Fundamentos de Oscilaciones, ondas y óptica Repaso de física y matemática básica

Transcripción

1 Fundamentos de Oscilaciones, ondas y óptica Repaso de física y matemática básica Felipe Valencia Hernandez fvalenciah@unal.edu.co Departamento de física, Universidad Nacional de Colombia Agosto de 2013 F. Valencia 1/31

2 Algebra elemental, los números reales R es un campo escalar completo y totalmente ordenado.todas las cantidades medibles en física y geometría son números reales.el caracter de campo escalar corresponde a las propiedades de la suma y la multiplicación: a+b = b+a ab = ba a+(b+c) = (a+b)+c a (b c) = (a b) c a (b+c) = a b+a c 0 R a+0 = a a R 1 R a 1 = a a R x R x R x+( x) = 0 x R,x 0 x 1 R x x 1 = 1 F. Valencia 2/31

3 Geometría elemental, ángulos r s θ s=r θ π/2 F. Valencia 3/31

4 Geometría elemental, ángulos internos de un triangulo La suma de los ángulos internos de un triangulo plano es Π (180 ) a c b b a a+b+c= π F. Valencia 4/31

5 Geometría elemental, áreas S=ab b b S=ab /2 a a F. Valencia 5/31

6 Geometría elemental, Teorema de pitágoras En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la suma del cuadrado de la hipotenusa. c b a a 2 + b 2 = c2 F. Valencia 6/31

7 Geometría elemental, Teorema de pitágoras Demostracion sencilla a El area del trapecio es base por altura media: b c S = (a+b) a+b = a b2 2 +ab Debe ser igual a la suma de las áreas de los triangulos: S = ab 2 + ab 2 + c2 2 = c2 2 +ab Igualando tenemos el teorema: a 2 +b 2 = c 2 F. Valencia 7/31 c a b

8 Funciones trigonométricas r=1 b θ a sin(θ) = b r cos(θ) = a r a 2 +b 2 = r 2 sin 2 (θ)+cos 2 (θ) = 1 F. Valencia 8/31

9 Suma de ángulos α sinβ r=1 β α cos β cos( α+ β) cos α senα cos(α+β) = cos(α)cos(β) sin(α)sin(β) problemita Encontrar la fórmula para el seno de una suma de ángulos. F. Valencia 9/31

10 Teorema del coseno c θ b b sen θ Por el teorema de Pitágoras: a bcos θ (a bcos(θ)) 2 +(bsin(θ)) 2 = c 2 a 2 +b 2 cos 2 (θ) 2abcos(θ)+b 2 sin 2 (θ) = c 2 c 2 = a 2 +b 2 2abcos(θ) F. Valencia 10/31

11 Derivada La derivada de una función de una variable en un punto dado se define como: df(u) du (u = u f(u o +h) f(u o ) f o) = lim = lim h 0 h u o u f(u) f u u o u o +h La derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto u o. F. Valencia 11/31

12 Integral La integral de una función en el intervalo [a,b] se define como b a f(u)du = lim i=1 N f(x i ) x i f(x ) i a x i b La integral es el área bajo la curva entre los puntos a y b F. Valencia 12/31

13 Teorema fundamental del Cálculo Teorema fundamental: d dx x a f(u)du = f(x) Esto implica el segundo teorema fundamental del cálculo, Si: f(x) = dg(x) dx b a f(x)dx = b a dg(x) dx = g(b) g(a) dx F. Valencia 13/31

14 Vectores en R 3 Muchas cantidades físicas, como la fuerza, F, o la posición, x se describen con vectores en 3 dimensiones: objetos que tienen tres componentes reales, y que se pueden sumar entre sí y escalar por un número real. x = (x 1,x 2,x 3 ) F = (F 1,F 2,F 3 ) 3 A 3 A A 1 A A 2 F. Valencia 14/31

15 Suma de vectores Vectores del mismo tipo se suman componente por componente: A+ B = (A 1,A 2,A 3 )+(B 1,B 2,B 3 ) = (A 1 +B 1,A 2 +B 2,A 3 +B 3 ) 3 A+B B A 2 1 La definición de suma corresponde, entonces, a la regla geométrica del trapecio. F. Valencia 15/31

16 Multiplicación por un número (escalamiento) La multiplicación de un número real por un vector en R 3 se define también componente a componente: C A = C(A 1,A 2,A 3 ) = (CA 1,CA 2,CA 3 ) 3 A 3 A A 1 A 3 2A 2 1 A 2 F. Valencia 16/31

17 Longitud, magnitud o norma de un vector La norma de un vector en R 3 se define usando el teorema de Pitágoras: A = A = 3 A 2 1 +A2 2 +A2 3 A 3 A A 1 A A 2 Problemita: compruebe que C A = C A F. Valencia 17/31

18 Proyecciones Definimos la proyección de un vector a lo largo de otro de la misma forma que lo haríamos en geometría convencional (salvo por el hecho de que estas proyecciones pueden ser negativas o positivas). Α θ ACos θ Β F. Valencia 18/31

19 Proyecciones... Estas proyecciones pueden calcularse directamente usando las componentes cartesianas de cada vector. Podemos usar el teorema del coseno para calcular el tercer lado del triángulo de la figura: ACos θ θ Α Β A B 2 = A 2 +B 2 2ABcosθ A B F. Valencia 19/31

