2. Integración numérica

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1 Integración numérica Ing. Jesús Javier Cortés Rosas M. en A. Miguel Eduardo González Cárdenas M. en A. Víctor D. Pinilla Morán Facultad de Ingeniería, UNAM * 26 Resumen Introducción. Integración numérica. Análisis del error. Ejemplo de aplicación. Conclusiones. 1. Introducción En la exploración de las técnicas de derivación numérica quedó de manifiesto la enorme ventaja que resulta de la aplicación de los principios de la interpolación cuando el profesional de la Ingeniería se enfrenta a problema reales donde el fenómeno físico se manifiesta a través de una función en forma tabular. En este sentido, de la misma forma en que es posible operar con una función tabular sin la necesidad de obtener primeramente su forma analítica, en este caso se presentarán las herramientas para integrar dicha función; tales herramientas requieren de los considerandos básicos del cálculo integral y por tratarse de técnicas numéricas su resultado es el valor del área bajo la curva de la función; en consecuencia, es indispensable contar con el intervalo de integración respectivo. Adicionalmente a las ventajas intrínsecas que ofrecen las aplicaciones numéricas a través de herramientas de cómputo, la integración numérica permite obtener resultados muy precisos para aquellas integrales denominadas impropias o para aquellas que por su complejidad rebasan a las técnicas analíticas. Es necesario resaltar que para la buena aplicación de las herramientas de integración numérica deben aplicarse conceptos básicos de interpolación numérica, tales como el orden de interpolación y el orden de error en función del paso h, que debe ser constante. 2. Integración numérica El punto de partida para el desarrollo de las herramientas de integración numérica 1], en este caso, es el polinomio interpolante de Newton-Gregory expresado en la ecuación 1 y que se aplica a una * Profesores de tiempo completo del Departamento de Matemáticas Aplicadas de la División de Ciencias Básicas 1

2 Análisis numérico 2 función tabular equiespaciada. f(x) = Y + k Y + k(k 1) 2 Y + 2! Donde h = cte y k = X k h. Se plantea entonces obtener: k(k 1)(k 2) Y +... (1)! f(x) dx (2) Dado que el polinomio interpolante de la ecuación 1 representa de buena manera a la función analítica f(x) es válida la siguiente igualdad: f(x) dx = (Y + k Y + k(k 1) 2 Y + 2! k(k 1)(k 2) Y +...) dx ()! Para proceder a su solución es necesario realizar un cambio de variable de X a k de la siguiente forma: Si k = X k h, entonces: Si X = = K = Si X = X n = K = n. n representa el número de pares de puntos que conforman la función tabular. dk dx = 1 h = dx = h dk Incluyendo estas consideraciones en la ecuación : f(x) dx = n (Y + k Y + k(k 1) 2 Y + 2! k(k 1)(k 2) Y +...) h dx (4)! Realizando la integral: ( ) ( ) ] ky + k2 k 2 Y + 6 k2 k 2 4 n Y k 1 2k2 Y +...) 12 Valuando sus límites: ( ) ( ) ] ny + n2 n 2 Y + 6 n2 n 2 4 Y n 1 2n2 Y +...) 12 (5) La ecuación 5 representa la integral de la función tabular f(x) con n puntos equiespaciada. A partir de ella es posible obtener diferentes órdenes de integración de acuerdo al orden de interpolación deseado.

3 Análisis numérico Primer orden de interpolación Si la ecuación 5 se limita la fórmula a la primera diferencia, es decir, a un primer orden de interpolación. ] ny + n2 2 Y (6) Este truncamiento implica un problema de coherencia con el planteamiento de la integral mostrado en el miembro izquierdo de esta última ecuación. La integral de la función f(x) está planteada en el intervalo, X n ] y en el miembro derecho el resultado está forzado a incluir los puntos (, Y ) y (X 1, Y 1 ) por efectos del truncamiento a la primera diferencia. Dado lo anterior, deben ajustarse los límites de la integral del miembro izquierdo. Si se integra del punto (, Y ) al (X 1, Y 1 ) implica que n = 1. Ajustando la ecuación y sustituyendo el valor de la diferencia: X1 X1 X1 Y + 1 ] 2 Y Y + 1 ] 2 (Y 1 Y ) 2 Y + Y 1 ] Debe percibirse que para obtener la integral en todo el intervalo, X n ] debe aplicarse la última fórmula entre todos los pares de puntos y después hacer la suma de todos los resultados: X2 X 1 2 Y 1 + Y 2 ] X X 2 2 Y 2 + Y ]. X n 1 2 Y n 1 + Y n ] Sumando las integrales parciales: 2 Y + Y 1 + Y 1 + Y 2 + Y 2 + Y Y n 1 + Y n ] 2 Y + Y n + ] (resto de ordenadas) (7) La ecuación 7 se le conoce como Fórmula trapecial y representa un primer orden de interpolación y tiene un esquema de error de O(h 2 ) 2].

