Para pensar y tener claro

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1 eman ta zabal zazu MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA UNIDAD TEMÁTICA 5 CONTROL DE CALIDAD INDUSTRIA INGENIARITZA TEKNIKOKO UNIBERTSITATE ESKOLA ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL Para pensar y tener claro ALUMN@ 1. Define el concepto de control de calidad por lotes. Relaciona este descriptor con los conceptos estudiados hasta ahora en las unidades temáticas previas. 2. Define el concepto de número de aceptación. 3. Discrimina los elementos de un plan de muestreo. 4. Qué es una tabla operativa característica? Para preparar la unidad temática Página UT5-WUQ- 1

2 eman ta zabal zazu MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA UNIDAD TEMÁTICA 5 CONTROL DE CALIDAD INDUSTRIA INGENIARITZA TEKNIKOKO UNIBERTSITATE ESKOLA ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL 5. Qué se entiende por la potencia de un plan de muestreo? 6. Qué características debe mostrar un plan de muestreo ideal? 7. Reflexiona sobre las características del mejor plan de muestreo entre dos dados. 8. Indica los pasos que hay que dar cuando se comparan dos planes de muestreo dados. 9. Relaciona el plan de muestreo con el concepto de variable aleatoria desde diversos puntos de vista? Para preparar la unidad temática Página UT5-WUQ- 2

3 eman ta zabal zazu MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA UNIDAD TEMÁTICA 5 CONTROL DE CALIDAD Trabajo en clase INDUSTRIA INGENIARITZA TEKNIKOKO UNIBERTSITATE ESKOLA ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL Fecha de entrega: ALUMN@ Ejercicio 5.1. Para controlar la calidad de diferentes envíos de naranjas se proponen los siguientes planes de muestreo por cada 10 Tm. PLAN TAMAÑO DE MUESTRA (n) NÚMERO DE ACEPTACIÓN (a) A 20 2 B 40 4 C a) Calcula, para cada plan, la probabilidad de ser aceptado de un envío con 5% de defectuosos. b) Calcula, para cada plan, la probabilidad de ser aceptado de un envío con 15% de defectuosos. c) Responde razonada y escuetamente a las siguientes cuestiones: c1) Sin considerar su coste qué plan es más preciso, el A o el B? c2) Qué plan es más exigente, el B o el C? Ejercicio 5.2. En un control de calidad se proponen los siguientes planes de muestreo PLAN TAMAÑO DE LA MUESTRA (n) NÚMERO DE ACEPTACIÓN (a) A 20 1 B 60 3 C 20 2 (1º) Calcula, para cada plan, la probabilidad de ser aceptado de un lote de elementos con 600 defectuosos. (2º) Calcula, para cada plan, la probabilidad de ser aceptado de un lote de elementos con 300 defectuosos. (3º) Dibuja en un mismo gráfico la curva operativa característica ( (p) probabilidad de aceptación) para los planes A y B detallando las regiones de aceptación y rechazo. Comenta brevemente los resultados que se observan. (4º) Dibuja en un mismo gráfico la curva operativa característica para los planes A y C. Comenta brevemente los resultados que se observan. Nota: En los apartados (3º) y (4º) se trata de mostrar claramente la posición relativa de las curvas operativas características. No se piden resultados cuantitativos. Trabajo en el aula Página UT5-CrW-1

4 eman ta zabal zazu MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE LA INGENIERÍA UNIDAD TEMÁTICA 5 CONTROL DE CALIDAD INDUSTRIA INGENIARITZA TEKNIKOKO UNIBERTSITATE ESKOLA ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA TÉCNICA INDUSTRIAL Ejercicio 5.3. (A) Se realiza un control de calidad con un tamaño de muestra n 50 y un valor de aceptación a 3. Hallar la probabilidad de aceptación de un lote con 3% de piezas defectuosas. Nota: No se puede utilizar la fórmula de la distribución de probabilidad Binomial. (B) En caso de que no se admitiera ninguna pieza defectuosa en la muestra, cuál debería ser el tamaño mínimo de la muestra, para que un lote de piezas de las cuales 5 son defectuosas sea rechazado al menos el 5% de las veces que se controla? Ejercicio 5.4. Considérese un control de calidad con tamaño de muestra n 60 y valor de aceptación a 3. Halla la probabilidad de aceptación de dos lotes con 5% y 20% de piezas defectuosas, respectivamente. Ejercicio 5.5. Se desea diseñar un control de calidad con un tamaño de muestra n 20 y cuya probabilidad de rechazo de un lote con 5% de piezas defectuosas esté entre un 25% y un 30%. (A) Decir cuánto debe valer el valor de aceptación a. (B) Para dicho control hallar la probabilidad de aceptación de un lote con 2% de piezas defectuosas. (C) Si hay que controlar un lote con 1000 piezas, Cuál será el máximo número de piezas defectuosas en ese lote para que su probabilidad de aceptación no sea inferior al 73.58%? Analizar el siguiente enunciado desde el punto de vista de la Estadística Inferencial o Deductiva: Trabajo en el aula Página UT5-CrW-1

