Valores y vectores característicos: Método de las potencias

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1 Valores y vectores característicos: Método de las potencias Ing Jesús Javier Cortés Rosas M en A Miguel Eduardo González Cárdenas M en A Víctor D Pinilla Morán Facultad de Ingeniería, UNAM * 26 Resumen Introducción Definición del método de las potencias Mayor y menor valores característicos Ejemplo de aplicación Conclusiones Introducción La manera ortodoxa de obtener los valores caractrísticos de la una matriz [] A es obtener las raíces de su polinomio característico El método de las potencias ofrece una opción para obtener el mayor y el menor valor característico de la matriz A de orden nxn sin la necesidad de disponer de la ecuación característica [2] El método de las potencias es un método iterativo de aproximaciones sucesivas, motivo por el cual, además de la matriz A deberá conocerse una tolerancia preestablecia 2 Definición del método de las potencias Sea el sistema homogéneo de ecuaciones lineanes: (a λ)x + a 2 X 2 + a 3 X a n X n = b a 2 X + (a 22 λ)x 2 + a 23 X a 2n X n = b 2 a 3 X + a 32 X 2 + (a 33 λ)x a 3n X n = b 3 a n X + a n2 X 2 + a n3 X (a nn λ)x n = b n () Que puede representarse como: A λi X = (2) * Profesores de tiempo completo del Departamento de Matemáticas Aplicadas de la División de Ciencias Básicas

2 Análisis numérico 2 A partir de la expresión 2 pueden obtenerse los valores característicos, ya que representa a la ecuación característica de la matriz A; el tratamiento para obtener el valor mayor o el menor es ligeramente diferente, pero en ambos casos proporciona el vector característico respectivo 3 Mayor valor característico La expresión 2 puede acomodarse de la siguiente forma: A X λ X = A X = λ X (3) Para la expresión 3 se percibe la forma característica de un método de aproximaciones sucesivas El método propone utilizar un vector inicial X() compatible y multiplicarlo por la matriz A El resultado será un nuevo vector X () el cual será normalizado utilizando su elemento mayor; este elemento utilizado para la normalización será una aproximación al mayor valor característico λ i y el vector nomarlizado será su vector asociado El proceso se repetirá hasta que diferencia entre dos aproximaciones cumpla con una tolerancia preestablecida Para completar el método, la ecuación 3 debe expresarse en forma iterativa: donde k es el número de la iteración y k =, 2, 3, A X (k) = λ (k+) X(k+) (4) 4 Menor valor característico Retomando la ecuación 2, misma que se premultiplica por la matriz inversa de A, que es A A A X = A λ X La que resulta en: X = A λ X Dividiendo entre λ: λ X = A X (5) Para completar el proceso, haciendo a 5 una ecuación iterativa: donde k es el número de la iteración y k =, 2, 3, A X(k) = λ (k+) X(k+) (6) El tratamiento para obtener el menor valor característico es similar al utilizado para obtener el mayor valor, a diferencia del uso de la matriz inversa A y que el factor de normalización representa al recíproco del menor valor característico de la matriz A El proceso se repetirá hasta que diferencia entre dos aproximaciones cumpla con una tolerancia preestablecida

3 Análisis numérico 3 5 Ejemplo de aplicación Sea la matriz A: A = (7) Se calculará inicialmente el mayor valor característico y posteriormente el menor La primera acción será definir un vector inicial X () compatible que debe diseñarse de forma práctica y que permita el menor número de operaciones Se propone el vector: Realizando la primera iteración: A X () = X () = = El elemento de mayor valor en este vector resultante representa la primera aproximación al mayor valor característico, es decir; λ () = 2; normalizando el vector resultado de la multiplicación, se obtiene la siguiente aproximación: λ () = 2 X() =,5,5 2 Repitiendo el proceso: 2 2 A X () = 3 2 2,5,5 = 3,5 3 3 ; λ () = 3,5 X(2) =,857,857 El cálculo del error absoluto entre las dos aproximaciones a λ es: λ λ = 3,5 2 =,5 En los siguientes cuadros se presenta el proceso iterativo completo: Cuadro : Iteraciones a 4 X X X 2 X 3 X λ (k) Tol

4 Análisis numérico 4 Cuadro 2: Iteraciones 4 a 8 X 4 X 5 X 6 X 7 X λ (k) Tol Cuadro 3: Iteraciones 8 a 9 X 8 X λ (k) Tol 2 En el cuadro 3 se presenta en forma aislada la última iteración, de la cual se concluye que con una tolerancia de,2, el mayor valor característico de la matriz A en λ = 4, y su vector asociado es: X = (8) Calculando ahora el menor valor característico Para la matriz A, su matriz inversa es:,8,4,2 A =,2,6,2 (9),2,4,8 Se propone el vector inicial X() compatible: Realizando la primera iteración: A X () = X () =,8,4,2,2,6,2,2,4,8 =,8,2,2 El elemento de mayor valor en este vector resultante representa al recíproco de la primera aproximación al menor valor característico, es decir, λ =,8; normalizando el vector resultado de la ()

5 Análisis numérico 5 multiplicación, se obtiene la siguiente aproximación: λ () =,8 X() =,25,25 Repitiendo el proceso:,8,4,2 A X () =,2,6,2,2,4,8,25,25 =,95,3,3 ; =,95 X(2) = λ (),3298,358 El cálculo del error absoluto entre las dos aproximaciones a λ es: λ λ =,95,8 =,5 En los siguientes cuadros se presenta el proceso iterativo completo: Se concluye que con una Cuadro 4: Iteraciones a 4 X X X 2 X 3 X λ (k) Tol Cuadro 5: Iteraciones 4 a 7 X 4 X 5 X 6 X λ (k) Tol tolerancia de,7, el menor valor característico de la matriz A es: λ =,99998 λ = =,2 (),99998 Y su vector asociado es: X =,33333, ()

6 Análisis numérico 6 Como información adicional, la ecuación característica de la matriz A detallada en 7 es: λ 3 + 7λ 2 λ + 5 = (2) Al resolver este polinomio se encontrá la coincidencia con los resultado expresados en 8 y 6 Conclusiones El método de las potencias, junto con el método de Krilov permiten obtener, a través de recursos de cómputo, los resultados carácterísticos de matrices Si bien no se especifican criterios de convergencia dado que se trata de métodos de aproximaciones sucesivas, es necesario aclarar que la característica fundamental para obtener resultados se limita a que la matriz cumpla con los requisitos específicos marcados por el álgebra matricial Referencias [] Douglas Burden, Richard Faires Análisis Numérico 22 [2] Curtis F Gerald Análisis numérico segunda edición edition, 99