4 Análisis numérico 4 Segundo orden de interpolación Si la ecuación 5 se limita la fórmula a la segunda diferencia, es decir, a un segundo orden de interpolación. ( ) ] ny + n2 n 2 Y + 6 n2 2 Y 4 () En este caso, al incluir en el planteamiento de la solución de la integral a la segunda diferencia se consideran a los puntos (, Y ), (X 1, Y 1 ) y (X 2, Y 2 ), que de nuevo no es coherente con la integral de la función f(x) que está planteada en el intervalo, X n ]. De nuevo deberá hacerse el ajuste respectivo lo que implica que se integrará parcialmente entre tres puntos que representan dos segmentos de área. En consecuencia, al hacer la suma de las áreas parciales será condición necesaria que el número n de puntos que conforman la función tabular sea múltiplo de dos. En el ajuste de la ecuación, si se integra del punto (, Y ) al (X 2, Y 2 ) implica que n = 2. Ajustando la ecuación y sustituyendo el valor de la diferencia: X2 ( ) ] 1 2Y + 2 Y + 2 Y X2 X2 Recorriendo los intervalos de integración: X4 2Y + 2(Y 1 Y ) + Y + 4Y 1 + Y 2 ] X 2 Y 2 + 4Y + Y 4 ] X6 X 4 Y 4 + 4Y 5 + Y 6 ]. ( ) ] 1 (Y 2 2Y 1 + Y ) X n 2 Y n 2 + 4Y n 1 + Y n ] Sumando las integrales parciales: Y + 4Y 1 + Y 2 + Y 2 + 4Y + Y Y n 2 + 4Y n 1 + Y n ] Y + Y n + 2 ( ) ordenadas de + 4 ( )] ordenadas de orden par orden impar (9) La ecuación 9 se conoce como Fórmula de integración de Simpson 1 que tiene condición que el número n de puntos que conforman la función tabular sea par; presenta un segundo orden de interpolación y un esquema de error de O(h 4 ) 1].

5 Análisis numérico 5 Tercer orden de interpolación Si la ecuación 5 se limita la fórmula a la tercer diferencia, es decir, a un tercer orden de interpolación. ( ) ( ) ] ny + n2 n 2 Y + 6 n2 n 2 4 Y n 1 2n2 Y 12 (1) De nuevo se presenta la situación en que al considerar a la tercer diferencia se utiliza a los puntos (, Y ), (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ) y (X, Y ). De nuevo deberán ajustarse los límites de la integral parcial y de nuevo hacer la suma de ellas para abarcar todo el intervalo, X n ]. Al integrar parcialmente en tres puntos se tiene como condición que n sea múltiplo de tres. En el ajuste de la ecuación 1, si se integra del punto (, Y ) al (X, Y ) implica que n =. Ajustando la ecuación y sustituyendo el valor de la diferencia: X Y + 9 ( 27 2 Y ) ( 1 2 Y ) ] Y 6 X Recorriendo los intervalos de integración: Y + Y 1 + Y 2 + Y ] X6 X Y + Y 4 + Y 5 + Y 6 ] X9 X 6 Y 6 + Y 7 + Y + Y 9 ]. X n Y n + Y n 2 + Y n 1 + Y n ] Sumando las integrales parciales: Y + Y 1 + Y 2 + Y + Y + Y 4 + Y 5 + Y Y n + Y n 2 + Y n 1 + Y n ] Y + Y n + 2 ( ) ordenadas de orden + ( )] resto de multiplo de tres ordenadas La ecuación 11 se conoce como Fórmula de integración de Simpson que tiene condición que el número n de puntos que conforman la función tabular sea múltiplo de tres; presenta un tercer orden de interpolación y un esquema de error de O(h 5 ) 1]. (11)

6 Análisis numérico 6 Consideraciones generales Resulta muy importante determinar claramente el valor de n que representa el número de pares de puntos que forman la función tabular. Si se observan las consideraciones iniciales de estos desarrollos, el primer punto de la función tabular es (, Y ) y el último es (X n, Y n ). Este valor de n deberá ser par para aplicar Simpson 1 cualquier valor para la fórmula trapecial. o múltiplo de tres para Simpson Cuando se hace referencia a ordenadas de orden par o términos similares no se refiere al valor en sí mismo de la ordenada, sino de su posición en la función tabular. Por lo anterior, es muy pertinente numerar las ordenadas. En el uso de las ordenadas en cualquiera de las fórmulas es necesario recalcar que ninguna ordenada podrá utilizarse más de una vez en la misma fórmula. La notación convencional para la regla trapesoidal es: A T. La notación convencional para la fórmula de Simpson 1 La notación convencional para la fórmula de Simpson es: A 1. es: A. Atendiendo el orden del error de cada fórmula, en el ánimo de reducirlo, deberá priorizarse su uso en este orden: A, A 1 y al último A T. En el supuesto de que una función tabular posea un número n que no sea ni par ni múltiplo de tres pueden utilizarse las fórmulas en combinación siguiendo un orden que contemple las prioridades citada, haciendo incapié en que los intervalos de integración de las fórmulas deben ser continuos, es decir, no se debe interrumpir el intervalo de integración. Se propone evitar el uso de A T a menos que sea indispensable. o de. Ejemplo de aplicación El cuadro 1 muestra el desplazamiento de un móvil que parte del reposo; sus observaciones son la velocidad del móvil en distintos instantes. Calcule el desplazamiento del móvil en cada uno de los instantes citados en la tabla. Cuadro 1: Desplazamiento de un móvil t s] V m s ] 6,24 12,2474 1, ,51,2229

