremos probabilidad del suceso. Esta definición presenta un inconveniente de tipo práctico: para calcular la probabilidad de un suceso sería necesario realizar un gran número de pruebas con el fin de obtener experimentalmente el valor al que se aproximan las frecuencias relativas. Matemática Aplicada a las CC. SS II. Probabilidad

6 Definición clásica de probabilidad Regla de Laplace La primera definición que se conoce de probabilidad fue enunciada por Pierre Simon Laplace ( ). Desde 1774, Laplace escribió multitud de artículos sobre el cálculo de probabilidades, y todos los resultados que obtuvo junto con los de sus predecesores los incluyó en su libro Theorie analytique des probabilites publicado en Laplace expresa, de forma sencilla, lo que entiende por cálculo de probabilidades: En el fondo, la teoría de probabilidades es sólo sentido común expresado con números. La teoría de probabilidades se ocupa de medir hasta qué punto se puede esperar que ocurra un suceso. A esa medida se la llama su probabilidad. Que un suceso tenga una probabilidad del 83% significa que, de cada 100 veces que se realice la experiencia aleatoria, el suceso se verifica en 83 de ellas: la probabilidad del suceso es 83/100 = 0,83. La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. Un suceso de probabilidad próxima a 0 es un suceso raro, poco frecuente. Un suceso de probabilidad próxima a 1 es un suceso casi seguro. Si el espacio muestral de una experiencia aleatoria está formado por n sucesos elementales ( n posibles resultados ) y es razonable suponer que ninguno de ellos tiene más probabilidad de salir que los demás, la probabilidad de cada uno de ellos es 1/n. Y si un suceso consta de k sucesos elementales ( k casos favorables para su verificación ), su probabilidad será k/n. La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. probabilidad del suceso A Y p( A ) A la hora de aplicar esta definición hay que tener en cuenta que los sucesos elementales tienen que se igualmente probables ( equiprobables ). Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados distintos y anotar las puntuaciones que muestran sus caras superiores. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: Espacio muestral Obtener una suma de puntos igual a 11 Un dado mostró una puntuación mayor que 3. Los dos dados mostraron idéntica puntuación.

7 Experimentos aleatorios Regla de Laplace En una comarca hay dos periódicos: El Progresista y El Liberal. Se sabe que el 55% de las personas de esa comarca lee El Progresista ( P ), el 40% lee El Liberal ( L ) y el 25% no lee ninguno de ellos. Expresa en función de P y L los siguientes sucesos: Leer los dos periódicos Leer sólo El Liberal Leer sólo El Progresista Leer alguno de los dos periódicos No leer ninguno de los dos periódicos Leer sólo uno de los dos Calcula las probabilidades de los sucesos P, L, P 1 L, P c L, P - L, L - P, ( P c L )', ( P 1 L ) ' p( P ) = p( P - L ) = p( L ) = p( L - P ) = p( P n L ) = p[ ( L c P )' ] = p( P U L ) = p[ ( L 1 P )' ] = Sabemos que una persona lee El progresista. Qué probabilidad hay de que, además, lea El liberal? Y de que no lo lea?

8 Definición axiomática de probabilidad Axiomas de Kolmogorov La definición clásica de Laplace tiene el inconveniente de que para su aplicación hay que suponer que todos los sucesos elementales de un experimento aleatorio son igualmente probables. Ésta es una gran objeción. Pero además, el gran número de paradojas y de dificultades surgidas a comienzos del presente siglo aconsejaron una revisión del concepto de probabilidad utilizando herramientas matemáticas más precisas del momento: la teoría de conjuntos. La construcción de una axiomática para el cálculo de probabilidades se debe al matemático ruso Andrei Nicolaievich Kolmogorov (1903). La idea fundamental de la axiomática de Kolmogorov es considerar la íntima relación que existe entre el concepto de frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad, cuando el número de pruebas es muy grande, cómo hemos visto en la ley de los grandes números enunciada por Bernoulli. Basándose en este hecho, construye un sistema de axiomas inspirados en las propiedades de las frecuencias relativas. Con el fin de que la definición de Kolmogorov nos resulte más accesible, veremos en primer lugar las propiedades de las frecuencias relativas. En una experiencia aleatoria, la frecuencia relativa de un suceso cualquiera es siempre positiva o nula: < Si realizamos n pruebas y en k ocasiones se verifica el suceso A, f( A ) $ 0 La frecuencia relativa del suceso seguro es igual a la unidad: f( E ) = 1 < Al realizar n pruebas, en todas ellas se verificará el suceso La frecuencia relativa de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las frecuencias relativas de cada uno de ellos: < A y B son dos sucesos incompatibles. Realizamos n veces el experimento aleatorio: < en k ocasiones se verificó el suceso A < en p ocasiones se verificó el suceso B < A c B se cumplió en k+p veces A y B incompatibles : f( AcB ) = f( A ) + f(b ) Inspirado en estas propiedades, Kolmogorov enunció la siguiente definición axiomática de probabilidad Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A de una experiencia aleatoria, un número real que llamaremos probabilidad del suceso A y que representaremos por p(a), que cumple los siguientes axiomas: 1º La probabilidad de un suceso cualquiera es positiva o nula. p(a) $ 0 2º La probabilidad del suceso seguro es igual a la unidad. p(e) = 1 3º La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. A 1 B = 0/ Y p( A c B) = p(a) + p(b)

