Álgebra matricial básica con MATLAB

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María Jesús García Olivares
hace 5 años
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1 Álgebra matricial básica con MATLAB Ing. Jesús Javier Cortés Rosas M. en A. Miguel Eduardo González Cárdenas M. en A. Víctor D. Pinilla Morán Facultad de Ingeniería, UNAM * 2006 Resumen Introducción. Operaciones básicas con matrices con Matlab. Solución de sistemas de ecuaciones lineales. Descomposición LU. Polinomios, valores y vectores característicos. 1. Introducción MATrixLABoratory [1] es un superlenguaje de programación cuyos fines son realizar análisis numérico. Su diseño original se concibió para funcionar en las grandes computadoras (mainframes) con sistema operativo UNIX. Si bien, actualmente hay versiones disponibles para Windows, éstas aún conservan el espíritu y muchas de las características de la versión UNIX, particularmente su estructura de archivos y su ortodoxo estilo de programación. Estas versiones de MATLAB sobre Windows ofrecen prestaciones muy aceptables en cuanto a aspectos de exactitud y precisión, siendo su principal desventaja el uso excesivo de recursos tales como la memoria RAM y su despliegue gráfico. No obstante, las versiones sobre UNIX son aún muy socorridas y resultan indispensables en las supercomputadoras de uso actual, ya que las arquitecturas de estos equipos permiten la vectorización de operaciones lo cual es plenamente coincidente con la filosofía matricial de MATLAB; esta cohesión permite la explotación óptima de los recursos de cómputo realizando una cantidad asombrosa de operaciones matemáticas en intervalos increíblemente cortos de tiempo. El presente trabajo parte del conocimiento básico en el manejo de MATLAB por parte del lector. Este conocimiento básico comprende el uso de la ventana de comandos, de la sintaxis mínima de los comandos, funciones y de la ayuda de MATLAB. Como su nombre lo indica, MATLAB está diseñado para operar con matrices; de hecho, en su gran mayoría sus variables y funciones están declaradas como matrices y, en los casos en que se desea, debe indicársele lo contrario. De tal forma, el usuario de MATLAB debe poseer un razonamiento natural en forma de matrices. * Profesores de tiempo completo del Departamento de Matemáticas Aplicadas de la División de Ciencias Básicas 1

2 Análisis numérico 2 2. Operaciones básicas con matrices. 1. Introducción de matrices. La manera de introducir una matriz es en orden de sus renglones separados por ; y entre corchetes. Por cuestiones de orden y claridad, se propone que se utilicen letras mayúsculas para identificar a las variables que contengan matrices. Un ejemplo de introducción de matriz es: >>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] Obteniéndose como respuesta (por no haber inhibido el echo): A= Operaciones básicas. Suponiendo que se han ingresado dos matrices compatibles en las variables A y B. Las operaciones suma, resta, multiplicación y potencia se realizan simplemente indicándolas: >>C=A+B >>D=A-B >>E=A*B >>F=A^2 3. Librerías con operaciones adicionales. MATLAB posee principalmente dos librerías: elmat.m y matfun.m, mismas que contienen operaciones propias del álgebra matricial. Invocando el comando de ayuda para cada una de ellas podrán conocerse los comandos que las conforman: >>help elmat >>help matfun Los comandos que se mencionan a continuación se incluyen en estas librerías. 4. Matriz inversa. Sea la matriz A no singular: A = La matriz inversa A 1 se obtiene: >>B=inv(A) cuyo resultado es: B = De tal forma que si se hace la operación: >>C=A*B Se obtiene

3 Análisis numérico 3 C = Transposición de matrices. Sea la matriz D: >>D=[ ] Su transpuesta se obtiene por: >>E=D Obteniéndose: E = Determinantes. Sea la matriz A no singular definida en el punto 4, su determinante se obtiene por: >>f=det(a) Dando como resultado: f = Solución de sistemas de ecuaciones lineales Sea el sistema de ecuaciones lineales A X = b, donde la matriz A y el vector b se introducen en MATLAB como: >>A=[2 0 5; 3 5 9; 1-5 7] A = >>b=[ ] b = Método de Gauss

4 Análisis numérico 4 >>x=a\b x = Método de Gauss-Jordan >>rref([a b]) ans = Este esquema corresponde a la matriz ampliada con la matriz identidad producto de la eliminación gaussiana y el vector resultante que corresponde a la solución del sistema. 3. Método de la inversa >>x=inv(a)*b x = Descomposición LU MATLAB incluye un comando que proporciona las matrices LU con la salvedad que la diagonal principal de 1 está en la matriz L y no sobre U de acuerdo al tema desarrollado. Sea la matriz: S=[ ; ; ; ; ] S =

5 Análisis numérico 5 >> [L,U]=lu(S)verb L = U = Si se desea obtener las versiones Crout de LU deben programarse las fórmulas matriciales ya desarrolladas. Este desarrollo se incluye en el material anexo respectivo. 5. Polinomio característico Sea la matriz A: >>A=[1-1 0; 2 0 1; ] A = Para obtener el polinomio característico se utiliza el comando poly, que es el mismo que se utiliza para construir un polinomio a partir de sus raíces. En este caso, cuando se aplica a una matriz, proporciona el respectivo polinomio característico. >>poly(a) ans = Que corresponde a los coeficientes del polinomio de grado 3: λ 3 2λ + 3 = 0.

6 Análisis numérico 6 6. Valores característicos Sea la matriz B: >>B=[2 2 1; 1 3 1; 1 2 2] B = Existen dos formas de obtener los valores característicos de esta matriz. La primera consiste en obtener primeramente el polinomio característico y posteriormente sus raíces: >>c=poly(a) c = >>d=roots(c) d = La alternativa es utilizar el comando eig de la siguiente forma: >>e=eig(a) e = Conclusiones El debate sobre si los alumnos deben conocer los métodos numéricos y sus algoritmos o si es mejor que conozcan el comando o la utilería que realiza el cálculo no se ha agotado. Desde el punto de vista de los autores, los alumnos deben conocer ambos aspectos, ya que de esa forma serán capaces de reconocer posibles resultados no apropiados que en ocasiones pudieran obtener del uso de las utilerías, o bien, desarrollar sus propias soluciones adaptadas a casos particulares. Referencias [1] Matlab version 6.5 release 13.

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