5 EJERCICIOS DE CONTROL DE CALIDAD (1) Embarques de refrigeradores son aceptados en el siguiente plan de muestras: tamaño de la muestra n 2 y número de aceptación a 0. a) Encuentra la probabilidad de aceptar un lote con fracción de defectuosos p b) Encuentra la probabilidad de aceptar un lote con fracción de defectuosos p c) Encuentra un plan de muestreo con tamaño de muestra n 20 el cual tenga aproximadamente la misma probabilidad de aceptar un lote con fracción defectuosa p 0.01 que el plan n 2, a 0. d) Cuál es la probabilidad bajo el plan determinado en la parte c) de aceptar un lote con fracción defectuosa p 0.20?. e) Si fueras a comprar refrigeradores por lotes qué ventaja habría en usar el plan c) respecto del plan n 2, a 0? Qué desventajas puedes citar para usar el plan de muestreo con tamaño de muestra n 20?. (2) Lotes grandes de radios portátiles son aceptados de acuerdo al plan de muestreo: tamaño de la muestra n 4 y número de aceptación a 1. a) Completa la siguiente tabla y construye la curva característica de operación Fracción de defectuosos p Probabilidad de aceptación b) Establece dos zonas esencialmente diferentes en las cuales uno pueda modificar el plan de muestreo de arriba para incrementar la probabilidad de aceptar un lote con fracción de defectuosos p Ayuda: Mantén fijo el tamaño de la muestra ó el número de aceptación y varía adecuadamente el otro valor (3) Para descubrir el efecto sobre las probabilidades de aceptación de tamaños de muestra variables estudiamos los planes de muestro adicionales: n 10, a 1 y n 20, a 1. a) Completa la siguiente tabla Fracción de defectuosos p Probabilidad de aceptación: n 10 a n 20 a b) Construye las curvas características de operación sobre el mismo conjunto de ejes. c) Si se conserva el mismo número de aceptación y se incrementa el tamaño de la muestra, cuál es el efecto sobre la probabilidad de aceptar un lote dado?.

6 (4) Para descubrir el efecto sobre las probabilidades de los números de aceptación variables estudiamos los planes de muestreo adicionales: n 20, a 3 y n 20, a 5. a) Llena la siguiente tabla: Fracción de defectuosos p Probabilidad de aceptación: n 20 a n 20 a b) Construye las curvas OC para los planes considerados sobre el mismo conjunto de ejes. c) Si el tamaño de la muestra se mantiene y se incrementa el número aceptación Cuál es el efecto sobre la probabilidad de aceptar un lote dado?. (5º) Se quiere someter a control de calidad una fabricación de lotes de tamaño N 5000 piezas. Se ha decidido que las muestras sean de n 20 piezas. Cuánto valdrá, en una primera aproximación, el valor de aceptación a, si se aceptan como válidos los lotes con una proporción de piezas defectuosas p 0.05?: a) Calcula la probabilidad de aceptación de un lote con 400 piezas defectuosas. b) Calcula la probabilidad de aceptación de un lote con 200 piezas defectuosas. c) Calcula la probabilidad de rechazo de un lote con 200 piezas defectuosas. d) Calcula la probabilidad de aceptación de unos lotes con proporción de piezas defectuosas p , p , p 3 0.2, p 4 0.4, p y p e) Con los resultados obtenidos hasta aquí dibujar aproximadamente la curva operativa característica de control. f) Resuelve el mismo ejercicio con los mismos datos pero con una muestra de tamaño n 20 y valor de aceptación a 2. g) Resuelve el mismo ejercicio con los mismos datos pero con una muestra de tamaño n 40 y valor de aceptación a 2. h) Compara y comenta las tres curvas operativas características obtenidas.

