Métodos Matemáticos E.T.S. Minas Tema 5: Valores y vectores propios Practica Prof: Francisco Palacios EPSEM-UPC Octubre 2008, ver 1.

Transcripción

1 Métodos Matemáticos E.T.S. Minas Tema 5: Valores y vectores propios Practica Prof: Francisco Palacios EPSEM-UPC Octubre 2008, ver.2 Contenido Polinomio característco. Cálculo de valores propios con solve y fsolve. Cálculo de valores propios con el comando eigenvals. Comando eigenvects. Diagonalización. Programa para método de la potencia. Programa para método de la potencia. Parada por error estimado sobre el valor propio. Mètodo de la potencia inversa. Mètodo de la potencia desplazada. > restart;. Polinomio característico Cálculo "manual" del polinomio caracterísco. p(t)=det(a-t*i). > with(linalg): Warning, new definition for norm Warning, new definition for trace > a:=matrix(3,3,[,2,,0,,2,,3,2]); a := Construimos la matriz unitaria de orden 3. > id3:=diag(,,); 0 0 id3 := > b:=evalm(a-t*id3); t 2 b := 0 t t > p:=det(b); p := + 2 t + 4 t 2 t 3 Cálculo directo del polinomio característico usando charpoly. > p:=charpoly(a,t); p := 2 t 4 t 2 + t 3 + p y p pueden ser distintos en un cambio de signo, Maple calcula el polinomio característico de una matriz de orden n como p(t)=(-)^n det(a-ti). 2. Cálculo de vaps con solve y fsolve C alculamos las raíces del polinomio característico con solve. > vaps:=solve(p); vaps % / % / % / % + / I 3 6 % / 3 44 :=,, 3 % / % / % / I 3 6 % / % / 3 % := I 407 > evalf(vaps); Page

2 , I, I En la evaluació float aparecen partes complejas "residuales". Es preferible usar fsolve si sabemos que los valores propios son reales. > vaps:=fsolve(p); vaps := , , Comando eigenvals El comando eigenvals proporciona directamente los valores propios. > a:=matrix(3,3,[,2,,0,,2,,3,2]); a := > vaps:=eigenvals(a); vaps % / % / % / % + / I 3 6 % / 3 44 :=,, 3 % / % / % / I 3 6 % / % / 3 % := I 407 > evalf(vaps); , I, I Observamos que aparecen partes complejas resuduales. Si usamos una matriz "float", se obtienen valores aproximados para los valores propios. > af:=evalf(evalm(a)); > vaps:=eigenvals(af); 4. Comando eigenvects af :=. 2.. vaps := , , El comando eigenvects proporciona los valores propios, multiplicidad y vectores propios asociados. > a:=matrix(3,3,[,2,,0,,2,,3,2]); af:=evalf(evalm(a)); a :=. 2.. af := > veps:=eigenvects(af); veps := [ ,, {[ , , ]} ], [ ,, { [ , , ]} ], [ ,, { [ , , ]} ] Podemos acceder al contenido de la estructura compleja veps usando ínices. veps[,3] es el tercer elemento del primer objeto en veps. > veps[,3]; {[ , , ]} > veps[,3,]; [ , , ] Construcción de una matriz que tiene en columnas los vectores propios. > v:=veps[,3,]; v := [ , , ] > v2:=veps[2,3,]; v2 := [ Page, , ]

3 > v3:=veps[3,3,]; v3 := [ , , ] > v:=transpose(matrix([v,v2,v3])); 5. Diagonalización v := Si las columnas de V son una base de vectores propios de la matriz A, entonces el producto D=inv(V) A V es una matriz diagonal. > d:=evalm(inverse(v)&*a&*v); d := Observa que hay elementos residuales que no son exactamente cero, el sugiente programa sirve para filtrar los elementos casi nulos. > filt0:=x->if abs(x)<0^(-6) then 0 else x fi; filt0 := proc( x) option operator, arrow; if abs( x ) < / then 0 else x fi end Aplicamos el programa a la matriz usando el comando map > df:=map(filt0,d); df := 6. Progama para método de la potencia El método de la potencia permite determinar el valor propio de módulo máximo y un vector propio asociado. > with(linalg): > A:=matrix(3,3,[,2,,0,,2,,3,2]); x0:=[,,];# vector inicial n:=3; for i from 0 to n do `********** iteración`,i+,`**********`; y.(i+):=evalf(evalm(a&*x.i)); ny:=norm(y.(i+), infinity); for j from to vectdim(x0) do if abs(y.(i+)[j])=ny then cdom:=y.(i+)[j];break;fi; c.(i+):=cdom; x.(i+):=evalm(y.(i+)/c.(i+)); A := x0 := [,, ] n := 3 ********** iteración,, ********** y := [ 4., 3., 6. ] ny := 6. c := 6. x := [ , , ********** iteración, 2, ********** y2 := [ , , ] ny := c2 := x2 := [ , , ********** iteración, 3, ********** y3 := [ , , ] Page 3