7 Análisis numérico 7 En forma general, el desplazamiento S de un móvil se obtiene por la ecuación: S = tf t V dt (12) Por otra parte, en la selección de los puntos de la función tabular se sugiere numerarlos para evitar cualquier error involuntario en su uso, iniciando en y concluyendo en n. Cuadro 2: Numeración de los puntos i t s] V m s ] 1 6, ,2474 1, ,51 5,2229 Desplazamiento a los 6 s: Por tratarse de el área entre dos puntos sólo puede utilizarse A T : S t=6s = S t=6s = 6 6 V dt = 6 2 V dt = h 2 Y + Y 1 ] +,24] = 2,472 m Desplazamiento a los 12 s: Dado que la integración se hace desde a X 2 entonces n = 2 y puede utilizarse A 1 : S t=12s = S t=12s = f(x) dx = 6 f(x) dx = 6 Y + Y 2 + 2() + 4Y 1 ] +, () + 4(,24)] = 12,6 m Desplazamiento a los 1 s: dado que la integración se hace desde a X entonces n = y puede utilizarse A : S t=1s = 1 S t=1s = 1 f(x) dx = 6 Y + Y + 2() + (Y 1 + Y 2 )] +, () + (,24 +,2747)] =,7 m Desplazamiento a los 24 s: Dado que la integración se hace desde a X 4 entonces n = 4 y puede utilizarse A 1 : S t=24s = 24 S t=24s = 24 f(x) dx = 6 f(x) dx = 6 Y + Y 4 + 2Y 2 + 4(Y 1 + Y )] + 1,51 + 2(,2747) + 4(,24 +,652)] = 97,29 m

8 Análisis numérico Desplazamiento a los s: Dado que la integración se hace desde a X 5 entonces n = 5. Se propone hacer dos integrales parciales y después la suma de ambas: de a X utilizando A y de X a X 5 utilizando A 1. S t=s = 1 f(x) dx + 1 f(x) dx La primera integral ya fue calculada y su valor fue S t=1s integral se calcula como: =,7 m. La segunda 1 f(x) dx = 6 Y + Y 4 + 2() + 4Y 5 ] Es pertinente comentar que en este intervalo la ordenada Y de la fórmula equivale a la ordenada Y de la tabla, Y 1 a Y 5 y Y n a Y 4 1 f(x) dx = 6 Sumando los resultados parciales,652 +, () + 4(1,51)] = 1,27 S t=s = 1 f(x) dx + 1 f(x) dx =,7 + 1,27 = 217, m El resultado total se expresa también como función tabular: Cuadro : Resultado t s] S m] 6 12,6 12,7 1 97, ,27 217, Calcular numéricamente el valor de la integral: 1 1 (X 2 + Y 2 ) dy dx (1) Para resolver esta integral se procede de manera similar que cuando se utiliza la integración analítica: primero se deberá integrar con respecto a una variable dejando a la otra constante y después integrar a esta última. La solución numérica consiste en convertir a la función por integrar en una función tabular equiespaciada con un n equiespaciado; para motivos de simplicidad en la solución se propone un h =,1 lo que origina n = 1. Integrando con respecto a Y de acuerdo al cuadro 4:

9 Análisis numérico 9 Cuadro 4: Integración con respecto a Y Y f(x, Y ),, + X 2,1,1 + X 2,2,4 + X 2,,9 + X 2,4,16 + X 2,5,25 + X 2,6,6 + X 2,7,49 + X 2,,64 + X 2,9,1 + X 2 1, 1, + X 2 Cuadro 5: Integración con respecto a X X f(x, Y ),,,1,4,2,7,,42,4,49,5,5,6,69,7,2,,97,9 1,14 1, 1, =,1 X 2 + (1, + X 2 ) + 4(,1 + X 2 ) + (,9 + X 2 ) + (,25 + X 2 ) + (,49 + X 2 )+ (,1 + X 2 )] + 2(,4 + X 2 ) +,16 + X 2 ) + (,6 + X 2 ) + (,64 + X 2 ) ] =, + Y 2 A 1 Integrando con respecto a X de acuerdo al cuadro 5: A 1 =,1, + 1, + 4,4 +,42 +,5 +,2 + 1,14] +2,7 +,49 +,69 +,97 ] =, Conclusiones A la luz de los resultados obtenidos particularmente en el segundo ejercicio es posible afirmar que cualquier integral puede resolverse por estos métodos, ya sea propia o impropia, con la única

10 Análisis numérico 1 condición de que el resultado deseado sea el área bajo la curva. Esto abre expectativas muy alentadoras para evitar el obstáculo que pueda llagar a representar una integral muy complicada de resolver de forma analítica. Referencias 1] Curtis F. Gerald. Análisis numérico. segunda edición edition, ] Rafael. Iriarte Vivar. Métodos numéricos. 199.