7 EJERCICIOS DE CONTRASTE DE HIPÓTESIS (1) La hipótesis nula de un médico forense es H 0 : Este hombre está vivo. Si fueras este hombre, preferirías una prueba con 0.05 y o una prueba con y 0.05?. Explica tus preferencias. (2) Se ha propuesto un nuevo método para empaquetar los dulces de la marca A como un medio para incrementar las ventas. Se sabe que aproximadamente el 40 % de los clientes potenciales ahora compran la marca A. Si cuando menos seis de los diez clientes siguientes (cada uno puede elegir un dulce de la marca A con el nuevo empaquetado o uno de sus competidores) selecciona la marca A, se concluirá que el nuevo método de empaquetado es efectivo para incrementar las ventas. (a) Establece la hipótesis nula en términos de p, siendo p la probabilidad de que un cliente dado seleccione la marca A. (b) Encuentra el nivel de significación para este experimento. (c) Establece la hipótesis alternativa en términos de p. (d) Encuentra para H a : p 0.6. (3) Los sacos de uva de una cierta tienda contienen, de acuerdo con la etiqueta, 20 libras de fruta. El gerente de producción afirma que solamente el 10 % de estos sacos no contiene al menos 20 libras de fruta. Para probar esta afirmación se selecciona al azar una muestra de 25 sacos de sus existencias. Se conviene en rechazar su afirmación si cuatro o más sacos tienen menos de 20 libras de fruta. Sea p la fracción real de los sacos que no contienen cuando menos 20 libras de fruta. (a) Formula H 0 mediante un enunciado concerniente a p. (b) Cuándo se comete un error tipo I?. (c) Encuentra (el riesgo del productor). (d) Dentro de qué límites esperarías que cayera el número de sacos que tienen peso bajo si realmente H 0 fuera verdadera?. (e) Si realmente el 30 % de estos sacos de uva no llenan el peso requerido, encuentra (el riesgo del consumidor). (4) La probabilidad de que un paciente se recupere de una cierta enfermedad rara se sabe que es Para probar la efectividad de una nueva droga se suministra a 20 pacientes afectados con esta enfermedad. Se juzgará que esta droga es inefectiva a no ser que al menos 9 de los 20 pacientes se recuperen, en cuyo caso se harán nuevas pruebas. (a) Formula la hipótesis nula en términos de la probabilidad de supervivencia, p. (b) Cuál es la probabilidad de que la nueva droga sea juzgada inefectiva aún cuando el valor de p se eleve a 0.40? (c) Cuál es la probabilidad de que la droga sea considerada efectiva si realmente es inefectiva? (d) Define y, y establece cuál de estas cantidades se encontró en la parte c).

8 (5) Se piensa que el queso de bola contenido en dos tanques (tanque A y tanque B) son igualmente deseables. Denotemos con p la probabilidad de que un catador dado exprese su preferencia por el queso del tanque A. Para probar la hipótesis nula, H o : p ½, contra la hipótesis alternativa, H a : p ½, a cada miembro de un panel de diez catadores se le pide que juzgue qué queso es más apetecible. Sea X el número de catadores que muestran su preferencia por el queso del tanque A. Supón que la región de rechazo consiste en los valores X 0, 1, 9 y 10. (a) Describe el error del tipo I en términos de los quesos. (b) Describe el error del tipo II en términos de los quesos. (c) Encuentra. (d) Encuentra si realmente p (e) Encuentra si realmente p (f) Encuentra si realmente p (g) De las respuestas registradas para las partes d), e) y f) establece si es más grande cuando p está cercano al valor especificado en H o o cuando p es diferente de dicho valor. (6) El Método Monte Carlo es un proceso para determinar una cantidad deseada mediante medias probabilísticas. Como ejemplo consideremos el experimento de la aguja. La longitud de una aguja fina es exactamente un medio de la distancia entre las hendiduras de un piso de madera. La aguja se lanza n veces de manera aleatoria sobre el piso y se observa el número x de veces que la aguja intersecta una hendidura. Se sabe que la probabilidad de intersección p, para una prueba individual es igual a 1/. Por lo tanto, el valor de es 1/p y un valor aproximado para puede obtenerse dividiendo n entre x. Si la aguja se lanza 900 veces, dentro de qué límites estará esta aproximación si x toma valores dentro de dos desviaciones estándar de su media?. Nota: 1/ y ( 1/ )(1 1/ )