4 ny := c3 := x3 := [ , , ] ********** iteración, 4, ********** y4 := [ , , ] ny := c4 := x4 := [ , , 7. Programa con parada por error estimado sobre el valor propio > A:=matrix(3,3,[,2,,0,,2,,3,2]); x0:=[,,]; t:=3;# número de decimale exactos ermax:=0.5*0^(-t); n:=4; c0:=0^(0);#valor inicial para c for i from 0 to n do ``; y.(i+):=evalf(evalm(a&*x.i)); ny:=norm(y.(i+), infinity); for j from to vectdim(x0) do if abs(y.(i+)[j])=ny then cdom:=y.(i+)[j];break;fi; c.(i+):=cdom; x.(i+):=evalm(y.(i+)/c.(i+)); er.(i+):=abs(c.(i+)-c.i); if er.(i+)<ermax then print(`*** precisión alcazada ***`);break; fi; A := x0 := [,, ] t := 3 ermax := n := 4 c0 := y := [ 4., 3., 6. ] ny := 6. c := 6. x := [ , , er := y2 := [ , , ] ny := c2 := x2 := [ , , er2 := y3 := [ , , ] ny := c3 := x3 := [ , , ] Page 4

5 er3 := y4 := [ , , ] ny := c4 := x4 := [ , , er4 := y5 := [ , , ] ny := c5 := x5 := [ , , er5 := y6 := [ , , ] ny := c6 := x6 := [ , , er6 := y7 := [ , , ] ny := c7 := x7 := [ , , er7 := *** precisión alcazada *** Calculamos el espectro de la matriz con eigenvals para comparar con el resultado obtenido. > Af:=evalf(evalm(A)); eigenvals(af); 8. Método de la potencia inversa Af := , , Calcula el valor propio de módulo mínimo. > A:=matrix(3,3,[,2,,0,,2,,3,2]); Af:=evalf(evalm(A));#inversa de A A:=inverse(Af); x0:=[,2,];#vector inicial t:=3;# número de decimale exactos ermax:=0.5*0^(-t); n:=4; c0:=0^(0);#valor inicial para c for i from 0 to n do ``; y.(i+):=evalf(evalm(a&*x.i)); ny:=norm(y.(i+), infinity); for j from to vectdim(x0) do if abs(y.(i+)[j])=ny then cdom:=y.(i+)[j];break;fi; c.(i+):=cdom; x.(i+):=evalm(y.(i+)/c.(i+)); er.(i+):=abs(c.(i+)-c.i); if er.(i+)<ermax then print(`*** precisión alcazada ***`); Page 5

6 vapdom_a:=c.(i+); break; fi; vap_min:=/vapdom_a; A :=. 2.. Af := A := x0 := [, 2, ] t := 3 ermax := n := 4 c0 := y := [ , , ] ny := c := x := [ , , ] er := y2 := [ , 0, ] ny := c2 := x2 := [ , 0, ] er2 := y3 := [ , , ] ny := c3 := x3 := [ , , ] er3 := y4 := [ , , ] ny := c4 := x4 := [ , , ] er4 := y5 := [ , , ] ny := c5 := x5 := [ , , ] er5 := y6 := [ , , ] ny := c6 := x6 := [ Page, , ]

7 > eigenvals(af); er6 := y7 := [ , , ] ny := c7 := x7 := [ , , ] er7 := y8 := [ , , ] ny := c8 := x8 := [ , , ] er8 := y9 := [ , , ] ny := c9 := x9 := [ , , ] er9 := y0 := [ , , ] ny := c0 := x0 := [ , , ] er0 := y := [ , , ] ny := c := x := [ , , ] er := y2 := [ , , ] ny := c2 := x2 := [ , , ] er2 := y3 := [ , , ] ny := c3 := x3 := [ , , ] er3 := y4 := [ , , ] ny := c4 := x4 := [ , , ] er4 := *** precisión alcazada *** vap_min := Page 7

8 9. Método de la potencia desplazada , , Calcula un valor propio próximo a un valor dado. En este caso partimos de la estimación > A:=matrix(3,3,[,2,,0,,2,,3,2]); Af:=evalf(evalm(A)); vapest:=-0.5;# Estimacion del valor propio id3:=diag(,,); B:=evalm(Af-vapest*id3); B:=inverse(B); x0:=[,2,];#vector inicial t:=3;#número de decimale exactos ermax:=0.5*0(-t); n:=4;#número máximo de iteraciones c0:=0^(0);#valor inicial para c for i from 0 to n do `********** iteración`,i+,`**********`; y.(i+):=evalf(evalm(b&*x.i)); ny:=norm(y.(i+), infinity); for j from to vectdim(x0) do if abs(y.(i+)[j])=ny then cdom:=y.(i+)[j];break;fi; c.(i+):=cdom; x.(i+):=evalm(y.(i+)/c.(i+)); er.(i+):=abs(c.(i+)-c.i); if er.(i+)<ermax then print(`*** precisión alcazada ***`); vap_dom_desp:=c.(i+); break; fi; vap:=/vap_dom_desp+vapest; B := A := Af :=. 2.. vapest := -.5 id3 := B := x0 := [, 2, ] t := 3 ermax := 5.0 n := 4 c0 := ********** iteración,, ********** y := [ , , ] ny := c := x := [ , , ] Page 8

9 > eigenvals(af); er := ********** iteración, 2, ********** y2 := [ , , ] ny := c2 := x2 := [ , , ] er2 := *** precisión alcazada *** vap := , , Page 9