20 Proyecciones y producto escalar Pero también (recuerde, es simplmente el Teorema de Pitágoras) A B 2 = (A 1 B 1 ) 2 +(A 2 B 2 ) 2 +(A 3 B 3 ) 2 = A 2 1+A 2 2+A 2 3+B 2 1+B 2 2+B 2 3 2A 1 B 1 2A 2 B 2 2A 3 B 3 = A 2 +B 2 2 A B donde hemos introducido el producto escalar A B = A 1 B 1 +A 2 B 2 +A 3 B 3 Entonces, debemos tener que: ABcosθ = A B La proyección de A a lo largo de B es entonces: Acosθ = A B B = A B B = AˆB donde ˆB es el vector unitario en dirección de B F. Valencia 20/31

21 Ecuaciones de movimiento de Newton El movimiento de una partícula clásica se rige por las ecuaciones de movimiento de Newton: F = m a = m x Note que en la ecuación de movimiento solo aparece hasta la segunda derivada de la posición, esto implica que conociendo la posición y velocidad en un tiempo inicial, es posible conocer todas las posiciones y velocidades en cualquier otro tiempo. Es decir, la mecánica Newtoniana es determinista, y el estado de una partícula lo determinan su posición y velocidad. F. Valencia 21/31

22 Preguntas Qué es la posición de una partícula? Qué es una partícula? Qué es un sistema inercial de referencia? Qué es un observador? De dónde provienen las fuerzas? Puesto que la mecánica clásica es determinista, de qué cantidades cinemáticas puede depender las fuerzas? Qué es la masa de la partícula? F. Valencia 22/31

23 Ejemplo: fuerza constante Ok, en el caso elemental en que la fuerza aplicada a una partícula sea constante tenemos: t 0 xdt = F = F o = m x x = F o m t e, integrando nuevamente: t 0 ( x x(0))dt = t 0 0 F o m dt x(t) x(0) = F o m t F o m t dt x(t) = x(0)+ x(0)t+ 1 F o 2 m t2 F. Valencia 23/31

24 Ejemplo 2 Cómo es la fuerza que produce un movimiento circular uniforme? En un movimiento circular uniforme tendríamos: r(t) = R(cos(θ),sin(θ),0) θ = ωt+φ v(t) = d r dt = R(dcos(θ), dsin(θ), d0 dt dt dt ) = R(dcos(θ) dθ v(t) = R( ωsin(θ),ωcos(θ),0) dθ dt, dsin(θ) dθ dθ dt,0) a(t) = v dt = ω2 R(cos(θ),sin(θ),0) = ω 2 r(t) F. Valencia 24/31

25 Solución numérica de las ecuaciones Usando la solución para el caso de fuerza constante, se pueden construir esquemas de aproximación para encontrar la solución de cualquier problema de mecánica clásica.la versión más sencilla es dividir el intervalo de tiempo que nos interesa en intervalos suficientemente cortos, como para que podamos suponer que la aceleración es constante.tendríamos, entonces, en cada intervalo (y para cada componente del movimiento): x(t+dt) = x(t)+v(t)dt+ 1 2 a(t)dt2 v(t+dt) = v(t)+a(t) dt a(t+dt) = F(x(t+dt),v(t+dt),t+dt) m Para sistemas en una dimensión, este esquema se puede implementar fácilmente incluso en una hoja de cálculo. F. Valencia 25/31

26 Trabajo y energía A partir de las ecuaciones de movimiento es posible definir otro concepto util (que de hecho pasa a ser otro concepto fundamental cuando vamos mas alla de la mecánica clásica): el de energía mecánica del sistema.hay una cantidad escalar, la energía, que bajo ciertas circunstancias permanece constante durante de la evolución del sistema. Si multiplicamos las ecuaciones de Newton por la velocidad del sistema tenemos: F(r,t) x = m x(t) x m x(t) x = d dt asi que podemos escribir: F(r,t) x = d dt ( ) 1 2 m x(t) 2 ( ) 1 2 m x(t) 2 F. Valencia 26/31

27 Trabajo y energía que puede integrase con el tiempo para obtener la forma clásica del teorema trabajo-energía xf x 0 Fd x = 1 2 m x 2 f 1 2 m x 2 0 := K donde hemos definido la energía cinética,k = 1 2 m x 2. F. Valencia 27/31

28 Caso en 1D, sistemas conservativos Ok, qué pasa si consideramos una partícula que se mueve en una sola dimensión, con una fuerza que depende únicamente de la posición?en este caso la integral: xf x 0 Fd x es función solamente de las posiciones iniciales y finales, y no del tiempo ni de las velocidades xf x o F(x)dx = G(x f,x o ) Es decir, que podemos definir una función sólo de la posición que llamaremos potencial: U(x) = x x ref F(x)dx F(x) = U x F. Valencia 28/31

29 Caso en 1D, sistemas conservativos Con la anterior definición, el teorema trabajo-energía queda de la forma: K f K i = U i U f K i +U i = K f +U f Es decir que la cantidad K +U que llamaremos energía mecánica total, se conserva! Preguntas: Es ésto posible solamente en una dimensión? Qué condiciones se necesitan para definir energía potenciales en más dimensiones? Qué pasa cuando tenemos fuerzas conservativas y no conservativas actuando sobre el sistema? F. Valencia 29/31

30 Diagramas de energía potencial Qué podemos decir sobre el movimiento de la partícula simplemente considerando los posibles valores de energía? E U x F. Valencia 30/31

31 Final, final, final! Es todo por hoy. Gracias por su atención! F. Valencia 31/31