9 INDUSTRI INGENIARITZA TEKNIKORAKO UNIBERTSITATE ESKOLA ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERIA TÉCNICA INDUSTRIAL UNIDAD TEMÁTICA 5 CONTROL DE CALIDAD ENUNCIADO 1 (a) Un control de calidad que trabaja con muestras de tamaño n 20 da una probabilidad de aceptación de para un lote con un 5 % de piezas defectuosas, cuál es el valor de aceptación del control? (b) Un control de calidad que trabaja con muestras de tamaño n 100 da una probabilidad de rechazo de para el mismo lote, cuál es el valor de aceptación del control? ( )! " > # $ > ( µ σ %$ ) &' + %( < + < %$ ) %% & ( &## *" ( Página UT5-ER-1

10 INDUSTRI INGENIARITZA TEKNIKORAKO UNIBERTSITATE ESKOLA ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERIA TÉCNICA INDUSTRIAL ENUNCIADO 2 Para controlar la calidad de diferentes envíos de naranjas se proponen los siguientes planes de muestreo por cada 10 Tm. PLAN TAMAÑO DE MUESTRA (n) NÚMERO DE ACEPTACIÓN (a) A 20 2 B 40 4 C (a) Calcula, para cada plan, la probabilidad de ser aceptado de un envío con 5% de defectuosos. (b) Calcula, para cada plan, la probabilidad de ser aceptado de un envío con 15% de defectuosos. (c) Responde razonada y escuetamente a las siguientes cuestiones: (c1) Sin considerar su coste qué plan es más preciso, el A o el B? (c2) Qué plan es más exigente, el B o el C? +,-. *"/ $# $ $ $#% $ ( $ ##$ #& (&& ' 012 * 0 #3 *!14, 0 # % < # ENUNCIADO 3 (a) Se realiza un control de calidad con un tamaño de muestra n 30 y un valor de aceptación a 2. Hallar la probabilidad de aceptación de un lote con 5% de piezas defectuosas. (b) Hallar la probabilidad de rechazo del mismo lote con n 150 y a 10. (c) Comparando la probabilidad de aceptación del lote en los apartados (a) y (b) razonar por qué es mayor en uno que en otro. Página UT5-ER-2

11 INDUSTRI INGENIARITZA TEKNIKORAKO UNIBERTSITATE ESKOLA ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERIA TÉCNICA INDUSTRIAL! & < # 4 +/ '$ & λ µ % > # 4 # > # / ( ) µ % σ % (($& % &$ '($ (($& 5/ + > & ENUNCIADO 4 Un fabricante desea establecer un control de calidad en su empresa definido por las siguientes condiciones: (A) que sea el más barato posible, (B) que el porcentaje aceptable de piezas defectuosas en un lote sea del 20 %, (C) que un lote con 10 % de piezas defectuosas tenga una probabilidad de aceptación de al menos un 90 %, (D) que un lote con 30 % de piezas defectuosas tenga una probabilidad de rechazo de al menos un 75 %. Establecer las características del control elegido justificando razonadamente la propuesta. *5 0! $ ) & & % ),,/ Página UT5-ER-3

12 INDUSTRI INGENIARITZA TEKNIKORAKO UNIBERTSITATE ESKOLA ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERIA TÉCNICA INDUSTRIAL! ' & ' % ( )!"#$"% ENUNCIADO 5 Un Departamento de Calidad propone tres planes de muestreo: Plan n a A 10 2 B 25 5 C (a) Dibuja las curvas operativas características (de forma aproximada) en términos de probabilidad de rechazo para p 10 %, %, 30 %. Comenta los resultados que se obtienen. (b) Cuál de los tres planes es más exigente? (c) Cuál es más preciso, sin tener en cuenta el coste asociado? (d) Indica las características de los tres planes cuando p %. Justifica todas las respuestas que des. >! 54 " & "%!" ' "(!"( "(%!"( % & % &'# (% < % #'% < # (& ''( & &%# # '# $&' ( Página UT5-ER-4

13 INDUSTRI INGENIARITZA TEKNIKORAKO UNIBERTSITATE ESKOLA ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERIA TÉCNICA INDUSTRIAL & & % % σ & % $&6 '%'% $& # %' '$ '$ σ %' ' %&&'$ %%'6 '% %%' ( & σ & % &##6 #& &## ) 7, 4,/! 1 < < * +% 4 " " 589:6 / +,; ' % %(( % $ %% Página UT5-ER-5