9 Cálculo de probabilidades Regla de Laplace / Definición axiomática Para ganar una partida de cartas debemos conseguir un As o bien un Oros. Qué probabilidad tenemos de ganar la partida? De una baraja con cuarenta cartas hemos suprimido varias de ellas. Entre las que quedan se dan las siguientes probabilidades de ser extraídas: p( rey ) = 0,15 ; p( bastos ) = 0,3 ; P( que la carta no sea ni rey ni bastos ) = 0,6. Está entre ellas el rey de bastos? Sean A y B dos sucesos tales que : p( A c B ) = 3/4 ; p( B' ) = 2/3 ; p( A 1 B ) = 1/4. Son A y B sucesos incompatibles? Son sucesos contrarios? Cuál es la probabilidad del suceso A' - B? Un dado está cargado de modo que la probabilidad de obtener una cara, es proporcional a la puntuación de dicha cara. Si se lanza el dado una vez, halla la probabilidad de obtener un número impar distinto de uno.

10 Probabilidad condicionada Ejemplo. Fórmula. Sucesos independientes En una empresa con 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres, hay que seleccionar a varios de ellos, por sorteo, par formar un comité que supervise las decisiones de la directora. Ésta tiene cierto temor de que en el comité haya mayoría de hombres, por lo que, conociendo las características de sus empleados, propone que los miembros del comité sean no fumadores ( van a pasar muchas horas deliberando en un despacho, argumenta ). Teniendo en cuenta que los empleados se distribuyen según la tabla adjunta, han mejorado las expectativas de la directora ante la posible composición del comité?. H Hombres M Mujeres F Fuman F' No fuman Si la elección se hace sin condiciones p( H ) = p( M ) = Si el sorteo se hace entre los no fumadores p( H ) = p( M ) = Para distinguir una y otra probabilidad y no tener que aclarar, expresamente, que son probabilidades calculadas sobre el conjunto de las personas que no fuman, las segundas probabilidades se escriben: H / F' = ser hombres, condicionado a no ser fumador p( H / F' ) = 30/120 = 1/4 M / F' = ser mujer, condicionado a no ser fumadora p( M / F' ) = 90/120 = 3/4 Siguiendo en el mismo colectivo, calcula el valor de las siguientes probabilidades condicionadas: p( H / F ) = p( M / F ) = p( F / H ) = p( F / M ) = p( F'/ H ) = p( F' / M ) = Comprueba que : p( H / F ) calculado anteriormente = p( H 1 F ) = = p( F ) = Dados dos sucesos A y B, se llama probabilidad de B condicionada a A, al valor p ( B / A ) = Dos sucesos A y B son independientes cuando p( B / A ) = p( B ), es decir, la probabilidad de B es la misma que si la calculamos condicionada a A. Esto es, A no influye en B. Si los sucesos son independientes, y observando la fórmula de la izquierda:

11 Cálculo de probabilidades Probabilidad condicionada De una baraja de cuarenta cartas se extraen tres. Halla la probabilidad de que al menos una de las tres cartas sea un as. De una baraja con cuarenta cartas se toman dos. Halla la probabilidad de que las cartas sean: a) dos oros; b) dos espadas o dos figuras. Sean A y B dos sucesos de una misma experiencia aleatoria, de probabilidades : p( A' c B' ) = 0,58 ; p( A ) = 0,7 ; p( B' ) = 0,4. Son A y B sucesos independientes? Se sortea un viaje a Singapur entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Cuál es la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?. Si se sabe que el afortunado es casado, cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

12 Cálculo de Probabilidades Experiencias compuestas Lanzamos dos dados distintos. Si la suma de las puntuaciones es mayor de 7, acudimos a una urna que contiene cuatro bolas blancas, tres rojas y tres verdes. De lo contrario, acudimos a una segunda bolsa que contiene cinco bolas blancas, dos rojas y tres verdes. Sacamos una bola de la bolsa correspondiente. Cuál es el Espacio muestral de la experiencia aleatoria? X = la suma de las puntuaciones de los dados es mayor que 7 Y = la suma de las puntuaciones es igual o menor que 7 B = la bola extraída es de color blanco R = la bola es de color rojo V = la bola es de color verde S = Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea de color verde? < En una urna hay dos 2 blancas y 3 negras. Dos personas sacan, alternativamente una bola cada uno, sin reemplazamiento. Gana el primero que saca una bola blanca. Cuál es la probabilidad de que gane la persona que empieza el juego? < Tenemos dos dados, uno normal y otro trucado. En el trucado hay 4 unos y 2 doses. Se elige al azar un dado y se tira dos veces. Cuál es la probabilidad de obtener un 1 en la primera tirada y un 2 en la segunda? < En una casa hay tres llaveros, A, B y C. El primero con 5 llaves, el segundo con 7 y el tercero con 8, de las que sólo una en cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él, una llave para intentar abrir el trastero. Cuál es la probabilidad de entre en el cuarto? Cuál es la probabilidad de que el llavero elegido sea el tercero y la llave no abra?

13 La probabilidad condicionada Teorema de Bayes Supongamos que haya un análisis que detecta un tipo de cáncer con una fiabilidad del 98%; es decir, si una persona tiene cáncer el análisis dará positivo el 98% de las veces, y si no lo tiene, dará negativo en el 98% de las veces. Supongamos, además que el 0,5% de la población padece verdaderamente la enfermedad. Calcula la probabilidad de que, elegida una persona al azar, de positivo en el test. Si ha dado positivo en el test, qué probabilidad hay de que padezca la enfermedad? Matemática Aplicada a las CC. SS II. Probabilidad